復數(shù)的概念范文
時間:2023-03-17 12:24:34
導語:如何才能寫好一篇復數(shù)的概念,這就需要搜集整理更多的資料和文獻,歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文,供你借鑒。
篇1
(1)掌握復數(shù)的有關概念,如虛數(shù)、純虛數(shù)、復數(shù)的實部與虛部、兩復數(shù)相等、復平面、實軸、虛軸、共軛復數(shù)、共軛虛數(shù)的概念。
(2)正確對復數(shù)進行分類,掌握數(shù)集之間的從屬關系;
(3)理解復數(shù)的幾何意義,初步掌握復數(shù)集C和復平面內所有的點所成的集合之間的一一對應關系。
(4)培養(yǎng)學生數(shù)形結合的數(shù)學思想,訓練學生條理的邏輯思維能力.
教學建議
(一)教材分析
1、知識結構
本節(jié)首先介紹了復數(shù)的有關概念,然后指出復數(shù)相等的充要條件,接著介紹了有關復數(shù)的幾何表示,最后指出了有關共軛復數(shù)的概念.
2、重點、難點分析
(1)正確復數(shù)的實部與虛部
對于復數(shù),實部是,虛部是.注意在說復數(shù)時,一定有,否則,不能說實部是,虛部是,復數(shù)的實部和虛部都是實數(shù)。
說明:對于復數(shù)的定義,特別要抓住這一標準形式以及是實數(shù)這一概念,這對于解有關復數(shù)的問題將有很大的幫助。
(2)正確地對復數(shù)進行分類,弄清數(shù)集之間的關系
分類要求不重復、不遺漏,同一級分類標準要統(tǒng)一。根據(jù)上述原則,復數(shù)集的分類如下:
注意分清復數(shù)分類中的界限:
①設,則為實數(shù)
②為虛數(shù)
③且。
④為純虛數(shù)且
(3)不能亂用復數(shù)相等的條件解題.用復數(shù)相等的條件要注意:
①化為復數(shù)的標準形式
②實部、虛部中的字母為實數(shù),即
(4)在講復數(shù)集與復平面內所有點所成的集合一一對應時,要注意:
①任何一個復數(shù)都可以由一個有序實數(shù)對()唯一確定.這就是說,復數(shù)的實質是有序實數(shù)對.一些書上就是把實數(shù)對()叫做復數(shù)的.
②復數(shù)用復平面內的點Z()表示.復平面內的點Z的坐標是(),而不是(),也就是說,復平面內的縱坐標軸上的單位長度是1,而不是.由于=0+1·,所以用復平面內的點(0,1)表示時,這點與原點的距離是1,等于縱軸上的單位長度.這就是說,當我們把縱軸上的點(0,1)標上虛數(shù)時,不能以為這一點到原點的距離就是虛數(shù)單位,或者就是縱軸的單位長度.
③當時,對任何,是純虛數(shù),所以縱軸上的點()()都是表示純虛數(shù).但當時,是實數(shù).所以,縱軸去掉原點后稱為虛軸.
由此可見,復平面(也叫高斯平面)與一般的坐標平面(也叫笛卡兒平面)的區(qū)別就是復平面的虛軸不包括原點,而一般坐標平面的原點是橫、縱坐標軸的公共點.
④復數(shù)z=a+bi中的z,書寫時小寫,復平面內點Z(a,b)中的Z,書寫時大寫.要學生注意.
(5)關于共軛復數(shù)的概念
設,則,即與的實部相等,虛部互為相反數(shù)(不能認為與或是共軛復數(shù)).
教師可以提一下當時的特殊情況,即實軸上的點關于實軸本身對稱,例如:5和-5也是互為共軛復數(shù).當時,與互為共軛虛數(shù).可見,共軛虛數(shù)是共軛復數(shù)的特殊情行.
(6)復數(shù)能否比較大小
教材最后指出:“兩個復數(shù),如果不全是實數(shù),就不能比較它們的大小”,要注意:
①根據(jù)兩個復數(shù)相等地定義,可知在兩式中,只要有一個不成立,那么.兩個復數(shù),如果不全是實數(shù),只有相等與不等關系,而不能比較它們的大小.
②命題中的“不能比較它們的大小”的確切含義是指:“不論怎樣定義兩個復數(shù)間的一個關系‘<’,都不能使這關系同時滿足實數(shù)集中大小關系地四條性質”:
(i)對于任意兩個實數(shù)a,b來說,a
(ii)如果a
(iii)如果a
(iv)如果a0,那么ac
(二)教法建議
1.要注意知識的連續(xù)性:復數(shù)是二維數(shù),其幾何意義是一個點,因而注意與平面解析幾何的聯(lián)系.
2.注意數(shù)形結合的數(shù)形思想:由于復數(shù)集與復平面上的點的集合建立了一一對應關系,所以用“形”來解決“數(shù)”就成為可能,在本節(jié)要注意復數(shù)的幾何意義的講解,培養(yǎng)學生數(shù)形結合的數(shù)學思想.
3.注意分層次的教學:教材中最后對于“兩個復數(shù),如果不全是實數(shù)就不能本節(jié)它們的大小”沒有證明,如果有學生提出來了,在課堂上不要給全體學生證明,可以在課下給學有余力的學生進行解答.
復數(shù)的有關概念
教學目標
1.了解復數(shù)的實部,虛部;
2.掌握復數(shù)相等的意義;
3.了解并掌握共軛復數(shù),及在復平面內表示復數(shù).
教學重點
復數(shù)的概念,復數(shù)相等的充要條件.
教學難點
用復平面內的點表示復數(shù)M.
教學用具:直尺
課時安排:1課時
教學過程:
一、復習提問:
1.復數(shù)的定義。
2.虛數(shù)單位。
二、講授新課
1.復數(shù)的實部和虛部:
復數(shù)中的a與b分別叫做復數(shù)的實部和虛部。
2.復數(shù)相等
如果兩個復數(shù)與的實部與虛部分別相等,就說這兩個復數(shù)相等。
即:的充要條件是且。
例如:的充要條件是且。
例1:已知其中,求x與y.
解:根據(jù)復數(shù)相等的意義,得方程組:
例2:m是什么實數(shù)時,復數(shù),
(1)是實數(shù),(2)是虛數(shù),(3)是純虛數(shù).
解:
(1)時,z是實數(shù),
,或.
(2)時,z是虛數(shù),
,且
(3)且時,
z是純虛數(shù).
3.用復平面(高斯平面)內的點表示復數(shù)
復平面的定義
建立了直角坐標系表示復數(shù)的平面,叫做復平面.
復數(shù)可用點來表示.(如圖)其中x軸叫實軸,y軸除去原點的部分叫虛軸,表示實數(shù)的點都在實軸上,表示純虛數(shù)的點都在虛軸上。原點只在實軸x上,不在虛軸上.
4.復數(shù)的幾何意義:
復數(shù)集c和復平面所有的點的集合是一一對應的.
5.共軛復數(shù)
(1)當兩個復數(shù)實部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)。(虛部不為零也叫做互為共軛復數(shù))
(2)復數(shù)z的共軛復數(shù)用表示.若,則:;
(3)實數(shù)a的共軛復數(shù)仍是a本身,純虛數(shù)的共軛復數(shù)是它的相反數(shù).
(4)復平面內表示兩個共軛復數(shù)的點z與關于實軸對稱.
三、練習1,2,3,4.
四、小結:
1.在理解復數(shù)的有關概念時應注意:
(1)明確什么是復數(shù)的實部與虛部;
(2)弄清實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)分別對實部與虛部的要求;
(3)弄清復平面與復數(shù)的幾何意義;
(4)兩個復數(shù)不全是實數(shù)就不能比較大小。
2.復
數(shù)集與復平面上的點注意事項:
(1)復數(shù)中的z,書寫時小寫,復平面內點Z(a,b)中的Z,書寫時大寫。
(2)復平面內的點Z的坐標是(a,b),而不是(a,bi),也就是說,復平面內的縱坐標軸上的單位長度是1,而不是i。
(3)表示實數(shù)的點都在實軸上,表示純虛數(shù)的點都在虛軸上。
(4)復數(shù)集C和復平面內所有的點組成的集合一一對應:
五、作業(yè)1,2,3,4,
六、板書設計:
§8,2復數(shù)的有關概念
篇2
數(shù)學概念是數(shù)學知識的重要組成部分,而數(shù)學概念的復習又是掌握、理解數(shù)學的關鍵也是能否靈活運用公式、法則、定理,增強解題能力的基礎。因此,在總復習中緊緊抓住概念復習,是提高復習效果的重要手段,現(xiàn)將我的具體做法分述如下:
一 、利用填表格,復習基本概念
對于一些相關而又容易混淆的概念。復習的方法是給出表格,指導學生靈活填寫,對學生容易忽視的地方、概念間的聯(lián)系、各自的差異,老師重點講解使學生即準確理解,又串聯(lián)了有關概念的聯(lián)系,簡便易記。
二 、選擇典型題,構成由淺入深的“題”組,加深對概念的理解
選擇概念性、典型性強的題組,可以取得以少勝多的效果。選習題組,針對性要強,覆蓋面要廣,習題的排列要由易到難、題型多樣,形成適當梯度題組,數(shù)形結合,便于分析,靈活掌握,這樣可以縮短解題過程,加深對概念本質的理解。
(一) 填空 :
1、a( ) 0 2、b ( )0
3、a+b( )0 4、b―a( )0
5、|a+b|( )0 6、|a―b|( )0
7:√a2=( ) 8、√c2=( )
(二)化簡 |a+c|+|b+d|―|a+b| √(a―b)2
說明:1、這組題,使形式對絕對值和算術平方根兩個概念有了更進一步的深刻準確的理解和運用。
2、歸納出初中數(shù)學非負數(shù)的三種常用表達式:即a為實數(shù),a2≥0,|a|≥0,a≥0時,√a≥0。
三、利用基本練習題,鞏固概念
復習某一概念時可以選擇一些目的單一、運算簡單的基本練習題,限時要求學生完成,通過解題加深和鞏固概念的理解,熟習對公式、法則的應用,重點是公式的應用訓練,這種專一強化的每一次練習,使學生思想上牢牢地印上一個概念。
四、使用類比型提問,實現(xiàn)概念的準確性
所謂類比型提問,即是對類似而又有區(qū)別的概念、性質公式、法則等,注意相同點以建立聯(lián)系,更突出不同點,不使混淆,也便嚴密理解,正確運用。如在復習根式一章時,我提出:根式、二次根式、奇項根式、偶項根式、同項根式、異項根式、同類根式以及最簡根式在概念及意義作用諸方面有何相同點、不同點,引導學生展開討論。然后進行歸納和解答。
五、重點內容,采用專題型提問,歸納相關定律
問題是思維活動的起點和動力,發(fā)展思維是發(fā)展智能的核心,專題提問,經過學生動腦、動口、動手所進行的歸納,其廣闊性、深刻性、敏捷性和靈活性大大增強。例如在復習《相似形》一章時,提出兩個問題:
1、本章中哪些定義、定理、推論的結論是比例線段?
2、當遇到題目是比例線段時如何思考?經過10多分鐘的討論,歸納出有9條定義、定理、推論的結論可以 產生比例線段。求證比例線段的方法一般有三種:
1、縱看、橫看若四條線段分布在兩個三角形中,則證這兩個三角形相似即得結論;
2根據(jù)題目條件,適當作平行線,制造可用的比例線段,以求問題的最后解決;
3若要證明的四條比例線段在同一直線上,則要引進“之間比”等量代換可得。
六、通過一題多解提高學生學習概念,運用概念的自覺性和分析問題的能力
篇3
摘要:《平均數(shù)》教學看似簡單,其實不然,很多教師將它作為應用題教學,更是曲解了教材的編寫意圖。其實學習求平均數(shù),要學習的知識點很多:為什么要學習平均數(shù)?它有什么特點和作用?求平均數(shù)的方法有哪些?生活中有什么地方要用到平均數(shù)?這些都是應該關注的問題。
關鍵詞 :概念性;特點;方法
中圖分類號:G623.5 文獻標識碼:A 文章編號:1671-0568(2014)15-0033-02
筆者在“東營市小學數(shù)學青年教師重點培養(yǎng)對象”評選中執(zhí)教了《平均數(shù)》一課。剛看到這個課題時,筆者非常興奮,覺得這部分內容很簡單。在備課的過程中,認為只要學生對基本的數(shù)量關系式:總份數(shù)÷份數(shù)=平均數(shù),牢牢掌握就可以了。在磨課時,筆者也急于將求平均數(shù)的規(guī)律拋給學生,認為只要學生掌握了關系式,就能解決所有的問題了。事實上,筆者曲解了教材的編寫意圖。
后來,筆者查閱了大量有關平均數(shù)的資料,又經過反復備課,發(fā)現(xiàn)其實學生學習“平均數(shù)”,要學習的知識點很多,包括:平均數(shù)產生的意義,平均數(shù)有什么特點和作用,求平均數(shù)的方法有哪些,生活中什么地方要用到平均數(shù)……這些都是本節(jié)課應該關注的問題。基于以上幾點認識:在教學時,筆者選擇與學生息息相關的“爭奪小明星”的事例來吸引學生,激發(fā)學生的學習興趣,同時滲透生活中處處有數(shù)學的理念。
首先,對教材進行分析,確定教學目標。例1:理解平均數(shù)含義,掌握計算法;例2:體會平均數(shù)在統(tǒng)計學中的作用。確定好目標以后,就可以進行分析:
平均數(shù)的意義包含以下內容:
一、帶著
關鍵詞 語進課堂
本節(jié)課的教學任務可以概括為7個
關鍵詞 。
1.代表性:平均數(shù)的統(tǒng)計學意義是它能刻畫、代表一組數(shù)據(jù)的整體水平。平均數(shù)不同于原始數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)(雖然碰巧可能等于某個原始數(shù)據(jù)),但又與每一個原始數(shù)據(jù)相關,代表這組數(shù)據(jù)的平均水平。要對兩組數(shù)據(jù)的總體水平進行比較,就可以比較這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù),因為平均數(shù)具有良好的代表性,不僅便于比較,而且公平。
2.虛擬性:平均數(shù)的概念與過去學過的平均分的意義是不完全一樣的,平均數(shù)是一個“虛擬”的數(shù),是借助平均分的意義通過計算得到的。如把12塊糖平均分給3個孩子,平均每人分得4塊,這個“4塊”是每個孩子實際分得的數(shù);如果說3個孩子一共有12塊糖,平均每個孩子有4塊,這個“4塊”就是平均數(shù),因為不一定每個孩子都有4塊糖。由于平均數(shù)不是一個“真實”的值,所以要充分利用教具、學具,用直觀的方式幫助學生理解平均數(shù)的含義。
3.集中趨向性:表現(xiàn)為平均數(shù)的大小是在最大數(shù)與最小數(shù)之間的一個數(shù)。
4.敏感性:平均數(shù)的敏感性是指一組數(shù)的平均數(shù)易受這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)的影響,可以說“稍有風吹草動就能帶來平均數(shù)的變化”。
5.移多補少:通過觀察、比較,找出哪組多,多幾個,然后把多的一部分平均分成幾份,其中的一份補給少的那一組,這樣幾組物體的數(shù)量同樣多,這就叫移多補少。
6.先合后分:先算出總數(shù),然后用總數(shù)÷總份數(shù)。
7.設置基準數(shù):以最小的數(shù)為標準,將多出來的合在一起進行平均分,然后將基準數(shù)與平分得到的數(shù)相加。
二、怎樣讓學生體會平均數(shù)產生的必要性
第一次磨課:為了“教”而“教”
出示教師分配跳繩的情境圖:4位學生拿的跳繩數(shù)量分別是7、5、8、4根。
學生爭論:你們組拿了8根,我們組只有4根,這樣分不公平。
師:對呀,這樣分不公平。要使每個小組拿到的跳繩同樣多,怎么辦呢?你們愿意幫幫他們嗎?現(xiàn)在就以小組為單位,用桌面上的圓片代替跳繩擺一擺、分一分,使這幾個小組拿到的跳繩一樣多,好嗎?現(xiàn)在開始。
(學生動手分配學具。)
師:你愿意把你的想法展示給大家嗎?
生1:重新分,把這些跳繩平均分成4份。
師:像這個同學說的先合起來再平均分,這種方法可以取個什么名字?
生:先求和再平分。
師:我們可以把它概括為:先合后分。(板書:先合后分)
生2:把多出來的補給少的。
師:把多的補給少的,那這種方法可以取個什么名字呢?
生:取長補短。
生:取多補少。
生:移多補少。
師:意思都差不多。我們把這種方法稱為:移多補少(板書:移多補少)。
師:開始幾個小組拿的跳繩一樣多嗎?在數(shù)量上我們說不相等。后來我們經過移多補少、先合后分等方法,(演示分的過程)使得每個小組拿到的跳繩一樣多。那么這個一樣多的數(shù),給它起個什么名字呢?(教師板書:平均數(shù))。
接著,讓學生體會平均數(shù)的虛擬性和趨向性,因為時間關系,沒能讓學生體會到平均數(shù)的敏感性。
問題研討。課后發(fā)現(xiàn):學生為什么要學習平均數(shù)?平均數(shù)是什么?學生對此仍然不清楚,整個環(huán)節(jié)都是跟著教師走。
第二次磨課:為了“學”而“教”
出示班中學生的得星情況:
1.根據(jù)小紅和小明的得星情況評選聽課小明星。
A.出示星期一的得星情況。
師:星期一誰的表現(xiàn)好?
生:小明。因為7>4。
師:剛才他用“一一對應”的方法比較出了他倆的表現(xiàn)情況。
B.出示兩天的得星情況。
師:現(xiàn)在誰的表現(xiàn)好?
生:一樣好,因為7+5=12,4+8=12。
師:剛才他用求和的方法比較出了他倆的表現(xiàn)情況。
C.出示一周的得星情況。
師:現(xiàn)在誰的表現(xiàn)好?
生1:小紅。因為她一共得了25顆星,而小明只有24顆。
生2:小紅的也只能算4天的,因為小明只有4天。
生3:這兩種計算方法都不公平。
師:那怎么辦呢?我們現(xiàn)在先來看小明的得星情況。你能想辦法知道小紅平均每天得到幾顆星嗎?現(xiàn)在請你用圓片代替小星星,擺一擺、試一試。
學生在后面出現(xiàn)了各種求平均數(shù)的方法。
問題研討:以認知沖突,使學生感受到平均數(shù)產生的必要。但學生沒有體會到平均數(shù)的“代表性”。即:為什么要將小紅每天得到的星星變得同樣多?為什么同樣多之后才能進行比較?基于以上思考,我們進行了第三次磨課。
第三次磨課:為了“學”而“學”
出示班中學生的得星情況:
1.根據(jù)小紅和小明的得星情況評選學習小明星。
A.出示周一的得星情況。
師:星期一誰的表現(xiàn)好?
生:小明。因為7>5。
師:剛才他用一一對應的方法比較出了他倆的表現(xiàn)情況。
B.出示兩天的得星情況。
師:現(xiàn)在誰的表現(xiàn)好?
生:小明。因為7+5=12,5+5=10。
師:剛才他用求和的方法比較出了他倆的表現(xiàn)情況。
C.出示一周的得星情況。
師:現(xiàn)在誰的表現(xiàn)好?
生1:小紅。因為她一共得了25顆星,而小明只有24顆。
生2:小紅的也只能算4天的,因為小明只有4天。
生3:這樣比較不公平,小紅星期五得到的星星特別多,如果只算到周四太可惜了。
生4:如果使他們各自每天得到的星星變得一樣多就好比較了。
(學生產生了認知沖突,從而體會到了學習平均數(shù)的重要性及平均數(shù)所具有的代表性。)
師:對。如果他們每天得到的星星一樣多,不管出勤幾天就都容易比較了。
生5:老師我有辦法了。因為把6移給4,一顆星,小紅平均每天得到5顆星。小明7移給5,1顆星;8移給4,2顆星,這樣平均每天是6顆星,平均每天得到的星星應該比5多。
師:這位同學說得對嗎?現(xiàn)在請你利用手的材料(象形統(tǒng)計圖、圓片),試一試能不能解決這個問題。
學生紛紛投入到探索中,各種計算平均數(shù)的方法也相應而出。
問題研討:學生不僅感受到了平均數(shù)產生的必要,而且體驗到了平均數(shù)的“代表性”。即:為什么要將小紅每天得到的星星變得同樣多?因為它可以代表小紅的一般水平。同時,學生在產生認知沖突后,可以自主選擇學具進行問題的研究,充分體現(xiàn)了學生在課堂中的主體性。
三、在實踐中體驗平均數(shù)算法的多樣化
很多教師只為得出平均數(shù)的求法,建構解題模型,為后續(xù)解決“平均數(shù)應用題”服務。對于“平均數(shù)的求法”,雖然由于學生有“平均分”知識和生活常識為起點,求簡單數(shù)據(jù)的平均數(shù)已經不成為學生學習的重點、難點。但在教學“移多補少”這個方法的同時,更應該借助學具、課件等,讓學生直觀感知求“平均數(shù)”的算法具有多樣化的特點。
基于以上特點,在實際的教學過程中,筆者發(fā)現(xiàn)學生看到象形統(tǒng)計圖想到的方法只有一個:移多補少。為了便于學生理解更多的求平均數(shù)的方法,筆者給學生提供了兩種材料:象形統(tǒng)計圖和實物圓片。學生可以借助圓片擺一擺、分一分,使每份變得同樣多。在操作過程中,學生的算法出現(xiàn)了多樣化:有的學生選擇象形統(tǒng)計圖,直接在象形統(tǒng)計圖上畫一畫、補一補;有的學生選擇用圓片擺一擺、分一分,在擺和分的過程中,出現(xiàn)了“移多補少”、“先合后分”及“設置基準數(shù)(以最小的數(shù)為標準,將多出來的合在一起,再平分)”的方法;也有學生選擇了列式計算的方法。在探究求平均數(shù)方法的過程中,學生的直覺思維借助直觀教學得到了最大化發(fā)展。
由此看出,《平均數(shù)》是一個非常抽象的概念性教學。教材給出的主題圖看似應用題教學,其實不然,因此,要想完成設定的教學目標,可不是一件易事。教師首先要深挖教材,其次找準學生的知識生長點,才能真正使學生掌握有效的知識,從而給予學生學習的“支點”。
參考文獻:
篇4
一、思維導圖是一種表達放射性思維的圖形思維工具,其特點主要有以下幾個方面
(一)有助于知識的記憶和理解,有利于知識的加工和組織
思維導圖非常簡潔,在關鍵詞之間留出了大量空隙,學習者易于在關鍵詞之間展開豐富的聯(lián)想,在潛移默化中鍛煉了記憶能力。思維導圖將關鍵詞與圖像聯(lián)系起來,運用知識的多種表達方式,將抽象的思維過程可視化、直觀化、網絡化,有利于大腦的記憶,有助于知識的加工和組織。思維導圖在關鍵詞之間建立聯(lián)系,使關鍵詞更加顯眼,做到了重點突出,使重要的內容不至于埋沒于大量的不重要的詞匯之中,學習者可以集中精力于真正重要的問題。另外,思維導圖是一種自然的思維方式,能建立新舊知識之間的聯(lián)系,有助于新舊知識的整合。而一旦導圖繪制完成,以后再復習時就可節(jié)省大量的時間,從而提高學習的效率。
(二)有助于養(yǎng)成系統(tǒng)的學習和思維習慣
思維導圖是一種放射性思維方式,長期使用有助于養(yǎng)成系統(tǒng)的學習和思維習慣。
(三)有助于培養(yǎng)學習者合作交流的習慣
思維導圖提供了一種合作交流的工具,學習者將自己的想法用圖畫的形式表達出來,與他人交流、討論。另外,學習者之間可以合作繪圖,培養(yǎng)合作精神。
(四)有助于創(chuàng)造力的培養(yǎng)
思維導圖的放射性有助于在并列在圖中的關鍵詞之間產生靈活的聯(lián)想,有助于創(chuàng)造力的培養(yǎng)。
(五)有助于學習者的主體參與程度
學習者在繪制思維導圖的過程中,需要收集并閱讀大量資料,概括出主題關鍵詞,然后展開豐富聯(lián)想。學習者不再是被動地接受知識,而是積極主動地建構所學知識。
中學數(shù)學基礎知識是指“標準”中規(guī)定的代數(shù)、幾何、微積分、概率與統(tǒng)計等的概念、定理、公式、法則、性質以及由內容所反映的數(shù)學思想和方法。其中,概念、定理、公式、法則、性質是陳述性知識,數(shù)學思想和方法屬于程序性知識,數(shù)學基礎知識與數(shù)學基本技能就是傳統(tǒng)所講的“數(shù)學雙基”。本文重在探討利用思維導圖對數(shù)學基礎知識的復習整理,對于數(shù)學基本技能的復習不做探討。
利用思維導圖指導學生數(shù)學基礎知識的復習整理,應以教材知識的拓展加深、按知識的內在聯(lián)系構建科學的知識網絡體系、優(yōu)化數(shù)學認知結構為目的。在具體復習整理時,還應引導學生思考知識的發(fā)生、發(fā)展過程;數(shù)學概念、公式、定理的歸納、概括和證明過程;值得研究的問題以及解決問題的方法的孕育、嘗試和形成過程。復習整理時既要從整體上表現(xiàn)概念系中各個組成部分的關系,突出重點和關鍵部分,也要從細節(jié)上把握局部知識。
二、以概念、命題為例說明如何利用思維導圖進行整理復習
(一)利用思維導圖指導學生對概念進行整理復習
數(shù)學概念是反映一類對象本質屬性的思維形式,主要由原始概念和基本概念組成,是數(shù)學知識的最基本形式。要深入理解一個數(shù)學概念,可以從以下幾個方面去認識。
1.概念的相關背景,即知識的發(fā)生發(fā)展過程、來龍去脈。只有這樣,學生對學到的數(shù)學知識才不會感到突兀,不是無中生有的,它是源于各種需要的。
2.舉出概念的典型正反例證、概念的特例、概念的變式。以此區(qū)分容易混淆的概念,把握概念的內涵的各個方面,識別概念外延的不同表現(xiàn)形式,在應用概念時才不會張冠李戴。
3.把握概念的各種表征形式(代數(shù)表征、幾何表征等)、概念的等價定義,形成概念域,掌握其本質。這樣學生就能夠在概念的不同表征形式之間靈活轉換,提高知識的遷移識別能力。
4.思考“上位”的概念是什么,“下位”的概念是什么,與以前學過的哪些概念有內在聯(lián)系,與之相似的概念要進行對比辨析,以形成具有內存聯(lián)系的、清晰可變的概念體系。例如,方程與函數(shù)、不等式的區(qū)別與聯(lián)系,方程的曲線與函數(shù)圖象的關系等。
5.思考此概念常與哪些概念構成哪些命題,其中的關系怎樣,能解決什么問題,具體步驟是什么等。
6.概念本身蘊含的數(shù)學思想方法是什么,這些思想方法在解決問題時有什么指導作用。
7.概念的類比是什么。常見的有二維到多維的推廣,如平面上的概念推廣到空間中;加法運算與乘法運算的類比;等比數(shù)列與等差數(shù)列的類比等。這樣就拓寬了概念的體系,加強了對概念本質的理解。
8.概念的應用。概念的應用分為概念在知覺水平上的應用和概念在思維水平上的應用。應通過設置不同層次、不同思維水平的題目鞏固概念。設置一些簡單題目考查對概念的識別,設置一些綜合性題目考查概念在思維水平上的應用。一些典型的例題要找出來,還要注意概念在實際生活中的應用。
這樣就從不同角度、不同層面上認識了概念,形成了一個概念系統(tǒng)。在應用概念解決問題時,就容易展開聯(lián)想,形成解題思路。
(二)利用思維導圖指導學生對命題進行整理復習
命題包括公理、定理、公式、法則等。數(shù)學命題是由數(shù)學概念組合而成的,反映了數(shù)學概念之間的關系。要理解一個命題,應從以下幾個方面入手。
1.命題的起源或背景是什么,命題是為了研究什么問題產生的。
2.命題的證明方法是什么,方法是如何想到的,其中蘊含著什么數(shù)學思想。
3.構成命題的概念是什么。每個概念的含義都要弄清楚,還要明辨這些概念之間是什么關系。
4.命題的表征。代數(shù)表征是什么,幾何表征是什么。命題的變式有哪些,命題的推論,命題的特例或推廣是什么。
5.命題的應用,即該命題能解決什么樣的問題。可以想還有哪些命題也能解決這種問題,這些命題與該命題有什么區(qū)別、聯(lián)系。還有,命題應用的范圍或條件是什么。
利用思維導圖指導學生對概念、命題進行整理復習時,首先應選擇一個核心概念作為中心主題,然后從以上幾個方面去思考,進行發(fā)散,當然不是每一個概念都需從八個方面分別擴展。另外,在畫圖時應力爭簡潔、美觀,多用圖形、符號,鼓勵學生采用個性化的表達方法,激發(fā)其創(chuàng)造性。對于分支概念,可以另畫導圖加以發(fā)散。這樣就既在整體上有了把握,也在細節(jié)上有了認識。學生在畫完思維導圖后要與同學交流,以便發(fā)現(xiàn)不足,加以改進。老師也要把繪制得比較好的導圖在課堂上展示,并給予必要的反饋和評價,逐步讓學生知道怎樣繪制好的思維導圖。
篇5
【關鍵詞】跡象;跡大于象;概念服裝;非紡織材料
【中圖分類號】S611 【文獻標識碼】A 【文章編號】1009-5071(2012)06-0021-02
1 “繪畫跡象論”的含義
落筆成跡,因跡生象,通過跡象而有所表達,這是繪畫活動的一個簡單事實,也是鐘孺乾首次提出的在繪畫活動中可以作為一個共通的、基礎的概念——“繪畫跡象論”。
什么是“跡象”?簡單講,“跡”指藝術家手工或半手工半機械的操作痕跡,即以工具作用于材料留下的蹤痕。在繪畫中,說起某畫的“跡”如何,就是指畫中某“象”的質地,它包含大家所熟知的筆墨、肌理、筆觸、質感、色彩之類,用現(xiàn)代漢語注釋,“跡”可說成是一物作用于另一物而產生的痕跡;“象”指有形可見之物,由可視之跡構成的“象”,而說起某畫的“象”如何,就是指畫面的間架結構和畫中表現(xiàn)對象的形狀與態(tài)勢,它包含我們常說的輪廓、形象、造型、構成等等,連同繪畫材料的邊沿和角線在內。以上的解釋是分解了“跡”“象”的所指,也就是“繪畫跡象論”中的“跡因素”和“象因素”。通過分析繪畫作品,加以對“繪畫跡象論”概念的理解,我們可以明白,“跡”在“象”中,“象”由“跡”生,“跡”為“象”之“跡”,“象”為“跡”之“象”,“象”既是“跡”,“跡”即是“象”,“跡”“象”統(tǒng)一便是“跡象”。
2 服裝藝術領域中的“跡象論”
如今,“繪畫跡象論”已被眾多學者接受和認同,并被運用到其它領域。“跡象”一詞,相較“筆墨”“肌理”“文本”“語言”等有著顯而易見的確定性和包容性,且“跡象”作為專業(yè)術語和藝術概念,更有著不可替代的適應性。那么,介于“跡象”的確定性和包容性,如果我們愿意把繪畫看成是人類“作跡造象”的事體,而且認同繪畫起源于人類作跡的本能,那么人類從一開始的樹葉遮體,再到如今設計師們通過對面料裁剪進而縫制出服裝的過程,也可看作是人類在服裝藝術領域中的“作跡造象”。
“繪畫跡象論”中認為繪畫是起源于人的作跡本能,繪畫藝術的發(fā)生及其變化,都是因為人的智慧“首出萬物,自能制造”,“人靈不能自己也”才得以產生,人類的服裝亦是一樣。當亞當與夏娃被逐出伊甸園,開始用無花果樹的葉子為自己編作裙子遮蔽身體時,也開啟了人類出自本能的屬于服裝藝術領域中“作跡造象”的歷史。這當中,葉子及其紋理即為“跡”,編制而成的裙子外輪廓即為“象”。
服裝藝術中,“象”指的由“跡”而產生的服裝廓形,但這個“跡”與“繪畫跡象論”當中的“跡”有所不同。服裝藝術中“跡”不僅僅指藝術家對所用材料手工或半手工半機械的操作痕跡(肌理、面料質感、色彩等),它也包括所用材料本身存在和持有的肌理或質感或色彩等等。
3 服裝藝術中的“跡大于象”
在繪畫藝術中,油畫家講究造型與色彩,版畫家重視黑白灰調子和“版味”、“刀味”,水彩畫家看重水性色彩在時間序列中所呈現(xiàn)的圖像與趣味,中國水墨畫則強調意象和筆墨。同樣,服裝設計師亦注重服裝材料“跡”的選擇和改造,以及整體廓形“象”的變化。
但在“跡因素”與“象因素”的博弈中,“跡因素”略占優(yōu)勢。這是源于人類服裝史已發(fā)展久遠,且受到人體軀干造型空間等的局限,“象因素”似乎已探究到公式階段,但“跡因素”卻不同。隨著時代和科技的進步,服裝制作混入的材料越來越復雜,新材料越來越多被起用,媒介物質一步步自主自立,從藝術語言的輔助手段上升為藝術語言本身,“跡因素”明顯被重視和凸顯。設計師在許多作品中開始較多的追求“跡”的藝術表現(xiàn),并有意凸顯“跡”而忽略“象”,“跡因素”的呈現(xiàn)多過于“象因素”。因此,“象”因素被擠出了中心地位,有時甚至根本與“象”無關。這時,藝術作品最重要的是生命與物質材料的對話,思想與現(xiàn)成物品的交流。這種對話和交流最終留下的是注入了生命和思想的“跡”,這便是“跡大于象”。有“跡”必有“象”,而且是順應于“跡”的“象”。
圖1 Alexander McQueen貝殼制成的服裝作品4 概念服裝中非紡織材料凸顯的“跡大于象”的藝術現(xiàn)象
在眾多服裝類型中,包括成衣、高級服裝等等,帶給我們最多“跡”的視覺盛宴,并將“跡因素”展現(xiàn)到淋漓盡致的要數(shù)由非紡織材料構成的概念服裝。
篇6
三角函數(shù)與解三角形
第九講
三角函數(shù)的概念?誘導公式與三角恒等變換
2019年
1.(2019北京9)函數(shù)的最小正周期是
________.
2.(2019全國Ⅲ理12)設函數(shù)=sin()(>0),已知在有且僅有5個零點,下述四個結論:
①在()有且僅有3個極大值點
②在()有且僅有2個極小值點
③在()單調遞增
④的取值范圍是[)
其中所有正確結論的編號是
A.
①④
B.
②③
C.
①②③
D.
①③④
3.(2019天津理7)已知函數(shù)是奇函數(shù),將的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),所得圖像對應的函數(shù)為.若的最小正周期為,且,則
A.
B.
C.
D.
4.(2019全國Ⅱ理10)已知α∈(0,),2sin
2α=cos
2α+1,則sin
α=
A.
B.
C.
D.
5.(2019江蘇13)已知,則的值是_________.
6.(2019浙江18)設函數(shù).
(1)已知函數(shù)是偶函數(shù),求的值;
(2)求函數(shù)
的值域.
2010-2018年
一?選擇題
1.(2018全國卷Ⅲ)若,則
A.
B.
C.
D.
2.(2016年全國III)若
,則
A.
B.
C.1
D.
3.(2016年全國II)若,則(
)
A.
B.
C.
D.
4.(2015新課標Ⅰ)
A.
B.
C.
D.
5.(2015重慶)若,則=
A.1
B.2
C.3
D.4
6.(2014新課標Ⅰ)若,則
A.
B.
C.
D.
7.(2014新課標Ⅰ)設,,且,則
A.
B.
C.
D.
8.(2014江西)在中,內角A,B,C所對應的邊分別為,若,則
的值為(
)
A.
B.
C.
D.
9.(2013新課標Ⅱ)已知,則(
)
A.
B.
C.
D.
10.(2013浙江)已知,則
A.
B.
C.
D.
11.(2012山東)若,,則
A.
B.
C.
D.
12.(2012江西)若,則tan2α=
A.?
B.
C.?
D.
13.(2011新課標)已知角的頂點與原點重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊在直線上,則=
A.
B.
C.
D.
14.(2011浙江)若,,,,則
A.
B.
C.
D.
15.(2010新課標)若,是第三象限的角,則
A.
B.
C.2
D.-2
二?填空題
16.(2018全國卷Ⅰ)已知函數(shù),則的最小值是_____.
17.(2018全國卷Ⅱ)已知,,則___.
18.(2017新課標Ⅱ)函數(shù)的最大值是
.
19.(2017北京)在平面直角坐標系中,角與角均以為始邊,它們的終邊關于軸對稱.若,則=___________.
20.(2017江蘇)若,則=
.
21.(2015四川)
.
22.(2015江蘇)已知,,則的值為_______.
23.(2014新課標Ⅱ)函數(shù)的最大值為____.
24.(2013新課標Ⅱ)設為第二象限角,若,則=___.
25.(2013四川)設,,則的值是_____.
26.(2012江蘇)設為銳角,若,則的值為
.
三?解答題
27.(2018江蘇)已知為銳角,,.
(1)求的值;
(2)求的值.
28.(2018浙江)已知角的頂點與原點重合,始邊與軸的非負半軸重合,它的終邊過點.
(1)求的值;
(2)若角滿足,求的值.
29.(2017浙江)已知函數(shù).
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的最小正周期及單調遞增區(qū)間.
30.(2014江蘇)已知,.
(1)求的值;
(2)求的值.
31.(2014江西)已知函數(shù)為奇函數(shù),且,其中.
(1)求的值;
(2)若,求的值.
32.(2013廣東)已知函數(shù).
(1)
求的值;
(2)
若,求.
33.(2013北京)已知函數(shù)
(1)求的最小正周期及最大值;
(2)若,且,求的值.
34.(2012廣東)已知函數(shù),(其中,)的最小正周期為10.
(1)求的值;
(2)設,,,求的值.
專題四
三角函數(shù)與解三角形
第九講
三角函數(shù)的概念?誘導公式與三角恒等變換
答案部分
2019年
1.解析:因為,
所以的最小正周期.
2.解析
當時,,
因為在有且僅有5個零點,所以,
所以,故④正確,
因此由選項可知只需判斷③是否正確即可得到答案,
下面判斷③是否正確,
當時,,
若在單調遞增,
則,即,因為,故③正確.
故選D.
3.解析
因為是奇函數(shù),所以,.
將的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),所得圖像對應的函數(shù)為,即,
因為的最小正周期為,所以,得,
所以,.
若,即,即,
所以,.
故選C.
4.解析:由,得.
因為,所以.
由,得.故選B.
5.解析
由,得,
所以,解得或.
當時,,,
.
當時,,,
所以.
綜上,的值是.
6.解析(1)因為是偶函數(shù),所以,對任意實數(shù)x都有,
即,
故,
所以.
又,因此或.
(2)
.
因此,函數(shù)的值域是.
2010-2018年
1.B【解析】.故選B.
2.A【解析】由,,得,或
,,所以,
則,故選A.
3.D【解析】因為,所以,
所以,所以,故選D.
4.D【解析】原式=.
5.C
【解析】
=,選C.
6.C【解析】
知的終邊在第一象限或第三象限,此時與同號,
故,選C.
7.B【解析】由條件得,即,
得,又因為,,
所以,所以.
8.D【解析】=,,上式=.
9.A【解析】因為,
所以,選A.
10.C【解析】由可得,進一步整理可得,解得或,
于是.
11.D【解析】由可得,,
,答案應選D.
另解:由及,可得
,而當時
,結合選項即可得.
12.B【解析】分子分母同除得:,
13.B【解析】由角的終邊在直線上可得,,
.
14.C【解析】
,而,,
因此,,
則.
15.A【解析】
,且是第三象限,,
.
16.【解析】解法一
因為,
所以,
由得,即,,
由得,即
或,,
所以當()時,取得最小值,
且.
解法二
因為,
所以
,
當且僅當,即時取等號,
所以,
所以的最小值為.
17.【解析】,,
①,
②,
①②兩式相加可得
,
.
18.1【解析】化簡三角函數(shù)的解析式,則
,
由可得,當時,函數(shù)取得最大值1.
19.【解析】角與角的終邊關于軸對稱,所以,
所以,;
.
20.【解析】.
21.【解析】.
22.3【解析】.
23.1【解析】
.,所以的最大值為1.
24.【解析】,可得,,
=.
25.【解析】
,則,又,
則,.
26.【解析】
因為為銳角,cos(=,sin(=,
sin2(cos2(,
所以sin(.
27.【解析】(1)因為,,所以.
因為,所以,
因此,.
(2)因為為銳角,所以.
又因為,所以,
因此.
因為,所以,
因此,.
28.【解析】(1)由角的終邊過點得,
所以.
(2)由角的終邊過點得,
由得.
由得,
所以或.
29.【解析】(Ⅰ)由,,
得.
(Ⅱ)由與得
所以的最小正周期是
由正弦函數(shù)的性質得
,
解得,
所以的單調遞增區(qū)間是().
30.【解析】(1),
;
(2)
.
31.【解析】(1)因為是奇函數(shù),而為偶函數(shù),所以為奇函數(shù),又得.
所以=由,得,即
(2)由(1)得:因為,得
又,所以
因此
32.【解析】(1)
(2)
所以,
因此=
33.【解析】:(1)
所以,最小正周期
當(),即()時,.
(2)因為,所以,
因為,所以,
所以,即.
34.【解析】(1).
(2)
篇7
馬虎毛病就這樣被改掉.學生姓名張**年級初二輔導科目數(shù)學輔導效果經過3個月的輔導,由之前的因馬虎而丟20分到認真審題,將會做的期中考試得了113分(滿分120分)輔導前學生情況:經常做題馬虎,之前還因馬虎丟過20分學員輔導經過:針對孩子的馬虎問題,我嘗試采用以下方法進行改正:1、在課堂上時,我會讓孩子在白板上面做題,一方面是方便孩子自己檢查錯誤,另一方面便于我及時給與提醒改正;2、在做試卷時,要求孩子在每個題目上面留下記號,圈出重點數(shù)字和詞語,防止看漏題目;3、合理利用草稿紙,建議每次將草稿紙折疊分成兩部分使用,從左到右,從上到下,標明序號,方便檢查。
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篇8
(1)掌握向量的有關概念:向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量;
(2)理解并掌握復數(shù)集、復平面內的點的集合、復平面內以原點為起點的向量集合之間的一一對應關系;
(3)掌握復數(shù)的模的定義及其幾何意義;
(4)通過學習復數(shù)的向量表示,培養(yǎng)學生的數(shù)形結合的數(shù)學思想;
(5)通過本節(jié)內容的學習,培養(yǎng)學生的觀察能力、分析能力,幫助學生逐步形成科學的思維習慣和方法.
教學建議
一、知識結構
本節(jié)內容首先從物理中所遇到的一些矢量出發(fā)引出向量的概念,介紹了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念,接著介紹了復數(shù)集與復平面內以原點為起點的向量集合之間的一一對應關系,指出了復數(shù)的模的定義及其計算公式.
二、重點、難點分析
本節(jié)的重點是復數(shù)與復平面的向量的一一對應關系的理解;難點是復數(shù)模的概念.復數(shù)可以用向量表示,二者的對應關系為什么只能說復數(shù)集與以原點為起點的向量的集合一一對應關系,而不能說與復平面內的向量一一對應,對這一點的理解要加以重視.在復數(shù)向量的表示中,從復數(shù)集與復平面內的點以及以原點為起點的向量之間的一一對應關系是本節(jié)教學的難點.復數(shù)模的概念是一個難點,首先要理解復數(shù)的絕對值與實數(shù)絕對值定義的一致性質,其次要理解它的幾何意義是表示向量的長度,也就是復平面上的點到原點的距離.
三、教學建議
1.在學習新課之前一定要復習舊知識,包括實數(shù)的絕對值及幾何意義,復數(shù)的有關概念、現(xiàn)行高中物理課本中的有關矢量知識等,特別是對于基礎較差的學生,這一環(huán)節(jié)不可忽視.
2.理解并掌握復數(shù)集、復平面內的點集、復平面內以原點為起點的向量集合三者之間的關系
如圖所示,建立復平面以后,復數(shù)與復平面內的點形成—一對應關系,而點又與復平面的向量構成—一對應關系.因此,復數(shù)集與復平面的以為起點,以為終點的向量集形成—一對應關系.因此,我們常把復數(shù)說成點Z或說成向量.點、向量是復數(shù)的另外兩種表示形式,它們都是復數(shù)的幾何表示.
相等的向量對應的是同一個復數(shù),復平面內與向量相等的向量有無窮多個,所以復數(shù)集不能與復平面上所有的向量相成—一對應關系.復數(shù)集只能與復平面上以原點為起點的向量集合構成—一對應關系.
2.
這種對應關系的建立,為我們用解析幾何方法解決復數(shù)問題,或用復數(shù)方法解決幾何問題創(chuàng)造了條件.
3.向量的模,又叫向量的絕對值,也就是其有向線段的長度.它的計算公式是,當實部為零時,根據(jù)上面復數(shù)的模的公式與以前關于實數(shù)絕對值及算術平方根的規(guī)定一致.這些內容必須使學生在理解的基礎上牢固地掌握.
4.講解教材第182頁上例2的第(1)小題建議.在講解教材第182頁上例2的第(1)小題時.如果結合提問的圖形,可以幫助學生正確理解教材中的“圓”是指曲線而不是指圓面(曲線所包圍的平面部分).對于倒2的第(2)小題的圖形,畫圖時周界(兩個同心圓)都應畫成虛線.
5.講解復數(shù)的模.講復數(shù)的模的定義和計算公式時,要注意與向量的有關知識聯(lián)系,結合復數(shù)與復平面內以原點為起點,以復數(shù)所對應的點為終點的向量之間的一一對應關系,使學生在理解的基礎上記憶。向量的模,又叫做向量的絕對值,也就是有向線段OZ的長度.它也叫做復數(shù)的模或絕對值.它的計算公式是.
教學設計示例
復數(shù)的向量表示
教學目的
1掌握復數(shù)的向量表示,復數(shù)模的概念及求法,復數(shù)模的幾何意義.
2通過數(shù)形結合研究復數(shù).
3培養(yǎng)學生辯證唯物主義思想.
重點難點
復數(shù)向量的表示及復數(shù)模的概念.
教學學具
投影儀
教學過程
1復習提問:向量的概念;模;復平面.
2新課:
一、復數(shù)的向量表示:
在復平面內以原點為起點,點Z(a,b)為終點的向量OZ,由點Z(a,b)唯一確定.
因此復平面內的點集與復數(shù)集C之間存在一一對應關系,而復平面內的點集與以原點為起點的向量一一對應.
常把復數(shù)z=a+bi說成點Z(a,b)或說成向量OZ,并規(guī)定相等向量表示同一復數(shù).
二、復數(shù)的模
向量OZ的模(即有向線段OZ的長度)叫做復數(shù)z=a+bi的模(或絕對值)記作|Z|或|a+bi|
|Z|=|a+bi|=a+b
例1求復數(shù)z1=3+4i及z2=-1+2i的模,并比較它們的大小.
解:|Z1|2=32+42=25|Z2|2=(-1)2+22=5
|Z1|>|Z2|
練習:1已知z1=1+3iz2=-2iZ3=4Z4=-1+2i
⑴在復平面內,描出表示這些向量的點,畫出向量.
⑵計算它們的模.
三、復數(shù)模的幾何意義
復數(shù)Z=a+bi,當b=0時z∈R|Z|=|a|即a在實數(shù)意義上的絕對值復數(shù)模可看作點Z(a,b)到原點的距離.
例2設Z∈C滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形?
⑴|Z|=4⑵2≤|Z|<4
解:(略)
練習:⑴模等于4的虛數(shù)在復平面內的點集.
⑵比較復數(shù)z1=-5+12iz2=―6―6i的模的大小.
⑶已知:|Z|=|x+yi|=1求表示復數(shù)x+yi的點的軌跡.
教學后記:
板書設計:
一、復數(shù)的向量表示:三、復數(shù)模的幾何意義
二、復數(shù)的模例2
例1
探究活動
已知要使,還要增加什么條件?
解:要使,即由此可知,點到兩個定點和的距離之和為6,如把看成動點,則它的軌跡是橢圓.
篇9
一、數(shù)的概念與概念疊加
認知學認為概念是人腦對客觀事物的抽象概括。可以想象,人腦中數(shù)的概念的建立,一方面是因為外部世界大多數(shù)的事物是“可數(shù)的”,一方面也因為客觀世界中至少存在著一種單復數(shù)的對立關系——即有些事物是可數(shù)的,而另一些事物則相反是不可數(shù)的。
在微觀語言系統(tǒng)中,存在著三種不同形式表達數(shù)的概念:
①事物概念與數(shù)無關(或完全重合);
②事物概念表現(xiàn)數(shù)的最大值和最小值;
③事物概念與數(shù)的概念的有限對立。
既然事物的概念與數(shù)的概念關系如此密切,那么在語言符號中就會有所表現(xiàn),或為詞匯化(lexicalized),或為語法化(grammaticalized):要么以詞匯形式,要么以語法形式來表現(xiàn)概念。JohnLyons曾舉“thatsheep”和“thosesheep”為例,指出兩個“sheep”在表達形式(word-form)上相同,但內容形式(word-expression)不同。這應屬于概念詞匯化的情況,即事物概念與數(shù)的概念沒有(或已經)通過詞的形式表現(xiàn)出來。這在英語中屬于個例。而在缺乏詞匯曲折形式變化的漢語中,表達事物概念時,核心概念得以“強化”,從屬概念的“數(shù)”卻被“忽略”,導致漢語名詞通常只表現(xiàn)概念意義,不具有語法意義或可數(shù)不可數(shù)的范疇意義。也就是說,漢語中缺乏嚴格意義上的數(shù)的對立形式,事物的概念與數(shù)的概念無關或完全重合(overlapping)是普遍現(xiàn)象。總之,漢語是通過詞匯和詞序來表示各種語法范疇的,也就是說,還要增加一些數(shù)量詞與名詞連用才能表現(xiàn)名詞的數(shù)。反觀英語,普遍以可數(shù)和不可數(shù)的形式來表現(xiàn)數(shù)的對立:名詞既具有詞匯意義(明確的概念指稱和系統(tǒng)意義),同時又具有語法意義(可數(shù)不可數(shù)或單復數(shù)的語法范疇)。這在綜合性語言中并非個例,即語言的表達形式必須體現(xiàn)“數(shù)”的對立,要么是單數(shù),要么是復數(shù);要么取數(shù)的最大值,要么取數(shù)的最小值,并以詞的形式把事物的概念和數(shù)的概念疊加(word-lapping)起來,表現(xiàn)為任意一個名詞的雙重性。當然,在現(xiàn)代漢語中,也有了數(shù)的概念的有限對立形式:單音節(jié)的人稱代詞和指人名詞可以歷史上語素“們”來表示復數(shù),如“我們”、“孩子們”等等。
Lakoff從認知角度看待英語中單復數(shù)的問題,認為單數(shù)是英語里數(shù)的形態(tài)范疇中的無標記成員,因此在認知上要簡單一些。由此推論,認知上的簡單性反映為形式上的簡單性。在漢語中,名詞都屬于無標記成員,在語義和語法層面上表現(xiàn)了所謂的簡單性。但是,這種簡單性的形成源于漢語思維的概括性,并不由此進一步表現(xiàn)為語用層面的簡單性。事實恰恰相反,這種形式上的簡單性在語用層面上引起很多歷史煩,需要更多的語境,甚至是文化因素的干預,才能使語言交流得以實現(xiàn)。
基于以上分析可以看出,無論表現(xiàn)數(shù)的概念與事物的概念是重合還是疊加,都反映了兩者間的密切關系,反映了語言與思維的緊密聯(lián)系,反映了語言中文化的歷史跡,也反映了不同語言表達形式上的語用傾向性。
二、語法的“數(shù)”與語言表達傾向
數(shù)的概念與所指的概念在綜合性語言中常常出現(xiàn)一種疊加,而這種概念疊加在語符編碼時的直接表現(xiàn),就是單復數(shù)概念的語法化——以固定的顯性的標記“黏著”在表現(xiàn)事物概念的名詞或代詞上。在語法層面上,數(shù)的概念也要有所表現(xiàn)。以英語為例,有三種形式:
①單復數(shù)形式與概念一致;
②單數(shù)形式,復數(shù)概念;
③復數(shù)形式,單數(shù)概念。
第一種情況無疑是普遍的,有代表性的,而其他兩種則是對一般功能的補充,即用人為的單復數(shù)的形式,使不可數(shù)的功能變成“可數(shù)”,或者相反。這種涉及語言使用者習慣的表達方式,是一定量的交際功能因素語法化現(xiàn)象,仍然屬于內化的、非語境化的語法范疇,或者也可稱之為“習慣法”。請看例句:
(1)Ihavetwonewst。tellyou.
(1’)lhavetwogoodnewst。tellyou.
(2)I’veboughttwoshirtsandtwotrousers.
(2’)I’vcboughttwoshirtsandtwopairsoftrousers.
句(1)中的“twonews”不合語法,可句(1’)中“twogoodnews”則語法正確;句(2)中的“twoshirts”合乎語法,“twotrousers”卻是錯誤的,只能說“twopairsoftrousers”。一樣的名詞,不一樣的表達,我們可以明顯地感覺到一種人為的“約定俗成”。無論是概念的疊加,還是這種人為的“置放”,正是由于這種單復數(shù)概念上的對立關系,才在某種特定語言中建立了數(shù)的符號標記。這種符號標記,即語法上的數(shù)(grammaticalnumber),又與實際所指(referentialnumber)存在著一種對應或不對應的關系:有時是復數(shù)形式,單數(shù)概念,如英語的“trousers”和法語的“fiponsailles”;有時是單數(shù)形式,復數(shù)意義,如英語的“everybody”,法語的“toutlemonde”。
語法化與詞匯化、顯性與隱性,是語言表達形式和內容形式之間關系的不同表現(xiàn),是在歷史、文化、思維方式等因素的制約下長期形成的。“在語言表達中,涉及到數(shù)的概念時,無非有兩個方向,一是要求表達準確,一是要求表現(xiàn)模糊。”
漢語缺乏嚴格意義上的數(shù)的對立形式,表達傾向會模糊一些。以“昨天我和朋友約會去了”為例,相應的英語為:
(3)Yesterday,Imadeadatewithoneofmyfriends.(或Yesterday,Imadeappointmentswithmyfriends.)
就兩種語言中涉及的兩個名詞“約會”和“朋友”而言,漢語無標記、無數(shù)的概念;而在英語中,則必須體現(xiàn)“date(appointment)”、“friend”的數(shù):或為單數(shù),或為復數(shù),即約會和朋友的概念與數(shù)的概念必須疊加在一起,以詞匯意義與語法意義相結合的形式來表現(xiàn)內容。在這個層面上,英語的兩種意義做到了高度的一致,而漢語則是分離的,模糊與清晰的表達傾向一目了然。
三、數(shù)的語用充實
根據(jù)Morris的符號學原理,語言的內容形式和內容實體之間的關系可以在三個層面上獲得:
①在語義系統(tǒng)中獲得系統(tǒng)價值;
②在語句層次上,從命題或句子中獲得定義:
③在語用層次上,通過推理獲得含義。
在語言使用過程中,一旦涉及到數(shù)的問題,人們總是試圖在語法結構(grammaticalnumber)和實際所指(referentialnumber)之間找到一種直接的聯(lián)系,以便迅速、有效地“解碼”,更好地在具體語境中推斷出與目的意圖相關的數(shù)的概念,進而達到預期的交際效果。
談到語境,暫且不把它泛化或多元化,僅僅用來指語言語境,即上下文。這也是為了突出單復數(shù)概念在交際意圖的影響下,與編碼概念的區(qū)別。同其他詞語的概念一樣,數(shù)的概念也應在特定語境下得到充實,包括對原型意義的選擇、調整、擴充或縮小。
請看以下例句:
(4)Inmanycountries’womanliveslongerthantheman.
(5)It’shardtobcascientistanditisevenhardertobeaman.
(6)Womenlikechatting,butmendon’t.
句(4)是基于統(tǒng)計數(shù)字的表達,零冠詞的單數(shù)形式,恰恰表達的是與數(shù)無關的概念,而重在表現(xiàn)性別的對立。而句(5)中的“aman”以數(shù)的最小值出現(xiàn),除了與前面的ascientist的呼應意義之外,也遠遠超出了性別和數(shù)的概念,“擴充”到指任何人。句(6)的women/men取數(shù)的概念的最大值——復數(shù),但對任何一個讀者或聽者來說,則會感受到個體的集合。
通過以上英語例句的分析,可以看出數(shù)的表達形式與實際所指之間存在著某種約定俗成的聯(lián)系,而這種聯(lián)系的意義至少要在語言語境下得以顯現(xiàn)。然而在漢語中,絕大多數(shù)名詞為零標記,缺乏“數(shù)”的符號信息,在語言語境的作用下會如何表現(xiàn),請看以下例句:
(7)“老師來了!”
(8)“學生來了!”
僅僅根據(jù)語言形式和句子本身,顯然不具備任何“數(shù)”的意義,使人無法判斷老師或學生為幾人。然而,當語境擴大到實際交際中時,根據(jù)語用學的相關理論,交際雙方處在共享的社會文化及情景等語境中,發(fā)話人既會盡可能地省去不必要的信息,又要充分地表達自己的意圖。那么,這兩句話所表達的數(shù)的概念會不盡相同。即使沒有其他的更現(xiàn)實的語境(地點、手勢,能否見到所指人等),也可以推測老師通常是一個人,而學生則相反不止一個人。然而,對母語為英語的入學習漢語來說,他們常常會處于數(shù)的困惑中,無論是口語還是書面語,都未提供客觀的現(xiàn)實的符號表征,對數(shù)的選擇和判斷就無從做起。而對講漢語的人來說,雖然離不開解讀者的背景知識和認知程度,但仍屬于一種常規(guī)意義的推斷。包括語言符號本身的語境因素越多,對交際意圖的判斷就會越加準確。那么語境化的潛在趨勢是否會解決所有“數(shù)”的問題呢?
我們再來對比一下英語和漢語:
(9)明天一早,我要乘車去車站。
(9’)Tomorrowmorning,I’lltakethebus(es)tothestation.
首先,我們假定英語發(fā)話人和漢語發(fā)話人處在相同的語境,也暫且不去考慮漢語“車”這個名詞的抽象化問題,對應的英語給了一些既可以優(yōu)先編碼同時又可以“優(yōu)先解讀”(preferredreading)的概念,這其中就包含數(shù)的概念,“morning”、“I”、“station”為單數(shù),“bus”或為單數(shù)或為復數(shù)。那么,對于英語句子(9’)可以依賴語境,選擇、推理、具體化與充實從而形成以下的命題內容:
Thedayafterthespeaker’sspeech,thespeakerwilltakethebus(es)tothestation.
此時,它幾乎包括了與目的和意圖相關的所有信息內容,尤其是數(shù)的概念與意義。而對于漢語句子(9),通常會作以下解讀:
說話的第二天早上,說話人要坐車(一般為公交車)去車站(一般為火車站)。括號內為通常情況下的推斷,當然句子的含義仍可以得到進一步的語境充實,可能涉及更多的時代與文化背景,但那并非我們所關注的。在漢語中,“數(shù)”的概念在充分體現(xiàn)交際目的和意圖的話題中常常被忽略;如果(9’)句的聽者不知說話人是否要倒車(該名詞缺乏數(shù)的表現(xiàn)),就會為進一步獲取此類的信息,而引起下一個話輪:
“用倒車嗎?”
根據(jù)Sperber&Wilson的關聯(lián)理論,人們首先假定話語是相關的,然后尋求相應的滿足關聯(lián)條件的語境,最后作出話語理解。名詞的概念與數(shù)的概念的疊加,在語言交際過程中會有不同的表現(xiàn),兩者之間聯(lián)系越緊密,意圖與概念就越清晰,話語就越“省力”,而這種清晰和“省力”又符合語言表達的基本傾向。
四、結語
語言中都有數(shù)的概念,也都有相應的表達形式,但并非都是通過語法手段來表現(xiàn)。話語的非自然意義,可以在語義、語法、語用三個方面反映出來。在語義層面上,數(shù)的概念與事物的概念會出現(xiàn)疊加或重合,體現(xiàn)兩者的密不可分。反映在語法形式上,有的表現(xiàn)為較為嚴格的單復數(shù)對立,如英語、法語等;有的表現(xiàn)為缺乏或只具有不嚴格的對立形式,如漢語。而在語用層面上,語言使用者的目的、意圖等語境因素的介入,會使“數(shù)”的概念清晰起來,也會在一定程度上解決漢語“數(shù)”的概念模糊化的傾向,從而在盡可能的“省力”的情況下,實現(xiàn)交際的功能與目的。
篇10
【關鍵詞】高中課程;數(shù)系擴充;復數(shù)引入;數(shù)學分析;教育價值
一、數(shù)學分析
(一)數(shù)系的擴充是由數(shù)學實際需求和內部矛盾發(fā)展所產生的
數(shù)的概念是從實踐中產生和發(fā)展起來的.早在人類社會初期,人們在狩獵、采集果實等勞動中,由于計數(shù)的需要,就產生了自然數(shù);隨著生產和科學的發(fā)展,數(shù)的概念也得到了發(fā)展:為了解決測量、分配中遇到的將某些量進行等分的問題,人們引進了分數(shù);為了滿足計數(shù)需要和表示具有相反意義的量,人們引進了負數(shù);為了解決開方開不盡的矛盾,人們引進了無理數(shù);在解方程時,為了使負數(shù)開平方有意義,人們就引進了虛數(shù),使實數(shù)域擴大到復數(shù)域.自然數(shù)集中,“+”滿足其封閉性,為了讓“-”滿足其封閉性,將自然數(shù)擴充為整數(shù);為了讓“÷”滿足封閉性,將整數(shù)擴充為有理數(shù).為了將極限運算滿足封閉性,將有理數(shù)擴充為實數(shù).在歷史上,解代數(shù)方程時遇到了負數(shù),由于負數(shù)在實數(shù)范圍內不能開平方,因此產生了疑惑,為了滿足開方運算封閉性,將實數(shù)擴充為了復數(shù).直到后來把復數(shù)用于二維坐標平面上的向量表示,定義了向量的乘法,才使復數(shù)有了明確的定義和意義.可以說負數(shù)是起源于代數(shù),成熟于幾何,是代數(shù)與幾何的結合體.數(shù)的產生是伴隨數(shù)學的內部發(fā)展而產生的.復數(shù)在數(shù)學中起著重要的作用,除了上述的代數(shù)基本定理外,還有“實系數(shù)的一元n次方程虛根成對出現(xiàn)”定理等,特別是以復數(shù)為變量的“復變函數(shù)論”,是數(shù)學中一個重要分支.
(二)復數(shù)的三種表達形式
復數(shù)的代數(shù)定義為兩個實數(shù)x,y的代數(shù)式x+yi,或有序實數(shù)對(x,y),復數(shù)的加法和乘法由純粹的代數(shù)式定義.復數(shù)定義的第一種形式,由于i的意義無法事先說明,因而不夠嚴密.復數(shù)定義的第二種形式由于沒有加號而顯得有些抽象,實數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示,這種幾何表示對于理解實數(shù)的概念起到了非常重要的作用.設i=(0,1),利用復數(shù)加法和乘法的定義,可以把復數(shù)z=(x,y)表示成常用的代數(shù)形式
有了復數(shù)的幾何概念,復數(shù)概念就可以講得清楚了,隨之也就有了虛數(shù)的說法.我們在學習實數(shù)的時候,用直角坐標系中x軸上的點表示,這樣x軸上點的坐標(x,0)就表示實數(shù)x,類似地可以把平面上的每一個點(x,y)稱為一個復數(shù),x軸上的點表示實數(shù).復數(shù)還可以用向量表示,因為平面上的點還可表示從原點指向它的向量.復數(shù)的加減法按向量的加減法定義,復數(shù)的乘除法對向量來說是一種新的運算,是復數(shù)和向量的主要區(qū)別.實數(shù)a和復數(shù)相乘按向量和數(shù)的乘法定義是合理的,即a×(x,y)=(ax,ay).
為了引入復數(shù)的乘法,把復數(shù)z用三角形式來表示z=r(cosθ+isinθ),可以把復數(shù)的三角形式確定點的方法引入極坐標系,常用(r,θ)表示,r稱為復數(shù)z的模,θ稱為復數(shù)z的輻角,記為argz=θ.兩個正數(shù)相乘,兩個負數(shù)相乘,一個正數(shù)和一個負數(shù)相乘,一個正數(shù)和一個復數(shù)相乘,一個負數(shù)和一個復數(shù)相乘,可以發(fā)現(xiàn)它們都滿足模相乘,輻角相加的規(guī)律,因此,定義兩個復數(shù)相乘的規(guī)則為模相乘,輻角相加;定義兩個復數(shù)相除為模相除,輻角相減,即設z1=(r1,θ1),z2=(r2,θ2)是兩個復數(shù),則定義z1z通過它們的相互轉化,我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學內部是如此的和諧統(tǒng)一,能夠充分感受到數(shù)學的美.需要向老師說明的是,高中階段復數(shù)的學習只需代數(shù)形式,其他表達方式不作要求.
(三)復數(shù)在生產實踐和科學實驗中都有著廣泛的用途
隨著人們對復數(shù)研究的不斷深入,關于復數(shù)的學科已成為數(shù)學的重要分支之一,隨著它的領域的不斷擴大而發(fā)展成龐大的一門學科,在自然科學其他(如空氣動力學、流體力學、電學、熱學、理論物理等)及數(shù)學的其他分支(如微分方程、積分方程、概率論、數(shù)論等)中,復數(shù)都有著非常重要的應用.
二、教育價值
“數(shù)系的擴充及其復數(shù)的引入”的教育價值體現(xiàn)在:
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