平方差公式設計教案

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一、知識結構

二、重點、難點分析

本節教學的重點是掌握公式的結構特征及正確運用公式.難點是公式推導的理解及字母的廣泛含義.平方差公式是進一步學習完全平方公式、進行相關代數運算與變形的重要知識基礎.

1.平方差公式是由多項式乘法直接計算得出的：

與一般式多項式的乘法一樣，積的項數是多項式項數的積，即四項.合并同類項后僅得兩項.

2.這一公式的結構特征：左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數;右邊是乘式中兩項的平方差，即相同項的平方與相反項的平方差.公式中的字母可以表示具體的數(正數和負數)，也可以表示單項式或多項式等代數式.

只要符合公式的結構特征，就可運用這一公式.例如

在運用公式的過程中，有時需要變形，例如，變形為，兩個數就可以看清楚了.

3.關于平方差公式的特征，在學習時應注意：

(1)左邊是兩個二項式相乘，并且這兩上二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數.

(2)右邊是乘式中兩項的平方差(相同項的平方減去相反項的平方).

(3)公式中的和可以是具體數，也可以是單項式或多項式.

(4)對于形如兩數和與這兩數差相乘，就可以運用上述公式來計算.

三、教法建議

1.可以將“兩個二項式相乘，積可能有幾項”的問題作為課題引入，目的是激發學生的學習興趣，使學生能在兩個二項式相乘其積可能為四項、三項、兩項中找出積為兩項的特征，上升到一定的理論認識，加以實踐檢驗，從而培養學生觀察、概括的能力.

2.通過學生自己的試算、觀察、發現、總結、歸納，得出為什么有的兩個二項式相乘，其積為兩項，因為其中兩項是兩個數的平方差，而另兩項恰是互為相反數，合并同類項時為零，即

(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2.

這樣得出平方差公式，并且把這類乘法的實質講清楚了.

3.通過例題、練習與小結，教會學生如何正確應用平方差公式.這里特別要求學生注意公式的結構，教師可以用對應思想來加強對公式結構的理解和訓練，如計算(1+2x)(1-2x)，

(1+2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2

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(a+b)(a-b)=a2-b2.

這樣，學生就能正確應用公式進行計算，不容易出差錯.

另外，在計算中不一定用一種模式刻板地應用公式，可以結合以前學過的運算法則，經過變形后靈活應用公式，培養學生解題的靈活性.

教學目標

1.使學生理解和掌握平方差公式，并會用公式進行計算;

2.注意培養學生分析、綜合和抽象、概括以及運算能力.

教學重點和難點

重點：平方差公式的應用.

難點：用公式的結構特征判斷題目能否使用公式.

教學過程設計

一、師生共同研究平方差公式

我們已經學過了多項式的乘法，兩個二項式相乘，在合并同類項前應該有幾項?合并同類項以后，積可能會是三項嗎?積可能是二項嗎?請舉出例子.

讓學生動腦、動筆進行探討，并發表自己的見解.教師根據學生的回答，引導學生進一步思考：

兩個二項式相乘，乘式具備什么特征時，積才會是二項式?為什么具備這些特點的兩個二項式相乘，積會是兩項呢?而它們的積又有什么特征?

(當乘式是兩個數之和以及這兩個數之差相乘時，積是二項式.這是因為具備這樣特點的兩個二項式相乘，積的四項中，會出現互為相反數的兩項，合并這兩項的結果為零，于是就剩下兩項了.而它們的積等于乘式中這兩個數的平方差)

繼而指出，在多項式的乘法中，對于某些特殊形式的多項式相乘，我們把它寫成公式，并加以熟記，以便遇到類似形式的多項式相乘時就可以直接運用公式進行計算.以后經常遇到(a+b)(a-b)這種乘法，所以把(a+b)(a-b)=a2-b2作為公式，叫做乘法的平方差公式.

在此基礎上，讓學生用語言敘述公式.

二、運用舉例變式練習

例1計算(1+2x)(1-2x).

解：(1+2x)(1-2x)

=12-(2x)2

=1-4x2.

教師引導學生分析題目條件是否符合平方差公式特征，并讓學生說出本題中a，b分別表示什么.

例2計算(b2+2a3)(2a3-b2).

解：(b2+2a3)(2a3-b2)

=(2a3+b2)(2a3-b2)

=(2a3)2-(b2)2

=4a6-b4.

教師引導學生發現，只需將(b2+2a3)中的兩項交換位置，就可用平方差公式進行計算.

課堂練習

運用平方差公式計算：

(l)(x+a)(x-a);(2)(m+n)(m-n);

(3)(a+3b)(a-3b);(4)(1-5y)(l+5y).

例3計算(-4a-1)(-4a+1).

讓學生在練習本上計算，教師巡視學生解題情況，讓采用不同解法的兩個學生進行板演.

解法1：(-4a-1)(-4a+1)

=[-(4a+l)][-(4a-l)]

=(4a+1)(4a-l)

=(4a)2-l2

=16a2-1.

解法2：(-4a-l)(-4a+l)

=(-4a)2-l

=16a2-1.

根據學生板演，教師指出兩種解法都很正確，解法1先用了提出負號的辦法，使兩乘式首項都變成正的，而后看出兩數的和與這兩數的差相乘的形式，應用平方差公式，寫出結果.解法2把-4a看成一個數，把1看成另一個數，直接寫出(-4a)2-l2后得出結果.采用解法2的同學比較注意平方差公式的特征，能看到問題的本質，運算簡捷.因此，我們在計算中，先要分析題目的數字特征，然后正確應用平方差公式，就能比較簡捷地得到答案.

課堂練習

1.口答下列各題：

(l)(-a+b)(a+b);(2)(a-b)(b+a);

(3)(-a-b)(-a+b);(4)(a-b)(-a-b).

2.計算下列各題：

(1)(4x-5y)(4x+5y);(2)(-2x2+5)(-2x2-5);

教師巡視學生練習情況，請不同解法的學生，或發生錯誤的學生板演，教師和學生一起分析解法.

三、小結

1.什么是平方差公式?

2.運用公式要注意什么?

(1)要符合公式特征才能運用平方差公式;

(2)有些式子表面不能應用公式，但實質能應用公式，要注意變形.

四、作業

1.運用平方差公式計算：

(l)(x+2y)(x-2y);(2)(2a-3b)(3b+2a);

(3)(-1+3x)(-1-3x);(4)(-2b-5)(2b-5);

(5)(2x3+15)(2x3-15);(6)(0.3x-0.l)(0.3x+l);

2.計算：

(1)(x+y)(x-y)

+(2x+y)(2x+y);(2)(2a-b)(2a+b)-(2b-3a)(3a+2b);

(3)x(x-3)-(x+7)(x-7);(4)(2x-5)(x-2)+(3x-4)(3x+4).