數值方法范文
時間：2023-04-07 14:03:49
導語：如何才能寫好一篇數值方法，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。
篇1
1.觀察法
對于一些簡單的函數，可在定義域及函數對應關系基礎上確定函數的值域，這叫觀察法。
由于函數值域是對應于函數定義域的函數值集合，因此首先要考察函數結構。在此基礎上，從定義域出發，逐步推斷出函數的值域。
例1：求函數y=（x-3）的值域。
解：函數定義域為-1≤x＜1，又≥0，x-3＜0，y≤0，即函數值域y∈（-∞，0］。
2.反函數法
如果函數在定義域內存在反函數，而求函數值域又不易求解時，可在通過求反函數的定義域的過程中而使問題獲解，叫反函數求函數值域的方法。
即由y=f（x），反解出求函數x=f（x），原函數值域包含在f（y）的定義域中。然后分析二者的關系以確定函數值域。此法的成功取決于反解成立，分析正確，并注意在反解過程中保持同解性。
例2：求函數y=+，x∈（0，1］的值域。
錯解一：y=+≥2，函數值域y∈［2，+∞）。
剖析：當x=（0，+∞］時，結論x=［2，+∞）才是正確的。但當x∈（0，1），這個結論就不可靠了。
錯解二：y=+?圳x-2yx+4=0，
x∈R，4y-16≥0，解得y≤-2或y≥2。
函數值域為（-∞，-2］∪［2，+∞）。
剖析：以上求出的結果，只能是x∈（-∞，0）∪（0，+∞）時函數的值域，解法二同樣忽略了0≤x≤1了這一限制條件，而x∈（0，1］的值域用“判別式法”是無法解決的。
正解：（反函數法）y=+?圳x-2yx+4=0，
x∈（0，1］，y≥2，y+≥2（1），方程（1）的根只能是x=y-，由0＜y-≤1，解得y≥，函數值域為［，+∞）。
3.轉化法
利用已知值域的函數或所給函數的定義域，作為“媒介”，將待求值域的函數式變形。通過適當的運算，求得所給函數的值域。將所求函數值域問題轉化為熟知的基本初等函數的值域問題，常能化難為易。
例3：求函數y=的值域。
解：由函數表達式得：2sinx+ycosx=3-y?圳sin（x+θ）=3-y，其中θ由sinθ和cosθ=確定。
|sin（x+θ）|≤1，（）≥（3-y）?圳y≥，即原函數值域y∈［，+∞）。
4.不等式法
運用不等式的性質，特別是含等量的不等式，分析等號成立的條件，以確定函數值域，叫不等式求函數值域的方法。
例4：已知α∈（0，π），求函數y=sinα+的值域。
錯解：α∈（0，π），sinα＞0，＞0，sinα+≥2=2，函數值域為［2，+∞）。
剖析：由于忽略了“當且僅當sinα+時上式才能取等號”，但因|sinα|≤1故sinα≠，因此上式不能取等號，至少應有y≠2。
正解：α∈（0，π），sinα＞0，＞0，sinα+=sinα++≥3≥3。
當且僅當sinα=，即sinα=1時，上式能全取等號。
小結：用“不等式法”求函數值域，主要是利用“幾個正數的算術平均值不小于其幾何平均值”，但須注意取等號時條件是否能得到滿足。
5.最值法
由于初等函數在其定義域內是連續的，所以我們可以通過求函數在定義區間內的最大值，最小值的辦法，并求函數的值域。
例5：求函數y=的值域。
解：由函數定義域知，cosx∈［-1，-）∪（-，1］。
（1）當cosx∈［-1，-）時，y=x+=1-（-1），（）=-1，注意到cosx?邛（-），y?邛-∞-∞＜y≤-1。
（2）當cosx∈（-，1］時，（1+2cosx））=-1，（）=，注意到cosx?邛（-），y?邛+∞，≤y＜+∞。
故函數值域為（-∞，-1］∪［，+∞）.
一般二次函數的值域常用此法求解。有些高次整函數也可用此法。
6.判別式
根據一元二次方程ax+by+c=0有實根時，=b-4ac≥0。的性質，求函數值域的方法叫做判別式法。
例6：求函數y=2x-7x+3的值域。
解：2x-7x+3-y=0，且x∈R，=b-4ac=49-8（3-y）≥0，y≥，該函數值域為［，+∞）.
此法可用于行如：y=（A，P不同時為零，分子分母無公因式）的函數的值域。但必須強調：（1）是既約公式；（2）驗證端點值是否能取到；（3）整理成行如一元二次方程的形式后，若平方項系數含字母要討論；（4）若定義域人為受限，則判別式法失效。
7.換元法
通過代數換元法或者三角函數換元法，把無理函數、指數函數、對數函數等超越函數轉化為代數函數求函數值域的方法叫換元法。
例7：已知函數f（x）的值域是［，］，求y=f（x）+的值域。
解：f（x）∈［，］，≤f（x）≤，故≤≤。令t=，則t∈［，］。有f（x）=（1-t），y=g（t）=（1-t）+t=-（t-1）+1，由于g（t）在t∈［，］時單調遞增
當t=，y=，當t=，y=，
y=f（x）+的值域是［，］.
8.圖像法（數行結合法）
通過分析函數式的結構、定義域、單調性、奇偶性、極值等。確定若干有代表性的點，勾畫出函數的大致圖形，從而確定函數的值域。
例8：求函數y=|x-1|+x的值域。
解：原函數可以表達成：當x≤-1或x≥1，y=|x-1|+x=（x+2）-；當-1≤x≤1，y=|x-1|+x=-（x+）+。
作出函數圖像（見圖1）
由圖像知函數值域為［-1，+∞）。
9.單調性法
利用函數單調性，先求出函數的單調區間，再求每個區間上函數的值域，最后取其并集即得函數值域。
例9：求y=x-的值域。
解：y=x和y=-均為單調增函數，
y=y+y=x-為增函數，由定義域x≤知y=，故y≤.
10.配方法
如果給定一個復合函數，y=f［g（x）］，若g（x）或f（x）可以視為一元二次多項式，則要用配方法求其函數值域。
例10：求y=x+的值域。
解：y=x+=1-（-1），在定義域x≤內，顯然有（-1）≥0，y≤1，函數值域為（-∞，1］。
本文僅從求函數值域的十種常用方法談起，在不同的文獻中可能會有與本文有出入的其它不同的方法，但解法大致相同，如構造法、極限法、解析法、復數換元法、三角代換法、恒等變換法、有理化法等。當然，本論文求函數值域的方法不是一成不變的，應在多次解題過程中綜合并靈活應用這幾種方法。
參考文獻：
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篇2
論文摘要：在水利水電工程中，存在許多有自由面的無壓滲流問題，自由面是滲流場特有的一個待定邊界，這使得應用有限元法求解滲流場問題時，較之求解溫度場和結構應力等問題更為復雜。歸納總結了無壓滲流分析的各種數值計算方法，分析比較了其優缺點和適用條件，提出了無壓滲流數值分析方法的發展趨勢。
1引言
在許多水利工程中(如土石壩滲流、混凝土壩滲流、拱壩繞流、地下結構滲流等等)，都存在著無壓滲流問題，這類問題的關鍵在于求解滲流場的邊界，即確定事先不知道其位置的自由面和溢出面，屬于非線性邊界問題。求解該問題的有限元法以往采用移動網格法。雖然取得了許多成功的經驗，但也表現出方法本身的缺陷。為解決上述問題，國內外學者致力于尋找有自由面滲流分析的新方法。其研究核心就是計算中不變網格，自Neumann于1973年提出用不變網格分析有自由面滲流的Galerkin法以來，出現了多種固定網格法，如剩余流量法、單元滲透矩陣調整法、初流量法、虛單元法和虛節點法等。
2無壓滲流的數值分析方法
2.1調整網格法
調整網格法先根據經驗假定滲流自由面的位置，然后把它作為一個計算邊界，按照vn=0的邊界條件進行分析，得出各結點水頭H值后，再校核H=z是否已滿足。如不滿足，調整自由面和滲出點的位置，一般可令自由面的新坐標z等于剛才求出的H，然后再求解。
該方法原理簡單，滲流自由面可以隨著求解滲流場的迭代過程逐步穩定而自行形成，并且迭代是收斂的。但是，當初始自由面與最終自由面相差較大時，容易造成迭代中的網格畸形，甚至交錯重疊；當滲流區內介質的滲流系數不均勻時，特別是有水平分層介質時，程序處理困難；對復雜結構問題，由計算機自動識別和執行網格移動幾乎是不現實的。
2.2剩余流量[1]
剩余流量法通過不斷求解流過自由面的法向流量（稱為剩余流量）建立求解水頭增量的線性代數方程組，達到修正全場水頭和調整新的自由面位置的目的。迭代過程中只需一次形成總體滲透矩陣，但需要判斷自由面被單元分割的各種情形，要求算出穿過單元的自由面被單元切割的面積及流過自由面的法向流速，計算工作量很大，難以推廣到三維問題中。剩余流量法的全部調整均基于第一次有限元計算的結果，因而計算精度較差。
2.3單元滲透矩陣調整法[2]
單元滲透矩陣調整法利用對滲流場有限元計算的結果，根據單元結點水頭與結點位置勢的比較，把滲流場進行分區，各區的滲透系數給不同的值，通過不斷調整單元滲透矩陣，模擬滲流不飽和區的作用，來確定出真實的滲流飽和區及滲流場。
該算法實際上是把邊界不確定的非線性問題轉化成了材料非線性問題來考慮。但是，單元滲透矩陣調整法對三維而言其計算效率是很低的，不能真實反映滲透區域的透水特性，計算精度和收斂穩定性都受到影響。
2.4初流量法[3]
初流量法利用高斯點的水頭求出結點的初流量作為求解水頭增量的右端項，避免了求自由面被切割的面積，同時避免了每次迭代中確定自由面的位置的做法，大大簡化了剩余流量法的計算工作量。由于初流量法在計算跨自由面單元的結點初流量時，自由面以下的高斯點未予計算，計算精度受到影響。初流量法其收斂性不盡人意，解的穩定性不好。
2.5虛單元法[4]
虛單元法以上一次有限元計算的結點水頭值為基礎，求出自由面與單元邊線的交點，移動跨自由面單元的某些結點，使之落于交點處，自由面將單元分成滲流實區和虛區。滲流虛區在下一次計算中退出計算區域，隨著滲流計算區域向滲流實區逼近，結果也逼近問題的真解。該方法對三維復雜問題不適用，易產生結果收斂不穩定的現象。同時，虛單元法在處理有自由面穿越的單元時，結點移動路徑的確定是比較困難的。
2.6虛節點法[5]
虛節點法以上一次有限元分析求得的節點勢為基礎，求出自由面和單元節線的交點，根據交點確定單元的積分區域，形成下一次分析的滲透矩陣。不同于虛單元法，虛節點法無需移動任何節點，因此不會出現網格畸形；虛節點法對網格不作改動，并能精確地描述跨越自由面單元的滲透矩陣，具有很好的精度和數值穩定性。
此外，無壓滲流的數值分析方法還有邊界單元法、流形單元法、無單元法等。
3無壓滲流數值分析方法的比較
調整網格法計算原理簡單，迭代過程穩定而自行形成，迭代過程收斂，但該算法對有復雜夾層和復雜排水系統的水工結構處理起來太困難，幾乎不可能實現；另外對初始滲流自由面位置的假定要求也較高，如果初始位置與最終自由面位置相距甚遠，則極易造成單元嚴重畸變，影響計算的精度；剩余流量法計算工作量很大，難以推廣到三維問題中。初流量法在剩余流量法的基礎上作了重大改進，大大簡化了剩余流量法的計算工作量，但是收斂穩定性較差，而且由于兩種算法的整個迭代過程依賴于第一次有限元計算的結果，精度受到一定的影響。單元滲透矩陣調整法對跨自由面單元按復合材料單元處理，復合材料單元滲透系數在復合面突變，其單元滲透矩陣不能代表這一特性，且矩陣主系數常不占優，因而計算精度和計算穩定性均受到影響。虛單元法對三維復雜問題不適用，易產生結果收斂不穩定的現象。虛節點法具有很好的精度和數值穩定性。
結論
本文歸納總結了各種無壓滲流數值計算方法的原理及其優缺點，得到如下結論：
傳統的調整網格法雖仍被使用，但由于自身的缺陷給應用帶來諸多不便，因而正在逐漸被固定網格法所取代。具體選擇計算方法時，應從問題的復雜度、收斂性及精度要求等方面加以考慮。現有的大型商用軟件如ANSYS提供了良好的二次開發環境，用戶可以通過二次開發，來實現無壓滲流的數值分析。
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篇3
從這個例子中我們發現，對于同一個對應法則的函數，不同的定義域可能會引起函數值域的改變（即使值域沒有改變也應視為不同的函數）.更為關鍵的是，當定義域是連續變化的數集時，值域就是連續變化的數集，當定義域是離散的數集時，那么相應的值域也就相應變成了離散的數集.這就說明，盡管函數的值域是由定義域和對應法則共同確定的，但值域本身的連續或離散的特性只是由定義域本身決定.
我們平常要求的函數的值域大多數都是定義在連續數集上的函數，以下我們所研究的話題如未作特殊說明均基于此.從函數值域定義可以發現，要求出所有的函數值是不現實的，我們只能求出有限的幾個，那么究竟要求出幾個呢，聰明的同學當然想到了，只需求出函數值中的最大和最小的就可以了.隨之而來的問題是，是不是所有的函數都有最大和最小值呢，這些最值又是在哪里取到的呢？
要想弄清這點，我們還得從函數最值的概念說起.對于函數y=f （x），其定義域為x∈D，如果同時滿足：①對于任意的x∈D，均有f （x）≤M；②存在x0∈D滿足f （x0）=M，則稱實數M為函數的最大值，最小值的概念只需將條件①中的不等號調整為“≥”即可.從形的角度，函數的最大（小）值就是函數圖象上最高（低）點對應的縱坐標.這里其實已經揭示了函數值域的一個求法：圖象法.
當然，我們不可能每次都通過圖象來解決，而且也不必如此.我們的目標是圖象的最高（低）點，而這是由函數的單調性決定的.對于一個定義在閉區間上函數而言，如果它在定義域內單調，那么它的最大（小）值就在區間端點處取得；如果函數在定義區間內某點x=x0的左右單調性發生改變，該點稱為極值點，相應的函數值f （x0）稱為相應的極值，則函數的最大（小）值就在區間端點及極值點處取得.特別值得一提的是，如果該區間內僅有一個極值點，那么在該點處取得的極值必為相應的最值.
到這里我們就不難明白前面給出的錯誤案例中同學錯解的原因了，他知道要去求函數的最值，但是不清楚函數的最值并不一定在定義區間的端點處取得.正確的解答應該是：
現在我們應當清楚，函數值域的最根本的求法就是單調性法（圖形求解的數化）；我們要想跨越“函數值域求解”這道鴻溝，只需做到下面兩點：①熟悉常見基本初等函數（一次函數、二次函數、反比例函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、勾形函數等）的單調性；②能利用配湊、換元等手法將復雜的函數化歸為基本初等函數.
篇4
隨著電子技術和通信技術的發展，無線通信以及遙測遙控系統被廣泛應用于工業、農業、航空、航海等各個領域中。出海口及內陸河道作為航海航運重要的一部分，其管理維護方法及管理質量對我國航運業的影響至關重要。發展至今，電子通信產品的可靠性越來越高，成本越來越低，這使得航道管理維護自動化、數字化的實現成為可能。GPS(全球定位系統)是美國國防部于1973年開始研制的衛星全球導航定位系統，主要為其海陸空三軍服務。近幾年來已逐步應用于民用設施及測繪技術中，同時美國軍方逐步放松對民用GPS設備的限制，使得民用GPS達到了比較高的定位精度。利用GPS對航道航標等設備進行位置遙測與監控是一種比較理想的方法。本文以航標監控的具體要求為標準，把整個航道管理區域內需監控的目標物組成一個GPS遙測網，并利用各種濾波方法消除相應的誤差，提高了遙測數據的準確性。
1 GPS OEM板與航道GPS遙測網
1.1 GPS OEM板
GPS OEM板是GPS接收機中一個重要的組成部分，它具有成本低、體積小、重量輕、產品種類多、性價比高等很多優點，因此被廣泛應用于定位及導航領域中。它的定位精度已經能達到幾十米，甚至可以達到10米以內的精度。本課題所用到的Thales集團導航定位公司的GPS OEM B12就是一款性價比很高的產品。
1.2 航道監測
航道是交通網絡中一個重要組成部分，其安全質量直接影響著整個交通系統。以前航道部門專門在航道的堤岸、橋頭、故障物旁邊安裝各種航標燈作為警戒導航裝置，各種船只可以根據航標燈光及其閃動頻率來確定自己的航向。至于航標的維護，則是航道部門每隔一定時間派巡航船只對各航標燈進行目測和實測。因為航道中航標燈比較多，這就使得這種巡航航道的維護方式操作繁瑣，運作維護成本高，安全質量低。
1.3 航道GPS遙測網
航道中航標遙測網主要是對水標(拋錨在水中的航標)進行遙測以便對其位置進行實時監控(其系統原理圖如圖1所示)；而岸標(固定在堤岸上的航標)由于其位置不變所以無需GPS遙測。GPS在航標遙測網中的實際任務就是實時測量航標燈所在位置，并與預先劃定的位置范圍進行比較，如果漂離出所標定的范圍，即通過GSM網發送警報信息給監控中心，以便于監控中心采取相應措施。這將就可以排除航標燈因船只碰撞、水流沖擊等原因而漂離引起事故。而每個航道管理區域內有成百個水標，因此在提高安全質量的同時也需考慮成本投入。根據航道的具體要求，其精度并不需要精確到米級以下，因此不需要價格昂貴的高精度GPS接收機及測量儀。同時將GPS OEM板與水標進行捆綁，可以以相對較低的成本取得高質量的管理效果。本系統使用的是法國Thales公司生產的B12 GPS OEM板模塊，它具有并行的12個接收通道(即同時可以接收12顆定位衛星傳送的星歷信息)。
2 誤差分析、數值處理及控制流程
2.1 誤差分析
GPS測量的誤差主要包括衛星部分、信號傳播、信號接收等各個方面帶來的誤差，但從性質上來講可以歸納為系統誤差和隨機誤差兩部分。其中系統誤差主要包括衛星的星歷誤差、衛星鐘差、接收機鐘差以及大氣折射的誤差等。隨機誤差主要包括信號的多路徑效應等。雖然系統誤差比隨機誤差要大些，其消除主要靠接收機本身[1]，但是它總是有一定的規律可循的，所以采取一定的措施進行處理對整個系統的可靠性都是非常重要的。由于水面多路徑效應比較嚴重，所以使用精密相位中心、具厄流圈的測量天線是消除由于水面環境所引起誤差的一個重要方法。
2.2 數值處理
針對各種誤差，測量技術中已應用了各種濾波方法來消除或減弱各種誤差的影響，例如中值濾波法、算術平均濾波法、進退遞推濾波法等。通過大量的測量試驗與觀察分析發現，隨著時間的不同、衛星分布狀態的改變以及天氣的變化，GPS所讀數據都有不同曲線方向的飄移，但是其分布狀態接近于正態分布，所以采用一些濾波方法對數據進行處理對整個測量系統精度的提高至關重要。以下是系統中所用到的幾種濾波方法。
中值濾波法：即對所測三個數據進行排序，去掉最大和最小的一個，取中間值作為測量值。基于這種思想，本文在終端控制器上電初始化的時候連續測量n(可調)次經緯度數據并將它們從小到大進行排隊，去掉最大的m次數據和最小的m次數據，以中間的n-2m次數據作為基準，并存于一個存儲單元。由于航道遙測系統對實時性要求并不高，所以把n盡量取得大些。設n次所讀數據和為Xn，經排序后最小m次數據和為XmMIN，最大m次數據和為XmMAX，則：
Xsum=Xn-XmMIN-XmMAX
把Xsum存于存儲單元作為后續處理方法的和基準。 算術平均濾波法：即采樣一定量的數據，然后對其求平均值作為測量估計值，這樣可以使得偏離真值的正負誤差相消，從而使測量值更接近真實值。本課題將前面所取得的n-2m次測量數據作算術平均，且存于固定的算術平均值存儲單元，并根據以后所讀數據進行實時修正。這樣有：
X=(Xswn)/(n-2m);Xi=(Xsumi)/(n-2m).
其中，X是初始化時所求平均值，作為一個平均基準存于存儲單元。Xi是每讀一次數據所求平均值，作為位置評估值應用于位置飄移判斷控制中。
進退遞推濾波法：前面兩者都是讀取一定數據以后再作后處理，而測量過程中必須對所測數據進行實時處理。所以，所測量經緯度的變化趨勢必須反應出來，以便航標因為意外而漂出所給定范圍時能實時向監控中心發送警報信息，從而進行修正。本文根據實驗與觀察的結果，采取進一新數退一平均數的進退遞推濾波方法，即：
Xswni=Xsum_i-1+Xi-1+xi
限幅濾波法：在測量過程中，常常會碰到偏離中值較遠的粗大誤差。這對經過前面幾種濾波法處理后的數據基準會產生較大的沖擊，限幅濾波法就是針對這一思想的。設定一個閾值，當所測數據與基準數據比較后，差值超過閾值就認為是粗大誤差并舍掉。但是本課題中如果航標燈因意外而漂出很遠，就必須能識別出來，而不能當粗大誤差全部舍掉。所以在控制程序中專門設計了一計數器對舍掉比率進行計數，如果舍掉比率大于某一值則重新初始化，即重新讀取n-2m次的和基準及其算術平均基準。
圖2、圖3、圖4分別是對利用Visual Basic6.0開發的數據采集與處理程序采集的10小時GPS數據進行幾種數據處理后的坐標示意圖(其中，橫坐標、縱坐標分別表示經、緯度)。從這三個圖中可以看出，從圖2到圖4，數據收斂性依次增強，可見綜合幾種濾波法于數據處理中，將大大減少誤差，提高系統精度。
2.3 控制流程
篇5
【關鍵字】土層錨桿；錨固體界面；分形特征；分形數據
引言
隨著計算機功能的不斷強大和電子信息技術的不斷突破，巖石力學數值方法得到了快速的發展，有限差分法、有限元法、邊界元法、離散元法、塊體元法、無限元法、流形元法及其混合應用等多種數值方法的出現和應用，解決了巖石力學工程中復雜的計算和預判問題，實際巖土工程設計和分析發生了極大的變化。
雖然數值方法可以進行仿真模擬，但是在實際工程中，巖體具有非連續、非均質、各向異性、天然初始地應力影響、地下水影響及復雜邊界條件處理等諸多復雜性，巖石力學數值方法還在不斷改進和完善中。總體來說，巖土工程數值方法在巖土工程的作用會越來越大？，隨著其可靠度的不斷提高，數值方法將會起到至關重要的作用。
1、有限元理論及ANSYS軟件介紹
1.1有限元基本理論
有限單元法出現于40年代，被應用機結構分析，有限元這個術語是1956年Turner首先使用的。一般來說，任何能用微分方程描述的物理現象，都能夠通過變分原理建立的有限元方法來模擬，所以有限元的應用非常廣泛。不但可以解決像荷載―位移問題，還可以解決滲流、熱傳導等問題。
有限元法的基本思想是用分段逼近的方法， 從力學分析上講，有限單元法是將連續體離散，化為一系列不連續的、在節點處彼此鄰接的單元體，從而提出一個在物理上與實際的系統充分近似的模型。各單元可以有各種不同的力學形態，并用有限個參數來描述它的力學特性，而整個連續體的力學特性，就是這些小單元力學特性的總和，并由此建立各種物理量的平衡關系，因而能更正確地模擬巖體的實際狀態。
1.2ANSYS軟件簡介
ANSYS軟件主要包括三個部分：前處理模塊，分析計算模塊和后處理模塊。前處理模塊提供了一個強大的實體建模及網格劃分工具，用戶可以方便地構造有限元模型；分析計算模塊包括結構分析、流體動力學分析、電磁場分析、聲場分析以及多物理場的禍合分析，可模擬多種物理介質的相互作用，具有靈敏度分析及優化分析能力；后處理模塊可將計算機結果以彩色等值線顯示、梯度顯示、矢量顯示、粒子流顯示、立體切片顯示、透明及半透明顯示等圖形方式顯示出來，也可將計算結果以圖表、曲線形式顯示或輸出。ANSYS軟件提供了100種以上的單元類型，用來模擬工程中的各種結構和材料。該軟件有多種不同版本，可以運行在從個人機到大型的多種計算機設備上，如PC、SGI、HP、SLTN、DEC、IBM、CRAY等。
2、巷道模型建立
2.1有限元模型的基本假設
數值模擬的可靠度在一定程度上取決于所選取的計算模型。本次的數值模擬從解決工程實際問題的角度出發作了一些必要的假設：
（1）視巖土體為連續均質、各向同性的力學介質。
（2）不考慮地下水、地溫對巷道穩定性的影響。
（3）因礦體埋深比較大，忽略地表地形對采場圍巖應力分布的影響。
2.2本構模型及力學參數選擇
巖石、混凝土和土壤等材料都屬于顆粒狀材料，此類材料受壓屈服強度遠大于受拉屈服強度，且材料受剪時，顆粒會膨脹。描述這類材料的強度準則時，采用了Drucker-Prager 屈服準則，使用 Drucker-Prager 屈服準則的材料簡稱為 DP 材料。其流動準則既可以使用相關流動準則，也可以使用不相關流動準則，其屈服面并不隨著材料的逐漸屈服而改變，因此沒有強化準則，然而其屈服強度隨著側限壓力（靜水壓力）的增加而相應增加，其塑被假定為理想彈塑性。
2.3幾何模型及單元劃分
巷道模型采取1：1尺寸模擬。建立了直墻拱形斷面。一般來講，對于大范圍的模擬分析，其模擬范圍取到所考察對象的3倍即可滿足要求，因此初步確定模型計算的邊界如下：巷道周圍小邊界上下為4倍洞徑，左右為5倍洞徑。
2.4巷道穩定性研究過程
。運用控制變量的方法，對不同水平不同因素作用下，對表征量的變化和分布特點進行對比分析。
（1）首先在錨桿預應力同為30MPa，垂直壓力為20MPa時，比較側壓力系數對支護的影響，側壓力系數為0.8，1，1.2分析不同側壓力系數下巷道支護的應力，應變情況。
（2）側壓力系數均為1.2，錨桿預應力同為30MPa，垂直壓力為10MPa，20MPa時研究垂直壓力對巷道支護的影響。
（3）側壓力系數同為1，垂直壓力同為20MPa，有無預應力，研究預應力對支護的影響，分析襯砌軸力，彎矩的情況得出相應的結論。
（4）側壓力系數均為1，錨桿預應力同為30MPa，垂直壓力為20MPa，對有無反底拱研究。研究增加反底拱后支護的軸力，彎矩，分析研究反底拱對支護的作用。同時分析研究直墻拱和矩形兩種斷面，分析研究反底拱對不同斷面形式影響的大小。
最后得出：增加反底拱與沒有反底拱有很大區別，增加了反底拱之后，兩幫的彎矩減小，等效應力也減小，兩幫通過反底拱將力傳遞，有效避免了兩幫的破壞。增加反底拱之后，兩幫錨桿的拉力減小。因此增加反底拱我們可以適當減少錨桿數量。
（1）通過對塑性應變圖的研究發現，支護要重點控制頂板及兩幫圍巖塑性區的擴展，加大錨桿錨索的預緊力，以及加密布置錨桿。
（2）通過應力云圖比較發現，底板底角出會出現應力集中現象，為了防止底臌現象的發生采取巷道底部錨桿向下傾斜一定角度的支護措施進行巷道支護。
3、結論
隨著實驗手段的不斷提高和新型實驗儀器的不斷面世，現場實驗數據的采集越來越準確，克服了數值模擬中參數難確定的難題，模擬時參數的準確性直接提高模擬的準確度。數值模擬軟件的開發和應用也在不斷突破，如FLACK的二次開發等，使模擬的實用性越來越強。上述因素決定了數值方法在巖土工程中的作用會越來越重要。
參考文獻（References）：
篇6
關鍵詞： 結構數值分析；有限元法；橋梁工程
中圖分類號： TU997 文獻標識碼： A 文章編號：
1 前言
對于大多數的工程技術問題，由于物體的幾何形狀較復雜或者問題的某些非線性特征，很少能得到解析解。因此，在人們廣泛吸收現代數學、力學理論的基礎上，借助于現代科學技術，提出了第二種途徑，用計算機來得到滿足工程要求的數值解，即數值模擬技術 [1]。
2結構分析方法
計算方法是用微分方程的數值解法對工程結構進行分析計算的方法。在結構分析中力學問題的解法主要有三類，即解析法、半解析法和數值解法[2]。
2.1解析法
根據力學原理，建立微分方程，求解邊值問題，得到問題的解析解。
彈性力學平面問題的求解：2個平衡方程、3個幾何方程、3個物理方程在具體的邊界條件（位移、荷載）下偏微分方程組的數學求解過程。
2.2半解析法
在數值分析方法中采用與引入部分解析解或解析函數，得到問題的近似解。
將解析與數值方法相結合的方法稱為半解析法。它既克服了純解析的理論分析在數學上的困難及應用的局限性，又大大降低了基于全離散原理的純數值方法的計算工作量。
2.3數值分析方法
在結構分析中使用的數值方法很多，其中以有限元法使用最廣，此外，還有差分法、變分法、加權余量法及邊界元法等。這些方法都是將求解微分方程的問題化為求解代數方程的問題，進而求出未知函數（結構的位移、內力、應力等）的數值解，在橋梁結構數值分析中發揮了重要的作用。
（1）有限差分法
有限差分法(Finite Difference Method)的基本思想是將求解區域劃分為網絡，然后在網格的結點上用差分方程近似代替微分方程，直接求解得出基本方程和相應的定解條件的近似解 [1]。
（2）加權殘值法
加權殘值法[3]（Weighted Residuals Method）是將微分方程化為加權積分形式，求近似解。加權殘數法具有原理統一、方法簡便、靈活多樣、工作量小、程序設計簡短、計算速度快、計算精度高等優點。
（3）有限元法
有限元法(Finite Element Method)是計算力學的重要分支，是一種將連續體離散化以求解各種力學問題的數值方法。1960年，Clough R W首先使用了“有限元”這一名稱[2]。這種方法將微分方程問題化為能量極值問題，并采用分片插值，求近似解。
（4）邊界元法
邊界元法化微分方程為邊界積分方程，使用類似于有限元法的離散技術來離散邊界。離散化所引起的誤差僅來源于邊界，因之提高了計算精度。依靠邊界節點上算得的量，即可計算區域內的有關物理量，從而減少了準備工作量及計算量。
（5）無網格法
無網格法[4]從本質上說都是基于變分原理或加權殘值法，由于它采用的形函數以移動最小二乘的方式來擬合真實解，因此比有限元方法具有更高的精確度，其解的收斂性往往取決于權函數的構造形式。
3 有限元分析方法
有限元法是分析綜合法的一種應用，先將結構分解為單元，再將單元合成結構，在一分一合中求得結構問題的解。由剛架計算的矩陣位移法演變而來，由剛架分析移植到彈性力學，矩陣位移法就變成了有限元法。能量變分法是有限元法的基礎[2]。
3.1有限元法的步驟
對于不同物理性質和數學模型的問題，有限元求解法的基本步驟是相同的， 只是具體公式推導和運算求解不同。有限元求解問題的基本步驟通常為：
（1）結構的離散化；
（2）選擇位移模式；
（3）分析單元的力學特性；
（4）建立整個結構的平衡方程；
（5）求解未知結點位移；
（6）計算單元應力及所需要的結果利用已求出的結點位移，計算各單元應力，加以整理得出所要求的結果。
3.2橋梁結構有限元法
有限元法是一種結構分析的通用方法，有限元法將連續體分成有限個單元，互相由結點連結的理想的結點體系。先進行單元分析，用結點位移表示單元內力，然后將單元再結合成結構，進行整體分析，建立整體平衡方程，由此得出結點位移，進一步可求得荷載效應。
3.2.1簡化模型的選擇
僅計算恒、活載作用下總體結構內力，可選用平面桿系模式。計算空間荷載(風載、地震荷載、局部溫差等)作用下的靜力響應，一般選用空間桿系模式。 計算全橋構件的應力分布特性，可選用空間板殼、塊體和梁單元的組合模式。研究結構殊部件的應力集中現象，可進行局部應力有限元分析。選取力學模式要力求簡單、合理，并能抓住主要矛盾。
3.2.2結構離散原則
對于桿系結構，節點和單元的劃分應遵循以下原則：
(1) 結構的定位點應設置節點；
(2) 按照施工過程，分階段施工的結構自然分塊點應該設置節點；
(3) 截面突變處應設置節點；
(4) 對較長的自然分塊，應該適當細分；
(5) 斜拉索、主纜、吊桿、預應力索端點截面一般應設置節點；
(6) 控制截面內力、位移所在位置處應設置節點；
(7) 永久支承和臨時支承部位應設置節點。
3.2.3材料截面和特性模擬
材料特性模擬包括：彈性模量、泊松比、材料容重、溫度線膨脹系數和材料本構關系（非線性分析）。
截面特性分為梁單元、板殼單元和實體單元的模擬：
梁單元中定義的截面特性包括：面積、抗彎慣性矩、抗扭慣性矩、截面抵抗矩、剪切面積、截面形心、截面形心距上下緣（左右腹板）距離、剪切中心和扭轉中心。板殼單元只需定義單元厚度，而實體單元則不需要定義。
非線性分析中如果使用實體單元，一般采用試驗驗證的材料本構關系。而對梁-柱單元，就必須首先通過試驗或詳盡的理論分析來得到構件性能，才能用簡化的非彈性模型模擬預期的構件行為。
3.2.4邊界條件模擬
邊界條件分為力的邊界條件和位移邊界條件。對于從整體結構中取出的局部模型，其力的邊界條件是指截開斷面處的內力或應力。而且要考慮結構其余部分的影響。對于桿系單元模型，內力是以集中力的形式作用的，而對于采用塊體或板殼單元的空間模型，應將內力轉化為等效均布力作用在截面上。
3.2.5荷載模擬
各種恒載、使用荷載可由一系列施加在結構模型上的靜力荷載工況來模擬。施工荷載可用相當的集中力或分布荷載來模擬。汽車荷載要先計算影響線，找出最不利加載位置，然后按規定的車距和軸距加適當的集中力或等效分布荷載。靜風荷載是一般計算時可根據橋梁抗風設計規范簡化成等效靜分布荷載施加于結構進行計算。船撞和流冰荷載按靜力考慮時也是用相應的等代荷載來計算。
4結語
結構分析中力學問題的解法主要有三類，即解析法、半解析法和數值解法，對于相對簡單、受力明確、邊界條件單一的結構可采用解析法求解或半解析法求解。隨著有限單元法的推廣應用，對于橋梁這種大型復雜結構，就需要應用有限元法及相應的軟件進行分析計算。
參考文獻：
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篇7
關鍵詞:汽車覆蓋件;數值模擬;有限元;沖壓成形
中圖分類號:TG386文獻標識碼:A
文章編號:1009-2374 (2010)21-0042-02
汽車覆蓋件一般由鋼板沖壓而成,沖壓成形是一種非常復雜的力學過程,用傳統方法很難求解。近年來,隨著計算機軟硬件技術、圖形學技術、人工智能技術、板料塑性變形理論和數值計算方法等的發展,以及與傳統的工藝/模具設計技術的交叉集成開創了利用CAD/CAM/CAPP技術和CAE數值模擬分析技術進行覆蓋件成型工藝設計的新領域。板料沖壓過程的計算機分析與仿真技術已能在工程實際中幫助解決傳統方法難以解決的模具設計和沖壓工藝設計難題,如計算金屬的流動、應力應變、板厚、模具受力、殘余應力等,預測可能的缺陷及失效形式,如起皺、破裂、回彈等。在汽車覆蓋件的設計中采用數值模擬技術能從設計階段準確地預測各種工藝參數對成形過程的影響,進而優化工藝參數和模具結構,縮短模具的設計制造周期,降低產品生產成本,提高模具和沖壓件產品質量。
1沖壓成形數值模擬理論
板料成形過程及特點決定了其成形是涉及幾何非線性、材料非線性和邊界條件非線性的彈塑性大變形力學問題,如果用傳統的理論分析方法來分析成形過程是不可能的,甚至根本無法實現。長期以來,國內外學者對板料成形性能、成形過程中應力、應變分布的研究基本建立在實驗或經驗公式的基礎上。隨著有限元數值模擬理論技術的發展,人們開始把眼光轉移到其在汽車覆蓋件沖壓成形的應用上來。經過多年的研究,板料成形有限元技術在材料本構關系、單元技術、接觸算法、求解格式等方面得到了發展。
1.1本構關系
目前在汽車覆蓋件沖壓過程進行分析中,凸模、凹模及壓邊圈在沖壓過程中的變形小,通常采用剛體材料模型,而對于板料大多采用彈塑性本構關系,對于不同的金屬有不同的彈塑性模型可以選擇。
建立彈塑性本構關系模型首先要解決復雜受力情況下屈服狀態以及屈服后的塑性流動,解決復雜受力情況下屈服狀態就要建立屈服準則。沖壓成形領域中經常采用的屈服準則有:von Mises屈服準則、Hill屈服準則以及3參數Barlat屈服準則。在早期的沖壓分析中,板料被假設為各向同性材料,因此經常采用von Mises屈服準則,后來隨著有限元的發展,研究人員證明板料是各向異性的。Hill提出了用二次函數來描述正交各向異性材料的塑,即Hill屈服準則。但Hill屈服準則卻無法正確分析分析多晶體塑性材料,因此人們進一步研究建立了許多屈服函數和屈服準則來描述多晶體塑性材料。例如Barlat等人提出了一種形式化的方法來描述多晶體材料的屈服準則。
經實驗分析表明:當厚向異性系數r較小時,使用Hill屈服準則建立的材料模型,計算結果誤差很大,甚至大于使用von Mises屈服準則的材料模型。而采用3參數Barlat屈服準則進行分析時,則能夠得到滿意的結果。當厚向異性系數r較大時,則Hill準則和3參數Barlat屈服準則都能獲得正確的結果。3參數Barlat屈服準則的結果要優于Hill準則,vonMises屈服準則結果最差。因此在汽車覆蓋件沖壓成形分析中3參數Barlat屈服準則是最常用的材料模型。
1.2單元技術
用于沖壓成形有限元分析的單元有三種:基于薄膜理論的薄膜單元、基于板殼理論的殼單元和基于連續介質理論的實體單元。薄膜單元格式簡單,但忽略了彎曲效應,因而只適用于分析脹形等彎曲效應不明顯的成形過程。在薄板殼的成形分析中,又因為薄膜理論是二維理論,因此薄膜單元只適合二維成形問題分析。實體單元雖然考慮了彎曲效應和剪切效應,但由于計算時間太長,除非板料厚度非常大的情況下,一般在汽車覆蓋件成形分析中不采用實體單元。基于板殼理論的殼單元不僅考慮了彎曲效應和剪切效應,而且板殼單元是處理薄板三維變形的工具。因此,在汽車覆蓋件成形分析中常采用殼單元。
對于薄殼單元,人們提出采用Kirchhoff理論和Mindlin理論其應力或應變狀態進行簡化。Kirchhoff理論需要構造C1連續性插值函數,在三維分析中構造C1連續性插值函數是非常困難的,構造的殼單元效率也很低,因此在沖壓成形分析中不采用基于Kirchhoff理論的C1型殼單元。Mindlin理論采用位移和轉動獨立插值的方法,從而使問題簡化。近年來人們開發了很多種基于Mindlin理論的殼單元,例如BT殼單元,由于其計算結果準確、計算效率高,因此常用來建立汽車覆蓋件成形分析中板料的有限元模型。
1.3接觸算法
板料變形時,接觸發生的時間和位置隨著接觸體的變形而改變,用有限元處理接觸問題時必須建立正確的接觸問題模型。接觸界面的處理實際上找出所有接觸對及狀態,然后計算每個接觸對的作用力。前者需要解決的是接觸點、接觸區域的搜索及接觸狀態,后者需要解決的是接觸區域間法向接觸力和切向摩擦力的計算。在進行有限元分析時尋找接觸對的方法通常采用增量搜尋或桶式分類搜尋。接觸力的計算主要應用的是罰函數法,切向摩擦力的計算采用修正的庫侖摩擦定律。
2數值模擬軟件
經過多年的發展,利用沖壓成形模擬技術和相關理論,人們已經可以對部分板材沖壓加工過程進行準確模擬,并且人們開發了許多商業軟件應用于生產實踐中,通常軟件的開發往往基于不同的原理,不同的軟件反映了沖壓成形分析中有限元方法的差異,例如按變形原理可以分為基于剛塑性變形的SHEET-3軟件和基于彈塑性變形的Auto-Form、PAM-Stamp和Dyna-Form軟件,按求解格式又可以分為基于靜力隱式格式的Auto-Form軟件和基于動力顯式格式的PAM-Stamp和Dyna-Form軟件。雖然基于不同的原理,但實踐表明利用這些軟件對板料成形過程進行模擬從而指導實際生產過程的方法是切實可行的。
但是由于汽車覆蓋件本身的復雜性,覆蓋件沖壓成形的影響因素極其復雜,覆蓋件沖壓成形涉及的領域極廣,所以對汽車覆蓋件沖壓成形問題的研究依然存在許多問題,例如仿真建模的合理性和準確性;材料屈服模型;計算效率和計算精度問題;回彈問題等。這些問題涉及復雜覆蓋件成形模擬的關鍵部分,因此它的解決定會使汽車覆蓋件成形的數值模擬產生質的飛躍,因此也成為人們關注的重點。
3結論
隨著計算機技術和數值計算方法的發展,有限元數值模擬技術在汽車覆蓋件成形工業中發揮著越來越重要的作用。利用它可以指導實際的沖壓成形過程,可以實現新產品開發周期短、質量高、低成本的目標。目前板料數值成形技術在汽車覆蓋件制造領域的應用越來越廣泛,經比較和分析表明采用3參數Barlat屈服準則,單元類型為BT殼單元和求解格式為動力顯式格式的有限元方法更適于汽車覆蓋件沖壓問題的分析。
參考文獻
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篇8
關鍵詞:軟土;地鐵車站結構;振動臺試驗;數值計算方法
1 引言
神戶地震和歷史上發生的大震一再表明，對軟土地基中的地鐵車站等地下結構的抗震設計開展研究有重要的意義。對地下結構地震響應的計算，迄今已提出多種算法[1]，然而由于對其涉及的各類復雜因素的影響尚認識不足，不同的計算方法或模型得出的結果存在很大的差異，且很難鑒別各自的合理性。本文建立軟土地鐵車站地震響應的分析理論與計算方法，并通過對模型試驗進行擬合分析驗證了所建立的車站結構動力響應的計算方法的正確性和合理性，以便工程設計實踐參考。
2 軟土地鐵車站結構的振動臺試驗
軟土地鐵車站結構的振動臺模型試驗分自由場振動臺模型試驗、典型地鐵車站結構振動臺模型試驗和地鐵車站接頭結構振動臺模型試驗等三種。試驗開展過程中遇到的技術難題包括對地鐵車站縱向長度的模擬，場地土的動力特性與地震響應的模擬，模型箱的構造與邊界效應的模擬，以及量測元件設置位置的優選等。筆者對這些技術難題逐一進行了研究，并都提出了行之有效的解決方法， 使試驗取得了可靠的數據[2][3]。
試驗過程中，首先進行了自由場振動臺模型試驗，用以模擬自由場地土層的地震反應，據以獲得模型箱內不同位置處的土的加速度響應，確定“邊界效應”的影響程度和鑒別模型箱構造的合理性;然后通過典型地鐵車站結構振動臺模型試驗了解地鐵車站結構與同作用時地震動反應的規律與特征，為建立地鐵車站地震響應的分析理論和計算方法提供試驗數據。振動臺模型試驗記錄了在不同荷載級別的EI-Centro波、上海人工波和正弦波激振下，加速度測點傳感器的反應;由動土壓力傳感器，得到了各測點在不同加載工況下的動土壓力反應時程;根據結構模型構件上布置的應變片，測得了構件應變的變化。
3 軟土地鐵車站計算方法
將自由場土體簡化為多自由度體系，其動力平衡方程可表示為:
[M]{ü}+[C]{u}+[K]{u}={f}
(1)
篇9
關鍵詞：纖維增強混凝土；聯肢剪力墻；低周反復荷載；抗震性能；剛度；延性
中圖分類號：TU973.16
文獻標志碼：A
文章編號：1674-4764（2012）04-0072-08
Numerical Simulations and Design Method of Coupled Wall System with FRC Coupling Beams
CHE Jialing, LIANG Xingwen, DANG Zheng，DENG Mingke
(Xian University of Architecture and Technology, Xian 710055, P. R. China)
Abstract:Using the software, ABAQUS, accurate simulations of seismic behavior of 2 coupled wall specimens and 2 cantilever structure wall specimens using high performance fiber reinforced concrete (FRC) in plastic hinge under quasi-static cyclic loading were carried out. The analysis model proves to be effective with the accordance between results of computation and experiment, then it can be used to analyze the seismic behavior of coupled wall system with FRC coupling beams. By using the verified numerical model, the ability of FRC coupling beams instead of RC coupling beams to provide acceptable performance was discussed. In addition, the impact of coupling ratio on seismic behavior of coupled walls was studied. The results show that coupled walls in which FRC coupling beams are used instead of traditional RC beams have good energy dissipation and ductility, and its initial stiffness is increased and stiffness degradation is slow. And as the coupling ratio of coupled wall structures increases, the stiffness and strength increase. But if the coupling ratio is too large, the ductility and energy dissipation capacity will be significantly reduced.
Key words:high performance fiber reinforced concrete (FRC); coupled wall; pseudo-static; seismic behavior; stiffness; ductility
篇10
關鍵詞：實例 提綱挈領 由淺入深 溫故知新 聯系實際
引言
近十多年來，隨著計算機的廣泛應用，工程地質問題的數值模擬理論和方法迅速發展，有限單元法、有限差分法、邊界單元法、離散單元法及非連續變形分析法等工程地質常用的數值模擬方法不斷成熟和完善，被廣泛應用于工程地質學科的各個領域，如工程地質的結構計算、邊坡（滑坡）穩定性及加固、隧道的開挖及加固、地基基礎的變形分析、大壩穩定性分析、路基沉降及變形及基坑支護工程等等。這也對從事工程地質專業的技術人員提出了更高的要求。因此，掌握常用工程地質數值方法的基本原理、應用條件與使用方法是非常重要的。
一、課程的特點
《工程地質數值模擬的理論與方法》是我校工程地質專業高年級本科生的一門專業選修課，該課程把專業理論、力學計算和計算機應用結合起來，以解決冗繁的數值運算問題，以彈塑性力學、結構力學、線性代數及數值分析等課程的基本內容為基礎，以計算機程序設計語言為手段，以計算機為解題工具，來求解處于一定地質環境條件下的地質體的應力、應變及位移的分布規律。就有限單元方法來講，其主要內容包括形函數矩陣的建立、應變函數矩陣和應力函數矩陣的建立、單元剛度矩陣的建立、總體剛度矩陣的形成與修正、等效節點荷載移置、矩陣的計算機存儲、大型線性代數方程組的解法、高斯求積公式等。
本課程有三個特點。一是公式及矩陣計算冗長，特別是單元剛度矩陣、總體剛度矩陣的形成以及大型線性代數方程組的求解需要大量的推導過程；二是涉及到的內容不容易理解，如單元剛度矩陣形成過程中的虛功原理及高斯求積公式；三是選修課學時少，內容較多，每節課都在講新內容，學生則經常處于被動學習的地位，學習的積極性、創造性、主動性及靈活性得不到充分發揮，容易產生思維上的疲勞。
二、教學方法與技巧探討
為了提高教學效果，在教學過程中，從教學方法、技巧與形式等方面作了一系列的改進，取得了較好的效果。
1. 豐富實例，提高興趣
在本科教學及實踐階段，學生很少接觸工程地質數值模擬的理論與方法，根本不知道數值模擬的作用及其在工程地質中的應用情況，大部分同學僅僅是因為課程名稱比較新穎才選這門課。但是實際情況是這門課對于本科生而言是比較難學的，要面臨很多復雜公式的推導。為了避免“乘興而來，敗興而歸”的局面，更好地培養學生學習的興趣，在緒論的講解中就運用大量的實例進行教學，如在講解數值模擬常用方法時，以離散單元法模擬地下洞室垮塌的過程為實例，以快速拉格朗日分析法模擬隧道加固效果為實例，以非連續變形分析法模擬滑坡失穩及運動的全過程為實例，尤其是講解有限單元法時，分別列舉了該方法在滑坡穩定性分析、基坑位移分析、地基的沉降分析、大壩穩定性分析及隧道開挖過程中應力應變分析的實例，使學生首次清楚地了解數值模擬在工程地質領域中所起的重大作用，首次從數值模擬結果中分析出對工程實踐有用的信息，首次認識到今后所從事的科研生產工作與數值模擬方法的密切聯系。這些實例以其多樣化的信息作用于學生的頭腦，在吸引學生注意，激發學習動機，提高學習積極性方面起到了至關重要的作用。
2. 提綱挈領，把握全局
本門課程講解的重點是有限單元方法，有限單元法的公式推導復雜，虛功原理及高斯求積公式等理論較為抽象，為了使學生學習思路明確，在講課的過程中，應注重通過框圖和提綱的形式展示本門課程的學習內容及其相互之間的內在聯系，注重分析局部內容和整體內容的關系。
課程教學的講解包括兩部分內容，第一部分是理論教學，主要講解有限單元方法解題過程中所用到的相關理論，第二部分是實踐教學，主要講解有限單元方法前處理和后處理數據的輸入及輸出、前處理中網格圖件的可視化及后處理中位移、應力及單元狀態的可視化。這些內容的聯系是非常緊密的，前處理程序生成的網格信息（包括節點位置和單元與節點之間的對應關系）是主分析程序計算的基礎數據源，后處理程序必須基于主分析程序生成結果文件（位移應力信息）進行圖形處理。這些內容通過框圖的形式把課程教學的提綱全部展示出來（圖1），使學生能夠一目了然地掌握本門課程的學習要點、了解有限單元方法解題思路及解題程序之間的數據的傳遞關系。
主分析程序的結構和計算理論是課堂教學的主要部分，主要包括兩部分內容，一部分是單元分析，主要講解節點位移與單元位移、節點位移與單元應力、節點位移與單元應變及節點位移與節點力之間的相互關系，其間涉及到形態矩陣、應變矩陣、應力矩陣和單元剛度矩陣的表達形式和物理意義；另一部分是整體分析，主要講解單元剛度矩陣升階疊加成總體剛度矩陣。這些內容很多，也很復雜，需要用到彈性力學、材料力學、結構力學及線性代數等相關知識。在講解時，把這些內容的相關關系和求解過程用框圖的形式表示（圖2），使學生能夠理清思路，清楚地掌握理論學習上的關鍵點，提高學生學習的興趣。
3. 由淺入深，各個突破
對于從沒有接觸到數值模擬方法的本科生來說，有限單元法的基本原理和步驟以及虛功原理是很復雜，也是最難懂的。直接講解平面問題的有限單元方法時，絕大部分學生聽不明白，如果連續幾次課都不明白，學生就會完全喪失繼續學下去的興趣。面對這一困難，在講解平面問題的有限單元方法之前，先從一維桿件有限單元方法入手，選取線性位移模式，詳細推導形態矩陣、應變矩陣、應力矩陣、單元剛度矩陣及總體剛度矩陣的計算過程。通過最簡單最淺顯的一維桿件的例子，讓學生對有限單元法解題過程有了深刻的認識，為以后進行復雜問題的講解奠定了良好的基礎。對于虛功原理，涉及到實際狀態和虛擬狀態兩種情況，直接講解變形體的虛功原理，上課效果是非常差的，通過簡單的平衡杠桿這一剛體模式（杠桿中間有支點、杠桿兩端受力保持平衡），從力的平衡和力的作用點位移的關系兩種絕然不同的狀態來闡述實際狀態和虛擬狀態，從平衡杠桿力矩的平衡和力的作用點位移的關系來闡述虛功原理，這種采用由淺入深方式的教學效果是非常明顯的。
4. 溫故知新，深化理解
高年級本科生已經學過彈性力學、線性代數及高級程序語言等基礎課程，有限單元法的原理和求解也是基于這些理論，溫習這些已經學過的知識對于理解有限單元方法是至關重要的。如在講解單元分析前回顧彈性力學的應力張量理論、變形的幾何理論、本構關系理論等理論，在講解形態矩陣、應變矩陣及應力矩陣前溫習線性代數矩陣的運算，在求解節點位移之前溫習高級程序語言中大型線性方程組的數值編程解法及矩陣的存儲方式等。通過溫故的方式學生不斷鞏固了已有知識結構和知識體系，而且還能夠綜合運用已經學過的知識去解決新的問題，對于學生綜合的素質的培養有一定的作用。
5. 聯系實際，注重應用
理論的學習固然重要，但將理論用于解決實際工程問題能力的培養也同樣重要，在理論教學完成后，就進入實踐教學階段。實踐教學階段分演示和上機實習兩個步驟進行。演示階段的主要任務是針對具體工程實例，從單元的離散化、數據的輸入、程序的運行、結果的顯示等方面展示有限單元的基本操作；上機實習階段的主要任務是學生熟練掌握有限單元方法數據輸入和基本操作的基礎上，求解二維的巖石力學及工程中的巖體穩定分析，得出研究區應力和位移的分布規律，繪制主應力等值線圖，并針對研究區的破壞狀態對其穩定性作出評價。經過實踐教學階段的訓練，不斷使學生鞏固有限單元方法的基本理論，而且引導學生將理論知識和實踐應用結合起來、為其以后獨立從事科研工作奠定初步的基礎。
結語
教學過程是一個在求索中不斷進步和完善的過程，教學需要根據課程的特點采用一定的教學方法和手段。在《工程地質數值模擬的理論與方法》課程的教學中，選取了大量的實例分析以提高學習的興趣，在提綱挈領的指引下把握內容的全局，采用由淺入深的講解形式解決復雜的知識點，通過溫故知新的方式輕松地學習基本理論，并把理論教學和實踐教學結合起來，使學生學有所成，使教師教有所獲。
參考文獻：
