數值計算范文

導語：如何才能寫好一篇數值計算，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

“數值計算”是初中第二冊（上）第一章《用電子表格處理數據》的第四課時。本章的學習重點在于使學生理解Excel在處理數據方面的強大功能：自動填充、數值計算、數據統計，并能將這些技能應用于實際生活中。而且，本節課要使學生明白兩點：①為什么公式中要使用單元格地址而不能使用具體的數值計算？②函數計算時，注意單元格的范圍。

學生的個人文件夾中已經通過自己錄入或教師機分發擁有超市采購清單、期中考試成績表、積分表、河流數據表、降水氣溫表五個工作簿。因為我校處于城鄉接合部，學生家庭條件不等，學生的操作水平有很大差距，幾乎每節課都有超額完成任務的，也有少數完成不了任務、需要留到下節課提前來趕進度的。本次課前學習了數據編輯，尤其是自動填充，學生們都掌握得很好，為這節課的順利開展打下了基礎。

教學現場

學生進入微機室，因為上節課任務完成得出色，上課鈴響前，播放了一首《嘻唰唰》，學生比較興奮。

上課鈴聲響，提醒學生關閉“金山打字通”，打開課本，開始轉播教師機的屏幕。屏幕上打開的是本節課的學習要點和操作環節。學生觀看，大致了解。

我說：“上節課我們已經親身體驗了Excel智能化的自動填充功能，這節課我們將繼續體驗它的另一大特色――強大的數值計算功能。”

然后，我打開期中考試成績表，如下表。

我引導說：“這是初二級部550名同學期中考試的成績，想要計算每位同學的總分，有什么辦法嗎？”

“用計算器。”好幾名學生一齊喊著。“用算盤。”有一個調皮的男孩小聲說，引起了一片哄笑。

“看看老師用什么辦法，比比哪種方法更快呢？”

我開始邊演示邊講解，在編輯欄中輸入“=C2+

D2+E2+F2+G2+H2”，同時，讓學生對比著每個單元格里的具體數值是多少，單擊“確定”按鈕后，拖動填充柄，幾秒鐘的時間計算出所有學生的總分，只聽下面學生都說：“哇，這么快！”

學生著急了，想著自己也親自試一試，那可不行，我的目的可不僅僅在于此。

“想一想，為什么老師剛才要在公式中用到C2、D2、E2……這些單元格地址，用84、111、83……這些數值計算出來的結果不是一樣嗎？”

“不一樣。”“一樣。”學生開始出現了分歧。

我引導說：“干脆自己去試一試，到底用具體的數值進行計算看結果一樣不一樣？”

這時，我關掉屏幕轉播，讓學生開始操作。很快就有學生大聲告訴我說：“老師，每個人的總分都成一樣的了。”

我問：“為什么？”

“因為……”想說又說不出來，看來有的學生有了意識，但是還需要點撥。我說：“好，既然這樣不能計算出每個人的總分，那么你再用老師的辦法做做看。”

越來越多的學生舉手示意自己完成了，我邊巡視邊接著說：“現在，單擊總分I列任一單元格，觀察編輯欄中公式有什么變化，再單擊另一單元格，看又有什么變化。”

“哦，我明白了。”學生們恍然大悟。為了照顧一部分理解能力稍差些的學生，我又將教師機屏幕進行轉播：“瞧，當我單擊I6單元格時，我們看到編輯欄中的公式自動調整為‘C6+D6+E6+F6+G6+H6’，單擊I12單元格時，公式又自動調整為‘C12+D12+E12+F12+

G12+H12’。大家看教材第27頁第二自然段：如果公式中包含單元格地址，我們就說公式引用了單元格，這種引用叫做相對引用。如果公式中使用了相對引用，那么公式就會隨著使用公式位置的不同而相對發生變化。這也就是我們在公式中要使用單元格地址而不能使用具體的數值計算的原因。”

為了讓學生更進一步理解公式相對引用單元格地址進行計算，將公式計算再提升一個難度，我接著給學生布置一個任務：“快速計算2002年足球甲A比賽各球隊積分（勝一場積3分，平一場積1分，負一場積0分），并告訴我哪支球隊得到冠軍，哪支球隊將降入乙級球隊（積分最低降級）。”學生們興致盎然，都覺得易如反掌。的確，很快就有人高喊“大連實德隊是冠軍”。我過去看了一下，正確！但是很多學生仍然局陷于前面那個練習簡單相加求總分的套子里。我再三地將積分規則重復，再加上先做出來的同學的指導，很快學生們都做完了。我當時就想：這樣的問題在數學課上是再簡單不過的了，小學時就能做出來，但是把數字從紙上搬到屏幕上，我們的學生就解答不出來了，這實在是讓人傷心。

下面開始函數計算了，我首先還是從求和函數入手，屏幕轉播再次切換到期中考試成績表。我說：“Excel還提供了多種函數，每種函數都有自己特定的功能。使用函數可以簡化我們的計算過程。”

我演示如何打開函數對話框，說：“這么多的函數老師不能一一地講，只挑選其中幾個最常用的在課堂上練一練。其實，你會發現，當選中某一種函數時，在對話框的下方會自動提示此種函數的功能。”我接著說，“就拿計算總分來說吧，除了公式計算外，我還可以通過求和函數來完成。”

我接著問：“注意看這里：SUM（C2：H2），‘：’的作用是從哪到哪，即從C2加到H2。那么同學們想一下，如果說，本次考試地理學科成績只做參考，不計入總分，那么我應該如何修改？”

學生回答：“把H改成G。”

我接著問：“如果不計政治呢？”

學生又回答：“把C改成D。”

我心中正為學生對于單元格地址的理解透徹而暗自歡喜的時候，有一個孩子在下面嘀咕了一句：“要是不計語文分數怎么辦？”

我激靈了一下，當時備課時還真沒考慮這個，只是想舉幾個例子練習一下，仔細一想，這個問題問得還真不錯。

我說：“同學們可能還沒聽清吧，來，你起來大聲重復一遍你剛才的問題。”

學生站起來，有些害羞，又講了一遍。

學生們都聽清楚了，都帶著一種表情看著我：“是呀，那怎么辦呢？”

我回答說：“這個問題問得很好。我覺得這位同學勤于思考、敢于質疑，值得表揚。如果是這種情況，函數也是可以解決的。可以在Number1中輸入C2，在Number2中輸入E2：H2，我們看到：SUM（C2，E2：H2），這樣就可以得到正確的結果。當然，這種情況似乎用公式計算更容易讓人理解：C2+E2+F2+G2+H2。總而言之，用函數也好，用公式也好，都是因事而宜、因人而宜的，方便、快捷、準確是進行計算的最終目的。”

課堂重點內容到這里基本結束了。隨后，我讓學生從個人文件夾中自主選擇一個工作簿，進行求平均、求最大、求最小等函數計算，因為有了前面的鋪墊，學生很快就完成了任務。有的學生把所有的工作簿都進行了計算。做完的學生我又接著給其布置任務：教材上課后選做分鉛筆問題，這道題要求學生自學兩個函數，取整函數和求余數函數。這個問題大大地激發了一部分善于思考、樂于挑戰、基礎好的學生。下課前，我從學生中挑選了一位，請他利用廣播系統來演示他是如何解決分鉛筆問題的。學生們在挑戰中得到了極大的滿足。

要下課了，在小結了本節課的收獲后，我留下一個懸念：今天我們只是計算了初二級部550名同學的總成績，怎樣才能在最短的時間內知道自己在級部排多少名？下節課將繼續這部分內容。

現場點評

教學現場征集活動進行到現在，我們已經看到了許多精彩紛呈的優秀作品，本節課又呈現給大家一節特色鮮明的課。我不想在課堂形式上多作討論，仍然想從課堂的內容設計角度探討一二。

第一，本節課很好地體現了技術價值取向的教學目標設計方法。即圍繞單元格中應用公式的必要性這個基本的問題進行了逐步化，最終達成公式設計的技能教育。為了化難為易，本節課采取了三個環節來進行。首先，是比較公式計算與數值計算的優勢區分，引導學生認識到公式的特點；然后，讓學生在“推廣”公式應用的填充技術中，觀察公式單元格地址的變化，從而探索公式自動化填充的本質意義；最后，為了進一步提升地址引用對公式的作用，引入函數計算，從而對地址范圍的定義方法、目的意義進行了功能揭示。這三個環節，層次分明，逐層上升，卻都圍繞著公式技術的價值來做文章，教學效果得到了深化，脫離了單純的信息活動層面帶來的技術弱化和技術模仿化，避免了失去學習的目的。

第二，本節課由于在設計上的寬泛，從而具有了優勢。本節課能夠放松學生的學習情緒，減少學習的框架限制，這從時而冒出的“算盤”、“不計算語文成績”等花絮上都可以看得到。教師沒有因為這些變化受到影響，卻借勢進行了引導。

篇2

Technology Stockholm, Sweden

Ake Bjrck Linkoping University

Linkoping, Sweden

Numerical Methods in

Scientific Computing

vol.1

2008, 717pp.

Hardcover

ISBN 9780898716443

SIAM

G. 達爾奎斯特等著

1974年出版的《數值方法》是當時Prentice-Hall叢書中最成功的經典著作之一,它是在KTH本科教學用書的基礎上編寫的英文版本,正是這本書使得數值方法在科學研究與工程技術中發揮了越來越重要的作用。它已被翻譯成多國文字,1990年出現中文版本。2003年由Dover出版社再版。而這本經典著作正是出自本書的兩位作者之手。

本書共分6章。1.基礎的思想和概念,包括一些數值算法、求線性方程數值解和最小二乘法問題的基本方法、常微分方程數值解法初值問題的基本方法、矩陣計算等內容,還介紹了Monte Carlo法,包括對方差縮減技術、偽隨機數發生器等內容進行了回顧;2.如何獲得和評估準確度。包括誤差估計的基本概念、計算機的計數系統、準確度與舍入誤差、誤差傳播、精度的自動控制與校驗計算;3.級數、算子和連分式。主要討論了數值計算中無窮冪級數的不同用法,包括病態和半收斂級數;4.插值與近似。介紹了多項式插值的基礎知識及相關的插值公式,重點討論了重心Lagrange插值公式的優點,介紹了在復平面中運用復分析推導多項式插值通用Lagrange-Hermite公式,簡單回顧了有理數和多維插值的運算法則。分段多項式在計算機輔助設計與制造中應用越來越廣泛,介紹了如何從分段Bern?tein多項式得到參數Bézier曲線;5.數值積分。首先介紹了等距節點Newton-Cotes法則和數值積分Clenshaw-Curtis插入法則,然后討論了Romberg法和算法外插法。對一些特殊算例中的梯形超法則和用于振蕩被積函數的Filon型方法等超收斂方法也進行了介紹;6.標量非線性方程求解。介紹了二分法、不動點迭代、收斂階等基本概念與方法。

G. 達爾奎斯特教授是瑞典數學家和數值分析學家,1962年創建了皇家科技研究所數值分析系,是數值分析領域的奠基人。1965年被選入瑞典皇家科學院, 1988年受邀參加工業和應用數學學會John von Neumann Lecturer演講。為了表彰G. 達爾奎斯特教授在數值分析領域的開創性工作,1995年SLAM設立了以G. 達爾奎斯特教授名字命名的國際Germund Dahlquist獎,該獎每兩年由工業和應用數學學會頒發一次。1999年由于他在數值分析領域的杰出貢獻獲得了蘇黎世聯邦高等工業學院和工業和應用數學學會的Peter Henrici 獎。

ke Bjrck是瑞典Linkping大學數學系教授,曾于1996年出版《最小二乘法問題的數值方法》一書,1993-2003年間是BIT Numerical Mathematics 雜志的常務編輯。研究方向為數值線性代數、最小二乘法問題和稀疏矩陣計算。

本書作者還根據40年的教學經驗在書中準備了很多問題和練習題。本書可以作為大學本科數值分析課程的入門教材,也可以作為相關科研人員的參考用書。

論立勇,博士生

(中國科學院理化技術研究所)

篇3

關鍵詞：鼻錐 氣動噪聲 數值計算

中圖分類號：P73 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）04（a）-0025-03

Abstract：In this paper， the analysis theory of fluid dynamics is combined with the acoustic boundary element analysis method， and then the numerical caclculation of aerodynamic noise for different snose cones models in high speed airflow field is realized. Through the compare results of the noise sound pressure level（SPL） of these three models we found that the aerodynamic noise of the nose cone that with a ellipsoid head is lower than the one with a hemispherical head， and the ellipsoid nose cone has lower flow-induced SPL than those two commercial nose cone models at relative high air flow velocities at most frequencies.

Key Words：Nose cone；Aerodynamic noise；Numerical calculation

在聲學風洞中進行氣動聲學實驗時，氣流產生的噪聲是不可忽略的因素。當氣流速度達到一定數值時，傳聲器的自噪聲會很大，甚至會掩蓋測量的目標信號，使得聲學測試受到影響，很大程度上限制了實驗的風速[1]。因此，需要在傳聲器前端裝配降噪裝置，這種降噪裝置就是鼻錐。鼻錐可以將由湍流對傳聲器的邊界層的碰撞造成的傳聲器薄膜的壓力擾動降到最低[2]。有關資料顯示，鼻錐表面的流速越大，產生的脈動幅度就越大，各個頻率上的噪聲聲壓級也會越大[3]。因此，對高速氣流場中鼻錐表面的氣釉肷的研究具有重大意義。

該文采取流場分析軟件Fluent與聲學仿真計算軟件Virtual.Lab聯合仿真的方法，基于流體力學分析理論和邊界元聲場分析理論對高速氣流場中鼻錐表面的氣動噪聲進行數值計算。通過對3種不同形狀的鼻錐模型的氣動噪聲進行比較，得出了一些影響鼻錐表面氣動噪聲的因素，對鼻錐的設計起到了指導性的作用。

1 基本研究方法

1.1 N-S方程

在流體力學中，對流體做以下假設。第一，流體被視為是連續的介質；第二，涉及的流場全部是可微的。基于上述假設可以得到流體的基本控制方程N-S方程的數學描述

其中，ρ是流體密度；x是笛卡爾坐標系中的坐標變量；u是流體在x方向上對應的速度矢量；μ是流體粘度；p是流場中的壓力；f是作用在流體上的體積力。

1.2 氣動聲學聲源理論

20世紀50年代，英國學者Lighthill通過嚴格的流體運動連續方程和動量方程，將N-S方程改寫成波動方程的形式，得到反映自由空間中流場聲波動和流場參數之間關系的Lighthill波動方程[4]。萊特希爾基本方程如方程（2）所示。

1955年，Curve對lighthill方程進一步發展，得出了考慮固壁因素的Curve方程[5]，如方程（3）所示。

式中，第一項代表由體積源產生的聲信號；第二項代表物體表面作用在流體上非定常定力引起的聲信號；第三項代表由于物體體積位移引起體積脈動產生的聲信號。

1969年，福茨-威廉姆和霍金斯在科爾方程的基礎上，將科爾的結果擴展到運動固體邊界，提出了Ffowes Williams-Hawkings方程[6]（FW-H方程），如方程（4）所示。

其中，方程右邊第一項是Lighthill聲源項，是四極子聲源；第二項表示由于表面脈動壓力引起的聲源項，為偶極子聲源；第三項表示由于表面加速度引起的聲源即流移分布聲源，是單極子聲源。

對于鼻錐表面的氣動噪聲而言，單極子聲源和四極子聲源可以忽略，這是因為：

（1）單極子聲源的強度與鼻錐表面的水平方向速度有關，由于鼻錐表面為剛性的，所以水平方向速度接近零，可以忽略單極子聲源。

（2）四極子生源的強度和偶極子聲源的強度之比與馬赫數的平方成正比，我們考慮的情況為低馬赫數（低于0.3Ma），因此，四極子聲源也可以忽略。

2 鼻錐幾何模型的建立

該文在建模軟件Pro＼E中對3種鼻錐模型進行建模，在建模過程中保留了鼻錐的結構特性，其中錐體總長為100 mm，錐體直徑為40 mm，如圖1所示。（從左到右分別編號1#、2#、3#鼻錐）

3 仿真結果比較

該文對3種不同形狀的鼻錐分別在50 m/s和100 m/s的流場中進行了仿真，并且對它們在不同流速下的氣動噪聲進行了對比。

鼻錐模型（以3#鼻錐為例）在50 m/s的氣流場中的氣動噪聲分布云圖如圖2所示。

從噪聲分布云圖可以看出，鼻錐的主要氣動噪聲集中在鼻錐的前端迎風處，在安裝傳聲器的尾端部分，氣動噪聲大大降低，因此，在傳聲器上裝配鼻錐會達到降低氣動噪聲的目的。

因為該文關心的是尾部裝配傳聲器位置附近的氣動噪聲聲壓級，因此選擇尾部的某個點作為接收點，3#鼻錐接收點在50 m/s和100 m/s流場中氣動噪聲的聲壓頻率曲線如圖3所示。

從氣動噪聲聲壓級在各個頻率上的分布可以看出，鼻錐表面的氣動噪聲屬于寬頻譜，沒有明顯的主頻率，但能量主要集中在低頻區，并且隨著頻率的增加，聲壓級下降，在低頻區下降的較快，在1 000 Hz以上衰減幅度較小。

圖4是1#鼻錐和2#鼻錐在50 m/s流場中接收點處氣動噪聲聲壓值的相互比較，通過對比可以發現，在各個頻率上頭部為橢球型（2#）鼻錐的噪聲值比頭部為半球型（1#）鼻錐的噪聲值低，最大差值可達30 dB，因此2#鼻錐的降噪性能要優于1#鼻錐。

圖5是2#鼻錐和3#鼻錐在50 m/s流場中接收點處氣動噪聲聲壓值的相互比較，由圖5可以看出，在各個頻率上頭部長度占總長度比例較大（3#）的鼻錐的噪聲值比頭部長度占總長度比例比較小（2#）鼻錐的噪聲值低，最大差值可達27 dB。

4 結語

該文利用數值仿真的方法，從基礎聲源理論出發，并且與流體動力學方法結合，對三種不同形狀的鼻錐模型在不同速度中的流場中的氣動噪聲進行了數值計算。仿真結果表明，鼻錐在高速氣流場中的氣動噪聲主要集中在中低頻，隨著頻率的增加，噪聲聲壓級下降，并且在低頻下降的比較快。通過對3種鼻錐模型的對比可以看出，橢球狀的鼻錐的降噪效果優于半球狀的鼻錐，并且頭部長度占總長的比例越大，降噪效果越好。

參考文獻

[1] 鐘芳源，陸桂林.氣動聲學測量和分析技術[A].葉片機械風機和壓氣機氣動聲學譯文集[C].北京：機械工業出版社，1987：21-30.

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[3] 喬渭陽.航空發動機氣由學[M].北京：北京航空航天大學出版社，2015：240-250.

[4] Lighthill M J.On Sound Generated Aerodynamically[J].Part 1：General Theory，Proceedings of the Royal Society of London，1952（211）：564-587.

篇4

關鍵詞： 多層膜； 生長模型； 功率譜密度； 表面粗糙度； 散射

中圖分類號： O 434.1文獻標識碼： Adoi： 10.3969/j.issn.1005

引言近年來，為了對太陽光譜進行深入的研究，具有高效反射性能的硅基多層膜元件已經在一些近正入射反射系統的裝置中得到應用。但是隨著衍射極限的減小，光學表面和多層膜膜層界面的微粗糙限制了光學元件的性能，光與元件相互作用時產生的非鏡向散射，不僅減小了系統的光通量，而且也降低了像的對比度。隨著入射光波長的減小，背向散射強度將以1/λ2的形式增長[1]。散射理論從70年代開始發展至今，人們對散射的理解有了一些進展。早期許多工作者主要針對X射線掠入射式多層膜，研究其界面粗糙度對散射光的影響。而作為EUV光波段光散射研究的先驅，Spiller[2]和Stearns[3]等人研究了正入射時多層膜界面粗糙度對光散射的影響。1992年，Stearns[4]等人基于多層膜的無定形生長過程提出了界面粗糙度動態生長理論。2011年，Marcus Trost[5]等人在EUV光波段對正入射式Mo/Si多層膜反射鏡的背向散射作了實驗測定，并應用動態生長理論對鉬硅多層膜的散射作了比較分析，結果發現理論與測試數據吻合較好。在17～19 nm的極紫外波段，Al/Zr多層膜是具有最高理論反射率的Al基多層膜，因而具有光明的應用前景，并得到了廣泛研究[67]。在以前的研究中[8]，發現Al/Zr多層膜的膜層界面粗糙度造成了多層膜反射率的減小，而且界面粗糙度隨多層膜的生長而逐漸增大。但是，對于Al/Zr多層膜的膜層界面粗糙度的動態變化規律尚沒有開展深入的研究。 本文以Stearns的多層膜界面粗糙度動態生長理論為基礎，對EUV光波段近正入射Al/Zr多層膜生長模型作了分析和計算，并通過與實驗測量結果的對比，對Stearns粗糙度動態生長理論的適用條件作了補充性討論，給出了Al/Zr多層膜界面粗糙度基于Stearns動態變化規律的使用范圍。1多層膜動態生長理論薄膜的生長過程可用薄膜粗糙表面任意兩點間的高度差的h（r）的連續性方程來描述：hrτ=-vph（r）+ητ（1）光學儀器第35卷

第1期楊傳春，等：Al/Zr多層膜生長模型和數值計算

其中，r為薄膜表面任意兩點間的水平距離，τ為薄膜的厚度，v為描述弛豫過程的獨立參數，η表示隨機噪聲。當v為正值時，右邊第一項將使表面粗糙度變小，而第二項將使表面粗糙度增加。弛豫過程的指數p因薄膜生長的機理不同而異，一般情況下，粘性流體：p=1，蒸發和凝結：p=2，體擴散：p=3，表面擴散：p=4[9]。Tong和Willians[10]認為，v取負值，可以適用于描述三維島狀生長的薄膜表面。式（1）表明，薄膜的生長是生長過程與弛豫過程間競爭的結果，生長過程較快時，膜層表面容易表現出粗糙和各向異性；弛豫過程較快時，膜層表面容易表現出平滑和各向同性的特點。應當指出的是，式（1）是表面生長模型中最簡單的一種可能。它是對粗糙表面形成過程線性的和局部的處理。Kardar等人[11]首先用一非線性項（ΔH）2對式（1）作了修正，該項表示在各向同性的特定沉積條件下，薄膜將沿著法線方向生長。當沉積角度或表面傾斜較大時，表面粗糙度的形成是局部的這個假設就不再成立了，在這種情況下，表面某點的沉積依賴于表面的遮蔽效應。Karunasiri等人[12]和Tang等人[13]也提出了一個生長模型，實現了局部生長（遮蔽）機理的理論模擬。當生長過程是由非線性和局部性引起時，薄膜將以尖瓣和柱狀這種不連續的形狀快速生長。這些特征可以在薄膜的形貌中觀察到，尤其是低能沉積過程中的薄膜。相比較，本文只考慮粗糙度較小的光學多層膜，這種薄膜可以通過高能生長過程來實現，如低氣壓下的濺射鍍膜過程。保證了表面粗糙度不至于大到影響薄膜的線性或非局部生長模式，這種觀點得到了多層膜實驗研究的支持[14]。與單層膜生長不同的是，多層膜動態生長理論認為，薄膜各個界面的粗糙度一方面復制于相鄰的先期生長的膜層表面粗糙度，另一方面也有不完美生長過程引起的內部固有粗糙度。第i個界面可以用其粗糙度hi（r）的頻譜函數來表示[4]：hi（f）=γi（f）+ci（f）hi-1（f）（2）其中γi表示正在生長的膜層內部的固有粗糙度，角標i-1代表相鄰的先期生長的膜層，ci（f）=exp[-vi2πfnτi]為界面粗糙度復制因子，它是空間頻率f的函數，反映第i個膜層對第i-1個膜層表面的“記憶程度”。復制函數取值介于0～1之間的實數時，表明第i層膜的粗糙度既受第i-1層膜的表面粗糙度影響，又受自身內部固有粗糙度的影響。對于無定形生長的N層多層膜，由于表面粗糙度的功率譜密度（PSD（f）=〈h（f）h*（f）〉）通常便于測量，因此用功率譜密度作為多層膜表面粗糙度的統計表述，更便于與測量結果的對比。若多層膜界面粗糙度結構可以看作是自由分布，粗糙度的功率譜密度反應的是整個界面粗糙度的均值，則功率譜密度的值可以由粗糙度頻率譜函數的傅里葉變換來表示，在理論上與粗糙表面結構的描述等價。通過對式（2）進行迭代運算可得多層膜表面粗糙度的功率譜密度函數與界面粗糙度之間的關系為[15]：PSD（f）=∑Ni=1κ2i-1PSDi（f），κi=∏i≤Nj=1cj（3）其中，PSDi為膜層生長過程中因內部缺陷等原因引起的固有粗糙度對應的功率譜密度，在膜層生長過程中沒有明顯晶向分布時，PSDi由下式確定[4]：PSDi=di2Ωi（1-c2i）/lnci（4）其中，di為第i層膜的厚度，Ωi是多層膜結構中第i層薄膜的膜層材料的原子團簇體積。式（3）是多層膜動態生長理論的公式表述形式，反映了多層膜的復雜生長過程。可以看到，多層膜的表面功率譜密度與膜層的厚度和數目、原子團簇體積、弛豫過程、生長機理等諸多因素相關。通過式（3）的迭代計算，可以將多層膜表面粗糙度和所用基板的表面粗糙度聯系起來，從而為表面多層膜界面結構變化情況測量提供了理論依據。計算過程中，只需要先對基板表面粗糙度的測量結果進行傅里葉變換，然后基于功率譜密度函數進行迭代運算，運算過程中避免了相關函數的運算，最后對于多層膜表面的粗糙度功率譜密度再進行一次傅里葉變換，就可以得到多層膜表面粗糙度的理論預期值。2實驗在實驗中，采用摻氟的二氧化硅作為Al/Zr多層膜樣品的基板，采用國產超高真空磁控濺射設備（J GP560C6）實現Al/Zr多層膜樣品的制備。制備多層膜的靶材料為美國Kurt J.Lesker公司生產，Al靶材為摻雜了Si（1%wtSi）的合金材料，Zr靶材的純度為99.95%。在濺射鍍膜設備的真空腔內，濺射陰極靶與基板垂直相對，靶在下，基板在上，兩者間距離為10cm。在沉積Al/Zr多層膜之前，真空系統的本底真空度低于8×10-5 Pa。濺射工作氣體為高純度的氬氣（純度：99.999 %）。在鍍膜過程中，濺射工作氣壓為0.18 Pa。Al和Zr靶均采用恒功率模式的直流磁控濺射方法，其中，Al靶材的功率為40W，Zr靶材的功率為30W。在多層膜制備過程中，基板一直保持自轉，轉速為20 r/min。通過步進電機控制基板公轉，使其交替停留在Al和Zr靶上方，由基板在靶材上方停留的時間來控制相應膜層的厚度。本文所制備的樣品共四個，每個樣品的周期厚度設計值為9.0 nm，其中Zr膜層的厚度與周期厚度之比為0.33。四個樣品的周期數（N）分別為10，40，60，80。利用原子力顯微鏡（atomic force microscope，AFM）（生產廠商：Veeco，型號：DI 3100）實現多層膜樣品的表面粗糙度度測量，并給出了相應的表面粗糙度的功率譜密度。在合肥國家同步輻射實驗室的輻射計量與標準束線的反射率計上實現了Al/Zr多層膜在極紫外波段的反射率測量。3實驗結果分析和數值計算圖1給出了不同膜對數的Al/Zr多層膜表面原子力顯微鏡測量結果，其中圖1（a）～圖1（d）分別對應N=10、40、60和80的Al/Zr多層膜，它們的表面粗糙度的均方根（rootmeansquare，RMS）值分別為0.403 nm（N=10）、0.401 nm（N=40）、0.544 nm（N=60）和0.817 nm（N=80）。測量結果表明，對于Al/Zr多層膜，當膜對數不超過40時，其表面粗糙度基本不隨膜對數的增加而變化；當膜對數超過40時，其表面粗糙度隨膜對數的增加而逐漸增大。

圖1包含不同膜對數的Al/Zr多層膜表面原子力測量結果

Fig.1AFM measurement result of Al/Zr multilayers with variable layer pairs

圖2給出了相應多層膜樣品表面粗糙度的二維功率譜密度。由圖可知，隨著空間頻率的增大（從中心向四周），多層膜表面粗糙度的功率譜密度不斷減小（從亮到暗），表明多層膜的表面粗糙度并無明顯的周期性變化。隨著膜對數的增加，表面粗糙度的二維表面功率譜密度形狀發生了變化，N=10和N=40時，功率譜密度圖形呈圓形，表明當膜對數較少時，Al/Zr多層膜的表面粗糙度的分布與方向無關，滿足隨機分布的特點；N=60和N=80時，功率譜密度圖形呈現橢圓形，表明膜對數較多時，Al/Zr多層膜的表面粗糙度沿x方向和y方向的分布有差異，分布具有一定的“方向性”。

篇5

關鍵詞：ABAQUS；位移約束；海底管道

中圖分類號：P752 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9599 （2012） 17-0000-02

1 工程概述

海底管道鋪設是海洋油氣工程建設的一項重要內容。海底管道鋪設的方法基本可以分為兩類：鋪管船法[1，2]和拖管法[3]，其中鋪管船法包括S型鋪管船法、J 型鋪管船法、卷管式鋪管船法；根據管道所處位置不同，拖管法分為水面拖、水下拖、近底拖和底拖。對于登陸段海底管道采用底拖法施工更具有可行性。對于底拖法施工可以在陸地焊接后，由陸至海利用絞車、絞盤、拖輪等設備牽引鋪設；也可以在鋪管船上焊接，由海至陸鋪設，其牽引方法有：岸上設置絞車牽引，利用鋪管船上的絞車反向牽引。

某登陸段管道采用底拖法鋪設，在鋪管船上焊接管道，岸上設置定滑輪，由鋪管船上的絞車帶動管道鋪向岸邊，見圖1。

該方案中，鋪管船到海床段的海底管道形成S型，管道受到拖管力、張緊器張力、自重、自身浮力、浮筒浮力、海床支撐力、海床摩擦力等載荷作用，為了底拖施工的安全進行，進行管道強度校核是十分必要的。以下給出了管道強度分析的關鍵參數：

管材為X65鋼，鋼管外徑為813mm，壁厚22.2mm，鋼管外敷防腐涂層，厚度2.8mm，防腐涂層外為混凝土層，厚度為80mm，管道長度總長575m，海床上管道長度為375m；海床摩擦系數為1.0；水深14m；張緊器張力為100kN；拖管力為350kN；由于綁縛浮筒，管道水下重量為540.7N/m。

鋪管船各輥軸相對位置：為了考慮邊界影響，張緊器前取2個輥軸。根據工程作業的鋪管船情況，在張緊器后共8個輥軸，從船艏至托管架方向各個輥抽名稱分別為：R1，R2，張緊器，R3，R4，R5，S1，S2，S3，S4，S5。在水平方向和豎直方向上每個輥軸距離輥軸R1的長度見表1，其中R1距離水面的高度為3.9m。

注：托管架上各個輥軸水平向至R1的距離考慮了拖管架角度。

2 ABAQUS數值模擬

以上工程施工中，鋪管船到海底段管道形成S型，為大變形問題。ABAQUS[4]軟件具有強大的非線性分析功能，在工程中有著廣泛的應用。根據以上參數，采用軟件ABAQUS模擬管道的底拖過程。鋪管船和托管架上面的輥軸和管道的作用，以及管道和海床的相互作用都可以通過接觸的方式處理。眾所周知，接觸為非線性問題，對管道、海床和輥軸的建模有一定的要求，如果處理不當則計算難以收斂。因此，本文通過位移約束的方式模擬了管道和輥軸的接觸，通過位移約束和加載的方式模擬了管道和海床的相互作用。以下給出模擬過程及計算結果。

2.1 模擬過程

第一步：建立模型，考慮管道半徑，管道豎直向坐標為4.3893m，管道單元B32，見圖2。

第二步：根據各輥軸位置給出管道上相應的約束點。通過移動坐標系平面的方式建立新平面，新平面和管道的交點為約束點，見圖3。雖然當管道大變形后約束點和相應輥軸位置不一致，但在本文的模擬中，這種不一致對結果的影響可以忽略。著泥點的位置可以根據經驗確定，或者通過調試的方法得到：首先給出著泥點初始值，計算出著泥點的支反力，然后調整著泥點的位置，當支反力為零時，對應著泥點位置。

第三步：施加約束。根據各個輥軸相對R1在豎直向的長度得到管道約束點和海床段管道豎直向位移，施加位移約束。在海管鋪設中，某些輥軸并不能起到支撐的作用，計算出各約束點的支反力，當其為拉力時，則放松該約束。張緊器的拉力通過簡支約束管道端部體現，其他段管道在水平向可以自由移動。見圖4。

第四步：施加重力載荷。水面以上和以下管道重力不同，水面與管道交點可以通過經驗得到，也可通過迭代的方式求得。

第五步：施加海床摩擦力和拖管力。以均布載荷的形式施加摩擦力，根據管道水下重力和摩擦系數，可知摩擦力為540.7N/m。拖管力取350kN。

2.2 計算結果

按照以上步驟建立模型，計算得到管道應力場，見圖5。其中上彎段最大應力為297MPa，下彎段最大應力為290MPa。

3 總結

某登陸段管道采用由海至陸的底拖法鋪設，本文采用ABAQUS軟件建立數值模型，計算了管道應力。上彎段最大Mises應力為297MPa，下彎段最大Mises應力為290MPa，為管道底拖強度分析奠定了基礎。

參考文獻：

[1]E Heerema. Recent Advancements and Present Trends in Deepwater Pipe- Lay Systems. OTC 17627， 2005.

[2]Braestrup M， Andersen J， Andersen L， et a1. Design and installation of marine pipelines.Blackwell Science Ltd.， 2005， 210-238.

[3]桑運水，韓清國.海底管道近岸淺水鋪設的岸拖與海拖.石油工程建設.2006（4）.

[4]ABAQUS Version 6. 7 Documentation，ABAQUA，Inc.

篇6

關鍵詞：量子力學；數值計算；諧振子

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）32-0278-02

一、引言

量子力學是研究微觀粒子運動規律的物理學分支學科，與相對論一起構成了現代物理學的理論基礎[1]。對于高等院校物理專業的學生，量子力學在基礎課程中占有核心地位。通過學習量子力學，可進一步將學生對客觀物質世界的感性認識提升到理性認識。因此，對于高校量子力學教師而言，形象、生動的課堂教學不僅能激發學生的學習興趣，而且還能完善和拓展學生的物理專業知識，從而提高學生的思維水平和培養他們的科研能力。

對于大部分初學者，除了難以理解量子力學中一些與常理相悖的知識外，煩瑣的數學推導使很多同學對量子力學望而生畏。如果高校教師繼續沿用傳統的解析推演、口述筆寫的教學方式，將加大學生學習量子力學的難度。此外，量子力學的授課內容大部分屬于理論知識，受條件的限制，許多高校無法為學生開設實驗課程，這使得學生對抽象的量子力學現象缺乏客觀認識。隨著計算機的不斷發展，很多教師將一些數值計算引入到了量子力學教學中，不僅有效地規避了煩瑣的數學解析推演，而且也能作為量子力學授課的理想實驗平臺，為學生形象地展示量子力學中的一些抽象且難以理解的量子現象和概念[2，3]。因此，為了降低學生學習量子力學的難度，提高學生對量子力學的學習興趣，應鼓勵高校教師將計算機及數值計算搬進量子力學的教學課堂。本文將通過具體的一些量子力學實例來說明數值計算應用于量子力學教學過程中的優勢。

二、數值計算在量子力學教學中的應用實例

我們將以一維勢場中單個粒子的定態及含時演化為例來說明數值計算在量子力學教學中的應用。為了簡單，我們以Matlab軟件作為數值計算的平臺。

例1：一維定態薛定諤方程的數值計算

在量子力學中，描述單個粒子在一維勢場V（x）中運動的定態薛定諤方程如下：

- +Vxψx=Eψx （1）

這里我們假設m=？攸=1。原則上，通過從定態薛定諤方程中求解出波函數ψ（x），我們可以知道該粒子在勢場V（x）中運動的所有信息。然而，方程（1）是否存在解析解，在很大程度上依賴于勢場V（x）的具體形式。對于較為簡單的勢場，例如大家熟知的無限深勢阱及諧振子勢阱，很容易解析求解方程（1）。相反，如果勢場V（x）的形式比較復雜，如周期勢或雙勢阱，則必須借助于數值計算。因此，當學生學會利用數值計算求解無限深勢阱或諧振子勢阱中的定態薛定諤方程時，則很容易舉一反三的將其推廣至較為復雜的勢場，從而避免了煩瑣的數學問題。

以下是基于Maltab軟件并利用虛時演化方法所編寫的計算定態薛定諤方程的程序：

clearall

N=100；x=linspace（-6，6，N+1）；dx=x（2）-x（1）；dt=0.001；dxdt=dt/dx^2；

V=0.5*x.^2；%諧振子勢函數

temp=1+dxdt+dt*V；

psi=rand（1，N+1）；%初始波函數

psi=psi/sqrt（sum（abs（psi）.^2）*dx）；%歸一化波函數

psi1=psi；

for k=1：10000000

%---------迭代法求解三對角方程---------

psi2=zeros（1，N+1）；

for m=1：100000000

for j=2：N

psi2（j）=（psi（j）+0.5*dxdt*（psi1（j+1）+psi1（j-1）））/temp（j）；

end

emax=max（abs（psi2-psi1））；psi1=psi2；

ifemax

break

end

end

psi1=psi1/sqrt（sum（abs（psi1）.^2*dx））；emax=max（abs（psi-psi1））；psi=psi1；

ifemax

break

end

end

作為例子，我們利用上述程序分別計算出諧振子和雙勢阱中的基態解。程圖1（a）中展示了諧振子的基態解，從中可以看出，數值計算的結果和精確解一致。對于V （x）= x +ae 的雙勢阱（這里a為勢壘高度，b為勢壘寬度），由于波函數滿足相同的邊界條件ψ（x±∞）=0，則只需要將上述程序中的諧振子換成V （x）即可，其基態波函數展示在圖1（b）中。從圖1（b）中可以看出，隨著勢壘高度的增加，粒子穿過勢壘的幾率越來越低。由此可見，利用數值計算能形象地描述粒子在雙勢阱中的勢壘貫穿效應，這降低了學生對該現象的理解難度，同時提高了教師的授課效率。

例2：一維含時薛定諤方程的數值計算

在量子力學中，描述單個粒子在一維勢場V（x）中運動的含時薛定諤方程如下：

i =- +V（x）ψ（x，t） （2）

該方程為二階偏微分方程，對于一般形式的外勢V（x）很難嚴格求解該方程。因此，我們借助時間劈裂傅立葉譜方法進行數值求解，其Matlab程序代碼如下：

clearall

N=200；L=20；dx=L/N；x=（-N/2：N/2-1）*dx；

K=2*pi/L；k=fftshift（-N/2：N/2-1）*K；

V=0.5*3*x.^2；

psi=exp（-（x-2）.^2）；psi=psi/sqrt（sum（abs（psi）.^2）*dx）；%歸一化初始波函數

t=linspace（0，10，1001）；dt=t（2）-t（1）；F=exp（-i*0.5*dt*k.^2/2）；

for j=1：length（t）；

%---------時間劈裂譜方法求解---------

psi=ifft（F.*fft（psi））；

psi=exp（-i*V*dt）.*psi；

psi=ifft（F.*fft（psi））；

U（j，：）=psi；

end

作為例子，我們分別選取了諧振子勢阱的基態波函數和非基態波函數作為時間演化的初始值。從圖2中可以看到，當初始值為基態波函數時，波包的構型并不會隨著時間的演化而發生形變，這說明粒子處于動力學穩定的狀態。相反，當我們將初始波函數的波包中心稍作挪動，則隨著時間的演化，波包將在勢阱中做周期性振蕩。我們可以讓學生利用數值程序證明波包振蕩周期等于諧振子的頻率。此外，如果我們將初始波函數改為諧振子的激發態，并在初始時刻加上一個較小的擾動項，則可利用時間演化程序證明激發態在外界的一定擾動下而變得動力學不穩定。因此，數值程序為我們提供了驗證理論結果的理想實驗平臺，有利于學生對抽象物理概念的理解。

三、結語

基于Matlab軟件，我們以量子力學中的定態和含時薛定諤方程為例來說明數值計算應用于量子力學教學過程中的優勢。數值計算不僅有效避免了煩瑣的數學公式推導，而且也可當作理想的實驗平臺來形象地展示量子力學中一些抽象的物理現象。高校教師借助于數值計算能拓展學生的物理專業知識，提高他們對量子力學的學習興趣，培養他們利用數值計算做一些簡單的科學研究。

參考文獻：

[1]曾謹言.量子力學卷I[M].第五版.北京：科學出版社，2014.

篇7

關鍵詞：大跨度橋梁 模態分析 數值計算步驟

1、引言

寸灘長江大橋為主跨880m的雙塔鋼箱梁懸索橋，邊纜跨度250m，北塔高199.5m，南塔高194.5m，橋塔梁上部分高度為117m，鋼箱梁寬39m，塔寬39m，其他資料詳見圖紙說明。對此橋進行模態分析，為描述結構振動特性及減小振動對結構的不利影響提供重要參數，如模態頻率、模態振型、模態阻尼等。

2、模態分析數值計算的一般步驟

①做好資料準備工作，了解工程概況，研讀圖紙和設計資料，記下橋梁的各項與模態分析相關的結構尺寸和材料性能；②選定合適軟件進行數值分析，一般常用ANSYS等有限元軟件；③根據所需結構尺寸和材料性能，通過有限元軟件進行數值建模；建模過程一般先進行各部分節段劃分，然后確定主梁、橋塔、主墩、懸索或拉索、錨固點等坐標，再計算各劃分截面的實常數（需指出，采用不同的模擬單元，實常數的形式不一樣），然后通過實常數建立單元，最后再將沒有建入模型的部分如橫隔板、風嘴、二期等可以通過加質量點的方式考慮進去，以便模擬更精確；④對模型施加約束；塔底、錨固點一般是固結約束，塔梁結合處一般采用CP命令進行耦合，耦合自由度依據設計說明；⑤最后再依次進行恒載靜力分析和模態分析，提取各階振動頻率和模態。

3、寸灘長江大橋動力特性分析實例

3.1 動力特性分析資料及采用的模擬單元類型

塔柱、主梁和橋墩等均采用梁單元模擬；主纜和吊索均采用桿單元模擬；二期恒載采用質量單元模擬。所采用的邊界約束條件、單元類型如表1、2所示。

表中：x為縱橋向，y為豎向，z為橫橋向。0表示自由，1表示主從，d表示固結約束。

3.2 建立有限元模型

3.2.1 節段劃分和坐標確定

依據設計和圖紙資料，主梁每5m劃分一段，橋塔在特殊截面位置（如與橫梁、大纜連接等位置）需要單獨劃分，在一般位置同樣每5m劃分一段，大纜在吊桿位置劃分，然后定出各部分的坐標，坐標原點可以任意選取，本例中坐標原點定在主跨跨中主梁截面底部位置，在建立各部分坐標的時候尤其要考慮主梁的縱向坡度1.5%。

3.2.2 實常數計算

主梁為鋼箱梁截面，采用BEAM44單元模擬，需要簡化截面，將風嘴、橫隔板、二期等部分刪除，然后在CAD中建立面域，通過面域massprop查詢截面特性找到形心位置，將面域移動到形心位置，然后保存為*.sat文件導入ANSYS中，通過網格劃分后，計算截面特性，CAD中查詢的截面特性和ANSYS中計算的截面特性主要差別在于ANSYS中能計算出扭轉慣性矩這個重要的實常數參數之一。橋塔為空心變截面，橋塔橫梁為空心等截面，采用BEAM44單元模擬，在ANSYS中可以通過循環命令來實現截面特性的計算。大纜和吊索采用LINK8單元模擬，實常數形式不一樣，其中初應變的確定需要調試，一般使跨中受力最小的初應變較為合適。質量點的實常數計算較為麻煩，需要計算質量慣性矩Im。

3.2.3 模型建立

通過實常數將各坐標點依次連接起來，依次連接北面橋塔、南面橋塔、橋塔橫梁、主梁、大纜、吊索等。然后將簡化后的二期、橫隔板、風嘴等以質量的形式加載到各結點上。再鏡像單元，對塔底和錨固點加約束、對塔梁進行耦合，形成完整的有限元模型。

3.2.4 提取模態分析計算結果

最后再依次進行恒載靜力分析和模態分析，提取各階振動頻率和模態，提取前10階結果見表3，并列出第1階和第2階頻率對應的振型圖見圖2、3。

圖1成橋狀態第一階振型 圖2成橋狀態第二階振型

4、結語

通過寸灘長江大橋模態分析的實例可以清楚的了解到模態分析數值計算的一般步驟，掌握了一般步驟，對其他類型的橋梁進行動力特性分析時思路更明確，計算更快捷。同時需要了解模態分析的基本概念，有限元中模態分析的本質是求矩陣的特征值問題，所以“階數”就是指特征值的個數。將特征值從小到大排列就是階次。實際的分析對象是無限維的，所以其模態具有無窮階。但是對于運動起主導作用的只是前面的幾階模態，所以計算時根據需要計算前幾階就能達到要求。

參考文獻：

篇8

關鍵詞：隧道風井塔 非靜力細網格邊界模式 能量閉合 隨機游動模擬 風洞模擬

1 引 言

一些具有一定形式和規模的建筑物(如鈍體型高樓大廈，城市地下交通隧道排污氣的風井塔，核工程設施中的反應堆殼體等等)對其周圍地區的氣流分布有明顯的影響，所以由此而造成的局地空氣污染擴散也會由于建筑物所致的空氣動力學效應而具有獨特性.

建筑物背風側存在一個尾流區，其主要特征為氣流速度的虧損和湍流活動加劇，具有明顯非均勻性結構.迄今為止，通常采用在風洞和水槽中進行流體物理模擬實驗的途徑研究其流場和污染物擴散特征，并在此基礎上由經驗方法建立修正的高斯模型，分析尾流區污染物的擴散［1］.雖然高斯模型有一定的實用價值，但就湍流及其不均勻性的物理本質和分析精確性而言，卻是不可取的.于洪彬、蔣維楣(1996)在風洞試驗對風井塔尾流特征分析的基礎上，使用Halitsky(1977)［2］的擬合公式，進行修正后，得到塔后尾流區的流場和湍流場，以此作為隨機游動擴散模式的輸入場，得到塔后尾流區污染物的擴散分布［3］.但是從提高模式的模擬精度而言，使用該模式所得的流場和濃度場還比較粗糙，與實際情況還是有較大的出入.本文建立了一種能較為細致地分析建筑物尾流區氣流和污染物擴散特征的數值模擬系統，模擬系統的流場模式采用細網格非靜力邊界層模式，閉合方案采用工程上實用的能量閉合方法(E—ε閉合)，模擬系統的擴散模式采用隨機游動模擬方法.

2 模 式

采用三維非靜力邊界層模式模擬中性層結情況下建筑物尾流流場，其控制方程組，包括速度u、v、w預報方程和連續方程.閉合方案用E－ε方法，即在上述方程中加入湍能和耗散率的預報方程以及湍流交換系數的診斷方程［4］：

式中，E為湍流動能，ε為湍流耗散率，一些參數如，σE，σs，C1s，C2s，Cμ的取法是比較復雜的，本文中參考Rodi的取法［5］，簡單地分別取為：1.00，1.30，1.44，1.92，0.09，C3在中性情況下為0.Kmh和Kmz為水平和垂直方向的湍流交換系數.由于模式的水平網格距和積分時間步長都能取得很小(積分時間步長為0.12 s，建筑物附近的水平網格距為5 m)，所以該模式能以較高的時空分辨率細致模擬出建筑物尾流流場的分布特征.

隨機游動模擬是通過施放大量標記粒子來實現的，粒子在流場中按平均風輸送，同時又用一系列隨機位移來模擬湍流擴散，粒子軌跡方程為：

式中，Δt為時間步長，a=1，2，3，分別代表在x，y，z 3個方向上的量.下標i，i+1分別代表前一時步和后一時步的量.湍流隨機脈動速度由Markov Chain關系得到：

這里γ\-a是方差為1.0、均值為0的高斯型隨機數，由計算機自動產生.σa為速度方差.R\-aΔt為自相關系數，取為通用的指數形式：

TLa為拉格朗日時間尺度，取Hanna(1982)［6］的擬合公式：

A. 不穩定層結：

B. 穩定層結：

C. 中性層結：

其中，Zi為混合層厚度，Z為垂直高度，f為科氏參數，u*為摩擦速度.

3　建筑物尾流特征模擬分析

某大城市地下交通隧道排氣的風井塔的外形輪廓特殊，如圖1所示，主體呈圓柱形，高67.0 m，直徑29.7 m，排氣窗離地面48.0—53.0 m，無煙氣抬升，具有1.4 m/s的水平出口速度主塔下方地面上有高度為20.0 m的附屬建筑物與主體聯成一體［7］.由風洞實驗結果分析可知，在風塔排氣速度一定的情況下，當環境風速(源高處)大于2.6 m/s時，才會出現明顯的煙流下沉現象，并且根據現場實際觀測資料和研究問題的需要，我們取風塔上游無窮遠處的來流風速(源高處)為3.2 m/s和6.2 m/s兩種典型風速，并取工程上實用的指數律，冪指數根據現場實測在中性情況下為0.15.模擬域的范圍為74Hb×60Hb×15Hb個網格范圍(Hb為風井塔的高度)，水平網格采用在建筑物附近用細網格，至邊界處格距逐漸增大的拉伸網格系統.垂直網格從地面向上逐漸增大.邊界條件：地面采用無滑脫條件，采用固定的上邊界，建筑物表面采用Vn=0作為邊界條件，這里V\-n為建筑物表面法線方向的速度分量，處在建筑物內的網格點上令速度為零.側邊界用固定流入、梯度輸出的形式.圖2給出源高處風速為3.2 m/s時風井塔尾流區流場的數值模擬結果.圖2(a)中虛線所圍區域為速度虧損大于1的區域，即此區域內水平風速與來流向相反.由圖可見風塔的空氣動力學效應影響范圍在其下游延伸至34Hb，在塔后風速急劇減少，最大速度虧損出現在塔后腔區內，大小為117%.塔前塔后出現回流區，但塔后范圍較大.塔后回流區的大致范圍在離塔下游5—6Hb左右.湍流動能TKE的大值分布在速度切變較大處，，

這與風洞實驗［7］的結果基本吻合.下面我們將使用能量閉合模式的輸出結果作為隨機游動模式的輸入場，來研究尾流區污染物的擴散規律和特征.

尾流區污染物擴散特征模擬

考慮到源的特殊排放形式(見圖1)，將源排放簡化成平均排放高度為50 m的半圓弧線源，并將線源簡化成若干個點源的疊加，每個點源施放的粒子具有相同的水平出口速度(Vs=1.4 m/s)，但其方向因點源位置的不同而不同.風塔實際的CO的排放速度為43725 mg/s.為保證統計結果的穩定性，模擬中施放20000個粒子，時間步長取為Δt=0.1Tlw；假設粒子在邊界上為反反射.

圖3為風塔下游地面軸線CO的濃度分布，相應的源高處的風速V/Vs=2.3和4.4.由圖3(a)可見，模擬系統的預測結果與風洞試驗的測量值吻合較好，最大濃度點的大小和位置與測量值較為一致.圖3(b)表明，模擬預測的最大濃度點的位置與風洞示蹤擴散試驗的結果較為吻合，但大小低估10%左右.圖4(a)所示隨機游動擴散模式預測風塔下游軸線上CO(相對)濃度的垂直分布，其中Cmax為該位置的最大濃度值，圖4(b)為風洞示蹤擴散試驗所測到的相應結果，由圖可見，近距離濃度分布基本仍呈高斯型，但出現最大值的高度逐漸降低，到離源距離X=4.0Hb，濃度分布已呈向下逐漸遞減型，然后煙流軸線緩慢抬升，直到X=10Hb處，也只抬升了14 m高度.軸線濃度的垂直分布與風洞試驗吻合較好，充分反映了風井塔的空氣動力學效應.模式預測地面CO的濃度分布與風洞示蹤擴散試驗的結果也吻合較好.

5　小　結

本文建立了一套分析建筑物尾流和污染物擴散的數值模擬系統，對某城市地下交通隧道廢氣的風井塔的尾流流場和污染物濃度場進行數值模擬，并與風洞流體物理模擬試驗和示蹤擴散試驗的結果比較.研究結果表明：1.使用非靜力細網格能量閉合邊界層模式能較好地模擬出風井塔尾流的基本特征，得到的水平風速源不同的下風距離的垂直分布與風洞試驗實測到的結果基本吻合.2.就地面軸線污染物濃度分布而言，模擬系統所得的結果與風洞示蹤擴散試驗的結果較一致，濃度最大值的大小和出現距離較為一致.3.模擬所得的不同下游距離處(相對)濃度的垂直分布，與風洞試驗的結果較吻合，充分反映了建筑物的空氣動力學效應.

參考文獻

［1］Huber A H. Wind tunnel and gaussian plume modeling of building wake dispersion. Atmospheric Environment， 1991，25A(7):1237—1249

［2］Halitsky J. Wake and dispersion models for the EBR-Ⅱ building complex. Atmospheric Environment， 1977，11:577—596

［3］于洪彬，蔣維楣.廢氣排放塔尾流區隨機游動擴散模擬研究.空氣動力學學報，1996，14：349—354

［4］王衛國等.山地露天礦自然通風風流與湍流結構的數值模擬.高原氣象，1996，15：464—471

［5］Rodi W et al. In turbulence and diffusion in stable environments. England: Oxford University Press， 1985

［6］ Hanna S R. In:Nieuwstadt F T M， Van Dop H， eds. Applications in air pollution modeling in atmospheric tunbulence and air pollution modeling， chapter 7 Reidel， dordrecht. 1982.275—310

篇9

[關鍵詞]數值計算方法；融會式；教學理念；教學實踐

[中圖分類號]G642.0　[文獻標識碼]A　[文章編號]1005－4634(2012)02－0053－04

0　引言

隨著計算機技術的飛速發展，數學學科的地位發生了巨大的變化，特別是在自然科學的許多分支中，有相當多的研究問題走向定量化和數值化，從而出現了一系列與計算有關系的研究方向，如計算物理、計算力學、計算化學、計算地質學、計算生物學、計算氣象學等。目前，科學計算、理論研究、科學實驗已經成為當今科學研究的三大方法，而科學計算由于具有研究成本低、周期短、風險少等特點，因而受到廣泛的重視。數值計算方法，也稱“數值分析”或“計算方法”，是科學計算的重要基礎，也是理工科大學生和研究生的核心課程，國內外綜合性大學無一例外均開設了本門課程。數值計算方法以采用計算機技術求解工程實踐中提煉出的數學問題為主線，既有數學課程理論上的抽象性和嚴謹性，又有解決實際問題的實用性和實踐性。自從教育部分別頒布高等教育“面向21世紀教學內容和課程體系改革計劃”后，很多教學工作者積極探索數值計算方法教學的新模式，并投入到教學實踐之中。在教學觀念、教學內容、教學方法、教學手段等方面出現了百家爭鳴的好局面，開展了多層面多方位的教學改革探索，展現了數值計算方法課程教學在理工科人才培養中的奠基性作用。

鑒于數值計算方法在理工科人才培養課程體系中的重要地位，通過問卷調查及統計分析，分別從教師和學生兩個角度剖析課程教學所面臨的主要問題，有針對性地提出數值計算的融會式教學理念，從課程體系、教學模式、教學內容、教師隊伍等多個方面闡述該理念的內涵，并結合國防科技大學自動化專業本科生《數值計算方法》課程教學任務開展教學實踐，檢驗融會式教學理念的實際效果，為21世紀數值計算方法教學改革提供新的思路和有益借鑒。

1　課程教學的問題分析

數值計算方法在理工科大學生及研究生培養的課程體系中具有顯著的橋梁性作用，一方面是對高等數學、線性代數、編程語言(或算法設計)等公共前緣課程的鞏固與擴展，另一方面也是力學、計算機科學、自動化、航空航天、土木工程、機械工程、經濟管理等專業后續課程的基礎和工具。通過問卷調查統計分析，目前數值計算方法課程教學所面臨的主要困難可從教師和學生兩個方面加以總結。根據數值計算方法授課教師的反映，教學面臨的困難主要有以下幾個方面。

1)課程信息量大與教學時數少之間的矛盾。課程主要研究數值逼近與曲線擬合、線性方程組求解、非線性方程求根、數值積分與數值微分、常微分方程求解等問題的數值解法，教學內容多，而培養方案又在壓縮教學課時，所以出現學時少、內容多的矛盾。

2)課程覆蓋面廣與教師專業知識受限之間的矛盾。課程涉及的數值方法都有著典型的工程應用背景，涉及的學科領域寬泛，從事教學的教師往往精通于有限的領域，如何充實提高自身素養適應課程教學的要求是任課教師必須面對的問題。

3)實踐環節與相應保障之間的矛盾。數值計算方法課程是理論與實踐結合的產物，實踐性是此課程有別于其它數學課程的一個基本特征。課程教學的實踐環節花費時間較多，可能與教學大綱要求的在一定時間需完成的教學任務有沖突。教師在研究情境設置的問題“難易度”的把握尺度上與學生的接受能力也有可能沖突。有些太困難的研究問題難免超出教學大綱的要求，給學生造成額外負擔。

根據學生反映的情況，課程學習面臨困難主要有：(1)學習興趣淹沒在冗長的公式推導和理論分析之中。課程涉及相當多的理論推導，對于己經復雜冗長的公式，還要進行理論分析，包括算法的收斂性、數值穩定性、誤差分析以及好的時間復雜性和好的空間復雜性。這些方法幾乎都很復雜，公式冗長，推導繁瑣。過多地強調數學理論證明，大多數的學生覺得這門課很難，學得很枯燥，也感覺不到樂趣。(2)課程內容及進度與學生個體差異的矛盾。伴隨著高校招生規模的擴大，學生的人數越來越多，生源的個體差異也越來越顯著，同樣的內容設置和進度安排往往使得人數眾多、差異顯著的學生群體難以適應，學習效果自然受到嚴重影響。(3)課程內容難以體現貫通培養課程體系的橋梁性作用。無論是教材還是實際授課，緒論往往將數值計算方法定位為理工科大學生和研究生培養的核心基礎課程，但是主體內容講授時由于課時有限，只能突出理論推導和算法設計，學生只能見到樹木，卻始終未能見到好奇的森林，嚴重的話會削弱學生的學習興趣和熱情。(4)實踐環節與基礎能力的矛盾。數值計算中的問題僅靠課堂教學、理論推導是很難講明白的，特別是各種算法的收斂性、穩定性等問題。實踐環節是學生加深算法理解、學以致用的重要途徑。但是，課程實踐環節不可避免地涉及到程序編寫與調試，很多學生在編程語言或算法設計課程中基本功不夠扎實，從而對數值計算方法的實踐環節產生畏懼心理，導致課程實踐效果不佳。

2　融會式教學理念

針對數值計算方法課程教學的上述問題，教學工作者們主動思考、積極探索，不斷實踐新的教學理念或教學模式。在現有研究基礎之上，本文提出數值計算方法的融會式教學理念，重點探討如何培養學生的數值思維能力和計算求解能力，使他們通過課程的學習，構建起所學專業課程體系的全貌，領悟課程的基礎性、開放性的重要特征，融會貫通數值計算的思想理解、算法設計和工程實踐，在碰到新問題時，不是生搬硬套書本公式，而是靈活運用掌握的數值思維方法去分析和求解。

融會式教學理念關鍵落實在“融會”二字上，它突破傳統的課程講授、課后作業、上機實踐、考核結課的授課過程，將其擴充為前緣深入先摸底、備課充實貼前沿、授課生動重啟發、習題思考多互動、實踐靈活循算法，授課講座齊并舉、考核全面現能力、試后逐一面點評的融會貫通的全過程。

1)前緣深入先摸底。開課之前深入選課學生群體之中進行交流溝通，了解大家對高等數學、線性代數、編程語言(或算法設計)等公共前緣課程的掌握隋況，獲取并分析選課學生在前緣課程的成績分布情況，特別留意個體的差異程度。比如，對于具有畏懼心理的學生，要及時發現，因材施教，可通過課堂簡單提問或者通過批改作業留下鼓勵性質的評語，幫助其樹立自信心。

2)備課充實貼前沿。綜合考慮學生對前緣課程的掌握情況和培養計劃對課時的規定，合理選擇備課內容，不求面面俱到、照本宣科，但求重點突

出、貼近前沿。每個章節精心設計問題導入環節，舉例須緊扣技術發展的前沿，避免書本上例子通行天下的現象，充分激發學生的學習熱情。比如，插值方法可結合風洞試驗數據估算神舟飛船阻力系數的例子。

3)授課生動重啟發。授課過程中，可充分利用課程的實用性和實踐性，從工程實踐中凝煉科學問題，有針對性地啟發學生主動思考相應的對策，再跟大師們的計算方法進行比較，分析優劣，進而轉入算法的思想、流程和設計，剖析所學計算方法解決工程問題的實際效果及適用范圍。另外，還要注重多媒體和板書的有效結合。

4)習題思考多互動。合理安排習題課，精心準備由易而難的例題，既注意問題的工程實踐性，也引導學生積極思考，結合前緣課程的了解情況，有針對性地讓學生參與分析和計算，采用分組討論的形式，充分尊重個體差異，盡量讓每位學生都有所獲益，有所提高。融會式教學在考試之前的復習課中，一方面梳理本門課程內容之間的相互聯系，比如插值是數值微積分的基礎，樣條插值是線形方程組求解之追趕法的典型應用等等。另一方面更要回顧課程與前緣課程的具體關系，比如多項式插值充分利用了線形代數中多項式空間基函數的概念，數值逼近多次引用范數的定義，而且要根據選課學生的專業分布，選取有典型意義的后續課程，比如自動化專業的控制系統原理、信息科學專業的信號與系統等等，講解課程所學方法將在專業后續課程中發揮重要的作用，同時也是大家學習這些后續課程的重要基礎。

5)實踐靈活循算法。課程教學的實踐環節非常重要，由于學時有限，必須充分利用。建議可分3次上機實踐。第一次可以考查編程能力，及時發現情況，及時總結原因，可組織一次集體答疑，為大家編制統一的接口函數，將數據結構定義、數據讀入、結果顯示等公共環節提取出來統一處理，而引導學生把精力投入到算法思想的理解和算法流程的實現。第二次，直接提供基本程序框架，由學生填充算法流程的主體部分。第三次，則可當作現場模擬上機考試，要求學生在規定時間內提交算法程序和結果。實踐環節的合理運用對改善課程教學效果具有極其重要的作用，教師可適當補充編程的基本技能和基本方法，編制易于理解易于運用的程序框架，以便于學生將有限精力投入到算法設計本身，而不是過多地消耗在輸入輸出等公共環節。特別是，需要關注對編程具有畏懼心理的學生，采取合適而又有效的措施，比如分組合作或者親手示范等手段，消除畏懼，激發興趣，以全面提高課程教學質量。

6)授課講座齊并舉。考慮課程覆蓋面廣與教師專業知識受限之間的矛盾，并不能要求教師同時掌握多門專業知識，而是可以采用授課和講座相輔相成的方式，邀請其他專業的老師，根據他們從事科學研究過程中運用數值計算方法解決領域問題的具體體會，向學生講解數值計算方法的實際應用流程和作用。比如，生物信息學中大量應用最小二成、稀疏矩陣求逆等數值方法。講座往往較為輕松，占用課時少，學生易于接受，既可提高學習興趣，也可拓寬知識面，對課程的基礎性作用不言而喻，從而有效避免了授課教師“王婆賣瓜，自賣自夸”的尷尬。

7)考核全面現能力。課程考核要全面覆蓋授課內容，合理制定試題難度，注重綜合能力的考查。課程考核重在數值計算方法基本思想的領悟和掌握程度，不苛求公式的背誦記憶，建議設置一定比例的推導題，比如給出數值積分的梯形公式，要求學生推導Simpson公式。

8)試后逐一面點評。不同于以往考試結課的慣例，融會式教學強調全過程的交流溝通，學生一般在考試之前集中復習，考試之后遺忘性衰減現象很普遍。為了鞏固教學效果，融會式教學注重考試之后，教師及時批改試卷，總結課程教學效果，與每一位學生進行當面點評，分析丟分的具體原因，加深學生對所學方法的理解和應用。

綜合起來，數值計算方法的融會式教學理念重在將授課過程、教學內容、教學方法、教學手段、教師構成、課程考核、試后講評等多個環節融會貫通。在教學內容上，突出本門課程與前緣、后續課程的內在聯系、相互關系及本質特色，讓學生既見樹木，也見森林；在教學方法上，強調理論與實踐并重，緊扣專業特色，無論是課堂舉例，還是上機實踐，都結合授課對象的專業分布，從實際工程應用提煉科學問題，將算法思想付諸問題求解，激發學生的學習積極性，加深數值方法的理解；在教學手段上，注重現代多媒體技術與板書的合理搭配，多媒體形象生動，結合插值、擬合、方程組迭代求解等數值方法的幾何意義、物理意義進行講解，節省時間提高課堂效率。板書節奏感強，容易引導學生積極思考，也便于開展師生互動，加深學生對算法思想的理解，提高學以致用的實踐能力；在授課過程上，更是體現“融會”的特征，從前緣課程摸底、個體差異關注，到跨專業邀請講座，再到試后當面點評，直至后續課程的展望，都充分注重融會貫通的教學環節，最大程度上提高教學效果。

3　融會式教學實踐

與數值計算方法課程的實踐性相統一，融會式教學理念同樣需要教學實踐的不斷檢驗。筆者結合國防科技大學自動化專業本科生《數值計算方法》課程教學任務，遵循融會式教學理念，積極開展包括前緣深入先摸底、備課充實貼前沿、授課生動重啟發、習題思考多互動、實踐靈活循算法，授課講座齊并舉、考核全面現能力、試后逐一面點評等所有環節的教學實踐，檢驗融會式教學理念的效果。

筆者獨立主講了國防科技大學自動化專業本科生在大三秋季學期設置的32學時《數值計算方法》課程。結合課程的特點，全程采用融會式教學理念，采用“掌握思想、設計算法、上機實踐”等多種手段進行全方位教學。根據授課對象前緣課程的掌握情況，選取插值、擬合、數值微積分、線性方程組求解直接法、線性方程組求解迭代法、非線性方程求根、常微分方程數值解等作為主講內容，課堂26個學時重點開展算法思想的講授和研討，實踐6個學時則重點考查學員設計算法、解決問題的綜合能力。

在學期開課之前深入授課對象所在的學員隊，與學員交流本科階段學習的體會與經驗，了解大家對本課程前緣課程(高等數學、線性代數、C語言等)的掌握程度，對微積分、方程組求解、矩陣特征值等相關內容進行復習鞏固，同時留意個體差異，及時發現自稱“逢數學課必掛”的具有畏懼心理的學生。

備課時，緊密結合科技發展前沿，比如從神舟飛天中根據風洞數據估算阻力系數的實例引入插值方法，同樣由加速度計離散測量數據估算飛行速度的問題引出數值積分的問題；在課堂教學中，強調學員主動發現問題、積極參與課堂討論，在適當的引導中鼓勵學員自己得出結論，既提高學習興趣，也增強自信心。鑒于課程學時受限，全程作業逐本批改，在指定課時之外，采用集體答疑和第二課堂的自由形式，補充8個課時進行課外習題輔導，學生可以根據自身的學習情況自行決定是否參加，加深大家對數值算法的理解和求解過程的聯

系。考慮到教師自身專業知識有限，邀請生物信息學、基礎物理學的兩位跨專業教員分別開展公開講座，結合具體問題示范如何運用數值計算方法進行解決，加深印象，也激發熱情。

三次上機實踐按照知識點進行組織，一類算法的授課結束后立即進行編程實踐。第一次實踐內容為插值和擬合，程序編制相對較為簡單，同時也考查學生編程能力的個體差異，及時分析情況，集中組織一次課外答疑，不是簡單地準備好例程演示給大家而已，而是與學員一起現場編制程序，依據融會式教學理念，讓大家看到如何結合具體求解問題從無到有地編制程序的全過程，加深大家對算法從流程到代碼的演化過程，減輕大家對編程實踐的畏懼心理，提高動手實踐能力。第二次為數值積分的Romberg算法，為大家編制統一的接口函數，將數據結構定義、數據讀入、結果顯示等公共環節提取出來統一處理，引導學生把精力投入到算法思想的理解和算法流程的實現。第三次為微分方程數值解Runge-Kutta算法，采用限時提交的方式，要求大家按照考核的標準完成二階、三階、四階算法的編程和精度比較。課程實踐環節逐次提高要求，讓學生在掌握數值計算方法相關算法的同時，也進一步提高編程能力，增強自信心，為后續課程學習奠定基礎。

課程考核既測驗學員對基本概念、基本原理的掌握程度，也測驗學員對課程整體的把握能力以及學以致用的實踐能力。考試之后，及時閱卷，并再次深入學員群體之中，進行逐一當面點評，分為未能掌握、粗心大意、時間不夠等類型剖析丟分的原因，既是及時鞏固課程學習成果，也是鍛煉學生素質、提高學習成績的重要途徑。

與傳統模式相比，融會式教學理念注重從實際工程應用提煉科學問題，充分激發學生的學習興趣；強調課程的承上啟下的地位，讓學生既見樹木，也見森林，知曉專業培養的目標與定位；注重數值計算方法的啟發和實踐并重，通過具體問題的編程實驗，既加深理解，也敢于實踐。在授課、答疑、批改作業、實驗、考試等諸多環節，學生們都充分認可融會式教學理念。綜合這次融會式教學實踐的實際成效來看，學員們較好地掌握了插值、擬合、數值微積分、線性方程組求解、常微分方程數值解等數值計算方法的思想精髓，并能夠活學活用，解決實際問題。特別是，三次上機實踐，學員熱情逐次提高，主動尋找課外時間開展編程實踐，多次改進程序，修訂實驗報告，達到了非常好的算法實踐效果。

在本次融會式教學實踐中，學生都能夠帶著興趣與熱情投入到課程的學習中去，課堂積極思考、踴躍發言，敢于發表自己的見解；課后主動復習、認真完成作業，特別是布置的幾次討論性質的題目(如談談對課程的印象、談談對迭代法的理解等)鍛煉了學員的獨立思考能力和語言表達能力；上機實踐中能夠針對底子薄、能力差、鍛煉少的現狀，積極主動地進行反復練習，并相互請教，力爭得到最大程度的提升。其中，極個別學員存在基礎薄弱、前緣課程差、出現多門掛科等問題，自信心不強，甚至出現自暴自棄的現象，經過多次引導與鼓勵，也能夠積極融入集體，認真對待每次作業和實驗，得到了較好的平時成績，考試也能夠積極面對，最終也取得了令自己滿意的成績。

總體而言，《數值計算方法》課程采用融會式教學理念，取得了良好的教學效果，既提高了學生對數值計算方法思想精髓的理解水平和應用能力，也培養了學生的主動學習、獨立思考等綜合素質，為后續的學習深造打下基礎。

4　結束語

篇10

關鍵詞：法向承力錨 極限抗拔力 三維數值分析模型 位移增量

1.引言

法向承力錨（Vertically Loaded Anchor，VLA）是一種新型的拖曳式板錨，出現時間較短，從理論上來講，法向承力錨在理想的工作狀態是法向受力的，然而由于法向承力錨通常工作在1000-3000米水深的海底，考慮到風、浪、流等復雜的海洋條件，加之系泊系統布置等因素的影響，實際工作中的法向承力錨不一定是處于理想工作狀態的，即系泊力角度等因素都會對法向承力錨的極限抗拔力產生影響，所以對于這種大都深埋在深海海床土中的VLA，研究VLA的極限抗拔特性就顯得尤為重要，目前國內外針對VLA的極限抗拔力研究主要通過拖曳錨的半經驗計算方法：

（1）

其中：

――VLA埋深處土的不排水剪切強度指標；

――VLA的錨板面積；

――VLA的承載力系數。

目前還沒有一種專門針對VLA而且能夠全面的反映VLA的極限抗拔特性的計算方法，在缺少大規模模型實驗的情況下，建立數值分析模型不失為一種有效的計算方法。

O’Neill等[1]通過建立拖曳錨的二維有限元數值計算模型得出結論：對于矩形拖曳錨，當錨板埋置角度為與水平線成夾角30°、沒有旋轉的情況下，當錨板位移大于2%錨板寬度時荷載達到破壞荷載。Merifield等[2]通過下限定理建立三維有限元數值計算模型對法向承力正方形、圓形以及矩形金屬錨進行了研究，并得到結論：正方形、圓形和矩形錨的承載力系數大于條狀錨，錨表面的粗糙與否對結果影響不大，三維模型計算結果和小型實驗室實驗所得數據是吻合的。楊曉亮[3]通過平面應變假定對法向承力錨建立了二維有限元數值模型，并對錨板埋深、系泊角度等參數進行了研究并且得出結論：VLA的UPC隨著埋深的增大而增大；法向承力錨在法向受力狀態（工作狀態）的極限抗拔力最大，回收階段的抗拔力最小。

Merifield等建立的三維模型假設錨板埋置角度對計算結果不產生影響，而且未考慮系泊角度的變化對極限承載力的影響，O’Neill等以及楊曉亮所建立模型均為平面應變基礎上的二維數值分析模型，本文針對以上數值分析模型的一些不足，以最為特殊的正方形錨板為例，針對錨板隨埋深、系泊角度等參數建立三維數值模型，并對結果做出了分析判斷。

2.三維數值模型

本文中所有計算模型都是基于MARC軟件平臺的，模型完全比照實際工程中的法向承力錨的工作狀態，采用土的彈性-理想塑性理論模擬土體的非線性非彈性應力應變行為，并采用Von Mises 屈服準則，通過MARC中的TABLE功能對錨板施加隨時間變化的位移約束，從而得到錨板上反力（Reaction Force）隨位移的變化情況，當土體進入塑性后，根據土的理想彈塑性理論，錨板上的反力將不會再隨著位移的變化發生變化，而是趨于一個定值。

算例中的VLA長、寬均為3.5m，厚0.075m，土體寬度取為15.6m，錨板厚度方向取為6m，按不同的嵌入深度，海床面距錨板中心的距離在3.4～35 m 之間。在建立離散模型時，考慮到遠離錨板的土體變形較小，對土體劃分網格進行了疏密過渡。

土體為正常固結粘土，假設其不排水剪切強度（kPa） 在海床面處為零且隨深度線性增大，本文所進行的分析均為靜力分析，土體采用Von Mises準則。

以20m埋深算例舉例說明，如圖1為錨板中心節點（位移約束施加節點）的位移和反力的關系曲線，可以看到，節點上的總位移為0.2m，從0-0.04m的位移范圍內，節點上的反力隨著位移的增大，成線性增大的趨勢，即彈性階段；從0.04m-0.1m的位移范圍，節點上的反力呈現非線性的增大趨勢，即進入塑性階段；從0.1m-0.2m的位移區域，節點上的反力基本不再變化，而是趨于一個穩定的值，完全進入塑性區的階段。另外可以看出，隨著增量步的增加反力有減小的趨勢，所以本章采取變換不同的增量步，如表1所示當兩個不同增量步之間的承載力值相對誤差小于5‰時，則認為此時的承載力為我們所需要的極限承載力值，計算每個增量步的承載力方法為取進入塑性區域后的反力平均值。

由表1可以看出，對于本計算模型（埋深20m），法向承力錨的極限承載力的計算結果為4024kN，與經驗公式計算結果4145.4kN是比較接近的，由此可以看出，三維數值計算模型以及關于收斂性和精度考察的方法是準確的。

圖1 位移-反力變化曲線

表1 20m埋深下極限承載力

增量步 極限承載力（kN） 經驗解（kN） 相對誤差（‰）

1000 4045.130 4145.400

1100 4024.056 4145.400 5.21

1200 4007.760 4145.400 4.05

3.應用

運用基于傳統承載力分析理論的經驗公式（1）、二維數值模型法[3]以及三維數值模型進行了兩類比較研究，其一是通過改變嵌入深度D而保持系纜力角度不變，考察法向承力錨的極限抗拔力隨嵌入深度的變化。考慮到深埋和淺埋的不同，選取9個典型的在0.97～10.0 之間變化的量綱一的深度η=D/B ，α和γ分別保持45°和90°不變。其二是通過改變系纜力角度在0°～135°之間變化，保持嵌入深度不變，考察極限抗拔力隨系纜力角度的變化。其中嵌入深度η取兩個典型值2.17 和10.0，錨板角度取為定值45°。在第三類研究中，由于系纜力角度不是經驗公式中的基本變量，因此只有有限元計算的結果。在運用經驗公式（1）時， Nc = 12。

（1） 對于埋深的考察

圖2為三維數值模型計算得到的量綱一的反力Reaction Force/ASu隨無量綱化的位移d/B的響應曲線，其中A為錨板面積，Su表示埋深處土體的不排水剪切強度。圖3 為無量綱化的極限抗拔力UPC/ASu 隨無量綱化深度η的變化。圖4為無量綱化的極限抗拔力UPC/ASu，也即經驗公式（1）中的承載力系數，隨無量綱化深度η的變化。從圖3可以看出，在0.97≤η≤10.0的范圍內，由不同方法計算出的錨板極限抗拔力均隨嵌入深度的增加而增大，對經驗公式來說是線性增大，對三維數值模型來說是近似線性增大，二維數值模 圖2 無量綱化反力隨位移的變化

型極限抗拔力的增長趨勢不是標準的線性變化，尤其對于淺埋情況而言，圖6表示承載力系數Nc隨嵌入深度的變化，與經驗公式中Nc = 12相比，二維有限元計算出的結果在7. 0～13. 0之間變化，三維有限元計算出的結果在10.0～12.0之間變化，并在大于一定深度后趨于穩定。在η取值的范圍內，三維有限元計算結果與經驗公式吻合較好。在淺埋范圍，即η≤3. 0，三種方法均有較好的吻合。從分析問題的可靠性來講，如果運用經驗公式，對于嵌埋和深埋錨板應該采用不同的承載力系數。

圖3 無量綱化UPC隨埋深的變化趨勢圖 圖4 承載力系數隨埋深的變化圖

（2）對于系泊角度的考察

圖5分別表示在淺埋和深埋下量綱一的極限抗拔力UPC/UPC90°隨系纜力角度的變化， 這里UPC90°表示當γ= 90°時錨的極限抗拔力。圖6分別表示在淺埋和深埋下量綱一的極限抗拔力UPC/ ASu ，也即承載力系數隨系纜力角度在變化。

可以看出，隨著系泊力角度在0度到135度之間變化，在淺埋情況下無量綱化的UPC在0.4～1.0之間變化，承載力系數在4.5-11.4之間變化。在深埋情況下無量綱化的UPC在0.4～1.0之間變化，承載力系數在5-12.5之間變化。當系泊力角度為90度時UPC達到峰值，在0度到90度區間上UPC逐漸增大，90度到135度的區間上UPC逐漸減小。在系泊力角度為0度時，為法向承力錨回收情況的模擬，可以看出淺埋和深埋情況下法向承力錨的極限抗拔力均達到了接近于回收荷載的2.5倍。

圖5 淺埋及深埋時無量綱化UPC隨系泊力角度變化

圖6 淺埋及深埋時承載力系數隨系泊力角度變化

（4）結論

綜合運用三種不同的方法，即二維有限元模型、三維有限元模型以及基于傳統承載力分析理論的經驗公式法，詳細考察了嵌入深度、系纜力角度對法向承力錨極限抗拔力的影響。主要結論包括：

1.基于理想彈塑性理論的數值計算模型為我們提供了一個計算復雜工況條件下法向承力錨承載力的平臺，這個平臺可以更直觀、更真實的反映法向承力錨的抗拔特性。可以看出，基于理想彈塑性理論的數值計算結果主要受到埋置深度、系泊力角度的影響，通過這種方法對系泊力角度的考察比較符合工程中的實際情況。美中不足的是，這種方法沒有全面地考慮VLA破壞模式的影響，而且基于理想彈塑性假定，故本文認為這種方法是比較適合模擬深埋情況下法向承力錨極限抗拔狀態的一種方法。

2.通過對二維和三維數值計算模型的比較我們發現，三維數值計算模型的計算結果更加接近經驗公式的結果，并且在數值上是要小于二維數值計算模型的。

3.基于試驗的經驗公式作為評估法向承力錨極限抗拔力的一種方法，具有簡單、易行的特點，可以看出通過這種方法經過簡單計算得到的VLA的UPC，從數值上來講，和數值計算得到的結果是比較接近的，可見其工程價值是很突出的。但同時，這種方法除了錨板面積之外，只考慮了埋置深度的影響，很多重要參數，如系泊力角度等，都沒有反映在計算方法中。故本文認為這種方法可以作為工程中粗略估算法向承力錨極限抗拔力的一種方法。

4.埋深是影響法向承力錨的極限抗拔力的主要因素，VLA的UPC隨著埋深的增大而增大，從目前比較的結果來看，淺埋情況下二維和三維數值計算模型的結果是比較接近的，所以考慮到數值計算的時間等問題，在淺埋情況下可以優先考慮二維數值計算模型。

5.從數值計算的結果來看，系泊力的角度變化對法向承力錨極限抗拔力的影響很大，當系泊角為90度，即VLA法向受力，處于理想工作狀態時，VLA的極限抗拔力最大。在系泊力角度不等于90度的情況下，系泊力角度越接近90度，則UPC越大。在系泊力為0度時，UPC為最小值。即法向承力錨在法向受力狀態（工作狀態）的極限抗拔力最大，回收階段的抗拔力最小。

參考文獻：

[1]O’Neill.M.P.，Bransby.M.F. and Randolph.M.F.，Drag Anchor Fluke-Soil Iteraction in Clays， Geomechanics，J.40：78-94，2003

[2]R.S.Merifield，A.V.Lyamin，S.W.Sloan，H.S.Yu，Three-Dimensional Lower Bound Solutions for Stability of Plate Anchors in Clay，Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，Vol.129，No.3，March 1，2003