詮釋以錯糾錯的案例分析

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在文［1］中，筆者認為：“學生在解題中出錯是學習活動的必然現象，教師對錯例的處理是解題教學的正常業務，并且，錯例剖析具有正例示范所不可替代的作用，兩者相輔相成構成完整的解題教學”．下面發生在特級教師身上的“以錯糾錯”現象，竟能在多家刊物延續十年之久，則促使筆者進一步思考：錯例分析可能對教師的教學觀念和業務素質都提出了更高的要求．

一、出示案例

我們先引述3處典型做法．

1.早在1990年，文［2］曾對一道數列極限題指出“思維定勢在解題中的消極影響”；然后在文［3］、［4］中表達了同樣的看法．最近（2001年5月）又在文［5］中將欠妥的認識原原本本發表出來（見原文例4）：

例1若（3an＋4bn）＝8，（6an－bn）＝1，求（3an＋bn）．

學生對“和的極限等于極限的和”的結論十分熟悉，受其影響，產生了下列錯誤解法：

由（3an＋4bn）＝8，（6an－bn）＝1．

得3an＋4bn＝8，①6an-bn＝1．②

①×2－②，可得bn＝15／9，

并求得an＝4／9．

∴（3an＋bn）＝3an＋bn＝12／9＋15／9＝3．

這是一種錯誤的解法．因為按照極限運算法則，若an＝A，bn＝B，則才有（an＋bn）＝an＋bn＝A＋B．反之不真，而由（3an＋bn）＝8，

（6an－bn）＝1，

不一定保證an與bn存在．比如

an＝4／3＋（1／3）n2，bn＝1－（1／4）n2，

則有（3an＋4bn）＝8，

但是an與bn均不存在極限．

正解：（3an＋bn）＝（1／3）（3an＋4bn）＋（1／3）（6an－bn）＝8／3＋1／3＝3．

某些法則或定理，其結論是在限定條件下產生的．如果平時練習，限定條件的問題練多了，就容易忽視限定條件，造成對法則、定理理解的偏差，產生定勢思維．教師在課堂教學時，應該把定理、法則成立的條件、適應的范圍放在第一位講，就是讓學生認識到條件在結論中的重要地位，把條件與結論等同起來強調，并通過恰當的反例來說明．

要克服思維定勢的消極影響，就要從加強雙基教學入手，加強數學基本思想和方法的訓練，排除由于只靠記憶一些孤立方法與技巧而形成的定勢，鼓勵和引導學生獨立思考、探索最佳解題方法，讓學生從不同角度多方位地去考慮問題，拓展思維的深度與廣度．（引文完）

2.數學通報1999年第11期（P．43）文［6］記述了一次公開課：在一次公開課評比中，有位老師在講授“數列極限的運算法則”一課時，曾舉了這樣一個例子（本文記為例2）：

例2已知（2an＋3bn）＝5，（an－bn）＝2，求（an＋bn）．

當時有位學生提出這樣一種解法：

解：設an＝A，bn＝B，則由題設可知

（2an＋3bn）＝2an＋3bn＝2A＋3B＝5，①

（аn－bn）＝an－bn＝A－B＝2．②

聯立①，②解得

A＝11／5，B＝1／5．

∴（an＋bn）＝an＋bn＝A＋B＝11／5＋1／5＝12／5．

對于上述解法，這位教師結合數列極限的運算法則引導學生提出了問題：an和bn一定存在嗎?

隨后，教師鮮明地指出：由題設我們不能判斷an和bn是否一定存在，從而上述解法缺乏依據，是錯誤的．關于這類問題，我們常用“待定系數法”求解．

另解：設an＋bn＝x（2an＋3bn）＋y（an－bn）（其中x，y為待定的系數），則an＋bn＝（2x＋y）an＋（3x－y）bn，從而有2x＋y＝1，3x－y＝1．

解之得x＝2／5，y＝1／5．

∴an＋bn＝（2／5）（2an＋3bn）＋（1／5）（an－bn），

∴（an＋bn）＝［（2／5）（2an＋3bn）＋（1／5）（an－bn）］＝（2／5）（2an＋3bn）＋（1／5）（an－bn）＝2／5×5＋1／5×2＝12／5．

這種講授方法既鞏固了數列極限的運算法則，又充分暴露了學生存在的問題，給學生留下了極為深刻的印象，深受評委們的一致好評．（引文完）

3.江蘇省常州高級中學（是一所有90年歷史的江南名校）數學組根據多年教學積累的經驗寫了一本書《數學題誤解分析（高中）》，其第6章題30如下（見文［7］P．342，本文記為例3）：

例3已知（2an＋3bn）＝7，（3an－2bn）＝4，求（2an＋bn）之值．

誤解：∵（2an＋3bn）＝7，（3an－2bn）＝4，

∴2an＋3bn＝7，①3an－2bn＝4．②①×2＋②×3，得13an＝26，∴an＝2．代入式①，得bn＝1．∴（2an＋bn）＝2an＋bn＝2×2＋1＝5．

正確解法：設m（2an＋3bn）＋p（3an－2bn）＝k（2an＋bn）．

其中m，p，k均為待定的整數，則比較an，bn的系數得2m＋3p＝2k，①3m－2p＝k．②由式①、②消去k，得2m＋3p＝2（3m－2p）＝6m－4p，∴4m＝7p．

當m，p分別取7和4時，k＝13．

∴2an＋bn＝（7／13）（2an＋3bn）＋（4／13）（3an－2bn）．

∴（2an＋bn）＝（7／13）（2an＋3bn）＋（4／13）（3an－2bn）＝7／13×7＋4／13×4＝5．

錯因分析與解題指導：已知（2an＋3bn）＝7，（3an－2bn）＝4，并不意味著an、bn存在，在誤解中利用數列極限的運算法則：（an±bn）＝an±bn，默認an與bn存在，這是錯誤的．要求（2an＋bn），就必須將2an＋bn去用（2an＋3bn）與（3an－2bn）表示出來，為此可以用如正確解答中那樣用待定系數法來解．顯然m、p的值不是惟一的，但是對不同的m、p之值求得的極限值是相同的，因此可以取使計算較為方便的整數值．（引文完）

以上詳細引述的3個例子只有數字上的微小區別，而教師（包括評委）的看法是完全一致的．類似的看法還可參見文［8］～［12］．

雖然，大家的看法如此一致，如此長久，但文［6］的作者仍能力排眾議，大聲發問：“由題設，真的不能判斷an和bn是否存在嗎?”回答是否定的．教師的“糾錯”比學生錯得更多．

二、案例分析

我們以例1為主來進行分析，弄清學生的錯誤、教師的錯誤、錯誤的性質和應吸取的教訓等．

1.學生解法的認識

學生的解法中有兩個合理的成分：其一是能緊緊抓住兩個已知條件，綜合使用；其二是想到運用極限運算法則；得出的極限值也確為所求．

缺點是默認了an與bn的存在；也不會整體使用極限運算法則，這可以從3個方面來分析．

（1）知識性錯誤

表現在：沒有驗證an與bn極限的存在性就使用極限運算法則；沒有證明或證明不了an與bn極限的存在性；還不會變通使用（如借用待定系數法）極限運算法則．

（2）邏輯性錯誤

表現為邏輯上的“不能推出”：跳過an與bn極限存在性的必要前提，直接使用極限運算法則．但此處僅僅為未驗證前提，而并非“前提不真”．對此，“教師”的錯誤性質比學生的默認更有問題，下面會談到．

（3）心理性錯誤

表現為“潛在假設”，默認an與bn極限的存在性，既未想到要證明，更未給出證明．

由于在已知條件下，an與bn的極限確實存在，所以，學生的錯誤屬于“對而不全”，缺少了關鍵步驟．

這個事實說明，學生的學習過程，是以自身已有的知識和經驗為基礎的主動建構活動．其“對而不全”的解法，正是學生對該數學問題的一種“替代觀念”，是建構活動的一個產物，既有一定的合理性，又需要完善．接下來的反審活動，有助于學生掌握元認知知識，獲得元認知體驗和進行元認知調控．

2.教師認為“不一定保證an與bn存在”是不對的

事實上，在已知條件下，用待定系數法不僅可以求（3an＋bn），而且可以求（αan＋βbn），取α＝1，β＝0或α＝0，β＝1只不過是一種更簡單的特殊情況．我們來給出一個更一般的結論．

命題1若（α1an＋β1bn）＝c1，（α2an＋β2bn）＝c2，

則當a1β2－α2β1≠0時，兩個極限an與bn均存在，且an＝c1β2－c2β1／α1β2－α2β1，bn＝α1c2－α2c1／α1β2－α2β1．

證明：設an＝x（α1an＋β1bn）＋y（α2an＋β2bn）＝（α1x＋α2y）an＋（β1x＋β2y）bn，令α1x＋α2y＝1，β1x＋β2y＝0．

解得x＝β2／（α1β2－α2β1），y＝－β1／（α1β2－α2β1）．

從而［x（α1an＋β1bn）＋y（α2an＋β2bn）］＝x（α1an＋β1bn）＋y（α2an＋β2bn）＝xc1＋yc2＝（c1β2－c2β1）／（α1β2－α2β1）．

即an＝（c1β2－c2β1）／（α1β2－α2β1）．

同理可確定bn極限的存在性，并計算出

bn＝（α1c2－α2c1）／（α1β2－α2β1）．

（1）取α1＝3，β1＝4，c1＝8，α2＝6，β2＝－1，c2＝1，可得an＝4／9，bn＝5／3．這就是例1．也可以用文［2］正解的方法求出

an＝［（1／27）（3an＋4bn）＋（4／27）（6an－bn）］

＝（1／27）（3an＋4bn）＋（4／27）（6an－bn）＝8／27＋4／27＝4／9．

bn＝［（2／9）（3an＋4bn）－（1／9）（6an－bn）］

＝（2／9）（3an＋4bn）－（1／9）（6an－bn）＝16／9－1／9＝5／3．

（2）取α1＝2，β1＝3，c1＝5，α2＝1，β2＝－1，c2＝2，這便得例2，有

an＝（1／5）（2an＋3bn）＋（3／5）（an－bn）＝1／5×5＋3／5×2＝11／5，

bn＝（1／5）（2an＋3bn）－（2／5）（an－bn）＝1／5×5－2／5×2＝1／5．

（3）取α1＝2，β1＝3，c1＝7，α2＝3，β2＝－2，c2＝4，這便得例3，確實有an＝2，bn＝1．

應該說，求an、bn與求（αan＋βbn）道理是一樣的，為什么會有這么多的教師長期堅持“an、bn不一定存在”呢?這除有知識、邏輯因素外，而對多數人來說，恐怕還有一個“人云亦云”，迷信權威、迷信刊物的心理性錯誤．我們說，失去自信比缺少知識更為可怕．

3.反例“an＝4／3＋n2／3，bn＝1－n2／4”的錯誤根源

上面已經嚴格證明了an與bn的存在性（以α1β2－α2β1≠0為前提），因而文［2］作者一次又一次重復給出的反例肯定是錯誤的，問題是應該找出錯誤的原因，弄清錯誤的性質．

（1）檢驗可以發現錯誤

把an＝4／3＋n2／3，bn＝1－n2／4代入已知條件，有（3an＋4bn）＝8＝8．但（6an－bn）＝（7＋9／4n2）不存在，更不等于1．

所以，文［2］的反例并不能成為反例．其之所以成為反例，是作者根據不充分的前提（來驗證第2個條件）得出的，邏輯上犯有“不能推出”的錯誤．

（2）誤舉反例的原因分析

①首先是對題目中有兩個條件重視不夠，在找反例時，主要依據“若an、bn存在，則（an＋bn）＝an＋bn，反之不真（思維定勢）”．這對只有一個條件是成立的；據此找出的反例也只驗證第1個條件，而不驗證第2個條件，這可能也是“反之不真”思維定勢的負遷移．

②其次是對下面的結論不知道，或未認真思考過：

命題2若（α1an＋β1bn）＝c1，（α2an＋β2bn）＝c2．

則有（i）當α1β2－α2β1≠0時，an、bn均存在；（ii）當α1β2－α2β1＝0且α1c2－α2c1＝0時，則an，bn的極限不一定存在．（文［2］的反例適用這一情況）

（iii）當α1β2－α2β1＝0且α1c2－α2c1≠0，則an，bn的極限均不存在．

這實質上是兩直線相交、重合、平行判別法則的移植或線性方程組理論的簡單應用．

對比“反例”所表現出來的兩個錯誤根源，我們認為主要還是知識原因，由于教師沒有看透題目的數學實質，從而也沒有看透學生的錯誤性質，所進行的大段文字分析缺少數學針對性．所以，對每一個教師而言，提高數學專業水平是一個永無止境的課題．

4.試作一個探究性的教學設計

本文“以錯糾錯”的例子，持續了10年以上的時間，發表在多家刊物上，還出現在文［6］正確糾正之后，這對讀者、編者和作者都有很多教訓，也錯過了一個培養學生創新精神的機會．我們愿在例題數學實質較為清楚的時候，提出一個教學設計，分為7步．

（1）提出問題，暴露學生的真實思想．

其過程是給出例1（或例2、例3等，還可以根據命題2編擬3種類型的例題），讓學生得出不完整的解法．

（2）反思，引發認知沖突．

教師與學生一起檢查每一步的依據，發現使用極限運算法則需要an、bn的存在性做前提．前提存在嗎?有兩種可能：或舉一個反例來否定，或給出一個證明來肯定．

（3）分兩大組自主探索，自我反省．

按照證實與證偽可以分兩大組，下分小組，每組三五人，讓學生在學習共同體中自主探索，教師巡回指導，這將是一個十分生動的過程．

（4）得出an、bn的求法．

這樣，學生的求解就完整了．可以分成三步：

①求an＝…＝4／9；

②求bn＝…＝15／9；

③求（3an＋bn）＝…＝3．

（5）進行解題分析，得出改進解法．

引導學生認識到：

①求an、bn所使用的方法也可以直接用到求（3an＋bn）上來．

②先分別求an、bn，再合并得結論（3an＋bn）有思維回路：（3an＋4bn）（合）an（分）（6an－bn）（合）bn（3an＋bn）．（合）

刪除中間步驟，可得（3an＋bn）＝［（1／3）（3an＋4bn）＋（1／3）（6an－bn）］＝（1／3）（3an＋4bn）＋（1／3）（6an－bn）＝8／3＋1／3＝3．

（6）探索一般性．

①考慮例1的結論一般化改為，求（αan＋βbn）；

②考慮條件、結論均一般化，讓學生發現命題1（α1β2－α2β1≠0）；

③再加一個層次，允許α1β2－α2β1＝0，讓學生再發現命題2．

（7）運用建構主義和元認知的觀點（不出現名詞）進行總結．

參考文獻

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