復(fù)數(shù)的概念教案
時(shí)間：2022-03-02 10:19:00
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教學(xué)目標(biāo)
(1)掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，如虛數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部、兩復(fù)數(shù)相等、復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸、共軛復(fù)數(shù)、共軛虛數(shù)的概念。
(2)正確對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，掌握數(shù)集之間的從屬關(guān)系;
(3)理解復(fù)數(shù)的幾何意義，初步掌握復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。
(4)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練學(xué)生條理的邏輯思維能力.
教學(xué)建議
(一)教材分析
1、知識(shí)結(jié)構(gòu)
本節(jié)首先介紹了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，然后指出復(fù)數(shù)相等的充要條件，接著介紹了有關(guān)復(fù)數(shù)的幾何表示，最后指出了有關(guān)共軛復(fù)數(shù)的概念.
2、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
(1)正確復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部
對(duì)于復(fù)數(shù)，實(shí)部是，虛部是.注意在說(shuō)復(fù)數(shù)時(shí)，一定有，否則，不能說(shuō)實(shí)部是，虛部是,復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù)。
說(shuō)明：對(duì)于復(fù)數(shù)的定義，特別要抓住這一標(biāo)準(zhǔn)形式以及是實(shí)數(shù)這一概念，這對(duì)于解有關(guān)復(fù)數(shù)的問(wèn)題將有很大的幫助。
(2)正確地對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，弄清數(shù)集之間的關(guān)系
分類(lèi)要求不重復(fù)、不遺漏，同一級(jí)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一。根據(jù)上述原則，復(fù)數(shù)集的分類(lèi)如下：
注意分清復(fù)數(shù)分類(lèi)中的界限：
①設(shè)，則為實(shí)數(shù)
②為虛數(shù)
③且。
④為純虛數(shù)且
(3)不能亂用復(fù)數(shù)相等的條件解題.用復(fù)數(shù)相等的條件要注意：
①化為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式
②實(shí)部、虛部中的字母為實(shí)數(shù)，即
(4)在講復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)所有點(diǎn)所成的集合一一對(duì)應(yīng)時(shí)，要注意：
①任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)()唯一確定.這就是說(shuō)，復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對(duì).一些書(shū)上就是把實(shí)數(shù)對(duì)()叫做復(fù)數(shù)的.
②復(fù)數(shù)用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z()表示.復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z的坐標(biāo)是()，而不是()，也就是說(shuō)，復(fù)平面內(nèi)的縱坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度是1，而不是.由于=0+1·，所以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)(0，1)表示時(shí)，這點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是1，等于縱軸上的單位長(zhǎng)度.這就是說(shuō)，當(dāng)我們把縱軸上的點(diǎn)(0，1)標(biāo)上虛數(shù)時(shí)，不能以為這一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是虛數(shù)單位，或者就是縱軸的單位長(zhǎng)度.
③當(dāng)時(shí)，對(duì)任何，是純虛數(shù)，所以縱軸上的點(diǎn)()()都是表示純虛數(shù).但當(dāng)時(shí)，是實(shí)數(shù).所以，縱軸去掉原點(diǎn)后稱(chēng)為虛軸.
由此可見(jiàn)，復(fù)平面(也叫高斯平面)與一般的坐標(biāo)平面(也叫笛卡兒平面)的區(qū)別就是復(fù)平面的虛軸不包括原點(diǎn)，而一般坐標(biāo)平面的原點(diǎn)是橫、縱坐標(biāo)軸的公共點(diǎn).
④復(fù)數(shù)z=a+bi中的z，書(shū)寫(xiě)時(shí)小寫(xiě)，復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z(a，b)中的Z，書(shū)寫(xiě)時(shí)大寫(xiě).要學(xué)生注意.
(5)關(guān)于共軛復(fù)數(shù)的概念
設(shè)，則，即與的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)(不能認(rèn)為與或是共軛復(fù)數(shù)).
教師可以提一下當(dāng)時(shí)的特殊情況，即實(shí)軸上的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸本身對(duì)稱(chēng)，例如：5和-5也是互為共軛復(fù)數(shù).當(dāng)時(shí)，與互為共軛虛數(shù).可見(jiàn)，共軛虛數(shù)是共軛復(fù)數(shù)的特殊情行.
(6)復(fù)數(shù)能否比較大小
教材最后指出：“兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，就不能比較它們的大小”，要注意：
①根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等地定義，可知在兩式中，只要有一個(gè)不成立，那么.兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，只有相等與不等關(guān)系，而不能比較它們的大小.
②命題中的“不能比較它們的大小”的確切含義是指：“不論怎樣定義兩個(gè)復(fù)數(shù)間的一個(gè)關(guān)系‘<’，都不能使這關(guān)系同時(shí)滿(mǎn)足實(shí)數(shù)集中大小關(guān)系地四條性質(zhì)”：
(i)對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b來(lái)說(shuō)，a
(ii)如果a
(iii)如果a
(iv)如果a0，那么ac
(二)教法建議
1.要注意知識(shí)的連續(xù)性：復(fù)數(shù)是二維數(shù)，其幾何意義是一個(gè)點(diǎn)，因而注意與平面解析幾何的聯(lián)系.
2.注意數(shù)形結(jié)合的數(shù)形思想：由于復(fù)數(shù)集與復(fù)平面上的點(diǎn)的集合建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以用“形”來(lái)解決“數(shù)”就成為可能，在本節(jié)要注意復(fù)數(shù)的幾何意義的講解，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.
3.注意分層次的教學(xué)：教材中最后對(duì)于“兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)就不能本節(jié)它們的大小”沒(méi)有證明，如果有學(xué)生提出來(lái)了，在課堂上不要給全體學(xué)生證明，可以在課下給學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)行解答.
復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
教學(xué)目標(biāo)
1.了解復(fù)數(shù)的實(shí)部，虛部;
2.掌握復(fù)數(shù)相等的意義;
3.了解并掌握共軛復(fù)數(shù)，及在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù).
教學(xué)重點(diǎn)
復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)相等的充要條件.
教學(xué)難點(diǎn)
用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)M.
教學(xué)用具：直尺
課時(shí)安排：1課時(shí)
教學(xué)過(guò)程：
一、復(fù)習(xí)提問(wèn)：
1.復(fù)數(shù)的定義。
2.虛數(shù)單位。
二、講授新課
1.復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部：
復(fù)數(shù)中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部。
2.復(fù)數(shù)相等
如果兩個(gè)復(fù)數(shù)與的實(shí)部與虛部分別相等，就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等。
即：的充要條件是且。
例如：的充要條件是且。
例1：已知其中，求x與y.
解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的意義，得方程組：
∴
例2：m是什么實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù),
(1)是實(shí)數(shù)，(2)是虛數(shù)，(3)是純虛數(shù).
解：
(1)∵時(shí)，z是實(shí)數(shù),
∴,或.
(2)∵時(shí)，z是虛數(shù),
∴，且
(3)∵且時(shí)，
z是純虛數(shù).∴
3.用復(fù)平面(高斯平面)內(nèi)的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)
復(fù)平面的定義
建立了直角坐標(biāo)系表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面.
復(fù)數(shù)可用點(diǎn)來(lái)表示.(如圖)其中x軸叫實(shí)軸，y軸除去原點(diǎn)的部分叫虛軸，表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)軸上，表示純虛數(shù)的點(diǎn)都在虛軸上。原點(diǎn)只在實(shí)軸x上，不在虛軸上.
4.復(fù)數(shù)的幾何意義：
復(fù)數(shù)集c和復(fù)平面所有的點(diǎn)的集合是一一對(duì)應(yīng)的.
5.共軛復(fù)數(shù)
(1)當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。(虛部不為零也叫做互為共軛復(fù)數(shù))
(2)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示.若，則：;
(3)實(shí)數(shù)a的共軛復(fù)數(shù)仍是a本身，純虛數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它的相反數(shù).
(4)復(fù)平面內(nèi)表示兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)z與關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng).
三、練習(xí)1,2,3,4.
四、小結(jié)：
1.在理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念時(shí)應(yīng)注意：
(1)明確什么是復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部;
(2)弄清實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)分別對(duì)實(shí)部與虛部的要求;
(3)弄清復(fù)平面與復(fù)數(shù)的幾何意義;
(4)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)就不能比較大小。
2.復(fù)
數(shù)集與復(fù)平面上的點(diǎn)注意事項(xiàng)：
(1)復(fù)數(shù)中的z，書(shū)寫(xiě)時(shí)小寫(xiě)，復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z(a，b)中的Z，書(shū)寫(xiě)時(shí)大寫(xiě)。
(2)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z的坐標(biāo)是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是說(shuō)，復(fù)平面內(nèi)的縱坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度是1，而不是i。
(3)表示實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)軸上，表示純虛數(shù)的點(diǎn)都在虛軸上。
(4)復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合一一對(duì)應(yīng)：
五、作業(yè)1,2,3,4,
六、板書(shū)設(shè)計(jì)：
§8,2復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
1定義：例13定義:4幾何意義:
2定義：例25共軛復(fù)數(shù):