以錯(cuò)糾錯(cuò)案例分析管理論文
時(shí)間:2022-06-01 08:50:00
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在文[1]中,筆者認(rèn)為:“學(xué)生在解題中出錯(cuò)是學(xué)習(xí)活動(dòng)的必然現(xiàn)象,教師對錯(cuò)例的處理是解題教學(xué)的正常業(yè)務(wù),并且,錯(cuò)例剖析具有正例示范所不可替代的作用,兩者相輔相成構(gòu)成完整的解題教學(xué)”.下面發(fā)生在特級教師身上的“以錯(cuò)糾錯(cuò)”現(xiàn)象,竟能在多家刊物延續(xù)十年之久,則促使筆者進(jìn)一步思考:錯(cuò)例分析可能對教師的教學(xué)觀念和業(yè)務(wù)素質(zhì)都提出了更高的要求.
一、出示案例
我們先引述3處典型做法.
1.早在1990年,文[2]曾對一道數(shù)列極限題指出“思維定勢在解題中的消極影響”;然后在文[3]、[4]中表達(dá)了同樣的看法.最近(2001年5月)又在文[5]中將欠妥的認(rèn)識(shí)原原本本發(fā)表出來(見原文例4):
例1若(3an+4bn)=8,(6an-bn)=1,求(3an+bn).
學(xué)生對“和的極限等于極限的和”的結(jié)論十分熟悉,受其影響,產(chǎn)生了下列錯(cuò)誤解法:
由
(3an+4bn)=8,
(6an-bn)=1.
得
3an+4bn=8,①
6an-bn=1.②
①×2-②,可得
bn=15/9,
并求得an=4/9.
∴(3an+bn)=3an+bn=12/9+15/9=3.
這是一種錯(cuò)誤的解法.因?yàn)榘凑諛O限運(yùn)算法則,若an=A,bn=B,則才有(an+bn)=an+bn=A+B.反之不真,而由(3an+bn)=8,
(6an-bn)=1,
不一定保證an與bn存在.比如
an=4/3+(1/3)n2,bn=1-(1/4)n2,
則有(3an+4bn)=8,
但是an與bn均不存在極限.
正解:(3an+bn)=(1/3)(3an+4bn)+(1/3)(6an-bn)
=8/3+1/3=3.
某些法則或定理,其結(jié)論是在限定條件下產(chǎn)生的.如果平時(shí)練習(xí),限定條件的問題練多了,就容易忽視限定條件,造成對法則、定理理解的偏差,產(chǎn)生定勢思維.教師在課堂教學(xué)時(shí),應(yīng)該把定理、法則成立的條件、適應(yīng)的范圍放在第一位講,就是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到條件在結(jié)論中的重要地位,把條件與結(jié)論等同起來強(qiáng)調(diào),并通過恰當(dāng)?shù)姆蠢齺碚f明.
要克服思維定勢的消極影響,就要從加強(qiáng)雙基教學(xué)入手,加強(qiáng)數(shù)學(xué)基本思想和方法的訓(xùn)練,排除由于只靠記憶一些孤立方法與技巧而形成的定勢,鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、探索最佳解題方法,讓學(xué)生從不同角度多方位地去考慮問題,拓展思維的深度與廣度.(引文完)
2.數(shù)學(xué)通報(bào)1999年第11期(P.43)文[6]記述了一次公開課:在一次公開課評比中,有位老師在講授“數(shù)列極限的運(yùn)算法則”一課時(shí),曾舉了這樣一個(gè)例子(本文記為例2):
例2已知(2an+3bn)=5,(an-bn)=2,求(an+bn).
當(dāng)時(shí)有位學(xué)生提出這樣一種解法:
解:設(shè)an=A,bn=B,則由題設(shè)可知
(2an+3bn)=2an+3bn=2A+3B=5,①
(аn-bn)=an-bn=A-B=2.②
聯(lián)立①,②解得
A=11/5,B=1/5.
∴(an+bn)=an+bn=A+B=11/5+1/5=12/5.
對于上述解法,這位教師結(jié)合數(shù)列極限的運(yùn)算法則引導(dǎo)學(xué)生提出了問題:an和bn一定存在嗎?
隨后,教師鮮明地指出:由題設(shè)我們不能判斷an和bn是否一定存在,從而上述解法缺乏依據(jù),是錯(cuò)誤的.關(guān)于這類問題,我們常用“待定系數(shù)法”求解.
另解:設(shè)an+bn=x(2an+3bn)+y(an-bn)(其中x,y為待定的系數(shù)),則
an+bn=(2x+y)an+(3x-y)bn,
從而有
2x+y=1,
3x-y=1.
解之得x=2/5,y=1/5.
∴an+bn=(2/5)(2an+3bn)+(1/5)(an-bn),
∴(an+bn)=[(2/5)(2an+3bn)+(1/5)(an-bn)]=(2/5)(2an+3bn)+(1/5)(an-bn)=2/5×5+1/5×2=12/5.
這種講授方法既鞏固了數(shù)列極限的運(yùn)算法則,又充分暴露了學(xué)生存在的問題,給學(xué)生留下了極為深刻的印象,深受評委們的一致好評.(引文完)
3.江蘇省常州高級中學(xué)(是一所有90年歷史的江南名校)數(shù)學(xué)組根據(jù)多年教學(xué)積累的經(jīng)驗(yàn)寫了一本書《數(shù)學(xué)題誤解分析(高中)》,其第6章題30如下(見文[7]P.342,本文記為例3):
例3已知(2an+3bn)=7,(3an-2bn)=4,求(2an+bn)之值.
誤解:∵(2an+3bn)=7,(3an-2bn)=4,
∴
2an+3bn=7,①
3an-2bn=4.②
①×2+②×3,得
13an=26,
∴an=2.
代入式①,得
bn=1.
∴(2an+bn)=2an+bn=2×2+1=5.
正確解法:設(shè)m(2an+3bn)+p(3an-2bn)=k(2an+bn).
其中m,p,k均為待定的整數(shù),則比較an,bn的系數(shù)得
2m+3p=2k,①
3m-2p=k.②
由式①、②消去k,得
2m+3p=2(3m-2p)=6m-4p,
∴4m=7p.
當(dāng)m,p分別取7和4時(shí),k=13.
∴2an+bn=(7/13)(2an+3bn)+(4/13)(3an-2bn).
∴(2an+bn)=(7/13)(2an+3bn)+(4/13)(3an-2bn)=7/13×7+4/13×4=5.
錯(cuò)因分析與解題指導(dǎo):已知(2an+3bn)=7,(3an-2bn)=4,并不意味著an、bn存在,在誤解中利用數(shù)列極限的運(yùn)算法則:(an±bn)=an±bn,默認(rèn)an與bn存在,這是錯(cuò)誤的.要求(2an+bn),就必須將2an+bn去用(2an+3bn)與(3an-2bn)表示出來,為此可以用如正確解答中那樣用待定系數(shù)法來解.顯然m、p的值不是惟一的,但是對不同的m、p之值求得的極限值是相同的,因此可以取使計(jì)算較為方便的整數(shù)值.(引文完)
以上詳細(xì)引述的3個(gè)例子只有數(shù)字上的微小區(qū)別,而教師(包括評委)的看法是完全一致的.類似的看法還可參見文[8]~[12].
雖然,大家的看法如此一致,如此長久,但文[6]的作者仍能力排眾議,大聲發(fā)問:“由題設(shè),真的不能判斷an和bn是否存在嗎?”回答是否定的.教師的“糾錯(cuò)”比學(xué)生錯(cuò)得更多.
二、案例分析
我們以例1為主來進(jìn)行分析,弄清學(xué)生的錯(cuò)誤、教師的錯(cuò)誤、錯(cuò)誤的性質(zhì)和應(yīng)吸取的教訓(xùn)等.
1.學(xué)生解法的認(rèn)識(shí)
學(xué)生的解法中有兩個(gè)合理的成分:其一是能緊緊抓住兩個(gè)已知條件,綜合使用;其二是想到運(yùn)用極限運(yùn)算法則;得出的極限值也確為所求.
缺點(diǎn)是默認(rèn)了an與bn的存在;也不會(huì)整體使用極限運(yùn)算法則,這可以從3個(gè)方面來分析.
(1)知識(shí)性錯(cuò)誤
表現(xiàn)在:沒有驗(yàn)證an與bn極限的存在性就使用極限運(yùn)算法則;沒有證明或證明不了an與bn極限的存在性;還不會(huì)變通使用(如借用待定系數(shù)法)極限運(yùn)算法則.
(2)邏輯性錯(cuò)誤
表現(xiàn)為邏輯上的“不能推出”:跳過an與bn極限存在性的必要前提,直接使用極限運(yùn)算法則.但此處僅僅為未驗(yàn)證前提,而并非“前提不真”.對此,“教師”的錯(cuò)誤性質(zhì)比學(xué)生的默認(rèn)更有問題,下面會(huì)談到.
(3)心理性錯(cuò)誤
表現(xiàn)為“潛在假設(shè)”,默認(rèn)an與bn極限的存在性,既未想到要證明,更未給出證明.
由于在已知條件下,an與bn的極限確實(shí)存在,所以,學(xué)生的錯(cuò)誤屬于“對而不全”,缺少了關(guān)鍵步驟.
這個(gè)事實(shí)說明,學(xué)生的學(xué)習(xí)過程,是以自身已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)活動(dòng).其“對而不全”的解法,正是學(xué)生對該數(shù)學(xué)問題的一種“替代觀念”,是建構(gòu)活動(dòng)的一個(gè)產(chǎn)物,既有一定的合理性,又需要完善.接下來的反審活動(dòng),有助于學(xué)生掌握元認(rèn)知知識(shí),獲得元認(rèn)知體驗(yàn)和進(jìn)行元認(rèn)知調(diào)控.
2.教師認(rèn)為“不一定保證an與bn存在”是不對的
事實(shí)上,在已知條件下,用待定系數(shù)法不僅可以求(3an+bn),而且可以求(αan+βbn),取α=1,β=0或α=0,β=1只不過是一種更簡單的特殊情況.我們來給出一個(gè)更一般的結(jié)論.
命題1若(α1an+β1bn)=c1,(α2an+β2bn)=c2,
則當(dāng)a1β2-α2β1≠0時(shí),兩個(gè)極限an與bn均存在,且
an=c1β2-c2β1/α1β2-α2β1,bn=α1c2-α2c1/α1β2-α2β1.
證明:設(shè)
an=x(α1an+β1bn)+y(α2an+β2bn)
=(α1x+α2y)an+(β1x+β2y)bn,
令
α1x+α2y=1,
β1x+β2y=0.
解得x=β2/(α1β2-α2β1),y=-β1/(α1β2-α2β1).
從而
[x(α1an+β1bn)+y(α2an+β2bn)]
=x(α1an+β1bn)+y(α2an+β2bn)
=xc1+yc2=(c1β2-c2β1)/(α1β2-α2β1).
即an=(c1β2-c2β1)/(α1β2-α2β1).
同理可確定bn極限的存在性,并計(jì)算出
bn=(α1c2-α2c1)/(α1β2-α2β1).
(1)取α1=3,β1=4,c1=8,α2=6,β2=-1,c2=1,可得an=4/9,bn=5/3.這就是例1.也可以用文[2]正解的方法求出
an=[(1/27)(3an+4bn)+(4/27)(6an-bn)]
=(1/27)(3an+4bn)+(4/27)(6an-bn)=8/27+4/27=4/9.
bn=[(2/9)(3an+4bn)-(1/9)(6an-bn)]
=(2/9)(3an+4bn)-(1/9)(6an-bn)=16/9-1/9=5/3.
(2)取α1=2,β1=3,c1=5,α2=1,β2=-1,c2=2,這便得例2,有
an=(1/5)(2an+3bn)+(3/5)(an-bn)
=1/5×5+3/5×2=11/5,
bn=(1/5)(2an+3bn)-(2/5)(an-bn)
=1/5×5-2/5×2=1/5.
(3)取α1=2,β1=3,c1=7,α2=3,β2=-2,c2=4,這便得例3,確實(shí)有an=2,bn=1.
應(yīng)該說,求an、bn與求(αan+βbn)道理是一樣的,為什么會(huì)有這么多的教師長期堅(jiān)持“an、bn不一定存在”呢?這除有知識(shí)、邏輯因素外,而對多數(shù)人來說,恐怕還有一個(gè)“人云亦云”,迷信權(quán)威、迷信刊物的心理性錯(cuò)誤.我們說,失去自信比缺少知識(shí)更為可怕.
3.反例“an=4/3+n2/3,bn=1-n2/4”的錯(cuò)誤根源
上面已經(jīng)嚴(yán)格證明了an與bn的存在性(以α1β2-α2β1≠0為前提),因而文[2]作者一次又一次重復(fù)給出的反例肯定是錯(cuò)誤的,問題是應(yīng)該找出錯(cuò)誤的原因,弄清錯(cuò)誤的性質(zhì).
(1)檢驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤
把a(bǔ)n=4/3+n2/3,bn=1-n2/4代入已知條件,有
(3an+4bn)=8=8.
但(6an-bn)=(7+9/4n2)
不存在,更不等于1.
所以,文[2]的反例并不能成為反例.其之所以成為反例,是作者根據(jù)不充分的前提(來驗(yàn)證第2個(gè)條件)得出的,邏輯上犯有“不能推出”的錯(cuò)誤.
(2)誤舉反例的原因分析
①首先是對題目中有兩個(gè)條件重視不夠,在找反例時(shí),主要依據(jù)“若an、bn存在,則(an+bn)=an+bn,反之不真(思維定勢)”.這對只有一個(gè)條件是成立的;據(jù)此找出的反例也只驗(yàn)證第1個(gè)條件,而不驗(yàn)證第2個(gè)條件,這可能也是“反之不真”思維定勢的負(fù)遷移.
②其次是對下面的結(jié)論不知道,或未認(rèn)真思考過:
命題2若(α1an+β1bn)=c1,(α2an+β2bn)=c2.
則有
(i)當(dāng)α1β2-α2β1≠0時(shí),an、bn均存在;
(ii)當(dāng)α1β2-α2β1=0且α1c2-α2c1=0時(shí),則an,bn的極限不一定存在.(文[2]的反例適用這一情況)
(iii)當(dāng)α1β2-α2β1=0且α1c2-α2c1≠0,則an,bn的極限均不存在.
這實(shí)質(zhì)上是兩直線相交、重合、平行判別法則的移植或線性方程組理論的簡單應(yīng)用.
對比“反例”所表現(xiàn)出來的兩個(gè)錯(cuò)誤根源,我們認(rèn)為主要還是知識(shí)原因,由于教師沒有看透題目的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì),從而也沒有看透學(xué)生的錯(cuò)誤性質(zhì),所進(jìn)行的大段文字分析缺少數(shù)學(xué)針對性.所以,對每一個(gè)教師而言,提高數(shù)學(xué)專業(yè)水平是一個(gè)永無止境的課題.
4.試作一個(gè)探究性的教學(xué)設(shè)計(jì)
本文“以錯(cuò)糾錯(cuò)”的例子,持續(xù)了10年以上的時(shí)間,發(fā)表在多家刊物上,還出現(xiàn)在文[6]正確糾正之后,這對讀者、編者和作者都有很多教訓(xùn),也錯(cuò)過了一個(gè)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神的機(jī)會(huì).我們愿在例題數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)較為清楚的時(shí)候,提出一個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì),分為7步.
(1)提出問題,暴露學(xué)生的真實(shí)思想.
其過程是給出例1(或例2、例3等,還可以根據(jù)命題2編擬3種類型的例題),讓學(xué)生得出不完整的解法.
(2)反思,引發(fā)認(rèn)知沖突.
教師與學(xué)生一起檢查每一步的依據(jù),發(fā)現(xiàn)使用極限運(yùn)算法則需要an、bn的存在性做前提.前提存在嗎?有兩種可能:或舉一個(gè)反例來否定,或給出一個(gè)證明來肯定.
(3)分兩大組自主探索,自我反省.
按照證實(shí)與證偽可以分兩大組,下分小組,每組三五人,讓學(xué)生在學(xué)習(xí)共同體中自主探索,教師巡回指導(dǎo),這將是一個(gè)十分生動(dòng)的過程.
(4)得出an、bn的求法.
這樣,學(xué)生的求解就完整了.可以分成三步:
①求an=…=4/9;
②求bn=…=15/9;
③求(3an+bn)=…=3.
(5)進(jìn)行解題分析,得出改進(jìn)解法.
引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到:
①求an、bn所使用的方法也可以直接用到求(3an+bn)上來.
②先分別求an、bn,再合并得結(jié)論(3an+bn)有思維回路:
(3an+4bn)(合)
an
(分)
(6an-bn)(合)
bn
(3an+bn).(合)
刪除中間步驟,可得
(3an+bn)=[(1/3)(3an+4bn)+(1/3)(6an-bn)]
=(1/3)(3an+4bn)+(1/3)(6an-bn)=8/3+1/3=3.
(6)探索一般性.
①考慮例1的結(jié)論一般化改為,求(αan+βbn);
②考慮條件、結(jié)論均一般化,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)命題1(α1β2-α2β1≠0);
③再加一個(gè)層次,允許α1β2-α2β1=0,讓學(xué)生再發(fā)現(xiàn)命題2.
(7)運(yùn)用建構(gòu)主義和元認(rèn)知的觀點(diǎn)(不出現(xiàn)名詞)進(jìn)行總結(jié).
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