實數集范文

導語：如何才能寫好一篇實數集，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

2、所有有理數組成的集合叫做有理數集。

3、正整數和負整數的總稱叫整數。包括0的一切實數，即不存在虛數部分的數均為整數。

4、所有正整數組成的集合叫做正整數。

篇2

ABCD分值: 5分 查看題目解析 >88.已知函數的圖象在點處的切線與直線垂直，若數列的前項和為，則的值為（ ）ABCD分值: 5分 查看題目解析 >99. 函數在處取得最小值，則（ ）A是奇函數B是偶函數C是奇函數D是偶函數分值: 5分 查看題目解析 >1010. 在中，，，為斜邊的中點，為斜邊上一點，且，則的值為（ ）AB16C24D18分值: 5分 查看題目解析 >1111. 設是雙曲線的左、右兩個焦點，若雙曲線右支上存在一點，使（為坐標原點）且，則的值為（ ）A2BC3D分值: 5分 查看題目解析 >1212.對于實數定義運算“”： ，設，且關于的方程恰有三個互不相等的實數根，則的取值范圍是（ ）ABCD分值: 5分 查看題目解析 >填空題 本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填寫在題中橫線上。1313. 設函數，若，則實數的取值范圍是 .分值: 5分 查看題目解析 >1414.若拋物線的焦點的坐標為，則實數的值為 .分值: 5分 查看題目解析 >1515.已知向量滿足，，與的夾角為，則與的夾角為 .分值: 5分 查看題目解析 >1616.已知函數時，則下列所有正確命題的序號是 .①，等式恒成立；②，使得方程有兩個不等實數根；③，若，則一定有；④，使得函數在上有三個零點.分值: 5分 查看題目解析 >簡答題（綜合題） 本大題共70分。簡答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17已知數列的前項和為，且.17.證明：數列為等比數列；18.求.分值: 10分 查看題目解析 >18中，角所對的邊分別為，且.19.求的值；20.若，求面積的值.分值: 12分 查看題目解析 >19命題實數滿足（其中），命題實數滿足.21.若，且為真，求實數的取值范圍；22.若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.分值: 12分 查看題目解析 >20在直角坐標系中，已知點，點在第二象限，且是以為直角的等腰直角三角形，點在三邊圍成的區域內（含邊界）.23.若，求；24.設，求的值.分值: 12分 查看題目解析 >21已知函數的一個零點為-2，當時值為0.25.求的值；26.若對，不等式恒成立，求實數的取值范圍.分值: 12分 查看題目解析 >22已知函數的最小值為0，其中，設.27.求的值；28.對任意，恒成立，求實數的取值范圍；29.討論方程在上根的個數.22 第(1)小題正確答案及相關解析正確答案

解析

的定義域為．由，解得x＝1－a＞－a.當x變化時，，的變化情況如下表：

因此，在處取得最小值，故由題意，所以.考查方向

本題主要考查導數在研究函數最值中的應用.解題思路

首先求出函數的定義域，并求出其導函數，然后令，并判斷導函數的符號進而得出函數取得極值，即最小值.易錯點

無22 第(2)小題正確答案及相關解析正確答案

解析

由知對恒成立即是上的減函數.對恒成立，對恒成立， ……8分考查方向

本題主要考查導數在研究函數單調性中的應用.解題思路

首先將問題轉化為對恒成立，然后構造函數，利用導數來研究單調性，進而求出的取值范圍易錯點

無22 第(3)小題正確答案及相關解析正確答案

時有一個根，時無根.解析

由題意知，由圖像知時有一個根，時無根或解： ，，又可求得時.在時 單調遞增.時， ，時有一個根，時無根.考查方向

本題主要考查分離參數法.解題思路

篇3

[關鍵詞]數系 實數的完備性 閉區間套定理 循環證明

中圖分類號：TP260 文獻標識碼：A 文章編號：1009-914X（2016）21-0392-02

引言

實數系具有完備性這一重要性質，現代數學尤其是分析正是建立在這一基礎之上，它可由實數系六大基本定理刻畫。歷代數學家用各種方法證明了實數完備性六大定理，除了常見的圓周法循環證明外，還有各種等價性證明。這些證明方法里蘊含著對這六大定理及其運用方法和技巧的理解。這六大定理也可以運用于數學分析中其他定理的證明。其中，通過構造閉區間套運用閉區間套定理能夠解決分析中其他問題。通過對這六大定理的了解和應用，能夠了解如何用分析的語言來刻畫數學定理，領略數學證明的魅力。

1.實數理論的建立

1.1 從有理數到無理數

數是數學中的基礎概念。數學不斷發展進步，與此同時，數系也不斷擴展。人類很早就認識了有理數。在公元前五世紀，畢達哥拉斯學派主張“萬物皆數”，當時所有人都堅定不移地認為“一切數均可表示成整數或者整數之比”。然而，畢達哥拉斯的學生希帕索斯一天突然想用勾股定理來測度等腰直角三角形的斜邊與直角邊之比，卻發現這個值無法測度，于是提出了無理數的存在。這一發現震驚了當時整個數學界，人們無法否認無理數的存在，然而之前長期的認識使得人們同樣無法接受它，這一問題持續了千年之久。

在希帕索斯提出無理數之后，人類才開始意識到有理數并不完美，然而當時的數學還并不能很好地解釋無理數的存在。直到18世紀，基本常數圓周率和自然常數e等被數學家證明是無理數之后，才有越來越多的人擁護無理數。有理數和無理數一起組成了實數集合，也正是在實數理論建立之后，人們才從根本上理解和承認了無理數。

1.2 實數理論的提出

17世紀，牛頓和萊布尼茲先后提出的牛頓―萊布尼茲公式，成為整個微積分論的基礎。兩人的理論都建立在無窮小量的分析之上，但是他們自身卻不能很好地理解和運用無窮小量。因此微積分也受到了很多人的攻擊和反對。

這使得當時的數學家們很是尷尬。在應用上，微積分非常成功，然而，在理論上，它自身的邏輯卻是混亂的。為了解決這一問題，數學家們將分析基礎建立在實數體系之上，分別建立了自己的分析體系。也正是在這個時候，實數理論才被提出并被普遍接受，成為數學分析的基石。

2.實數系六大基礎定理

2.1 實數系六大基礎定理

19世紀，數學家們分別提出了自己的實數體系，后來，隨著分析的發展和嚴格，數學家們對各種實數體系進行了歸納和總結，建立了實數理論。實數理論可以歸結為六大基本定理，包括確界存在定理，單調有界數列收斂定理，閉區間套定理，致密性定理，柯西收斂定理和有限覆蓋定理。

2.1.1確界存在定理（實數系連續性定理）

定義：非空有上界的閉集一定有上確界，非空有下界的閉集一定有下確界。1817年由捷克數學家波爾查諾提出，刻畫了實數系的連續性性質，這也是數學史上首次提出實數理論。

2.1.2單調有界收斂定理

定義：單調有界數列必定收斂。這個定理由德國數學家維爾斯特拉斯提出，常用于數列收斂的判斷和證明。

2.1.3閉區間套定理

定義：設一列閉區間n=1，2，3….滿足1）………….2）。則.

2.1.4致密性定理

定義：有界數列有收斂的子列。從極限點的角度來敘述致密性定理，就是有界數列必有極限點。

2.1.5柯西收斂定理

定義：如果數列{}具有以下特性：對于任意給定的，存在正整數N，使得當n， m>N時，成立，則稱數列{}收斂。

2.1.6有限覆蓋定理：

定義：設G={/}是的一個開覆蓋，則必存在有限子集={，…….}覆蓋。

2.2 循環證明法

實數系六大基礎定理彼此之間相互等價，可用循環證明法證明其成立。循環證明法，也稱圓周法，是證明多個等價性定理的常見方法。通常假設其中一個定理成立，用這個定理來證明下一個定理成立，再以下一個已經證明的定理為已知，依次證明之后的定理成立。然后，用最后一個定理來證明第一次假設的定理成立。用循環證明法證明實數完備性六大基礎定理的常見思路是，由確界存在定理證明單調有界收斂定理，由單調有界收斂定理證明閉區間套定理，由閉區間套定理證明致密性定理，由致密性定理證明柯西收斂準則，由柯西收斂準則證明有限覆蓋定理，最后，再由有限覆蓋定理證明確界存在定理。

3.閉區間套定理的運用

在實數六大基礎定理中，閉區間套定理十分典型，也有著較強的應用技巧。閉區間套定理是指滿足一定條件的閉區間套最后可以收斂到同一個點，主要可由單調有界收斂定理證明。

從閉區間套定理的定義可以看出，根據閉區間的原有性質，可利用閉區間套定理推導出閉區間上某點或者該點所在鄰域的性質，即已知“整體性質”可推導“局部性質”。根據閉區間套定理的這一特質，閉區間套定理可以容易地推廣到n維空間。在運用閉區間套定理時，閉區間套的構造和“局部性質”的繼承是關鍵。

3.1運用反證法從“局部性質”證明“整體性質”

例.設f（x）在R上有定義，f（x）逐點單調增加，即

證明：f（x）在R上嚴格單調遞增。

分析：這是一道典型的由“局部性質”推導到“整體性質”的證明題。可以考慮閉區間套定理與反證法結合。假設在某個區間上結論不成立，通過閉區間套的構造將該性質傳遞到某個鄰域上，與已知的“局部性質”相矛盾，從而證明結論成立。

證明：假設f（x）在R上不是單調遞增，即。用二分法構造閉區間套。等分，若；若。此時總有，。等分，如上方法可選，滿足，……如此繼續可以得到一列閉區間{}滿足

故假設錯誤，即f（x）在R上單調遞增。

運用閉區間套定理的關鍵在于閉區間套的構造，常見的構造方法有二分法等。通過二分法構造閉區間套，選擇合適的閉區間套繼承并傳遞原有閉區間的性質。最后，該性質可逐漸傳遞到某個點或者某個鄰域上。閉區間套定理經常可與反證法連用，由此來解決分析上的問題或者完成定理的證明。

4、總結

實數理論體系的出現意味著分析從混亂開始走向嚴格，它是整個數學分析大廈的基石，體現了數學分析的邏輯與和諧之美。實數完備性的六大定理不僅是強大的理論支撐，也廣泛應用于其他數學問題的解決和其他定理的證明之中。

參考文獻

[1] 數學分析 高等教育出版社.陳紀修.於崇.

[2] 關于實數完備性定理的用法討論.楊艷.

[3] 論實數系完備性定理的和諧美.梁俊奇.

篇4

【關鍵詞】 自然數集；實數集；無窮；反證法

對角線論證，可以回答的問題像是：給你無限長的時間，你能否把所有的實數數完？而判斷能不能數完，本質上是在比較自然數與實數的多少.問題也就等價于探討自然數集與實數集大小的關系.然而兩個集合元素的個數都是無窮的，如何來比較它們之間元素個數的關系呢？看似沒有頭緒的問題，康托卻巧妙地僅僅通過抽象的論證，就證明了這個看似無從入手的問題.

如何比較兩個集合的大小？

討論如何比較兩個集合的大小，先從一個簡單的例子說起，假設許多觀眾涌入一個禮堂，我們如何判斷觀眾數和座椅數的關系？

第一種方法，數數法.在觀眾進來之前，我們可以分別數一數觀眾與座椅，然后將兩個數字加以比較，如果這兩個數一樣，那么就說明觀眾與座椅數相等.但是這種方法僅限于集合元素可數的情況下，在無窮集是沒有辦法實現的.

第二種方法，一一對應法.觀眾進入禮堂后找座椅坐下，當觀眾全部進入以后，如果剛好把座椅全部坐完，那么人和座椅的數目就是相等的，在這種狀況下，我們不用通過數數就可以判斷兩個集合之間的關系.而實際上，人們數數也是建立在這種一一對應的基礎上的，數數是把人數或座椅數和自然數做的一一對應，一一對應的觀念是比自然數的數數更基本的觀念.

喬治?康托對這一概念作出了如下定義：

如果能夠根據某一法則，使集合M與集合N中的元素建立一一對應的關系，那么，集合M與集合N等價.

為什么（0，1）之間的實數與全體的實數一樣多？

將（0，1）線段彎成半圓弧形，圓心為O，半圓下面是一條無限延伸的實數線.如圖所示.

因為圓弧是由（0，1）線段彎曲而成，所以上面的點仍然代表線段（0，1）上的點.從O點作一條射線，分別交圓弧于A1點，交實數線于A2點，則A1與A2就是對應的，同理可以看出B1與B2對應，C1與C2對應，而實數線無窮遠處的點與圓弧的兩個端點對應，這樣整個圓弧上的點就和這條無限延伸的實數線上的點一一對應起來，這也就證明了（0，1）集合與實數集的大小是相等的，（0，1）之間的實數與全體的實數一樣多.

為什么實數永遠數不完？

判斷實數能不能數完，實質是比較自然數集與實數集之間的大小關系，因為兩個集合都是無窮集，所以用數數的辦法是不可能辦到的，而只能采用一一對應的辦法.一一對應，也就是建立自然數與實數的對應關系，因為前面已經論證（0，1）之間的實數與全體的實數一樣多，所以在這里完全可以用（0，1）之間的實數代替全體的實數集.問題轉化為比較（0，1）集合與自然數集之間的大小關系.

康托的對角線論證，采用的是大家熟悉的反證法，首先假定區間（0，1）內的實數能夠與自然數一一對應，然后，從這一假定出發最終推出邏輯矛盾.對應關系我們假設如下：從（0，1）隨機取一個數記為a1與自然數1對應，然后再取一個數記為a2與自然數2對應，依此類推，我們不在乎實數被取到的順序，而是只在乎最終產生的一一對應.為了講清楚康托的論證，我們假定存在如下的對應關系：

篇5

概念及其記法

.（2）使學生初步了解“屬于”關系的意義

.（3）使學生初步了解有限集、無限集、空集的意義

能力目標：（1）重視基礎知識的教學、基本技能的訓練和能力

的培養；

（2）啟發學生能夠發現問題和提出問題，善于獨立

思考，學會分析問題和創造地解決問題；

（3）通過教師指導發現知識結論，培養學生抽象概

括能力和邏輯思維能力；

教學重點：集合的基本概念及表示方法

教學難點：運用集合的兩種常用表示方法——列舉法與描述法，正確表示

一些簡單的集合

授課類型：新授課

課時安排：2課時

教具：多媒體、實物投影儀

教學過程：

一、復習導入：

1．簡介數集的發展，復習最大公約數和最小公倍數，質數與和數；

2．教材中的章頭引言；

3．集合論的創始人——康托爾（德國數學家）；

4．“物以類聚”，“人以群分”；

5．教材中例子（P4）。

二、新課講解：

閱讀教材第一部分，問題如下：

（1）有那些概念？是如何定義的？

（2）有那些符號？是如何表示的？

（3）集合中元素的特性是什么？

（一）集合的有關概念（例題見課本）：

1、集合的概念

（1）集合：某些指定的對象集在一起就形成一個集合。

（2）元素：集合中每個對象叫做這個集合的元素。

2、常用數集及其表示方法

（1）非負整數集（自然數集）：全體非負整數的集合。記作N

（2）正整數集：非負整數集內排除0的集。記作N*或N+

（3）整數集：全體整數的集合。記作Z

（4）有理數集：全體有理數的集合。記作Q

（5）實數集：全體實數的集合。記作R

注意：（1）自然數集與非負整數集是相同的，也就是說，自然數集包括

數0。

（2）非負整數集內排除0的集。記作N*或N+。Q、Z、R等其它

數集內排除0的集，也是這樣表示，例如，整數集內排除0

的集，表示成Z*

3、元素對于集合的隸屬關系

（1）屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作a∈A

（2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作

4、集合中元素的特性

（1）確定性：按照明確的判斷標準給定一個元素或者在這個集合里，

或者不在，不能模棱兩可。

（2）互異性：集合中的元素沒有重復。

（3）無序性：集合中的元素沒有一定的順序（通常用正常的順序寫出）

注：1、集合通常用大寫的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……

元素通常用小寫的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……

2、“∈”的開口方向，不能把a∈A顛倒過來寫。

練習題

1、教材P5練習

2、下列各組對象能確定一個集合嗎？

（1）所有很大的實數。（不確定）

（2）好心的人。（不確定）

（3）1，2，2，3，4，5．（有重復）

閱讀教材第二部分，問題如下：

1．集合的表示方法有幾種？分別是如何定義的？

2．有限集、無限集、空集的概念是什么？試各舉一例。

（二）集合的表示方法

1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合的

方法。

例如，由方程的所有解組成的集合，可以表示為{-1，1}

注：（1）有些集合亦可如下表示：

從51到100的所有整數組成的集合：{51，52，53，…，100}

所有正奇數組成的集合：{1，3，5，7，…}

（2）a與{a}不同：a表示一個元素，{a}表示一個集合，該集合只

有一個元素。

描述法：用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合，并把這個條

件寫在大括號內表示集合的方法。

格式：{x∈A|P（x）}

含義：在集合A中滿足條件P（x）的x的集合。

例如，不等式的解集可以表示為：或

所有直角三角形的集合可以表示為：

注：（1）在不致混淆的情況下，可以省去豎線及左邊部分。

如：{直角三角形}；{大于104的實數}

（2）錯誤表示法：{實數集}；{全體實數}

3、文氏圖：用一條封閉的曲線的內部來表示一個集合的方法。

注：何時用列舉法？何時用描述法？

（1）有些集合的公共屬性不明顯，難以概括，不便用描述法表示，只能用列舉法。

如：集合

（2）有些集合的元素不能無遺漏地一一列舉出來，或者不便于、不需要一一列舉出來，常用描述法。

如：集合；集合{1000以內的質數}

注：集合與集合是同一個集合

嗎？

答：不是。

集合是點集，集合=是數集。

（三）有限集與無限集

1、有限集：含有有限個元素的集合。

2、無限集：含有無限個元素的集合。

3、空集：不含任何元素的集合。記作Φ，如：

練習題：

1、P6練習

2、用描述法表示下列集合

①{1，4，7，10，13}

②{-2，-4，-6，-8，-10}

3、用列舉法表示下列集合

①{x∈N|x是15的約數}{1，3，5，15}

②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}

注：防止把{（1，2）}寫成{1，2}或{x=1，y=2}

③

④{-1，1}

⑤{（0，8）（2，5），（4，2）}

⑥

{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}

三、小結：本節課學習了以下內容：

1．集合的有關概念

（集合、元素、屬于、不屬于、有限集、無限集、空集）

2．集合的表示方法

（列舉法、描述法、文氏圖共3種）

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關鍵詞：希爾伯特旅館悖論；無窮集；一一對應；等勢；可數集

希爾伯特旅館內設無限個房間，所有的房間也都客滿了。這時又有一位新客人想投宿。旅館主人就讓1號房間的客人搬到2號房間，2號房間的客人搬到3號房間，3號房間的客人搬到4號房間，這樣繼續移下去。這樣一來，新客人就被安排住進了已空出來的1號房間。

再設想旅館又客滿了，這時又來了無窮多個人想投宿。旅館主人怎么辦呢？他讓1號房間的客人搬到2號房間，2號房間的客人搬到4號房間，3號房間的客人搬到6號房間，這樣繼續下去。現在，所有的單號房間都空出來了，新來的無窮多位客人可以住進去，問題解決了。

這就是大數學家大衛?希爾伯特提出的著名悖論。雖然叫做悖論，但它在邏輯上是完全正確的，意大利數學家伽利略在他的最后一本科學著作《兩種新科學》中也提到一個問題：正整數集{1，2，3，4…}和平方數集{1，4，9，16…}哪個大呢？由高中的集合知識我們知道集合的真子集的元素個數一定小于全集元素個數，那么奇數號房間數應小于房間總數。問題出現在哪呢？因為這是一個與無限有關的悖論，有限集合的真子集元素的個數一定小于全集元素個數。而無限集合與有限集合的性質并不相同。無限集合與無限集合又應如何比較呢？無限集是如何定義的呢？高中集合說集合中元素是有限的，集合叫有限集，集合中元素是無限的，那么集合就叫無限集。我們熟悉的實數集、自然數集都是無限集。那么無限集的本質是什么？它是否具備有限集合所具有的性質。

集合是初中升高中所學的第一個數學概念，這門研究集合的數學理論在現代數學中被稱為集合論，它是數學的一個基本分支，在數學中占據著一個極其獨特的地位。其創始人是德國數學家康托爾，他也以其集合論的成就被列為二十世紀數學發展史上影響最深的學者之一。十七世紀數學中出現了一門新的分支：微積分。一些基本概念如極限、實數、級數等的研究都涉及無窮多個元素組成的集合，這樣就導致了集合論的建立，狄利克雷、黎曼等人都研究過這方面的問題，但只有康托爾在這一過程中系統發展了一般點集的理論，并開拓了一個全新的數學研究領域。

1872年康托爾開始提出“集合”的概念。他對集合所下的定義是：把若干確定的有區別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素。最能顯示出他獨創性的是他對無窮集元素個數問題的研究。他把無窮集這一詞匯引入數學，“我們把全體自然數組成的集合簡稱作自然數集，用字母N來表示。”康托爾開始關注這樣的問題：像自然數那樣的無窮集合和像實數集那樣的無窮集合存在著怎樣的關系？他提出用一一對應準則來比較無窮集元素的個數。1873年11月29日，康托爾在給戴德金的信中將上述問題以更明顯的形式提出來：全體正整數集合N和全體實數集合R能否建立一一對應？這個問題看起來似乎不成問題，因為N是離散的，R是連續的，但康托爾認為這個問題也許并不是那么簡單，不能過分相信直覺。

1878年康托爾明確提出了“基數”或“等勢”的概念：給定兩個集合M和N，如果能根據某種規則在它們之間建立起一一對應關系（即對于其中一集合的每個元素，另一個集合中有且僅有一個元素與之對應），就稱這兩個集合有相同的“基數”或者說“等勢”。由于一個無窮集可以和它的真子集建立一一對應，如正整數和正偶數之間存在一一對應關系，也就是說無窮集合可以和它的真子集等勢，即個數相同。這與傳統觀念“全體大于部分”相矛盾，而康托爾認為這恰恰是無窮集的特征。在這個定義下，正整數集{1，2，3，4…}和正偶數集{2，4，6，8…}之間具有相同個數，他稱其為可數集。可數集（countable set）是能與自然數集N建立一一對應的集合，又稱可列集。1895年他證明了有理數集是可數的，他還證明了全體實代數的集合也是可數的，而直覺上實代數似乎要比有理數多得多。他證明了實數集的勢大于自然數集。他證明在無窮集之間還存在著無窮多個層次，對無窮大建立了一個完整的序列，他稱為“超限數”，他用希伯萊字母表中第一個字母“阿列夫”來表示超限數，“阿列夫零”表示自然數集的基數，2的“阿列夫零”次冪表示實數集的基數，最終他建立了關于無限的阿列夫譜系，它可以無限延長下去。這種觀念在數學上稱為實無限思想。康托爾的實無限思想在當時遭到一些數學家的批評與攻擊。然而康托爾并未就此止步，他以前所未有的方式，繼續正面探討無窮。他在實無限觀念基礎上進一步得出一系列結論，創立了令人振奮的、意義十分深遠的理論。這一理論使人們真正進入了一個難以捉摸的奇特的無限世界。

中學數學中學習的只是集合論的最基礎知識，對于復雜而重要的無窮集合的性質課本上并未涉及。在學習過程中，學生或許覺得一切都很簡單，根本無法想象它在誕生之日起所遭到的激烈反對，康托爾成為這一激烈爭論的犧牲品，在猛烈的攻擊與過度的用腦思考中，他得了精神分裂癥，幾次陷入精神崩潰。然而集合論前后歷經二十余年，最終獲得了世界的公認。康托爾集合論的建立，不僅是數學發展史上一座高聳的里程碑，甚至還是人類思維發展史上的一座里程碑。

參考文獻：

[1]葉飛.再談對中學生數學“無限”觀念的教育.數學教育學報，2007.

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[關鍵詞]:復數教學 數學思想 應用

一、前言

教學過程是一種特殊的認知過程，通過數學教學，學生掌握了數學思想，會有利于完善和發展認知結構，有利于開發智力和發展數學能力，也能促進數學觀念的形成，為此，本文將探索“復數教學如何突出數學思想”的問題。

基本數學思想是高度概括得到的，它們的概括性是有層次之分的，中學數學教材中最高層次的基本數學思想是：“公理化思想”、“結構思想”和“集合對應思想”。因此，筆者認為，復數教學突出數學思想可歸結為突出“公理化思想”、“結構思想”和“集合對應思想”。

數學思想體系是數學知識結構的基礎和核心，于是，在數學教學過程中，理所當然地應該給予數學思想的教學以重要的甚至核心的地位，筆者認為，對復數全章的教學應采取科學的的教學方法，以達到突出數學思想的目的。

二、數學思想在復數教學中的應用

1.通讀掌握

通讀掌握，是指通讀復數全章內容并掌握全章的邏輯演繹過程，經教師啟發、引導、總結使學生掌握了該章的大致邏輯演繹過程：由記數的需要建立了自然數，自然數的全體構成自然數集N；為表示相反意義的量滿足記數法的要求把N擴充到整數集Z；為解決測量、等分的需要把Z擴充到有理數集Q；為表示“無公度線段”的需要把Q擴充到實數集R；由解方程的需要把R擴充到復數集C，由復數z=a+bi（a,b∈R且a是實部；b是虛部) 用r(cosθ+isinθ)表示復數的三角形式。由復數的代數形式復數的加、減、乘（包括乘方）、除四則運算；由復數的三角形式復數的乘、除、乘方、開方運算解方程。這樣，使學生從整體上對全章產生了印象、形象、想象，最后能用語言闡述全章的邏輯演繹過程，不僅為學習復數奠定了基礎，而且還重點突出了公理化思想。

2.深刻理解

深刻理解是指深刻理解復數、復數的相等、其軛復數、復平面、向量、復數的模和輻角、二項方程的概念。概念的學習是數學學習的核心，概念的教學過程是“引入、理解、深化、應用”，引入是指引入新概念的必要性及從需要、類化、類比、實例等方法引入新概念；理解是指理解概念的形成過程；深化是指明確概念的內涵和外延，概念在結構中所處的位置及引伸、聯系、變化。例如，通過啟發、引導使學生掌握復數的引入是解方程的需要，復數的形成是i與實數的線性組合（這里i2=-1,實數與i進行四則運算時保持實數集的加、乘運算律）；復數的內涵是a+bi(a,b∈R)，它的外延是當b=0時就是實數、當b≠0時叫做虛數，復數在數系表中處于最高層次的位置，它有代數、幾何（點或向量）、三角三種表現形式；復數成為現代科學技術中普遍使用的一種數學工具，因此，必須重點突出其數學結構思想。

3.分段進行

分段進行，是指將復數的運算分成兩段進行教學，第一段是以復數的代數形式來表述復數的概念：先規定了復數的加法和乘法滿足實數集的運算律，又規定了復數的加減法是復數加法的逆運算、復數除法是復數乘法的逆運算，從而得出復數的減法和除法運算法則，從復數的四則運算結果得出：任意兩個復數的和、差、積、商（除數不為零）仍是復數。第二段是以復數的三角形式來表述復數的概念，由復數（代數形式）的乘法運算法則和運算律及兩角和的正、余弦公式推導出復數（三角形式）的乘法運算法則。用數學歸納法可以證明，由兩個復數（三角形式）的積推廣到N個復數（三角形式）的積，當這N個復數都相等時就得出復數（三角形式）的乘方法則，根據復數除法的定義得出復數（三角形式）的除法的運算法則，根據n次方根的定義和復數（三角形式）相等的條件及正、余弦函數的周期性得出復數（三角形式）的開方運算法則，通過這段教材（法則、例題、習題）的教學，不僅為學習復數抓住了重點，使學生能牢固掌握基礎知識和基本技能，并積累解題經驗，提高分析問題和解決問題的能力，而且還重點突出了集合間的運算關系思想和數學模型思想。

4.加強聯系

加強聯系是指通過本章教學，把一個個知識點發展成知識“鏈”，形成知識網絡，研究各知識點之間轉化的條件，用聯系、運動、變化的觀點來研究各知識點之間的轉化，展示給學生一個動態的知識“再生產”過程，啟發、引導學生去發現復數與代數、平面幾何、解析幾何、三角函數、反三角函數等的聯系。如復數與實數、復數與方程、復數與因式分解、復數的模與實數的絕對值、復數與數學歸納法、復數與向量、點與向量、復數平面與坐標平面、復數的加、減、乘、除、乘方、開方的幾何意義、復數與它的模和輻角、復數與兩角和的正、余弦及用復數求角、兩點間距離、曲線方程、動點軌跡等，這樣，不僅使學生思路開闊，善于聯想，有助于發展認知結構，提高靈活運用和綜合運用數學知識能力，而且還重點突出了變換思想和集合間的關系思想。

5.提煉思想

提煉思想是指啟發、引導學生從本章數學知識和數學方法中提煉數學思想。（1）從本章的邏輯演繹過程中可提煉出公理化思想，使學生基本掌握；由“群―環―域”和由“良序―全序―偏序”過程中，可向學生滲透公理化思想。（2）從數的擴充過程中可提煉出整數、有理數、實數、復數的結構思想，使學生掌握，可向學生滲透：自然數集對乘法形成群結構思想，整數集對加、乘法形成環結構思想；自然數集是良序集，整數集、有理數集、實數集、復數集是偏序集，由良序、全序、偏序構成序結構思想；從復數平面中可提煉出二維向量空間思想，使學生掌握。（3）本章中有豐富的數學模型,如N,Z,Q,R,a+bi(a,b∈R),z(a,b), oz,r(cosθ+isinθ),平行四邊形法則(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i，d=(x2-x1)2+(y2-y1)2，[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosθ+isinθ)(n∈N)等，從中可提煉出數學模型思想，使學生掌握；從復數的加、減、乘、除、乘方、開方運算中可提煉出集合間運算和復數集、復平面、以原點為始點的二維向量間的一一對應及曲線與方程等可提煉出集合間的等價關系思想；從復數集包含實數集及邏輯演繹等可提煉出序關系思想；從復數與點的互化、復數的運算轉化為向量的運算等可提煉數學思想的方法，從而進一步促進學生的數學思想的形成和發展。

三、結束語

通過以上的教學，學生能從整體上較好地掌握全章的內容以及以復數為出發點的有條理地串聯全章各個知識點及它們之間的聯系，促進學生認知結構的完善和發展，開發學生的智力，提高學生的數學能力，使學生逐漸產生了推理意識、整體意識、抽象意識、化歸意識等，這將促進學生數學觀念的形成。

參考文獻:

[1]陳福平.在排列組合單元進行數學思想方法教學的認識[J].數學通報，2001，(8)：19-21.

篇8

對于兩個集合M與N,它們的構成一般不同,我們忽略它們的構成,而考慮一個自然的問題:這兩個集合的元素的數量哪個多哪個少?

如果集合M是有限的,那么它的元素的數量可以由某個自然數(即其元素的數目)來表達。在這種情形之下,為了比較集合M與N的數量,只要計算一下M與N的元素的個數,然后比較一下所得到的這兩個數目大小就可以了。同樣,假若集合M與N中,一個是有限的,另一個是無限的,那么很自然地可以認為無限集合包含著比有限集合更多的元素。然而,如果兩個集合M與N都是無限集合,那么用簡單地計算元素的個數的方法是什么也得不到的,所以立刻引起這樣的問題,即是否所有的無限集合的元素的數量都是一樣的,或者是否存在元素數量互相不同的無限集合?假如后者是正確的,那么用什么方法可以比較無限集合的元素數量呢?這就需要“一一對應”的思想。

數學中還有一類非常重要的對應,那就是映射。集合A到集合B的一個映射是A到B的滿足下列條件的一個對應:對于A中每一個元素,B中都有唯一一個元素與之對應。特別地,如果A中不同的元素對應于B中的元素也不同,就稱為單射,如果B中每一個元素都有A中一個元素對應之,則稱滿射。同時具備兩點的映射稱為一一映射。映射是現代數學中一個基本的概念。數學中的映射主要有以下幾種:

①數集到數集里的映射。函數就是這類映射。

②數集到點集的映射。實數集到數軸上的點集的映射,復數集到平面點集的映射。它是我們實現代數、幾何問題互化的理論根基。

③幾何圖形集合到數集里的映射。在幾何測量中,圖形集合中每一個圖形與一個非負實數―這圖形的測度相對應。

④點集到點集里的映射。幾何變換就是這種映射。

數(數組)與形的映射對應導致數形結合思想。數和形(或者說數量關系和空間形式)都是數學的研究對象,并且由數學中不同的分支學科來研究。17世紀以后,由于建立了實數集與直線上點集的一一對應、有序實數對(x,y)的集合與坐標平面上點集的一一對應,從而在二元方程f(x,y)=0的集合與平面曲線集合之間建立了對應關系,實現了數與形的結合,導致解析幾何學的產生,數量關系可以轉化為圖形性質,圖形性質可以轉化為數量關系,幾何問題能用代數方法來研究,代數由于運用幾何模型而具有鮮明的直觀性。正如戈丁所說:“解析幾何是下面的事實的系統應用:在實數與直線上的點之間,在實數與平面上的點之間,以及在實數三元組與空間中的點之間,都存在著自然的對應。于是數的計算可以用幾何的方式來解釋,而幾何問題可以重新表述為代數問題。”例如,常常用線段圖使數量關系形象化,其實質就是用線段的長短表示數量的大小,借助線段長度的和、差、倍、分關系表示數量關系。由于蘊涵在題意中的數量關系直觀地表示出來了,因而能調動學生的形象思維,以支持他們的邏輯思維活動,這樣就有利于分析題意,從而找到解題途徑。數形結合對于初步認識分數幾乎是不可缺少的,可讓學生對分數有直觀感受。

形與形的映射對應導致變換思想。變換思想主要有數的變換、式的變換、名數的變換與形的變換等。例如,分數與小數、百分數的互化,假分數與帶分數或整數的互化,都是數的變換。式的變換的目的是為了簡便計算,它是以運算律、運算性質作為變換的依據。名數的變換反映了用不同的計量單位量同一個量時得到的形式上不同的結果。形的變換有分割、拼合、對稱、旋轉、平移等。

利用對應思想可以實現轉換而有效解決一些看上去不易解決的問題。

例1:有40支乒乓球隊參加比賽。比賽采用淘汰制,最后產生冠軍隊。共需賽多少場?

分析:每賽一場淘汰一支球隊,每淘汰一支球隊就得賽一場。這樣,就可以在安排的賽場集合和被淘汰的球隊集合之間建立一一對應。因此,這兩個有限集的元素個數相等。為了產生1個冠軍隊,40支球隊需要淘汰40-1=39支球隊。因此,也就需要安排39場比賽。

在這里,由于我們發現了兩個有限集之間的一一對應關系,使得我們有可能將求一個有限集的元素個數問題轉化為求與之對等的另一個有限集元素的個數。

例2:如圖1,是一個城區的街道示意圖,問從A到B最近路線有幾種走法?

分析:所謂的最近走法,就是只按兩個方向走:向下(記作|)、向左(記作―)。顯然一種走法就對應著“― ― ― ― | | | |”的一個排列,而它們的一個排列也同樣對應著一種走法,是一個一一對應。而排列的條件是8個位置選出4個(不區分)位置放“―”,剩下的安排“|”,共C種。

例3:集合S={1,2,…,16}的五元子集S1={a,a,a,a,a}中,任何兩元素之差不為1,這樣的子集S有多少個?

分析:由于S中的每個元素都在S中且任兩個之差不為1,不妨設a,a,a,a,a為上升排列,作子集S′={a,a-1,a-2,a-3,a-4},則S′與S一一對應,而S′是{1,2,…,12}的五元子集,故共有C個。

實際上,此問題等價于:有16名學生,其中女生5名,要排成一排,其中任何兩名女生不得相鄰,問共有多少種不同的排法?

對應是人的思維對兩個集合間聯系的把握,對應將各種類別、各種層次的對象聯系起來,呈現出它們之間某些相似或相同的屬性,使各種數學對象能夠相互結合、轉化。學生學習數學應該掌握對應思想。

參考文獻:

篇9

數學概念的教學一般來說要經歷概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的應用(包括概念所涉及的數學思想方法的運用)等階段,而學生對抽象性東西的理解、掌握卻是最困難的,特別是職高生,他們的思維能力較弱,認知水平較低。所以,職高數學概念教學中的一個重要內容,就是要想方設法創設數學概念形成的問題情景,克服概念的抽象性。

根據數學概念產生的方式,結合學生的認知特點,我們可以用下列幾種方法來創設數學概念形成的問題情景。

一、從學生的認知水平出發,創設聯系實際的問題情景

因為數學概念的產生、發展有各自不同的途徑,有的是直接從現實生活的模型中抽象出來的,所以,數學概念教學要根據學生的認知水平,盡可能地模擬客觀實際情況,讓學生能從熟悉的生活、生產和其它活動的實際問題中,經歷由感性到理性、由實踐到認識的過程,然后形成準確、完整的概念。因此,教師提供給學生所學概念的直觀背景材料,顯然應該是學生熟悉的,且是能從中親身體驗思維加工過程的。

如在“角的概念的推廣”教學中,“推廣”的主要內容是:從原有的0°―360°的角,推廣到正、負任意大、小的角。重點的、也是首先的,是解決正、負角問題。這一概念,可看成是原有0°―360°角內部衍生出來的,但更多的成分可看成是實際現實模型中抽象出來的,因為現實生活中普遍存在兩種方向相反的角。因此,本概念教學的設計重心是:著力選擇生活模型抽象出正、負角。

選擇什么模型呢?進入我思考范圍的有:A例:時鐘的指針形成的角。B例:用扳手對螺帽擰緊、擰松形成的角。C例:醫院B超顯示屏上扇形面上掃描線,左轉與右轉運動形成的角,等等。C例符合概念模型,但不為大多數學生所熟悉,非但不能較好地為概念教學服務,而且要增加B超掃描屏幕的解釋,影響教學進程,不取為好。A例雖然能演示相反方向的角,但缺乏現實生活意義,不足以說明正、負角引進的必要性,也不可取。B例事例簡單、鮮明、突出、有真實感,在擰緊、擰松中,學生易感知兩種相反方向角的形成,是一個好例子。

這里,學生的學習基礎是正、負數引進中的原有認識:用正、負區分具有相反意義的兩個量,即對正、負數產生的認識。學生在感知扳手對螺帽的擰緊、擰松過程中,能較好地認識到現實生活中是有兩種不同方向的角,并且原有的記述方法已經不能區分出這兩種角。在此基礎上,我設計以下問題進行教學:

1.怎樣區分這兩種不同方向的角呢?

2.你遇到過類似的兩種相反意義的量的問題嗎?

3.它是如何解決的呢?能用它的方法解決本問題嗎?

如此,順利地進行角的概念的推廣教學。

二、回顧已有概念的擴展過程,創設再擴展概念的問題情景

有些數學概念是已有概念的擴展,若能揭示已有概念的擴展規律,便可以水到渠成的引入新概念。

如復數概念的教學,先回顧已經歷過的幾次數集擴展的事實:引進負數數集擴展到有理數,引進無理數數集擴展到實數。后提出問題:

1.這些數集擴展的原因及其規律如何?(實際問題的需要使得在已有的數集內有些運算無法進行)

數集的擴展過程體現了如下規律:

(1)每次擴展都增加規定了新的元素;

(2)在原數集內成立的運算規律,在新數集內仍然成立;

(3)每次擴展后的新數集里能解決原數集不能解決的問題。

有了上述準備后,教師提出問題:負數不能開平方的事實說明實數集不夠完善,因而提出將實數集擴充為一個更為完整的數集的必要性。那么,怎樣解決這個問題呢?

2.借鑒上述規律,為了擴充實數集,引入新元素i,并作相關的規定,這樣學生對i的引入就不會感到疑惑,對復數集概念的建立也不會覺得突然,使思維很自然地步入知識發生和形成的軌道中,順利地進行算數概念的擴展,同時為概念的理解和進一步研究奠定基礎。

三、引導新、舊概念對比,創設概念間遷移的問題情景

學生感知和理解事物的一般方式是由學生的已有認知結構來決定的。新的概念不是被同化到現有認知結構中,就是改造這個現有認知結構以接納新概念。所以,在概念教學中,教師要充分調動學生的原有認知結構。許多數學概念間存在著一定的聯系,教師若能將新舊概念間的聯系點設計成問題情景,引導學生將新的概念轉化為已有認知結構中的相關概念,建立起新舊概念間的聯系,便可以使學生牢固地掌握新的概念。

四、通過具體實驗,創設概念直觀化模型的問題情景

篇10

sinx是對邊比斜邊。sinx函數，即正弦函數，三角函數的一種。正弦函數是三角函數的一種。對于任意一個實數x都對應著唯一的角（弧度制中等于這個實數），而這個角又對應著唯一確定的正弦值sinx，這樣，對于任意一個實數x都有唯一確定的值sinx與它對應，按照這個對應法則所建立的函數，表示為y=sinx，叫做正弦函數。

函數（function）的定義通常分為傳統定義和近代定義，函數的兩個定義本質是相同的，只是敘述概念的出發點不同，傳統定義是從運動變化的觀點出發，而近代定義是從集合、映射的觀點出發。函數的近代定義是給定一個數集A，假設其中的元素為x，對A中的元素x施加對應法則f，記作f（x），得到另一數集B，假設B中的元素為y，則y與x之間的等量關系可以用y=f（x）表示，函數概念含有三個要素：定義域A、值域B和對應法則f。其中核心是對應法則f，它是函數關系的本質特征。

（來源：文章屋網 ）