復數概念教學反思范文

導語：如何才能寫好一篇復數概念教學反思，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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【關鍵詞】復數，數學史，概念，教學設計

由于新課改后，復數這一章，相對老教材刪減了很多內容，老師也就隨便介紹一下.這對學生以后更進一步的學習復數、復變函數等產生了困難.這需要我們對復數a+bi的概念及本質含義真正深刻的理解.

一、復數概念教學的研究

就復數如何引入，前人們主要從幾何和代數兩個方面入手.

幾何方面：北京師大女附中高中代數互助組（1955）該文建議從 數軸上的點與實數一一對應出發引入復數a+bi.楊大淳等人（1957）給出了兩種引入復數的方法，一是用復數的發展史；二是把平面直角坐標系中的點，或以點P為終點，原點為始點的向量OP，用一對實數（a，b）來描述，并把這實數對叫做復數，復數（a，b）又可記為a+bi.嚴信一（1979）則提出從笛卡兒平面到高斯平面，導出復數概念的方法.

代數方面：許敏（2005）從二次，三次方程引入虛數.（陳躍2004，陳克勝2005）提出由實數與純虛數“復合”起來的“數”稱為復數.

二、復數概念的教學設計

教學目標：1.知識與技能；2.過程與方法.

教學重點：復數的概念，虛數單位i，復數的分類以及復數在實際生活中的應用

教學難點：虛數單位i的引進及復數的概念是本節課的教學難點，復數的概念是在引入虛數單位i并同時規定了它的兩條性質之后得到的.

學情分析：高中的學生在復數的概念以前，已經經歷了實數從N，Z，Q，R的擴充過程，對數系擴充的過程方法、注意事項有一定的了解，因此在介紹新知識之前，可以先回顧一下以前是如何進行擴充的，然后給出新的問題，為什么現在又要進行擴充.

教學過程：

1.知識回顧及問題提出

通過多媒體，借助圖片，展示數的概念是從實踐中產生和發展起來的.早在人類社會初期，由于計數的需要，就產生了1，2，3，4等數以及表示“沒有”的數0.自然數的全體構成自然數集N.

隨著生產和科學的發展，為了解決測量、分配中遇到的將某些量進行等分的問題，人們引進了分數；為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數的需要，人們又引進了負數.這樣就把數集擴充到有理數集Q.

通過多媒體展示無理數的由來，正是有了無理數，前面學的數就叫有理數.有理數集與無理數集合并在一起，構成實數集R.

因生產和科學發展的需要而逐步擴充，數集的每一次擴充，對數學學科本身來說，也解決了在原有數集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾.

2.復數的分類

3.復數集與其他數集之間的關系：NQRC.

4.兩個復數相等的定義

如果兩個復數的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數相等.

這就是說，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d.

復數相等的定義是求復數值，在復數集中解方程的重要依據一般地，兩個復數只能說相等或不相等，而不能比較大小.如3+5i與4+3i不能比較大小.

現有一個命題：“任何兩個復數都不能比較大小”對嗎？不對，如果兩個復數都是實數，就可以比較大小，只有當兩個復數不全是實數時才不能比較大小.

三、教學反思

這節課我們學習了數系的擴充與復數的概念，需要同學們理解虛數單位i及它的兩條性質，復數的定義、實部、虛部及有關分類問題，復數相等的充要條件.

在實際教學中，如果單純地講解或介紹會顯得較為枯燥無味，學生不易接受，我們采用講解或體驗已學過的數集的擴充的歷史，讓學生體會到數集的擴充是生產實踐的需要，也是數學學科自身發展的需要；介紹數的概念的發展過程，使學生對數的形成、發展的歷史和規律，各種數集中之間的關系有著比較清晰、完整的認識.從而讓學生積極主動地建構虛數的概念、復數的概念、復數的分類.

本文的設計還存在不足的地方，希望大家多提意見，使之不斷完善.

【參考文獻】

[1]曹建華.中學生對復數的認知過程――一項個案研究[D].華東師范大學碩士學位，2003（中國知網）.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社.2003.

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本學期，我們學校開展對外交流課，我有幸作為數學組的成員參與了我校一位同事一次一次的試教，一次一次的反思，一次一次的更改，一次一次的收獲這樣的一個磨課過程。課堂應是師生共同創造奇跡，喚醒各自潛能的時空，離開學生的主體活動，這個時空就會破碎。磨課的課堂就是一個供大家研究的大舞臺，讓大家研究如何喚醒師生的潛能，由初始的平淡無奇到后來的精彩紛呈，這是一個蝶變新生的過程。磨課教師從中體驗完美課堂歷練過程，在一次一次的教學實踐中不斷提升自己，同伴們也從中獲得新的發現和啟迪。從而在自己的課堂上成為學生的引領者，發揮學生的主體作用。

二、案例呈現——痛苦的三次磨課

孟老師上的課題是復數的概念，是一次概念課，試上的第一個班級是2010級的一個高職班，基礎還是比較扎實，學生的基本功還是不錯。第二個班級也是2010級的一個中職班，相對而言，基礎要差點，第三個班級是2009級的一個中技班（之前未學過此課題），學生也比較活躍。這里重點說說三次得出復數概念的過程以及反復斟酌、修改、提升的過程。

第一次教學，孟老師利用精美的多媒體課件從數的擴充開始引入（時間比較長），順理成章地過渡到如何解方程x2+1=0，由我們以前的知識，在實數范圍內是沒有解的，從而要引入一種新的數來解決這個問題，由此我們就規定一個新的數——虛數，單位i，并且規定了它的一些運算，接著給出一些形如5-i，2i，-3+4i，■+5i，3等一些數，讓學生利用合情推理歸納出這些數的特征，把這些數就叫做復數，并且給出復數的實部和虛部，然后在復數中再去討論什么時候是虛數，什么時候是實數，從而給出分類。組內的教師對這部分進行討論，指出孟老師自己傳授的時間比較多，雖然流程也比較順暢，但是學生的主動性不夠。提出的建議是是否可以把概念從學生原有的認知水平出發，讓學生自己來給出概念和分類。

第二次教學，孟老師先利用專業課中正弦交流電的產生，從學生已有的知識引入，在實際生活中，存在著大家沒有學習過的數。數的擴充雖然也利用了多媒體，但是比較簡潔，不再那么冗長，而且讓學生舉出一些學過的自然數、整數、有理數、無理數，尤其是在無理數中，特別提出e，π這類用字母表示的無理數，這樣在下面給出虛數單位i的時候不會非常唐突。然后提出問題：如何解方程x2+1=0，非常自然地給出虛數單位。接著給出一系列數5-i，2i，

-3+4i，■+5i，3，0（比第一次多了0），讓學生小組討論進行分類，并說出分類的理由。學生第一眼就可以找出3和0，這是熟悉的實數，剩下的為另一類，教師此時適時地引導，另外一類是否可以細分，再由特殊到一般，把虛數、純虛數的形式歸納，這里都是多媒體做好的，一點點呈現。不過，此時問題出現了，學生的回答并沒有按照老師預期的順序出來，所以有點牽強。課后，大家一致討論，這一節課比前一節課有新的突破。如，引入內容與學生所學的專業相關，可以讓學生覺得數學是源于生活的，師生的關系非常融洽，尤其教師用具有感染力的語言來調動學生的興趣，學生的學習積極性相當高，特別在討論歸納部分，學生的情緒高漲，說話的欲望比較強烈。我們認為，如果討論的過程不用多媒體做好，而是教師與學生一起互動，在黑板上把這個過程板演下來的話，效果會更好。在一些細節的處理上還有一些疏忽，而且在每一次的語言操練上遞進性不夠，過渡語言還要加強。

第三次改進部分：孟老師正式開課那天，在對復數的分類這部分處理得更加好了，提前做了數的小卡片，讓學生自己貼上去，然后說出理由，更棒的是，教師根據現場學生的互動，按照學生的順序把復數進行了分類，使學生主動發揮，師生的互動操作恰到好處。課堂環節有條不紊，層層推進，學生的學習積極性得到充分的調動，課堂氣氛活躍，重點和難點得到了有效的突破。

三、案例反思

（一）教學設計的“磨”，更好地調動了學生的情緒和學習主動性

教學設計是我們實踐的藍本，它的優良決定著課堂教學的效果。因此，教學設計的優劣尤為重要。在本次磨課中，參演教師理念上以行為理論為指導，教學設計將教學傳遞的設計、學習環境的設計與學習行為的設計整合在一起，構建了一個完整的、全新的教學理論框架。在對概念的處理上反復推敲，幾經斟酌，深入到每一個細節，對如何調動學生的積極性，如何處理教材等進行反復修改。在學生的學習能夠順利進行時，就給予肯定、贊賞，同時試著提供新的任務。如果學生的學習遇到困難，就提供適時有效的幫助，讓學生通過自己的努力獲得新知，解決問題，從而使學生的學習情緒高漲，學習主動性得以發揮。

（二）濃厚的磨課氛圍，提升了教師的勇氣和自信

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【論文摘要】 提高數學教學質量，就必須激發學習內驅力，充分發揮學生的主體作用，引導學生主動參與數學教學活動，在教學中我從以下幾個方面展開嘗試：讓學生充分感受數學美；在數學教學中充分展示數學思維過程；增強數學教學語言的吸引力；給數學后進生更多關照等。

學生是教學的主體，學習的主人，教學的成敗主要看學生的反映。這就要求教師在教學時，要能根據知識的內在結構和學生的學習規律，提供現象和問題，創設思維情境，引導學生主動參與，進行觀察、思考、探索。但是，學生的主動參與一般不是自發的，要靠老師為他們提供條件，喚起他們的覺悟，在教學中我主要從以下幾個方面展開嘗試。

一、讓學生充分感受數學美

數學美是客觀存在的。從內容上來看，可分為結構美、方法美等。從形式來看上，可以分為形態美與神秘美等。基本特征表現為：簡潔性、對稱性、統一性、奇異性、思辨性，數學美與藝術美在審美意識上是有區別，數學美是一種理性美，是觀念美，是一種理性的折光。藝術美在審美意識上是借助與物質形式表現出美的感性形象，這種美不依賴于人的意識活動，但可以被意識活動所反映。

數學中的美不同于一般的自然美、藝術美，因而有時不被人們理解接受。許多人因為在學校里的數學學習遭受挫折，加之有的數學教師對數學難學擴大化的宣傳，在他們的記憶中數學是枯燥的符號和令人頭痛的定理的證明，回憶中只有失敗與挫折，與“美”無緣，形成了一個錯誤的數學觀。這是在數學學習中沒有體會到美的結果。應試教育以考試成績論英雄，教學過程中對應試無關的內容就毫不客氣地放棄，課堂中體會不到數學中美的思想、美的方法，學生整天忙于做習題，沒有時間體驗數學中的美，有朝一日，當學生不需要學習數學時，他們就異常高興，終于脫離苦海了，因此有人認為除了在學校，其他地方簡直不需要用到數學，數學實際上沒有任何的實用價值，那就成為理所應當的事了。改變數學在公眾中的形象，提高數學教育的實際效果，讓數學真正成為人們生活中不可缺少的一部分，讓學生體驗到數學教育中的美是必不可少的。

二、數學教學過程中要充分展示數學思維過程

一個數學概念的形成有其原型模式和歷史背景，要努力解釋概念的抽象、概括過程，抓住問題本質特征。如復數的引入，就是解諸如x2+1=0的方程的需要。解釋這些歷史背景，有利于學生對復數的正確認識，有利于建立復數概念。

教無定法，貴在得法。學生在遇到一個新的問題時，他的第一感知就是要對題目的信息進行分析，然后和自己的知識儲備進行比對，尋找共同點和差異處，然后再選擇適宜的解題方法。我們教師要特別重視課本中例題、習題中的典型題，善于對其進行變式訓練，遵循“依照課本例（習）題，從點到面”的原則。在創新意識的指導下，努力搜索與問題相關的知識，全方位，多角度地看待問題。要努力探尋與其它知識之間的邏輯聯系，挖掘其新的意義，新的作用。尤其要對一些典型題，要想一想是否有其它新的解法，是否有更簡捷的解法，代數問題能否用幾何方法來解，能否建立數學模型等等；在開放題的求解過程中，不僅要重視解法的多樣性，答案的不唯一性，更要重視方法及解答過程的比較與鑒別，在比較與鑒別中復習所運用的數學思想方法，所涉及運用到的知識、技能。

數學反思性學習的過程，可從以下幾個方面進行：首先，要反思所學習的知識，技能。例如本節、本章涉及哪些知識，自己是否已達到所要求的程度；其次，反思所蘊涵的數學思想方法。中學數學中蘊涵著豐富的數學思想與方法。在復習過程中，反思一下課堂中涉及到了哪些數學思想方法，這些數學思想方法是如何運用的，運用過程中有什么特點，這樣的思想方法是否在其他情況下運用過，現在的運用與過去的運用有何聯系和差異，有無規律；再次，反思基本問題（包括基本圖形，基本圖象，基本等式等），典型問題，弄清楚本節、本章有哪些基本問題，哪些典型問題，平時碰到的問題中有哪些問題可歸結為這些問題等；最后，要反思自己在學習過程中出現的失誤，避免在以后的學習過程中繼續出錯。

三、增強數學教學語言的吸引力

語言是傳遞教學信息的工具，只有讓學生聽的清楚、容易理解、具有吸引力，學生才會產生興趣，我們的教學才會吸引學生的主動參與。所以，作為教師要仔細琢磨教學語言的特色，不斷修煉，提高語言藝術。從吸引學生參與的角度來說， 幽默故事或語言是不錯的選擇，但要注意選取是根據教學內容實際自己編制一個有趣味的、具有現實意義的，和社會流行的話題有關的，能夠激發學生興趣的故事情節。從而激發他們對本節課的教學內容充滿幻想和渴望，急切想一探究竟的心理。運用語言幽默，要有豐富的想象力。幽默不是可有可無的東西，它是課堂教學的興奮劑，它不是油腔滑調的俏皮，它是智慧閃耀的火花。凡是善于幽默者，多是思維敏捷、聯想豐富的人。教學幽默，說到底是為了教學服務的，是讓學生在歡樂輕松的氛圍中更好的理解和運用物數學知識。所以教師在運用教學幽默語言時要牢記這一點，要真誠善意的運用教學幽默，切不可流于低俗。教學幽默能把教學內容具體化、形象化，這樣有助于學生理解知識；教學幽默是教師智慧和自信心的表現，因此教學幽默常常富于啟發性，學生只有通過積極的思考和想象才能會意，這樣就能加深學生對教材內容的理解；教學幽默以學生喜聞樂見的形式出現，易于學生鞏固知識。

總之，在任何時候，任何地方，任何情況下，我們都應該以寬廣的胸懷和滿腔熱情，去喚起學生參與到學習中來，并為他們的參與創造條件，而不能有任何冷漠，甚至排斥、打擊的想法和做法。

【參考文獻】

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關鍵詞：概念教學；習題教學；變通與共性；單元練習評講

“文似看山不喜平”，自古以來文章大家都這么說，這是因為精美的文章往往讓讀者一詠三嘆，詠的是文章的形式和直觀內容，嘆的是文字背后的意味. 好的文章曲折回環，引人思考，是需要讀者步步用心去審美，去感受，最終共鳴而內化為讀者的自我精神世界的一部分；高中數學課堂教學也是如此，一堂好的數學課，不是讓學生一覽無余的知識的簡單呈現紀錄片，也不是單調乏味的重復練習，而是在探究數學知識、體驗數學方法、領悟數學思想的過程中，師生永生難忘、共同度過的美好時光. 數學學習的內容的豐富、方法的精妙、思想的深邃注定了高中數學教學不可能是簡單的線性結構. 高中數學課堂教學需要“一詠三嘆”，教師的教學創新就體現在跌宕起伏的教學節奏安排中.筆者觀覽了一些成功的數學課堂教學展示，反思了自己數年來的教學經歷，在以下幾個方面有所悟，以膳同仁.

[?] 在新課教學中“詠概念之創新，嘆概念之內涵和外延”

幾位諾貝爾經濟學獎獲得者曾經這樣評論過：“科技飛速發展的今天，任何一門學科成熟的標志就是數學在該學科運用的程度”. 數學的概念是概括、抽象了大量達到現實生活中的數量關系之后產生的，但一經產生便反過來可以在更廣闊的領域顯示出它的普適性. 高中數學的主要內容必須借助于一系列的概念闡述，概念的學習是高中數學必不可少的基礎工程. 但是，從高中數學新課標的角度審視，許多數學教師的課堂教學只注重教師向學生進行的單向性信息輸出，在概念教學中認為概念的學習就是讓學生知道“某個概念說的是什么”. 這實際上僅僅是對概念的內涵進行了簡單介紹，其實把概念作為教學的素材，其中可以挖掘的教學價值很多.

任何一個概念的出現都不是可有可無的，它一定有某種“需要”，一定是因為原有的概念體系 “不夠用”，需要一個“新概念”，因此，數學課堂教學中概念教學不妨從概念的創新之處入手，緊緊扣住“為什么會出現這個概念”，然后才是“這個概念究竟該是怎么個說法才能滿足需要”，“建立的概念，它包括哪些數學對象”，也就是“詠概念之創新，嘆概念之內涵和外延”. 例如，關于“加減乘除……”等各種運算概念的學習，其實很關鍵的是在課堂教學中讓學生理解某種運算究竟新奇在何處. 筆者聽過一節數學公開課“向量的數量積”，教師在課堂教學中，通過物理學中學過的力學“功”等實例，說明向量還可以進行一種類似力學功這樣的運算，即“數量積”. 這要比直接介紹“數量積”定義進行教學更具有數學教學價值.

再如，關于“數”的概念的教學，這是所有數學教師都知道的教學內容. 但是，多年來相當多的教師一直把“數”的概念的教學等同于介紹“自然數、整數、分數、小數、有理數、無理數、實數、復數……”的定義，在課堂教學中只見對于學生進行數學知識的介紹，缺少引領學生進行數學知識獲得的體驗，對于這些數的概念，學生充其量只會根據文字意義做一些判斷與機械性練習. 其實這兒教師不妨抓住每個“數”概念的創新：從自然數、整數、分數、小數、有理數、無理數、實數到復數，每一次新概念的擴充，主要是兩種情況，一是描寫對象的范圍大了，這主要體現在從自然數、整數、分數、小數、有理數的這幾次數的概念的擴充；二是描寫的數學關系范圍擴大，從有理數到無理數的擴充體現了方程對應的數量關系除了有理運算關系，還應該包含無理運算關系，從實數到復數體現了一維數量關系到二維數量關系的飛躍. 在設計課堂教學流程時，緊緊抓住概念的創新之處，從引入數學和生活中的實例入手，指導學生思考、討論，最后體會到新概念的建立是“應運而生”的，從中體會數學家們在“創造”新概念的過程中，創新思維是如何展開的. 不僅如此，還應在后續教學中，讓學生自己自主學習概念的內涵，徹底搞清概念“究竟說的是什么”，引入大量的數學實例，讓學生討論，學會運用新概念判斷、推理，體會新概念的數學價值，并將其融入自己的概念體系中.

[?] 習題教學中“詠基本方法，嘆方法之變通與共性”

[?] 單元練習評講中“詠命題之立意，嘆問題之聯系”

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教后反思，就是教師對自己教學過程中每個環節的工作進行重新認識，是一種高層次和高水平的思考，是教師提高自身素質和實施素質教育的重要保證。古人云：“教然后知困，知困難后能自強也。”就是這個道理。筆者認為，教后反思應從四個方面考慮，那就是：思得、思失、思效、思改。

第一，思得。這是對課堂教學效果而進行的思考，一節課結束后，學生得到了什么？教師受到了什么啟發。

在課堂教學過程中，教師一方面要根據教案施教，另一方面還要根據課堂教學的實際隨時調整教學內容。例如：為講解重點和突破難點而臨時選用更具有典型性的例句，為培養學生的某種能力而臨時變換教法，對于這些調整，我們都應在課后認真思考，反復推敲，并記載下來，作為日后教學工作的寶貴借鑒。例如，有一次，我請一位學生歸納，不同人稱正確使用is、am、are的用法，他念了一段順口溜：“我用am；你用are；is跟著他她它；復數后面用什么，統統都是一個are。”這段順口溜讀起來朗朗上口，學生容易牢記，成了我日后教is、am、are用法區別的借鑒，我后來教得學生都能被這段順口溜，而且對is、am、are的用法都掌握得很好。再如，有一次，講look for 與find，listen to 與hear兩組詞的區別時，正巧有一個學生在前天晚上丟了一支鋼筆，上課注意力不集中，我馬上把例句做了臨時調整。我對全班學生說這樣幾句話：I’m sorry to hear a piece of bad news. Xiao Dong los’t his pen last night （He has looked for it every where but he coundn’t find it. And now he is listening to me but he may not hear me deary.）becouse he is a little sad.接著，我把上面括號里的句子寫在黑板上，同學們一看就心神領會了。

第二，思失。這是針對課堂教學效果及作業完成情況而進行的思考。一節課后教師的教學工作在哪方面做得不夠理想？從一次作業中我們發現學生在哪些方面有缺漏？

我們的教學對象是一群在心理上和生理上都不盡相同的，知識水平和理解能力各異的學生，即使我們理解了教學大綱的精神，熟悉了教材，精心準備了教案，我們的構思和設計與實際教學過程總會有不相適應的地方，如在教材的處理，板書的采用等方面，課后都會讓我們感到有不盡人意之處，甚至會留下某種遺憾，這就是我們教學工作的缺漏。對此，我們要認真思考，仔細分析和及時補救，并采取有效措施，確保以后不犯相同或類似的錯誤。

我第一次教授句型“so+助動詞+主語”時在課堂上學生表現得相當活躍，看上去似乎掌握得不錯，但在課后作業里卻出現了不少錯誤現象。

1. He offten does her homework at home and so does I. （亂用助動詞）

2. She played basketball yertrday and so do you. （時態不一致）

3. I will go to the farm tomorrow and so does he. （時態不一致）

針對這些錯誤，我認真思考，找出了自己教學上的問題，并立即作了補救，再次教授“so+助動詞+主語”時，我幫助學生作了如下歸納：一個前提，三個條件，一個前提指的是“陳述部分要表示肯定的概念，三個條件指的是時態，陳述部分助動詞時態一致，人稱（主語）、助動詞。三者緊密聯系缺一不可。”

例：People in England eat a lot of vegetables and so do we.前提：陳述部分表示肯定的概念即“英國人吃許多蔬菜”。

條件1：一般現在時。

條件2：第一人稱復數（we）。

條件3：助動詞（do）

例2：Ann felt very happy and so did I.

前提：陳述部分表示肯定的概念即“安妮感到很高興。”

條件1：一般過去時。

條件2：第一人稱單數（I）

條件3：助動詞（did）

通過這樣講解，能有效地幫助學生避免亂用助動詞，時態不一致的現象。

第三，思效。這是針對課后作業，個別輔導或檢測考試而進行的思考。了解某一階段的教學工作是否達到了預期效果，分析在這一階段里學生對哪些基礎知識和基本技能掌握得好，哪些掌握得差；對于同一類知識，哪些學會了，哪些學生還弄不明白等。對于從學生方面反饋回來的信息，我們都要進行全面的分析，認真思考自己教學的實際效果，即哪些工作做好了，哪些工作還有待改進。

我第一次講解如何選擇感嘆句的感嘆詞時，其中有這樣兩個例句：

1. good boys they are！

A.What B. How C.What a D. How a （答案為A）

2. delicious the food is！

A. How a B. What C. What a D. How （答案為D）

例1不少的學生選擇B，例2不少的學生選擇B，我認真思考和分析從學生方面反饋回來的信息，找到了自己教學工作的不足。因為，能有定冠詞the來修飾，而How引導的感嘆詞所修飾的形容詞或副詞，其后主語如果是名詞要加定冠詞“the“。導致學生兩者混淆起來。

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數學能力是一種個性心理品質，它對數學活動的進程方式起著直接的、穩定的調節作用，數學能力是數學素質在數學活動中的外化，高考考查的數學能力主要包括空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解、數據處理等能力，其中運算求解能力的考查要求是：能夠根據法則、公式進行運算及變形；能夠根據問題的條件與目標尋找與設計合理簡捷的運算途徑；能夠根據要求對數據進行估計和近似計算。

1. 高中階段常見運算形式：

（1） 復數的四則運算

（2） 代數式的運算

（3） 冪、指、對數運算

（4） 三角運算

（5） 向量運算

（6） 導數運算

（7） 極限運算

（8） 方程與不等式運算

（9） 抽象運算

2 當前運算能力培養的現狀

（1） 初中課程改革弱化了運算能力要求。

（十字相乘法等乘法公式、因式分解、代數恒等變形、韋達定理、比例、平面幾何……刪減）

（2） 計算器的廣泛使用削弱了運算意識和技能。

（3） 高中數學教學突出了知識模塊，弱化了運算教學，淡化了運算訓練意識，沒有補上初中去掉而高考又必考的一些運算內容，江蘇省高中數學教學要求和教學參考書如蘇教版教學參考書（必修2）第2章平面解析幾何初步提及本章教育目標8，在知識和概念的形成過程中，培養學生的合情推理能力，數學交流能力，探索能力和邏輯思維能力，唯獨不強調運算求解能力；而在選修11、21圓錐曲線一章也同樣只字不提運算求解能力，導致部分教師在實際教學中重視知識教學和解題思想、方法，輕視運算過程，自己鉆研解題不夠，對解題過程中的運算算理、算法不甚了解，無法有效、高效地指導學生。

（4） 學生不明算理，學習了算法不會應用，機械套用運算公式，不顧運算目標，進行盲目的推理演算，運算過程中缺乏選擇合理、簡捷的運算途徑的意識，運算過程繁瑣，錯誤率高，對運算求解能力的內涵缺乏科學認識，誤以為是“馬虎”、“粗心”造成運算錯誤，平時復習解題認為“只要方法對，做錯了不要緊”。主要問題有：

① 概念模糊不清，學生容易因概念模糊導致運算失誤。

② 公式、性質記憶不準確，不會對公式、定理進行反向代換和等價變形。

③ 數據處理能力（計算、排序、篩選、分類討論等）差.

④ 數學語言不過關，導致閱讀習慣差，閱讀能力差，運算無從下手.

⑤ 代數恒等變形常規方法不熟練.

⑥ 識別、駕馭圖表的能力差.

⑦ 算法意識差，算理不清，對運算問題缺乏檢驗、反思、總結的意識.

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[關鍵詞]新課程標準 高中學生 數學思維 能力培養

《高中數學課程標準》在培養目標第二條中明確指出：“提高空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解、數據處理等基本能力。”這里所指的也就是學生的數學思維能力。如果學生有了一定的數學思維方法和能力，不僅能夠很好地完成學業，還會終身受益。所以，數學教師在教學中要盡量為學生科學地組織好思維材料，為他們的探索提供橋梁和階梯。

（一）分析概念，揭示本質，為思維打好基礎

概念教學的關鍵步驟是揭示其本質特征。概念的本質特征指的是它反映一事物區別于他事物的主要之點。在學習概念時，學生常會出現兩種傾向，或是不顧概念成因而孤立地記住定義，即死背；或是在豐富的感性材料面前陷入困境，找不出主線來，即缺乏思維能力。因此，教師要引導學生在概念的正面辨析和反面類比上下功夫。

1.正面辨析。在給學生提供大量感性材料的時候，筆者就有意識地作好鋪墊，讓他們的感性認識自然地向理性認識過渡，通過反復討論，歸納出概念的本質特征。比如數學上的“排列”概念，生活中存在大量學生熟知的例子，如排隊、通信、選代表等。教師可以由此入手，進而啟發學生探討排列定義中的“順序”兩字的含義，知道“順序”不僅是指通常意義上的排列次序，還可以廣義地理解為“兩種取法產生兩種結果”。由此，學生便可以理解“兩兩通信”、“班干部的不同分工”等排列問題與“順序”有關，而“兩兩通電話”、“兩兩球隊賽球”與順序無關，不是排列問題。這樣也為組合概念的引入伏下了一筆。

2.反面比較。比較是一種重要的思維形式，大綱中明確指出：“對于容易產生混淆的概念，要引導學生用對比方法認識它們之間的區別和聯系。”例如，在關于復數概念的三角表示法的教學中，可用如下一組題目來幫助學生獲取正確形式：求以下復數三角式的幅角主值：①Z=4(cos -isin )②Z=-2(cos +isin )③Z=4(sin +icos )。學生在解題過程中常常會誤以為幅角主值是 。通過對各種錯誤的辨析，學生領悟到復數三角式r(cos?茲+isin?茲)的特征是：①r>0；②實、虛部分別由rcos?茲和rsin?茲組成；③中間以加號連接。由此回溯復數三角形式的來源，就獲得了對這一概念的完整認識。

（二）給概念下定義，為學生的思維“點睛”

給概念下定義，就是用簡練的語言表述概念所反映的事物的本質特征。概念的定義揭示了該概念的內涵，而使用的語言又是極精練的。要求學生正確、完整地領會并用言語表述定義，不僅有助于他們對概念的記憶，更能培養他們思維的嚴密性和精確性。例如，在教等差數列的時候，先讓學生自學等差數列的定義，然后要學生按定義證明一個五項數列為等差數列。有些學生由a3-a2=a2-a1迫不及待地作出了肯定的結論。這從邏輯上來說，是犯了以偏概全的錯誤；從定義上說，是由于學生沒有仔細領會其中“每一項”三個字的含義。于是筆者將這三個字寫在黑板上，有意引起學生的注意，然后再讓學生證明一遍。經過這樣一個反復認識的過程，學生對等差數列的定義有了深刻的印象。

（三）探索解題思路，培養思維能力

解題是數學教學的一個基本形式，高中學生一般也比較喜愛。但他們對題目往往是不加選擇，拿來就做，做后就丟，題目一改頭換面又得重新思考。教師可從學生的實際水平出發，不斷向學生提出一些比較新穎的、典型的，同時又是他們通過獨立思考可以解決的題目，引導他們去探索思考的方法。一單元結束后，還要求學生寫單元小結，小結中要求最后一部分是“本單元的主要思想方法”，這是鍛煉學生思維性思維的一項“基本訓練”。通常可以采用以下幾類題目和解法來幫助學生探索思路。

1.難題淺解。“難題”是個相對的概念。一般來說，它總是指一些綜合性較強、抽象性較高的題目。這類題目思維容量十分豐富，如果教師啟發得法的話，它們可以成為訓練學生思維力的很好材料。1981年高考數學試卷中的一道附加題就是一例。此題解法不少，但有些思路太奇特，學生不容易想得到。于是筆者就采用從特殊到一般這一容易為學生接受的思想方法來啟發學生。我們知道，不完全歸納法不能代替證明，但可以從中找到證明一般形式的雛形。

[例1]已知：以AB為直徑的半圓內有一個內接正方形CDEF(見圖1)，其邊長為1，AD=a，BD=b，u1=a-b，u2=a2-ab+b2，u3=a3-a2b+ab2-b3…，uk=ak-ak-1b+ak-2b2-…+(-1)kbk。

求證：un= un-1+ un-2（n>2）。

分析：不少學生一上來就想從un-1，un-2表達式相加得un，結果由于字母繁復而迷失了方向。

引導學生由證明u3= u2+u1(即n=3時) 成立來找到解題的思路。學生發現，由于a的最高次冪不等，不能直接看出上述關系式成立的原因。等式要成立，b間一定有某種關系。于是從圖中找得a-b=1，ab=1，這個“1”乘上去不影響結果。

有學生就嘗試u2乘(a-b)向u3靠近，發現u2(a-b)=(a2-ab+b2)(a-b)=a3-a2b+ab2-b3-a2b+ab2=u3-abu1，即得u3=(a-b)u2+abu1=u+u1。遵循上述思路，展開此式可得：un=(a-b)un-1+abun-2=un-1+un-2。學生由此得到啟示，解難題一定要找到正確的思考規律，才能做到“深入淺出”。

2.妙題巧解。這類題目難度并不高，但思路巧妙。教材中有這樣一道習題：“4個男同學和3個女同學排成一隊，如果女同學不能排在一起，有多少種排法？”這道題目要考慮的方面很多，“女同學不能排在一起”這個條件表明不能有兩個女同學相鄰。解這個題目，學生習慣于走“大路”，采用列舉法，通過一一列舉，可以算得1440的結果。但由于計算過程繁復，不少人失敗了。此時再提出新問題：若是男同學改為m個，女同學改為n個（m>n）, 該怎么考慮呢？問題上升為一般形式，列舉方法已無能為力，得另辟蹊徑。然后啟發學生從計算結果的形式中找找方法。有的同學把計算結果變形后，得到A44×A35―― 喔!A44可以看作男同學的位置排法，那么A35怎么理解呢？在肯定了學生的可貴發現后，筆者進一步啟發他們：“排列問題關鍵在于選擇適當的位置，大家可以為女同學找找符合條件的位置，看能否與A35掛上鉤？”一會兒，有的同學巧妙地得到了這個位置：?男?男?男?男?，四個男同學隔出五個空隙，排上女同學，則女同學一定不會相鄰。這是五個位置中取三個的排列，也就是A35的意義。這種方法我們不妨形象地稱它為“插入法”。據此，學生們馬上把結論推廣到m個男生和n個女生的一般情況，就是Anm+1Amm（m個人中間有m+1個空隙）。

參考文獻：

[1]何江衛.新課程標準理念下的教學反思[J].中學數學教學參考,2004,(2).

[2]王良成.面向21世紀中學數學教育改革[J].川東學刊,2003,(10).

[3]趙育建,戴林源.高中數學課堂教學改革新理念[J].中學數學教學參考,2005,(2).

篇8

摘要：基于高中數學新課程理念，本文對數學概念教學策略進行了有益的探索，體現了以學生為主體、教師為主導、問題為主線的教學思想．

關鍵詞：概念教學；探究

數學概念是揭示現實世界空間關系與數量關系的思維形式． 數學概念的形成是一個歸納、概括、抽象的過程． 因此，概念學習及教學應該是一個探究的過程．

正如《普通高中數學課程標準（實驗）》指出：有效的數學學習活動不能單純依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探究與合作交流才是學生學習數學的重要方式． 數學教學必須改善教學方式，為學生營造多樣化、開放式的學習環境，使學生逐漸形成主動參與探究的狀態． 因此，數學概念的教學不在于教師把數學概念講得如何透徹，更不是把概念硬塞給學生，而是要根據學生已掌握的知識去啟發、指導和鼓勵學生主動去探索問題，在探究活動中學習概念．

[⇩]創設問題情境，激發探究

愛因斯坦說過, 源于興趣的動力是無窮的，問題是激發學生興趣的心理動力；思維經常從問題開始，問題是激發學生求知欲，產生學習興趣的內在動力． 不管在生活中還是在學習中，問題都能引起學生的興趣，激發學生的探究熱情．

例如，“等比數列”概念教學中，教師創設如下有趣的情境：阿基里斯（古希臘神話中的善跑英雄）和烏龜賽跑，烏龜在前方1里處，阿基里斯的速度是烏龜的10倍． 當他追到1里處時，烏龜前進了0.1里；當他追到0.1里處，烏龜前進了0.01里；當他追到0.01里處，烏龜又前進了0.001里……接著給出三個問題：

問題1分別寫出相同的各段時間里阿基里斯和烏龜各自所行的路程.

問題2阿基里斯能否追上烏龜？

問題3觀察這兩個數列，它們有什么共同特點？

由于問題情境趣味生動，學生興趣十分濃厚，很快就進入了主動探究的學習狀態，得出了等比數列的概念．

又如，“復數”概念可以從“如何表示方程x2+1=0的解”引入． 如果數軸上數a的對應點記為A，那么a乘以－1的幾何意義是什么？如果將點A繞原點旋轉90°能否也通過乘以某一個數來實現？由問題激起學生的內在需求，然后引入復數概念．

[⇩]經歷構建過程，體驗探究

現代數學教育觀認為，數學概念既是數學思維的基礎，又是數學思維的結果，數學概念形成或產生之前，往往存在著生動活潑的思維過程．因此在數學課堂教學過程中，教師要重視揭示概念產生的背景，展示概念的“再創造”過程，讓學生親自去探究、體驗、經歷這個過程，使學生領悟概念形成過程中所蘊涵的思想方法，體驗探究的樂趣．

例如，在“二面角的平面角”的定義教學中，讓學生先觀察二面角α－l－β與二面角α－l－γ（如圖1），學生不難發現它們的大小不同，自然想到二面角的度量問題. 再通過回顧異面直線所成的角、斜線和平面所成角的定義，形成用平面角去度量空間角的觀念．

經過這種類比聯想，產生用平面角∠AOB度量二面角α－l－β的大小的意向后，接著引導學生思考：

當點O放在棱l上，邊OA，OB分別放在面α和β內時，對點O，邊OA，OB的位置放置有什么要求，可以任意放嗎？

學生通過探究發現：只有當OAl，OBl時，∠AOB才是最小的，并且∠AOB的大小與點O在棱l上的位置無關． 經此背景揭示了二面角的平面角形成過程，再由學生抽象、概括出二面角的平面角的定義就水到渠成了． 學生由于經歷了定義的構建過程，對二面角的平面角定義理解就透徹了．

[β][α][l][γ]

圖1

[⇩]自主動手操作，促進探究

動手操作是學生直接參與教學活動，獲取感性認識的主要途徑． 它是思維的起點，認知的來源，也是認識事物的開端． 新課程理念倡導動手操作的學習方式，以此來培養學生勇于探索和自主學習的能力． 因此，教師在課堂教學中，應為學生創設動手操作的條件與機會，使學生在動手操作中獲取對抽象概念的感性認識，進而通過加工、整理上升為理性認識，促進學生的主動探究．

例如，“橢圓的定義”教學中，課前要求全班每兩個學生為一組，準備兩枚圖釘、一條細線、一張白紙、一支鉛筆． 課堂上請各組同學按以下程序操作并思考和記錄．

（1）取長度為2a的細線，在細線兩端系上圖釘并釘在鋪有白紙的桌面上兩點F1，F2處，這兩點的選取滿足F1F2

（2）用鉛筆尖拉緊細線，并轉動一周，畫出一個橢圓；

（3）改變細線長度，使2a=F1F2，重新操作（2），得到什么結論？

（4）改變細線長度，使2a

根據（1）～（4）的操作，討論橢圓的定義． 像這樣，學生經歷了實驗操作、合作討論后，對橢圓的定義的實質就會掌握得比較扎實，不會出現忽略橢圓定義中的定長應大于兩定點之間的距離的錯誤．

[⇩]科學合理練習，深化探究

許多數學概念本身具有二重性, 既表現為一種過程操作, 又表現為對象結構. 作為一種操作實踐的練習是達到理解數學概念的必要步驟. 更重要的是，一定量的練習為學生提供了反思和感悟的可能， 而這種反思和感悟是學生深入理解概念所不可或缺的. 但練習的功效又不能一味夸大，我們必須反對那種盲目的、機械的、企圖畢其功于一役式的練習，而要根據認知規律科學合理地進行練習，并在練習中深化探究．

1. 旁敲側擊式

為了讓學生深刻理解“必要條件”的概念，可以讓學生做如下一道題：若函數f（x）＝+a是奇函數，求a的值. 學生通常會根據奇函數的充要條件f（－x）=－f（x）得到a=－. 教師可以引導學生思考：f（x）定義域中有0嗎？由f（x）為奇函數可以得到什么結論？學生發現利用f（x）為奇函數的必要條件f（0）=0能很快得到a=－，教師提醒此時仍需驗證f（x）為奇函數. 不直接正面敘述“必要條件”，而是在解題中，從一個側面揭示概念的重要性，讓學生在對兩種解法的比較中加深對“必要條件”概念的印象.

2. 反面突破式

對等比數列定義“從第2項起每一項與它的前一項的比等于同一常數”中的“同一常數”學生的理解往往浮于表面，只知道這個同一常數即等比數列的公比， 其值可正可負. 其實當公比為正數時數列各項必然同號， 當公比為負數時數列各項的符號必然是正負相間. 正面的講解學生印象不深刻，不妨讓學生做如下一道題：已知數列1，a2，a3，a4，4成等比數列，求a3的值． 通常會有學生不加考慮地得出答案為±2，教師問兩個答案都可以嗎？學生仔細思考后發現當a3=－2時，原數列構不成等比數列，答案只能是2. 針對學生的薄弱環節有目的地設計練習，通過對錯誤的糾正，讓學生從反面來突破概念.

3. 逐層推進式

在數學概念學習的不同階段提出不同要求，練習題的選擇要目標明確體現一定的層次感. 例如教學單調函數的概念.

第1步：先讓學生熟悉定義，因為單調性判定有明確的操作程序，為了完成概念由陳述性知識向程序性知識的轉化，教師應該明確函數單調性判定的步驟,在練習中選擇判斷函數單調性的題目.

第2步：因為任何一個定義的逆命題都是真命題，選擇需要應用單調函數性質解答的題目，逆向使用概念.

第3步：進一步靈活使用單調函數的性質解題，選擇有一定難度的綜合題.

第4步：選擇需要構造單調函數求解的問題，培養創造性思維.

這樣，通過由易到難，逐層推進的練習加深對數學概念的理解.

篇9

在高中數學一輪復習后期中，學生經過幾次月考，加之復習內容越來越多，題型綜合性越來越強，學生可能會產生憂慮和煩躁的情緒，這時如何穩定學生的情緒，幫助學生穩步提高這是我們急待解決的問題，這時復習仍然是以課本為主，在學習中應加強知識間的橫向聯系，在充分掌握每一章節基本理論的基礎上，結合自己以往解題的經驗，適當將規律性的知識加以提煉，形成自己的解題思路，是使學生穩步提高的關鍵。我僅就后期復習談幾點芻見。

1掌握好數學思想和方法，培養學生的創新意識

高中數學知識包括函數、不等式、數列、三角函數、復數、立體幾何、解析幾何等內容；數學思想包括數形結合、函數與方程思想、分類與討論和等價轉化等；數學方法包括待定系數法、換元法、數學歸納法、反證法、配方法等基本方法。只有理解和掌握數學基本知識、思想、方法，才能解決高中數學中的一些基本問題，而合理選擇和應用知識、思想、方法可以使問題解決得更迅速、順暢。教學中要適時恰當地對數學方法給予提煉和概括，讓學生有明確的印象。因此，教師的概括、分析是十分重要的。教師還要有意識地培養學生自我提煉、揣摩概括數學思想方法的能力，這樣才能把數學思想、方法的教學落在實處。

2培養學生的解題反思，提高學生的思維能力

新的數學教育理念認為：數學是過程，是活動，學數學就是做數學，就是去解決一個問題，獲得一種體驗，數學知識的學習和能力的培養很多都是通過解題過程來體現的，解題過程的反思，實際是解題學習的信息反饋調控階段，通過反思，有利于學生深層次的建構；通過反思，可以深化對問題的理解，優化思維過程，揭示問題本質，探索一般規律；通過反思，可以溝通知識間的相互聯系，從而促進知識的進化和遷移，產生新的發現，通過培養學生的解題反思，對提高學生的思維能力無疑有很大的幫助。對于一些數學思想方法蘊含豐富的題目，應從多方面啟發，引導學生反思題目的變形引申，克服學生孤立思考問題的習慣，使學生的思維向廣處聯想，向深處發展，達到由此及彼，觸類旁通，從而培養學生思維的深刻性。引導學生對題目進行“一題多變”，讓學生在思維過程中不受固定的范圍和方向的限制，充分發揮想象力，突破現有的知識圈，從一點向四面八方展開，由已知探索未知，形成一個堅固的知識網絡，這樣經過長期的反思，一方面能增強學生的創新意識和數學思維能力，另一方面有利于學生思維深刻性的培養。

3以開放型習題為載體，培養學生發散思維

所謂策略開放型習題，是指這類習題結論雖然是惟一的，但解決問題時有多種思維方法與途徑，反映到實際教學中就是人們常見的“一題多解”現象。高中學生由于年齡上的局限，雖然思維能力有了很大發展，但由于集中思維往往占據了主要地位，發散思維意識相對薄弱。“數學是一個有機的整體，它的各個部分之間存在概念的親緣關系。我們在學習每一分支時，注意了橫向聯系，把親緣關系結成一張網，就可覆蓋全部內容，使之融會貫通”，這里所說的橫向聯系，主要是靠一題多解來完成的。通過用不同的方法解決同一道數學題，既可以開拓解題思路，鞏固所學知識；又可激發學習數學的興趣和積極性，達到開發潛能，發展智力，提高能力的目的。從而培養分析問題和解決問題能力。

4突出重點，加大對主干知識的復習力度

高考突出的考查點是高中數學的主干知識，因此考生在復習中要加大對這些知識點的復習力度．從全國各地歷年的高考試題中可以發現，高考試題幾乎都是以函數、三角函數、數列、不等式、圓錐曲線、空間線面關系及其計算、概率統計這幾個主干知識點為中心展開的，高考命題體現“對重點知識的考查要保持較高的比例，并達到必要的深度”這一命題思想是永遠也不會改變的．同時也應該看到一些主干知識的變化，如立體幾何是高中數學重要的知識板塊，是高考中考查考生空間想象能力和邏輯思維能力的良好素材。立體幾何是傳統內容中變化最大的，應關注文科對空間向量的應用不作要求，而明確要求理科學生用空間向量解決問題。復習時應嚴格按照“課標”和“考綱”的要求，進行有針對性的訓練，應注意培養學生對空間幾何體的直觀認知能力和邏輯推理能力。再如解析幾何的考查內容和要求已發生了變化，如降低了對雙曲線的要求等，復習時應重視對其本質的認識，淡化對幾何圖形性質的技巧性處理，重視基礎知識的掌握，適當加強與向量、函數等知識的交叉融合。要把握好解析幾何的基本思想，將幾何問題轉化為代數問題，處理代數問題，分析代數結果的幾何含義，解決幾何問題，這種“數形結合的思想”應貫穿復習教學的始終。注意圓錐曲線與其他內容的結合，如與導數的結合、與向量的結合等，其中直線與圓的位置關系、直線與橢圓的位置關系及其相關的綜合問題等，這些主干知識的變化也直接對高考產生很大影響。

5注意運算能力的提高和答題的規范化的練習

高考對考生的能力考查是全方位的，但作為考生來說考試成功與否的很大因素是運算能力及答題是否規范，若答題不規范的不良習慣反映到了答卷之中，因此試卷中因邏輯缺陷、概念錯誤或缺少關鍵步驟等失分也就在所難免了。良好的習慣是日積月累形成的一種自然行為，因此考生在復習備考時千萬要注意對每道題目都要規范解答，始終把良好的復習習慣放在復習的每一個環節中。

6復習過程中要適當關注新課標新增加的內容

篇10

一、創設數學概念形成的問題情景的途徑

數學概念有些是由生產、生活實際問題中抽象出來的，有些是由數學自身的發展而產生的，許多數學概念源于生活實際，但又依賴已有的數學概念而產生。根據數學概念產生的方式及數學思維的一般方法，結合學生的認知特點，可以用下列幾種方法來創設數學概念形成的問題情景。

（一）回顧已有相似概念，創設類比發現的問題情景

中學數學中有許多概念具有相似的屬性，對于這些概念的教學，教師可先引導學生研究已學過的概念屬性，然后創設類比發現的問題情景，引導學生去發現，嘗試給新概念下定義，這樣新的概念容易在原有的認知結構中得以同化與構建。

例1異面直線的距離的教學

（1）展示概念背景：向學生指出：刻劃兩條異面直線的相對位置的一個幾何量——異面直線所成的角，這只能反映兩異面直線的傾斜程度，若要刻劃其遠近程度，需要用另一個量——異面直線之間的距離。

（2）創設類比發現的問題情景：先引導學生回顧一下過去學過的有關距離的概念（點與點間的距離、點到直線的距離、平行線之間的距離），并概括出它們的共同點：各種距離概念都歸結為點與點間的距離；每種距離都是確定的而且是最小的。

（3）啟迪發現階段：指出定義兩異面直線的距離也必須遵循上述原則，然后引導學生討論：異面直線a、b上哪兩點之間的距離最小？為什么？

進一步誘導：如右圖，過直線a上一點B作

AB直線b，垂足為點A，則線段AB的長為異面直線a,b間的距離,對嗎?因為過A作AC直線a，垂足為C，在RTΔABC中有AB>AC,即AB不具有最小性。再過C作CD直線b，如此下去…，線段只垂直于a、b中的一條時,總是某直角三角形的斜邊,不可能是a、b上任兩點間距離的最小者，那么，異面直線a、b上任兩點間距離的最小者到底應該是哪條線段的長呢？學生會發現：可能是與異面直線a、b都垂直相交的線段。

（4）表述論證階段：最后引導學生發現：異面直線a、b的公垂線段MN的長度具有最小性,又公垂線是唯一的，所以，可以把線段MN定義為異面直線a,b之間的距離。

以上通過引導學生研究已有“距離”概念的本質特點，即產生新的概念的“生長點”，以類比方法獲得異面直線距離的概念，學生覺得這一概念是已有距離概念的一種自然發展，不感到別扭。這樣的概念還有很多，如復數的模與實數的絕對值類比、二次方程與一次方程的類比、空間的二面角與平面的角類比等等。

這類數學概念形成的問題情景創設一定要抓住新舊概念的相似點，為新的數學概念的形成提供必要的“認知基礎”，通過與熟悉的概念類比（類比的形式多樣，如平面與空間的類比、高維與低維的類比、有限與無限的類比，還有方法類比、結構類比、形式類比等等），可使學生更好地認識、理解、掌握新的數學概念。當然要注意類比得出的結論不一定正確，應引導學生修正錯誤的類比設想，直到得出正確結果。

（二）由已有相關概念的比較，創設歸納發現的問題情景

有些數學概念是已有概念的擴充，若能揭示概念的擴充規律，便可以水到渠成地引入新概念。

例2復數概念的教學

先回顧已經歷過的幾次數集擴充的事實：

正整數自然數非負有理數有理數實數，然后教師提出以下問題:

（1）上述數集擴充的原因及其規律如何？

實際問題的需要使得在已有的數集內有些運算無法進行，數集的擴充過程體現了如下規律：

①每次擴充都增加規定了新元素；

②在原數集內成立的運算規律，在數集擴充后的更大范圍內仍然成立；

③擴充后的新數集里能解決原數集不能解決的問題。

有了上述準備后，教師提出問題：負數不能開平方的事實說明實數集不夠完善，因而提出將實數集擴充為一個更為完整的數集的必要性。那么，怎樣解決這個問題呢？

（2）借鑒上述規律，為了擴充實數集，引入新元素i，并作出兩條規定。（略）

這樣學生對i的引入不會感到疑惑，對復數集概念的建立也不會覺得突然，使學生的思維很自然地步入知識發生和形成的軌道中，為概念的理解和進一步研究奠定基礎。

這類數學概念形成的問題情景創設的關鍵是揭示出相關概念的擴充發展的背景及其規律，從而引發新的數學概念的產生。

（三）聯想相關數學概念，創設引發猜想的問題情景

許多數學概念間存在著一定的聯系，教師若能將新舊概念間的聯系點設計成問題情景，引導學生建立起新舊概念間的聯系，便可以使學生牢固地掌握新的概念。

例3異面直線所成角的概念教學

（1）展示概念背景：教師與學生一起以熟悉的正方體為例，請學生觀察圖中有幾對異面直線？接著提問：從位置關系看，同為異面直線，但它們的相對位置，是否就沒有區別？教師緊接著說：既然有區別，說明僅用“異面”來描述異面直線間的相對位置顯然是不夠的。在生產實際與數學問題中，有時還需要進一步精確化，這就提出了一個新任務：怎樣刻劃異面直線間的這種相對位置，或者說，引進一些什么數量來刻劃這種相對位置？

(2)情境設計階段：我們知道平面幾何中用“距離”來刻劃兩平行直線間的相對位置，用“角”來刻劃兩相交直線間的相對位置，那么用什么來刻劃兩異面直線的相對位置呢？我們還知道兩異面直線不相交，但它們又確實存在傾斜程度不同，這就需要我們找到一個角，用它的大小來度量異面直線的相對傾斜程度。為了解決這個問題，我們研究一道題：一張紙上畫有兩條能相交的直線a、b（但交點在紙外）．現給你一副三角板和量角器，限定不許拼接紙片，不許延長紙上的線段，問如何能量出a、b所成的角的大小？

(3)猜想發現階段：解決上述問題的方法是過一點分別作a,b的平行線，該方法能否遷移到兩異面直線的傾斜程度呢？經學生研討后能粗略地得出異面直線的傾斜程度可轉化為平面內兩條相交直線的角（即過一點分別作a、b的平行線，這兩條平行線所成的角）

(4)表述論證階段：教師提問，這角（或平行線）一定可以作出來嗎？角的大小與作法有什么關系？（以上即是存在性和確定性問題）通過解決以上兩個問題得到：兩異面直線所成角的范圍規定在（0，內，那么它的大小，由異面直線本身決定，而與點O（一線的平行線與另一線的平行線的交點）的選取無關，點O可任選．一般總是將點O選在特殊位置．至此，兩異面直線所成角的概念完全建立了，在這個過程中滲透了把空間問題轉化為平面問題這一化歸的數學思想方法。

這類數學概念形成的問題情景創設一定要抓住新、舊數學概念間的本質屬性，為新概念的產生創設適當的固著點，使其孕育新的數學概念的形成。（四）提供感性材料,創設抽象與概括的問題情景

有些數學概念源于現實生活，是從生產、生活實際問題中抽象出來的，對于這些概念的教學要通過一些感性材料，創設抽象與概括的情景，引導學生提煉數學概念的本質屬性。

例4數軸概念的教學

教師先出示下列問題：小張家向東走20米是書店，向西走30米是少年宮。若規定向東走為正，向西走為負，那么，小張從家出發，走到書店應記作什么？走到少年宮記作什么？溫度計顯示零上20C，零下3C，你如何用有理數表示。

教師接著要求學生將上述兩個問題分別用簡單形象的圖示方法來描述它們，并進一步引導學生提煉出它們的共同屬性：

（1）能用圖線表示事物的數量特征（可用同一直線上的線段來刻劃）（2）度量的起點（0C和小張家）（3）度量的單位（溫度計每格表示1C）（4）有表示相反意義的方向（向東為正，向西為負；零上為正，零下為負）

這樣就啟發學生用直線上的點表示數，對于“表示相反意義的方向”用箭頭“”表示正方向，從而引進“數軸”的概念。這樣做符合學生的認識規律，給學生留下深刻持久的印象，同時也有助于激發學生的學習興趣，促使他們積極參與教學活動，有利于學生思維能力的培養和素質的提高。

這類數學概念形成的問題情景創設一定要遵循認識規律，從感性到理性，從具體到抽象，通過學生熟悉的實際例子，恰當地設計一些問題，讓學生經過比較、分類、抽象等思維活動，從中找出一類事物的本質屬性，最后通過概括得出新的數學概念。

（五）通過學生實驗，創設觀察、發現的問題情景

有些數學概念可以通過引導學生從自己的親自實驗或通過現代教育技術手段演示及自己操作（如幾何畫板提供了很好的工具）去領悟數學概念的形成，讓學生在動手操作、探索反思中掌握數學概念。

例5橢圓概念的教學

可分下列幾個步驟進行：（1）實驗獲得感性認識（要求學生用事先準備的兩個小圖釘和一長度為定長的細線，將細線的兩端固定，用鉛筆把細線拉緊，使筆尖在紙上慢慢移動，畫得圖形為橢圓）（2）提出問題，思考討論。橢圓上的點有何特征？當細線的長等于兩定點之間的距離時，其軌跡是什么？當細線的長小于兩定點之間的距離時，其軌跡是什么？你能給橢圓下一個定義嗎？（3）揭示本質，給出定義。象這樣，學生經歷了實驗、討論后，對橢圓的定義的實質會掌握得很好，不會出現忽略橢圓定義中的定長應大于兩定點之間的距離的錯誤。

這類數學概念的形成一定要學生動手操作實驗，仔細觀察，并能根據需要適當變換角度來抓住問題的特征以解決問題。培養學生敏銳的觀察力是解決這類問題的關鍵。除了真實的實驗外，還可以充分利用現代教育技術設計一些仿真實驗，實驗的設計不能只是作為教師來演示的一種工具，而是要能由學生可以根據自己的思路進行動手操作的學具，讓學生通過實際操作學會觀察、學會發現！

以上列舉的幾種方法不是獨立的，而是相互聯系的，有些數學概念的產生與形成過程需要綜合運用多種方法才能創設出利于學生發現的問題情景。

二、數學概念形成階段教學應注意的問題

在創設問題情景時，還應創設師生共同研究問題的良好氛圍。教師要積極鼓勵學生獨立提出問題、獨立分析、解決問題，還要鼓勵學生之間互相研討問題，大膽向教師提問題或提出創見性的觀點，努力營造一種師生之間平等共同研討、分析解決問題的民主氣氛，形成師生間和諧良好的人際關系，使課堂教學充滿活力。在教學中要注意以下問題：

（一）注意問題的呈示方式

有了合適的問題情景，還必須注意問題的呈示方式。我們認為：問題的呈示要以學生主體的充分發揮為前提，重視知識的發現和探索過程，重視學生的內心體驗。通過問題的呈示能使學生充分地展開思維活動（包括動手、動腦），教師應留給學生一定的思考時間和空間，不要急于將答案告訴學生，應把發現問題的機會，大智若愚地讓給學生，讓學生的思維得到充分的暴露，教師根據學生出現的一些問題，有針對性地組織討論、辨析，并在關鍵處予以點撥，真正使學生體驗到新的數學概念的形成過程。

（二）教學形式要多樣化

課堂教學從本質上說是一種“溝通”與“合作”的活動，是教師主導與學生主體相互作用以實現學生有意義學習的過程，要使這個過程順利進行，必須充分發揮師生雙方的積極性和主動性。為了充分調動學生的積極性，教學形式應盡可能多樣化。教學不能只是教師的講授，還應包括學生的獨立自主探究，集體研究，小組討論或先學生獨立研究再相互交流，或帶著問題自學等多種方式。這樣有利于激發學生的學習積極性。至于如何確定教學形式，這要考慮所研究問題的難易程度及學生的知識和思維水平。一般來說，要盡可能讓學生參與數學活動，只要學生有能力通過活動解決的問題，就應該讓學生獨立完成。對有一定難度的問題，可先讓學生獨立研究，再組織小組交流（教師參與小組研究，并在關鍵處作適當點撥），最后師生一起探索得出結論。