一元一次方程練習題范文

導語：如何才能寫好一篇一元一次方程練習題，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

1、已知關于x、y的方程式（m2-4）x2+(m+2)x+(m+1)y=m+5，當m時，它是一元一次方程；當m 時，它是二元一次方程。

二、選擇題（每題3分共24分）

8、設A、B兩鎮相距x千米，甲從A鎮、乙從B鎮同時出發，相向而行，甲、乙行駛的速度分別為u千米/小時、v千米/小時，①出發后30分鐘相遇；②甲到B鎮后立即返回，追上乙時又經過了30分鐘；③當甲追上乙時他倆離A鎮還有4千米。求x、u、v。根據題意，由條件③，有四位同學各得到第3個方程如下，其中錯誤的一個是（）

A、x=u+4B、x=v+4C、2x-u=4 D、x-v=4

三、解答題

1、在y=ax2+bx+c中，當x=0時，y的值是-7，x=1時y的值是-9，x=-1時y的值是-3，求a、b、c的值，并求x=5時y的值。（6分）

2、解下列方程組（每題5分，共10分）

當比賽進行到第12輪結束時，該隊負3場，共積19分。

問：（1）該隊勝，平各幾場？（2）若每一場，每名參賽隊員均得出場費500元，試求該隊每名隊員在12輪比賽結束后總收入。

5、有三部樓梯，分別是五步梯、七步梯、九步梯，每攀沿一步階梯上升的高度是一致的。每部樓梯的扶桿長（即梯長）、頂檔寬、底檔寬如圖所示，并把橫檔與扶桿榫合處稱作聯結點（如點A）。（8分）

（1）通過計算，補充填寫下表：

（2）一部樓梯的成本由材料費和加工費組成，假定加工費以每個聯結點1元計算，而材料費中扶桿的單價與橫桿的單價不相等（材料損耗及其它因素忽略不計）。現已知一部五步梯、七步梯的成本分別是26元、36元，試求出一部九步梯的成本。

參考答案

一、填空題

1、-2，2；2、2、- ，x=5y=1,x=8y=2;3、-1;

4、 ，12；5、0；6、2；7、-1，-1；8、3，3；

9、10；10、x=1y=16，x=2y=12，x=3y=8，x=4y=4；

11、4；12、x= y= ；13、1；14、x=0y=1；15、12；

16、-43；17、42，15；18、6，3。

二、選擇題

1、C；2、C；3、B；4、D；5、C；6、D；7、B；

8、A。

三、解答題

1、a=1，b=-3，c=-7；當x=3時，y=3。

2、（1）x= y= ；（2）x=-1y=2z=-3

3、設一只小貓x元，一只小狗y元，則x+2y=702x+y=50，解得x=10y=30，答一只小貓10元，一只小狗30元。

4、解（1）設該隊勝x場，平y場，則x+y+3=123x+y=19，解得x=5y=4，答該隊勝5場，平4場。

（2）5×1500+4×700+12×500=16300（元）

答該隊每名隊員在12輪比賽結束后總收入為16300元。

5、解：（1）七步梯、九步梯的扶桿長分別是5米、6米；橫檔總長分別是3.5米、5.4米（各1分）；聯結點個數分別是14個、18個。

（2）設扶桿單價為x元/米，橫檔單價為y元/米。依題意得4x+2y+1×10=265x+3.5y+1×14=36即2x+y=85x+3.5y=22，解得x=3y=2，故九步梯的成本為6×3+5.4×2+1×18=46.8（元）。

篇2

關鍵詞： 初中數學總復習 復習計劃 基礎知識

初中數學總復習是初中數學教學的一個至關重要的環節。重視并認真完成這個階段的教學任務，一是有利于初三學生鞏固、消化、歸納數學基礎知識；二是對基礎較差的學生做到了查缺補漏，中等生有所提高，優等生再上一步，達到培優補差的目的；三是提高學生分析、解決問題的能力，以便應對中考，同時也能夠使學生將所學的知識運用到現實生活中，達到學以致用。下面我結合多年來的教學實踐與經驗談談看法。

一、根據大綱和考綱，制訂復習計劃

初中數學內容多而雜，其基礎知識和基本技能又比較分散，學生掌握起來很困難。因此，教師必須依據大綱規定的內容和知識要點，近幾年的中考精神及試題的考點，精心擬訂復習計劃。計劃的擬訂要結合學生的實際情況。可采用基礎知識習題化的方法，根據在平時教學中掌握的學生應用知識的情況，編制滲透主要知識點的測試題，讓學生在規定時間內獨立完成。然后根據測試中學生出現的問題確定復習的重點、難點及關鍵處。制訂復習計劃后，要做好復習課例題的選擇、練習題的篩選。教師制訂的復習計劃要明確告之學生，讓其制訂個人具體復習規劃。這樣使每位學生都能在雙重計劃的督促下去學習、去努力。

二、理解、掌握、夯實基礎知識

總復習開始的第一階段，首先必須強調學生系統掌握課本上的基礎知識和基本技能，吃透課本。對學生提出明確的要求：①對概念性的知識（法則、公式、定理等），不但要準確敘述，而且要靈活應用。例如，圓周角定理的推論：在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。如果把“同圓或等圓”這一條件忽略，后一部分即是一假命題，那么利用其作為依據就會得出錯誤的結果。因此一定要準確理解掌握概念性知識。②對課本上的練習題必須逐題過關。因為每章后的復習題具有代表性、典型性、綜合性，要求學生必須獨立完成或小組討論完成。尤其是近些年來的一些中考試題，是按課本上題的題型或是原題拓展延伸進行變形而命題的。所以在總復習時教師和學生都應注重課本知識。

三、整理、歸納、分類，培養學生能力

在總復習的第二階段，要特別體現教師的主導作用。對初中數學知識加以系統整理、歸納、分類，弄清數學知識間的內在聯系及相互轉化，從而形成知識網絡。這樣便于學生理解和掌握所學的知識。例如，初中函數部分主要分為一次函數、反比例函數、二次函數。四邊形主要分為平行四邊形、矩形、菱形、正方形。方程有一元一次方程、一元二次方程、分式方程。這種歸納總結在程度高的班級可由學生自行完成，在程度低的班級師生共同完成，其主要目的是鍛煉學生的歸納概括總結能力。通過對特殊四邊形的性質、幾種方程的解法的復習，學生能更進一步地了解數學知識間內在聯系及相互轉化關系，同時掌握轉化思想。如解分式方程應轉化成整式方程，一元二次方程應轉化成一元一次方程。又如，利用圖示表示幾種四邊形的關系，從而激發學生學習數學的興趣。這樣的知識歸納、整理便于學生理解和掌握。

四、精選練習題，提高復習成效

除了重視課本中的重點章節之外，主要以反復練習為主，充分發揮學生的主體作用。以綜合練習題為主，適當加大模擬題的分量。對教師來說，這時的主要任務是根據近幾年的中考試題精選習題，刪減復習資料中沒有價值的題目，免得浪費學生過多的時間。精選綜合練習題要注意兩個方面：第一，選擇的習題要有目的性、典型性和規律性。近些年的中考都涉及較多基礎性的題目。另外，選些聯系生活實際，比較熱點的開放性問題。在試卷講評中充分發揮學生的主體作用，讓學生自己評析，這樣能大幅度提高學生學習積極性，從而培養學生的實踐能力。第二，習題要有啟發性、靈活性和綜合性。如，角平分線定理的證明及應用；圓中圓周角、圓心角的關系推導及應用、垂徑定理的證明及應用都是綜合性強且是應重點掌握的內容，要抓住不放，抓出成效，收到舉一反三，觸類旁通的效果。練習題的精選是很重要的，不可忽視。教師出題測試時，低、中、高檔題的比例要恰當，同時也要結合學生實際。講評時要有針對性，不面面俱到。

總之，搞好初中數學總復習不是一件容易的事，是一項重大的工程。教師要不斷刻苦鉆研，嚴格要求自己，上好每一節復習課。

篇3

章一元二次方程》期末復習提升訓練（附答案）

1．有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了（）個人．

A．12

B．11

C．10

D．9

2．方程ax2＋bx－c＝0(a＞0，b＞0，c＞0)的兩個根的符號為(

)

A．同號

B．異號

C．兩根都為正

D．不能確定

3．已知m，n是關于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的兩實數根，則（m+2）（n+2）的最小值是（

）

A．7

B．11

C．12

D．16

4．方程的解是（

）

A．

B．

C．

D．或

5．方程的解是（

）

A．1±

B．2±2

C．1±

D．2±

6．下列解方程的過程，正確的是（

）

A．x2=x．兩邊同除以x，得x=1

B．x2+4=0．直接開平方法，可得x=±2

C．（x﹣2）（x+1）=3×2．x﹣2=3，x+1=2，x1=5，x2=1

D．（2﹣3x）+（3x﹣2）2=0．整理得3（3x﹣2）（x﹣1）=0，x1=，x2=1

7．方程x2＝4的解是(

)

A．x1＝4，x2＝－4

B．x1＝x2＝2

C．x1＝2，x2＝－2

D．x1＝1，x2＝4

8．用總長10m的鋁合金型材做一個如圖所示的窗框（不計損耗），窗框的外圍是矩形，上部是兩個全等的正方形，窗框的總面積為3.52（材料的厚度忽略不計）.若設小正方形的邊長為xm，下列方程符合題意的是（

）

A．

B．

C．

D．

9．若關于的方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是（

）

A．

B．且

C．

D．且

10．方程的一次項系數是（

）

A．

B．

C．

D．

11．方程的解為________．

12．若方程的一個根是，則另一個根是________，________．

13．已知一元二次方程2x2﹣5x+1=0的兩根為m，n，則m2+n2=_____．

14．在一次聚會中，每兩個參加聚會的人都互相握一次手，一共握了次手，問這次參加聚會的人數是多少？若設這次參加聚會的人數為人，則可列出的方程是________．

15．若x=2是關于x的方程x2﹣x﹣a2+5=0的一個根，則a的值為

．

16．設，是方程的兩個實數根，則的值為________.

17．設關于x的方程x2﹣2x﹣m+1=0的兩個實數根分別為α，β，若|α|+|β|=6，那么實數m的取值是_____．

18．已知關于的一元二次方程有解，求的取值范圍________．

19．已知方程，則________．

20．某玩具商店出售一種“小豬佩奇”玩具，平均每天可銷售50個，每個盈利36元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，調查發現，若每個玩具降價1元，平均每天可多售出5個，商店要想平均每天銷售這種玩具盈利2400元，則每個玩具應降價多少元？設每個玩具應降價x元，可列方程為_____．

21．如圖所示，在一幅長80cm，寬50cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如果要使整個掛圖的面積是5400cm2

，

設金色紙邊的寬為xcm，求滿足x的方程．

22．如圖，矩形ABCD的長BC=5，寬AB=3．

（1）若矩形的長與寬同時增加2，則矩形的面積增加

．

（2）若矩形的長與寬同時增加x，此時矩形增加的面積為48，求x的值．

23．解下列方程：(1)；(2)

24．已知關于x的方程有兩個正整數根是正整數),ΔABC的三邊a、b、c滿足，，．

求：的值；

(2)ΔABC的面積．

25．解方程

（1）x2﹣3x+2=0

（2）（x+3）（x﹣6）=﹣8

（3）（2x+1）2=3（2x+1）

（4）2x2﹣x﹣15=0．

26．已知關于的方程

若這個方程有兩個相等的實數根，求的值；

若這個方程有一個根是，求的值及另外一個根．

27．已知最簡二次根式與是同類二次根式，求關于x的方程（a﹣2）x2+2x﹣3=0的解．

28．校園空地上有一面墻，長度為20m，用長為32m的籬笆和這面墻圍成一個矩形花圃，如圖所示．

（1）能圍成面積是126m2的矩形花圃嗎？若能，請舉例說明；若不能，請說明理由．

（2）若籬笆再增加4m，圍成的矩形花圃面積能達到170m2嗎？請說明理由．

參考答案

1．C

解:設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人,依題意得1+x+x(1+x)=121,即(1+x)2=121

解方程得(舍去)

故選C.

2．B

解:ax2+bx-c=0（a＞0、b＞0、c＞0），

=b2+4ac＞0，

方程有兩個不等的實數根，

設方程ax2+bx-c=0（a＞0、b＞0、c＞0）的兩個根為x1，x2，

x1x2=-＜0，

兩根異號

故選：B．

3．D

解:m，n是關于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的兩實數根，

m+n=2t，mn=t2﹣2t+4，

（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7．

方程有兩個實數根，

=（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）=8t﹣16≥0，

t≥2，

（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16．故選D．

4．D

解:原方程可化為：x2﹣4x=0，x（x﹣4）=0，解得：x=0或4．故選D．

5．C

解:，

，，，

，

.故選C.

6．D

解：A、

移項得：

解得：

故此選項錯誤；

B、，則

此方程無解，故此選項錯誤；

C、應先去括號整理得出：

解得：故此選項錯誤；

D、

整理得

此選項正確．

故選D．

7．C

解:兩邊直接開平方得：x=±2．故選C．

8．B

解:小正方形的邊長為xm，則則可得矩形的寬為2xm，長為m，由題意得，

，故選B.

9．B

解：關于的方程有兩個不相等的實數根，

且，

解得：且，

故答案為：B.

10．B解:方程的一次項系數是-2.故選B.

11．或

解:方程變形得，

因式分解得，

解得，.故答案為4或2.

12．1

-3

解:方程x2-k+35=0的一個根為x1=2，設另一根為x2，

x1x2=2x2=2，

解得：x2=1，

則方程另一根為1，

又x1+x2=-p，

2+1=-p，

解得p=-3，故答案為：1，-3．

13．

解:由根與系數的關系得：m+n=，mn=，

m2+n2=（m+n）2-2mn=()2-2×=，

故答案為：．

14．

解:參加聚會的人數為x名，每個人都要握手（x﹣1）次，根據題意得：

x（x﹣1）=55

故答案為：x（x﹣1）=55．

15．

解:x=2是關于x的方程x2-x-a2+5=0的一個根，

將x=2代入方程得：22-2-a2+5=0，即a2=7，

解得：a1=或a2=-．故答案為±．

16．

解：，是方程的兩個實數根，

+=，·=；

=.

故答案為.

17．9.

解:由韋達定理可得α+β=2，αβ=1﹣m，

|α|+|β|=6，

（|α|+|β|）2=36，

即（|α|）2+（|β|）2+2|α|·|β|=36，

α2+β2+2|α·β|=36，

（α+β）2﹣2α·β+2|α·β|=36，

4﹣2（1﹣m）+2|1﹣m

|=36，

當1﹣m≥0時，方程無解；

當1﹣m＜0時，方程的解為m=9.

故答案為9.

18．且

解：一元二次方程有解，

k-1≠0，=k-4(k-1)20，

解不等式得：k

，且k≠1，

有意義，

k0，

綜上所述：且，

故答案為且

19．或

解：設x2﹣2x=y，則原方程變為y（y+3）=4，整理得：y2+3y﹣4=0，分解因式得：（y+4）（y﹣1）=0，則y+4=0，y﹣1=0，解得：y1=﹣4，y2=1，故x2﹣2x=﹣4或1．

故答案為﹣4或﹣1．

20．（36﹣x）（50+5x）=2400

解：設每個玩具應降價x元．則此時每天出售的數量為：（50+5x）個，每個的盈利為：（36﹣x）元，

根據題意得（36﹣x）（50+5x）=2400，

故答案為（36﹣x）（50+5x）=2400．

21．x2+65x﹣350=0．

解：掛圖長為（80+2x）cm，寬為（50+2x）cm；

所以(80+2x)(50+2x)=5400，

即4x2+160x+4000+100x=5400，

所以4x2+260x﹣1400=0．

即x2+65x﹣350=0．

22．（1）20（2）x的在值為4

解：（1）（5+2）×（3+2）﹣5×3=20．

故答案為：20．

（2）若矩形的長與寬同時增加x，則此時矩形的長為5+x，寬為3+x，

根據題意得：（5+x）（3+x）﹣5×3=48，

整理，得：x2+8x﹣48=0，

解得：x1=4，x2=﹣12（不合題意，舍去）．

答：x的在值為4．

23．（1）x1=-1，x2=3

（2）x1=-1，x2=-3

解：（1）（x﹣3）（x+1）＝0，

x﹣3＝0或x+1＝0，

解得x＝3或x＝﹣1；

（2）移項，得（x+3）2﹣2（x+3）＝0，

（x+3）（x+3﹣2）＝0

（x+3）（x+1）＝0

x1＝﹣3，x2＝﹣1．

24．m=2

1或

解:關于x的方程有兩個正整數根是整數．

，，，

，

設，是此方程的兩個根，

，

也是正整數，即或2或3或6或9或18，

又m為正整數，

；

把代入兩等式，化簡得，

當時，

當時，a、b是方程的兩根，而，由韋達定理得，，則、．

，時，由于

故為直角三角形，且，．

，時，因，故不能構成三角形，不合題意，舍去．

，時，因，故能構成三角形．

綜上，的面積為1或．

25．（1）x1=1，x2=2；（2）x1=5，x2=﹣2；（3）x1=﹣，x2=1；（4）x1=﹣，x2=3．

解：（1）x2﹣3x+2=0

（x﹣1）（x﹣2）=0，

解得：x1=1，x2=2；

（2）（x+3）（x﹣6）=﹣8

x2﹣3x﹣18=﹣8，

則x2﹣3x﹣10=0，

（x﹣5）（x+2）=0，

解得：x1=5，x2=﹣2；

（3）（2x+1）2=3（2x+1）

（2x+1）（2x+1﹣3）=0，

解得：x1=﹣，x2=1；

（4）2x2﹣x﹣15=0

（2x+5）（x﹣3）=0，

解得：x1=﹣，x2=3．

26．(1)或；(2)的值為，另一個根為．

解：關于的方程有兩個相等的實數根，

，

解得，

即或；

解：設方程另一根為，

由題意得，，解得，

，

．

即的值為，另一個根為．

27．x=1、x=﹣3或x=．

解：最簡二次根式與是同類二次根式，

a2﹣a=4a﹣6，

解得：a=2或a=3，

當a=2時，關于x的方程為2x﹣3=0，

解得：x=，

當a=3時，關于x的方程為x2+2x﹣3=0，

解得；x=1，x=﹣3，

關于x的方程(a﹣2)x2+2x﹣3=0的解是x=1、x=﹣3或x=．

28．（1）長為18米、寬為7米或長為14米、寬為9米；（2）若籬笆再增加4m，圍成的矩形花圃面積不能達到170m2．

解:（1）假設能，設AB的長度為x米，則BC的長度為（32﹣2x）米，

根據題意得：x(32﹣2x)=126，

解得：x1=7，x2=9，

32﹣2x=18或32﹣2x=14，

假設成立，即長為18米、寬為7米或長為14米、寬為9米．

（2）假設能，設AB的長度為y米，則BC的長度為（36﹣2y）米，

根據題意得：y(36﹣2y)=170，

整理得：y2﹣18y+85=0．

=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，

篇4

【關鍵詞】導學案高效典例拓展

2013年我縣推出的“導學案”教學模式，確立以學生發展為本的理念，明確學生高效學習有賴于教師有效設計，把新課程的理念轉化為實實在在的行為。在不訂閱課外教輔材料的前提下，促使教師優化教學設計，提前備課、集體研討、輪流主備、優化學案、師生共用，實行精細化教學，指導學生使用“導學案”，堅持“高效課堂”的理念，減少低效，甚至是無效的教學活動。所以如何設計一張高質量的“導學案”，“導學案”中三個環節“預習導學、課堂研討、延伸拓展”的題型設計是一個重點。

“導學案”的設計原則應關注學生學習的全過程，關注不同學生的差異性，關注學生學習的有效性。經過長時間的摸索、實踐與研究，我提出以下幾點思考：

一、預習導學

“導學案”的環節之一為“預習導學”，我們鼓勵學生利用課余時間預習。

為了提高學生課前預習的有效性和積極性，在預習階段要求學生對新知識作初步的了解，所以設置的預習題以基礎為主，實現低層次目標的自達。保證所有同學能自行解決“導學案”中的預習導學內容，對難以解決的問題做好標記，以便在課堂上向老師和同學質疑。

對這一環節中的預習題，我根據數學學科的特點是這樣設計的：

案例：設計七年級“代入法解二元一次方程組”這一節內容的預習導學：

一、預習導學：

1、什么是二元一次方程組的解？

2 、把下列方程寫成用含x的式子表示y的形式

（1）2x-y=3 （2）3x+y-1=0

3、問題：籃球聯賽中比分都要分出勝負，每對勝一場得2分，負一場得1分，如果某隊為了爭取較好名次，想在全部22場比賽中得到40分，則這個隊的勝負場次應分別為多少？

（一）舊知識的回顧

在學生接受新知之前，考察學生是否具備了與新知有關的知識與技能，縮短新舊知識之間的距離。習題1要求學生明白二元一次方程組的解的要求是需同時滿足兩個方程。第2題中要求初步掌握對方程的變形，為解二元一次方程組打好基礎。

（二）新知識的簡單嘗試

為了使學生盡可能在課堂40分鐘內把所學的知識全部掌握，我們就根據教材內容，設計難度較低，并通過預習就能獨立解決的一些練習題，第3題中讓學生嘗試列二元一次方程組解決問題。同時引導學生用代入法解這個方程組。然后讓學生思考，對于本題選擇“一元一次方程解決問題”與“二元一次方程組解決問題”各自的優越性，讓學生感到學這節課的必要性。通常我們老師設計一節課，比較注重 “我怎么教”，而對于“我為什么要教這節課”和“學生在這節課中學到了什么”思考相對較少，所以我認為在“導學案”四個環節的作業設計中，都應該注意這三個問題。

二、課堂研討

學生理解和掌握的知識是要通過訓練去強化，通過運用去鞏固和提高的，這樣才能內化為學生的素質，形成學習能力。所以，我認為課堂研討部分的練習設計應注意適度和適量。

（一） 要注重課內例題的基礎性、典型性、坡度性

例題的設計和選擇要體現基礎性、典型性、坡度性。例題主要采用書上的例題，但采用之前必須進行適當改變，哪怕改變計算題中的一個數字或幾何證明中的一個字母（防止少數學生在自學時不動腦筋的抄，而是必須自學看懂書上例題，再做“導學案”上的預習題目）；呈現方式上一題多變，利用書上的例題進行變式、挖掘和提高，從深度和廣度上來挖掘例題的作用。同時幾個例題要步步為營，步步深入，有一定的坡度性。

還是以 “代入法解二元一次方程組”這內容為例，在設計例題時， 如上面的問題3中的方程組 不僅可以用代入法解，還可以用整體代入的思想，如將x+y=22代入第二個方程，也可以考慮用加減消元的思想來解，此題看似簡單，但解法多樣靈活。這樣例題的基礎性、靈活性、典型性可以讓學生的思維得到更好的發展。

（二）課堂練習要適量

課堂作業是課堂教學中的再次反饋活動，要給學生充分的時間思考。所以課堂作業練習要適量，保證課堂作業當堂完成。在學生進行課內作業時，教師應巡視，掌握典型錯誤，當堂反饋糾正。要重視學生作業的規范性、合理性和獨創性。對學生在預習導學作業中或課堂研討練習中出現的問題和獨到見解，應及時講評和反饋，對教學進行適時調控。當然對“學有余力”的學生可引導他們做“延伸拓展”中的二、三星級提高題。如有疑難，教師可引導學生進行分組探討與評議，讓學生兩人一組或前后相鄰兩桌同學合作學習，相互討論，相互解答，教師以平等的身份參與這些小組學習討論，適時給予學生點撥或幫助.

三、延伸拓展

（一）精選練習題

精選練習題，在題目的選擇上，做到與教學內容配套，合適梯度，有易到難，堅持以訓練基本功、基本思路和方法為主，基本練習與綜合練習相結合，為了達到這個目標，事先對題目進行認真的分析：解題時需要用到哪些新授數學概念、定理及知識點；解題所涉及的方法和技巧；以及學生在這方面訓練的熟練程度；解題過程的關鍵處和易錯處都了然于胸。

（二）自編練習題

試題都是源于書本，只是命題人在題設條件、問題的情境和設問方式上作了適當的變換，中考題就是把平時練習中的題目通過給出新的情景、改變設問方式、互換條件與結論等手段改編而成。這樣的試題給人一種似曾相識而又似是而非的感覺，很多學生由于思維定勢造成失分，此時應變能力至關重要。因而我們在平時作業中，有意識地對一些可以改編的問題進行變式訓練、題組訓練，讓學生進一步掌握這類問題的本質及其通性通法，同時有意識進行一題多解，培養學生發散思維能力，豐富教學內容。

（三）設計層次性作業，讓學生體驗成功

數學新課標指出，由于學生所處的文化環境、家庭背境和自身思維方式的不同，學生的數學學習活動應當是一個生動活潑和富有個性的過程。因此，學生之間的數學能力存在著差異。為了實現“不同的人在數學上得到不同的發展”，設計作業時，不能搞“一刀切”，而應從學生的實際出發，設計層次性作業，為不同發展水平的學生創設練習和提高的平臺，讓學生在實踐中體驗成功。

（四）從學生的錯誤中設計題目

學生在作業中的錯誤形形，教師要做一個有心人，把每天學生的各類錯誤收集起來，記在教師“導學案”后面空白處，在合適的時間把相近、相似、易混、易錯的概念和知識組織在一起，形成對比，加深對概念的理解和對知識的掌握。

參考文獻

[1]楊忠：《數學基本能力學習》

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一、一次函數、正比例函數的概念

如果y＝kx+b（k，b是常數，k≠0），那么y叫做x的一次函數.

如果y＝kx（k是常數，k≠0），那么y叫做x的正比例函數.

由此可見，一次函數y＝kx+b（k，b是常數，k≠0）中，當b＝0時，就成了正比例函數.所以正比例函數是一次函數的特例.

注意：1. 一次函數中自變量x的指數必須是1，且一次項系數k≠0.

2. 正比例函數一定是一次函數，但一次函數不一定是正比例函數.

二、一次函數、正比例函數的圖象、性質

2. 一次函數的性質是：當k＞0時，y隨x的增大而增大；當k＜0時，y隨x的增大而減小.

3. 正比例函數y＝kx（k≠0）的圖象是過原點（0，0）的一條直線.

4. 正比例函數的性質是：當k＞0時，y隨x的增大而增大，圖象在第一、三象限內；當k＜0時，y隨x的增大而減小，圖象在第二、四象限內.

注意：（1） 一次函數與正比例函數的共同性質是：當k＞0時，y隨x的增大而增大，當k＜0時，y隨x的增大而減小.

（2） k的符號決定直線的傾斜方向，k的絕對值決定傾斜的程度，｜k｜越大，直線越靠近y軸.

（3） b決定直線與y軸的交點（0，b），也就是決定了直線的位置.

（4） 對于直線y=k1x+b1和直線y=k2x+b2（k1，k2，b1，b2為常數，且k1?k2≠0），當k1=k2，b1≠b2時，兩直線平行；當k1≠k2時，兩直線相交于一點.

三、一次函數和正比例函數關系式的確定

待定系數法確定：根據題目中的條件，先設函數為y＝kx+b或y＝kx.由于一次函數y＝kx+b中有兩個未知字母（待定系數）k，b，所以需要列出兩個關于k，b的方程，將k，b的值求出，再代入關系式即可.如果是正比例函數y＝kx，則只需列一個關于k的方程，求出k的值.

第2課時一次函數與方程（組）及不等式的關系及應用

一、一次函數與方程組、不等式的關系

1. 一次函數與一元一次方程

函數y＝kx+b（k，b是常數，k≠0）中，當函數值等于0時，相應的自變量x的值就是一元一次方程kx+b=0（k，b是常數，k≠0）的解，所對應的坐標是直線y＝kx+b與x軸的交點坐標.

2. 一次函數與一元一次不等式

直線y＝kx+b在x軸的上方，也就是使函數的值大于0的x的值是不等式kx+b＞0（k≠0）的解；在x軸的下方，也就是使函數的值小于0的x的值是不等式kx+b

3 .一次函數與二元一次方程

（1） 由于任何一個二元一次方程都可以轉化為y＝kx+b的形式，所以每個二元一次方程都對應一個一次函數，于是也對應一條直線.

（2） 以二元一次方程的解為坐標的點，都在相應的一次函數的圖象上；一次函數圖象上任意點的坐標都適合與之相應的二元一次方程.

4. 一次函數與二元一次方程組

同一直角坐標系中，兩個一次函數圖象的交點坐標就是相應的二元一次方程組的解；反過來，以二元一次方程組的解為坐標的點，一定是相應的兩個一次函數圖象的交點.

注意：每個一次函數問題都可以轉化為方程或方程組問題，求函數圖象與坐標軸的交點或與另一個函數圖象的交點，都是解方程或解方程組問題，求x或y的取值范圍就可以轉化為解不等式或不等式組問題.

二、一次函數與方程（組）及不等式相結合的實際應用題

一次函數與方程（組）及不等式相結合能解決許多實際應用問題，中考中通常以綜合題的形式出現.解這類綜合題時，一定要審清題意，找出等量關系或不等關系，列出方程、不等式或確定函數的關系式，進而解決問題.

點評：容易想到，由已知A，B兩點的坐標求出一次函數的解析式，然后再解一元一次不等式，這是解此類題的常規方法.但是在這道題中，我們應該注意從圖象中捕捉信息，利用數形結合思想解題.

例 2 已知一次函數y＝3x+b和y＝ax-3的圖象交于點P（-2，-5），求不等式ax＋b＞0的解集.

解析：求不等式ax＋b＞0的解集，就必須知道a，b的值.已知兩個函數圖象的交點坐標，分別將x=-2，y=-5代入兩個解析式，即可求出a，b的值.

將x=-2，y=-5分別代入y＝3x＋b和y＝ax-3中，可得b=1，a=1.所以不等式為x+1>0，解得x>-1.

第3課時一次函數實際的應用常見題型

1. 一次函數的圖象信息題

在一次函數應用題中，把反映數量關系的圖象作為已知條件，進行分析解答的中考試題不斷增多， 成為中考命題的又一新趨勢.這類題考查從圖象中獲取信息的能力，考查綜合運用一次函數的性質與圖象解決實際問題的能力.

2. 一次函數的最值問題

在一次函數應用題中，關于最值問題一般有兩種類型.

（1） 求分配方案中的最值.可以把幾種方案的相關數據都求出來，比較最值即可.

（2） 列出函數關系式，利用一次函數的增減性確定最值.要特別注意準確求出自變量的取值范圍.

3. 一次函數的方案設計問題

在日常生活中，我們經常遇到一些問題需要找出全部可能方案，經過對比，然后作出決策.這些方案的設計當然少不了要建立一次函數模型，然后確定自變量可取的特殊值（一般為取值范圍內的正整數），進而求出幾種方案.

練習題

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數學是一門自然科學，也是一門重要的基礎學科。它詮釋了人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括，形成方法和理論并進行廣泛應用的過程，幫助人們更好的探求客觀世界的規律，對大量的復雜的信息作出恰當的選擇和判斷，直接為社會創造價值。它基本理念來源于實踐，又不斷的服務于現實生活。要使生活更加和諧，讓學生學好數學是必不可少的；要實現這樣的目標，不外乎有兩條路徑：學生有較高的積極性投入到數學學習中和任課教師有良好的引導水平。

一、徹底吃透教材是上好課的前提。

教師、學生、教材構成課堂教學的三個基本要素。課堂教學是以學生為主體、教師為主導，課本為教學依據。處理好這三者之間關系的最基本前提便是吃透教材。

吃透教材是提高課堂效果的關鍵。課堂教學要想有較大的收獲，必須深鉆教材。只有在認真分析教材后，才能確定章、節、單元教學的目標和要求，才能找出重難點和關鍵，以便制定出切實可行的課時教案和學案，準備好精選試題。

如果教材上說得明明白白的內容，教師可略講、不講或讓學生自己閱讀，做好引導，滲透洋思經驗，從而培養學生的自學能力；對那些重點、難點的教學內容，要抓住關鍵，充分展示數學的思維過程，該拓展的絕不可一帶而過。

二、認真進行數學教材分析上好數學課的關鍵

1、要分析數學學科的結構。

數學學科主要由基本概念、基本原理、基本問題、基本方法和基本應用組成的。

如：對九年級（上）的“一元二次方程”這一章的知識結構分析如下：

A、基本概念：一元二次方程（從三方面表述概念的內涵）。

B、基本問題：

（1）、解方程――已知方程的系數求根；

（2）、作方程――已知根，確定方程的系數。

C、基本原理：根與系數的關系――韋達定理。

D、基本方法：直接開平方法、因式分解法、配方法、公式法、消元法、換元法、降冪法等。

F、基本應用：如增長問題、利息問題、航行問題等。

2、確定數學教學的目的和要求。

“ 數學課程標準”中規定了教學的目的和要求，為實現這個要求，必須在章節、單元、課時教學中層層落實，每一節課的教學目標，我認為應從以下四個方面考慮。

A、基礎知識：基礎知識包括概念、定理、法則、公式等知識點。應怎樣講清這些知識點，講到什么深度，教師在分析教材時必須心中有數。（我們可以利用好學科組學習這個優秀的平臺。）

如：在“全等三角形”的教學中，應講清全等三角形的要領，課本中是用“重合”一詞來描述的，理解起來較容易，但學生往往重視不夠，這可能影響“對應”概念的理解。因此，在分析教材時，應把“全等形”和“對應”兩個概念相結合起來講。講解時，可多多舉例加以說明。

B、基本技能。數學的基本技能包括運算、識圖、繪圖、數學語言表達、數學符號運算能力等。技能帶有操作性，它是鞏固基礎，形成數學能力的中介。

如：通過學習解一元一次方程后，可歸納出解一元一次方程的一般步驟：去分母――去括號――移項――合并同類項――化系數為1。這就是利用所學過的基礎知識進行歸納總結的技能。

C、數學思維，它是學生智力結構的中心。因此數學教學也是一個培養學生思維能力的過程。

如：八年級（下）“尺規作圖”的基本作圖中，學生學會已知角的角平分線，可讓學生思考作一個平角的角平分線，使學生能夠輕松愉快的學會過直線上一點作已知直線的垂線，再如：學生學會了作過直線外一點作已知直線的垂線后，讓其思考作一條線段的垂直平分線的作法，并讓學生談出自己的思考方法，及其證明方法，從而培養學生的思維能力。

D、思想教育，數學思維對學生的影響，不僅限于培養學生的數學能力，而且還可以形成和發展學生的數學觀念、思維方式、態度和情感等。

如：數學中的推理意識，就有助于學生形成正直、誠實不盲從的品質，養成尊重真理的科學態度。因此在分析教材時，應注意學生的思想教育。

3、找出難點，求對策。

教師在弄清教材的知識體系后，還應注意知識的重難點。如何把握教材的重難點，又如何突破？我認為應從如下三個方面去考慮。

A、明確主次關系。如：在平面幾何的教學中，就圖形的內在聯系而言，三角形知識在生產實際中也經常用到。因此，三角形是平面幾何教學的重點內容，也是關鍵內容。

B、抓住關鍵。一節課的重點應從知識點，思維訓練和技能訓練三個方面加以考慮。

C、突破難點。突破難點，一般采用下面兩種方法。方法一：分散難點，即把難點設計成若干個臺階，讓學生沿臺階一步步地爬上去。然后各個擊破，從而達到目的。方法二：創造一個合理的情境，讓學生在解決問題的過程中探索，使難點得以解決突破。這兩種方法各有所長，第一種方法見效快，但掩蓋了解決難題的思維過程，第二種方法見效慢，但對思維能力培養卻有很大好處。

4、分析習題。

教師在分析習題時，應對教材中的習題先演算一遍，從中找出規律，以免盲目出錯。分析習題時還可以從以下四個方面入手。

A、研究習題的層次。教材中的習題可分為練習題、習題、復習題、總復習題這四個層次，不同層次的題應做不同的處理。如練習題、習題屬于階段性的習題，應隨堂練。復習題、總復習題是綜合性題，它涉今的知識面廣，難度相對較大一些。教師在布置作業時，應按教學目標要求和學生掌握知識的深度，選擇不同層次的習題區別對待。

B、確定習題的解答方式。習題解答方式應形式多樣。如可以考慮口答、板演、復習提問、書面作業、課后思考等方式，一般應根據習題難易程度來確定解答方式。

C、突出重點、控制題量。數學知識有主有次、有易有難，在分析習題的過程中，應選擇重點題和具有代表性的習題，適量地給學生布置作業，不要加重學生的業余負擔。

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【關鍵詞】分層教學法 初中數學 運用

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）12-0161-01

數學是初中課程中的一門重要基礎學科，也是學校教育中的教學難點之一，由于不同學生個人能力差異的存在，在學習數學的過程中接受能力較差的學生常常因為學不會而失去學習興趣，甚至對數學產生抵觸情緒，導致數學成績越來越差，因而在初中數學中如何提高學生的整體素質，促進學生的共同進步也是長期以來教育工作者們一直思考的問題。分層教學是針對不同學生之間的個體差異而開展的教學方法，是一種因材施教的教學法，在初中數學教學中運用這一方法對解決上述問題有著顯見而重要的意義。

一、實施分層教學的重要性

分層教學在教學上能夠使全體學生都得到最大程度上的發展，在具體的實施策略上主要有綜合交替運用班級、分組和個別教學等形式，在教學效果上能夠使不同層次的學生都能獲得正面的體驗。分層教學充分體現了兼顧全體、分層優化、全體參與的思想。通過分層教學不僅可以有效的激發學生學習數學的興趣，而且也培養了學生學習的主動性，有望大幅度提高學生的學習成績[1]。

分層教學的方法多、起點低，能多層次的調動學生學習積極性，增強了學生學習的競爭性，淡化了教學中的形式主義，注重學生學習的實際，具有保尖、促中、補差的效果。例如在我校實行高效教學的方式下，我班嘗試了一段時間的分層教學。在接下來的那次考試中，學生的學習成績明顯提高了。

二、實施分層教學的方法和措施

在課堂教學活動中，要讓學生逐漸成為課堂的主體，創造以學帶教的教學模式，實現學生主動參與、協作、探索的課堂教學，改變初中數學的枯燥乏味、效率低下的局面，使學生能夠逐漸接收并且愛上這門課，在學習數學知識的同時，還能使學生各方面的素質和能力得到提高[2]。在初中數學教學中實施分層教學法可從以下幾個方面著手：

1.做好學生分層，注重學生能力差異

教師要根據學生的數學學習能力、考試成績等情況對所學生分為A、B、C三個層次。這種分層的方法不是一成不變的，可以根據成績和平時測驗的情況及時進行調整，劃分的標準為：A層的學生有較強的分析、解決數學問題的能力；B層的學生有一定的分析能力，但是解決數學問題的能力不夠強；C層的學生數學能力比較薄弱。

2.教學內容分層，強化重點知識掌握

每節課的課堂教學內容分兩部分。前部分以課本為主體，以基礎知識、基本技能為著力點，面向全體學生，目的是使中等生學會，后進生基本學會。后部分內容拓展拔高，使優生吃得飽。時間分配前多后少。如在講“解一元一次方程”時，可以用以下流程：（1）自學課本中內容；（2）自己試著解方程后，師生共同得出解一元一次方程的初步通用方法；（3）由方程5x-6=2x有一個根，掌握一元一次方程有一個解，和其它的方程不同；（4）由方程5x-6=2x一個根，理解方程解在實際問題中的意義。像這樣，通過分層教學，使不同層次的學生在學習交流中，達到了“兵教兵，兵練兵，兵強兵”的目的。

3.課堂設疑分層，增強學生學習信心

將課堂練習分為基本型和有難度型。老師分類抽答，給中等、后進生回答問題的機會，給予更多的表揚鼓勵，提高他們學習的積極性。通過分層設疑，給不同層次的學生的學習提供了更廣闊的空間，讓每個學生都有回答問題的機會。回答成功的學生固然具有一定的成就感，增強了學生的學習自信心；回答錯誤的學生也得到了鼓勵和鍛煉，提高了學生數學學習的興趣，從而提高整個課堂學習的效果[3]。

4.課下作業分層，提高課堂教學實效

初中數學課下作業，堅持讓學生自主選擇習題，鼓勵學生量力而行，可以使不同層次的學生得到針對性的練習，使各種層次的學生都能夠感受到數學學習的成就感，在掌握好本層次知識的基礎上鼓勵學生越級練習。例如在“用公式法解一元二次方程”教學中，可設置如下的練習題：（1）x2-4=0；（2）x2+3x=0；（3）x2+2x-6=0；（4）4x2+8x-42=0 老師可以根據學生的不同層次，選擇不同的題。這樣既讓學生掌握了基礎知識，又提高了學生學習數學的興趣。

三、結語

分層教學法是因材施教理念下的教學方法，能夠多層次地調動學生的學習積極性，提高初中數學課堂教學的質量，優化課堂教學結構，另外，在實施分層教學法時，教師也應當轉變教學觀念，根據教學中的實際情況，對不同層次的學生應采用不同的評價方式，將分層教學法真正落實到課堂教學中，以更好地促進學生的進步和健康發展。

參考文獻：

[1]王立志.導學式分層教學法在初中數學教學中的應用[J].中國科教創新導刊，2008（7）：104-105.

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關鍵詞：數學興趣；聯系生活；注重直觀

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）21-109-01

美國教育家布魯納說過：“學習的最好動力是對學習材料的興趣”。興趣是一個人積極探求的一種最實際的內部動力，是學生學習積極性中最為現實、最為活躍的心理成分，它直接影響著學習效果。因此，激發學生的數學興趣，調動學習數學的積極性對搞好數學新教材的教學，有著十分重要的意義。

一、聯系生活，引趣

社會生產和人的需要是產生興趣的源泉，首先讓學生認識到學習數學這門學科的重要性，使他們對數學產生興趣，有一個思想上的基礎。因此，教師在課堂教學中有意識地根據教材的特點（重視數學的科學價值）講述數學在生產和生活中的價值和廣泛應用，使學生明白數學是學習和研究現代科學和技術必不可少的基本工具。教材中的每一章引言課，教師都可以根據教材內容，從實際生活和生產中引入新的課題。

二、注重直觀，誘趣

根據心理學研究成果表明，初中生正處于形象思維向抽象思維過渡的階段。在數學上，他們比較喜歡認識具體和形象的事物。重計算，輕概念，重記憶，輕理解。如用“字母表示數”由于字母在表示數字上的任意性和不確定性，具有“代”和“變”的抽象性，他們原有的對數的認識就感到不太適應，所以教師根據這一思維特征對數學概念的引入法則的說明，特別注意加強直觀形象和具體的教學，把教學內容處理成符合學生原有認識上的東西，來激發學生的學習興趣。

三、保護學生的好奇心，激趣

好奇是學生的天性，是人自發認識客觀事物的一種意向。好奇心是創新的動力是創新意識的萌芽，學生的好奇往往是表現在對一些新鮮事物，自己不懂的東西有一種突如其來的感覺，他們總愛問個為什么，或者異想天開，教師要保護學生的好奇心，激發求知欲，這是學生主動觀察、思考探索事物的強大動力，是興趣的先導。

1、利用他們的好奇心，教師把一些教學內容轉化為有趣的問題，吸引住學生，從而激發他們的求知欲

如在解“一元一次方程”的教學中。教師與學生共同搞了這樣一個游戲：讓同學每人都默記住一個數，先將這個數乘上5倍，再將所得結果加上25并除以10，最后將結果告訴老師，那么老師即能猜出你默記的哪個數。為什么？許多學生覺得老師很神，此時教師將其中的奧妙是解了一個一元一次方程講給學生，他們恍然大悟，對學習解一元一次方程的興趣更濃了，新教材中安排了許多有趣味的數學典型故事和游戲，如“填幻方”，以及古代數學家丟番圖的“墓志銘”“代數的故事”等等，教師都用來調動學生的好奇心和新鮮感，使他們的求知欲在好奇心的驅動下，由潛伏狀態轉入活躍狀態，從而提高他們的學習興趣。

2、利用好奇心，收集圖片資料，利用模型實物，激發學習興趣

立體圖形與平面圖形教學中，新教材中配有不少教具，提供了大量的立體圖形、平面圖形。目的是讓學生通過直觀感知、操作確認等實踐活動加強對圖形的認識和感受。在配套教具的基礎上教師不妨收集一些世界著名的有代表性的建筑物的圖片，如金字塔、清真寺、中國的古塔等等，再搜集生活中的一些規則的和不規則的物體，如乒乓球，易拉罐、玻璃杯、底面呈六邊形或八邊形的茶葉筒、魔方等等。讓學生感知這些建筑物都是由許多幾何圖形組成的，從而認識到學習這些知識的重要性和必要性。同時盡可能地讓學生多觀察各種幾何體和實物圖，通過大量的模型、實物例子形成對各種幾何體的直觀認識，這樣能激發學生的學習興趣，引導學生認識和理解數學概念的同時，充分調動學生的學習積極性，為學好這些知識打下良好的基礎。

3、利用學生的好勝心理，教師經常在教學中安排一些小競賽

如講完“列一元一次方程解應用題”后，教師將相同類型的課后練習題一次布置給學生，只要求他們列出應用題的方程即可，看誰列得既快又對，教師作為平時成績給予打分，對答得快和對的學生進行鼓勵。平時，教師在教學中，特別注重師生間的感情交流，培養他們學習上的爭強好勝心決不挫傷他們的學習積極性。我深深體會到教學中多給學生提出思考問題，并引導他們從多方面、多角度地思考問題，努力做到讓學生思考問題力求讓學生獨立思考，并以鼓勵為主、努力創造課堂教學和諧的氣氛，對待學生作業，教師每次及時批改，通過迅速的反饋了解自己教學效果，對學生作業中普遍出現的錯誤，教師首先要從自身中找毛病，然后師生共同分析，加以糾正。對待差生的作業，教師總是精心批改，抱著滿腔熱情的期望分析錯誤的原因，排除其學習的障礙，使其保持對數學學習的信心，進而逐步產生對學習的興趣。

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一、學習前預留思考的空間

這里所說的學習前的預留空間，主要是指的預習階段.按照傳統的學習方式，教師往往是采用兩種做法，一種是讓學生自己閱讀課本，找出問題，解決問題，把主動權完全下放給學生，教師只是起到補充和輔助的作用；另外一種就是照章宣義，灌輸給學生.前一種不夠深入，后一種詳細太甚，不能形成自己的空間.針對這兩種弊端，我們提出一種有度的講解與空間預留，讓學生自己搭橋進行銜接，這樣有斷有續，有助于激發學生的自我主動學習意識.

例如，在講“樣本平均數的基本公式-x=1n(x1+x2+…+xn)”時，教師可以一步步地講解出詳細的推導過程和每個步驟的意義，讓學生留下初步的印象，這樣就能穩固學生的基本基礎.學生要接觸的知識點就是加權平均數和方差的概念和公式，這時教師可以將思考的空間預留出來，讓學生自己去思考和推導，結合基本的公式和概念，進行推導，直至總結出答案.

如果提綱過于詳細化，沒有適度的空間讓學生去思考，就達不到自主構建的效果.在列舉此種提綱時，教師可以只列出主干知識點，如樣本平均數和樣本方差等，中間推理過程讓學生自己去做，以此來加強學生主動探索知識的意識，這既能鞏固知識，又能滲透自主思考的意識.

像基本概念的文字預留，這是對一個定義的解釋.例如，我們給出整式和分式的文字解釋，先要給出有理式的文字定義“含有加、減、乘、除、乘方運算的代數式叫做有理式”.接下來，我們定義“沒有除法運算或雖有除法運算但除式中不含有字母的有理式叫做整式.有除法運算并且除式中含有字母的有理式叫做分式”.這就是一個列舉的過程.我們拋開這種方式，也可用推理的形式進行展開.例如，說單項式與多項式，先給出單項式的定義，沒有加減運算的整式叫做單項式；接下來，教師可以給出多項式的思考空間，通過幾個式子特征，讓學生自己進行總結.

文字的提綱大多是在課文中都能提到的，但是沒有整合，需要教師引導學生自主去探索提綱的系統性，自己去整理概念，這就是文字概念的預留空間探索.

二、學習過程中給予思考空間

在實際授課過程中，教師會總結出一些基本的公式和定理等.在講解這些概念和定理時，教師可以讓學生自己去使用和理解，如距離速度和時間的公式、增長率的問題、工程問題等，都有自己固有的公式，教師可以將它們下放給學生，讓學生自己去進行學習.

例如，一元一次方程的解法：去分母去括號移項合并同類項系數化成1解；一元一次方程組的解法：(1)基本思想：“消元”.(2)方法：①代入法,②加減法等.這些步驟，教師可以讓學生通過習題的形式，讓學生自己去進行思考.這個思考空間就是學生內化的空間，也是課堂要經常使用的教學方式.

三、學習后思考空間的使用

學習之后就是鞏固和復習，查缺補漏，全面鞏固知識，這是不可缺少的步驟.首先是對基礎的穩固和鞏固，這一步必不可少，然后通過進一步的實踐和習題來加深學生對知識的理解，兩者相互促進、相互提高.這是拓展學生思維空間的前提.

此外，在復習中，教師可以將自和思考空間交給學生，通過思維的引發，讓學生自己去學習，去發現.比如，形成知識模塊，讓學生自己去整合知識體系.

我們可以綜觀全局，將某個知識點形成統一的體系.拿“圓”的知識來說明，像圓的定義，“三點定圓”定理，垂徑定理及其推論，與圓有關的角，直線和圓的位置關系，圓與圓的位置關系等，這都是一個知識體系里面的.

四、設置練習題中的思維空間

所謂練習題中的思維空間就是指一些綜合性的題目.這些題目能將基礎的知識融合到一起去進行統一的思考，有時候需要學生綜合起來才能夠解出答案，這種思維空間，有助于鍛煉學生思維的靈活性.

在教學中留出適度的空間來讓學生進行自主的探索，使其思維從發散到聚合進行轉變，通過自我感悟去領會感悟，相對于傳統的滿堂灌而言，有著不可比擬的優勢，它能促進學生自我的消化和吸收，有利于對知識內在的掌握消化和吸收.所以，教師從備課階段就要合理有效地安排課堂知識設置，提高教學質量.

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一、聯系生活——引趣

社會生產和人的需要是產生興趣的源泉，首先讓學生認識到學習數學這門學科的重要性，使他們對數學產生興趣，有一個思想上的基礎。因此，教材中的每一章引言課，教師都可以根據教材內容，從實際生活和生產中引入新的課題。如以生活、生產、科研中經常遇到數的表示與數的運算問題。例如：（1）以天氣預報2009年11月某天北京天氣為 -3°C——3°C的它的確切含義引出負數這一代數知識。（2）以三個隊參加的足球比賽中如何確定三個隊的凈勝球數引出有理數的加減法運算等；從豐富多彩的世界中包含著形態各異的圖形，如2008年北京奧運會奧運村模型圖中找熟悉的圖形中引出直線、射線、線段、角等有關知識。老師將這些引言課講得有聲有色，通過潛移默化使學生體會到數學的重要價值，另外在一些單元和部分課前，教師針對教學內容的需要也適當地講述了數學的應用及其價值。如；負數概念引入后教師結合“閱讀與思考”的內容，向學生生動地講述了中國是最早使用負數的國家這一歷史事實，在他們陶醉于我們祖先的偉大成就自豪感的同時，激發了他們對數學占有的欲望。

二、注重直觀——誘趣

在教學中，要解決數學知識的抽象性與形象性的矛盾，還應充分利用直觀教學的各種手段，“直觀”具有看的見，摸得到的優點，考慮如何在傳授知識的過程中做到生動形象，是數學教師在教學實踐中時常思索的問題。可以考慮這樣幾個辦法：

1.應用多媒體教學，增加教學容量，設計實際問題情景，重新組織教材結構網絡高學提高學生的數學素養和應用能力。

2.借助身邊的教學資源，做出各種教具。讓學生能摸得到，感受的到。使學生更容易理解，能輕松愉快地掌握學習數學的要領和重要方法。

三、游戲活動——激趣。

1.課堂上經常開展一些數學游戲，能激發和培養學生學習數學的積極性，如在解“一元一次方程”的教學中。教師與學生共同搞了這樣一個游戲：讓同學每人都默記住一個數，先將這個數乘上5倍，再將所得結果加上25并除以10，最后將結果告訴老師，那么老師即能猜出你默記的哪個數。為什么？許多學生覺得老師很神，此時教師將其中的奧妙是解了一個一元一次方程講給學生，他們恍然大悟，對學習解一元一次方程的興趣更濃了，新教材中安排了許多有趣味的數學典型故事和游戲，如“填幻方”，以及古代數學家丟番圖的“墓志銘”“代數的故事”等等，教師都用來調動學生的好奇心和新鮮感，使他們的求知欲在好奇心的驅動下，由潛伏狀態轉入活躍狀態，從而提高他們的學習興趣。

2.教師經常在教學中安排一些小競賽，可增強他們的好勝心從而激發興趣。 如講完“列一元一次方程解應用題”后，教師將相同類型的課后練習題一次布置給學生，只要求他們列出應用題的方程即可，看誰列得既快又對，教師作為平時成績給予打分，對答得快和對的學生進行鼓勵

3.成立數學興趣小組，在組內開展一些小活動，學辦數學手抄報等都能使學生對學習數學產生濃厚的興趣。

四、建立良好的師生關系——保趣

教師要使學生喜歡上你的課，必須使學生喜歡你。所以教師要做到以下幾點：

（1）練好教學基本功

教學基本功除了課堂組織、語言表達、板書、畫圖等傳統內容以外，還包括信息技術的熟練應用，尤其中新課程理念下，互聯網技術在教學中的大量應用，教師通過網絡吸取大量的信息是必不可少的。此外，教師的分析能力也是完成數學教學工作的一項重要素質。

（2）處理好教學中的各種關系

教學中應當處理好的關系包括：數學基礎知識、基本技能、教學與數學基本能力、基本態度培養之間的關系；學生的自主探究活動與教師的講解引導之間的關系；新的數學知識與已有數學認知結構之間的關系；共同要求與學生個性差異之間的關系；課內與課外的關系，此外還有師生關系。