分類討論的數學思想方法范文

導語：如何才能寫好一篇分類討論的數學思想方法，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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1. 結合物體、圖形的分類教學進行滲透

在圖形學習的章節里，分類思想是滲透得最明顯的。如在四年級下冊《三角形》的分類學習中，三角形即可按邊分類，又可按角分類，就充分反映了分類標準不同，則會出現分類的結果不一樣的狀況。那么在教學時，就要問學生：你為什么要這么分？你比較了物體圖形的哪些特征？分類的標準是什么？

2. 結合概念的學習進行滲透

有位老師在教四年級上冊《垂直與平行》時，通過一些數學活動的安排，滲透了分類討論的數學思想：先出示同一平面內的各種不同位置關系的幾組直線，然后引導學生根據“相交與否”作為分類標準，得到兩大類后，整理其中一類中各組直線的共同特征，從而引出平行線的概念；在垂線的概念獲得活動中，又以“相交是否成直角”為標準，對另一類中各組直線進行分類，進而概括出垂線的概念。

3. 結合統計與概率教學進行滲透

如一年級上冊《我們的校園》統計學生活動人數時，就需讓學生明確，統計的前提是先對校園內同學們的活動類型進行分類，在此基礎上才能統計人數。在二年級下冊《統計》一節中，不管是統計同學們的體重還是馬路上的車輛，都需先對相關數據或現象進進行合理的分類，再行討論。

4. 結合《數學廣角》教學進行滲透

四年級下冊《數學廣角》中“一共要種多少棵樹？”的幾道題，囊括了3種植樹類型：兩端都種、一端種一端不種、兩端都不種。在教學中，教師可通過圖例，幫助學生建立分類討論的意識，依次分析出植樹問題的3種類型，然后討論出各類型的解題模式，最后綜合得出解決此類問題的一套有效方法。

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關鍵詞：初中數學；“思想方法”；教學經驗

一、初中數學“思想方法”的概念

想掌握好任何一門學科的知識，都應該遵循一定的思想方法。而到底什么是思想方法呢？具體地講，它是人們在一定的世界觀指導下所需要遵循的一些基本規則和程序。這些基本規則和程序是人們在一定的世界觀指導下觀察、體會、研究新事物和現象時建立的。簡而言之，思想方法是指人們在認識客觀世界中所采用的方法。

初中數學的教學思想和教學方法是分開的，它們之間至今還沒有嚴格的界限。有人認為，數學教學思想是指對數學教學的一個基本認識，這種認識里包括對數學知識和數學方法的認識。而數學教學方法是指在數學教學中解決問題的一套基本辦法和程序。所以說它們之間存在普遍聯系也存在具體差別，我們不能一概而論。筆者認為，無論是初中數學教學的基本思想還是教學方法，都對新時代的數學教師教授數學有很大的幫助。它們之間的必然聯系可以加深學生對數學教學的理解，數學教師應該有個人獨特的教學思想和教學方法，這樣才更有益于對初中數學的教學，從而提高學生的數學學習能力。

二、數學教學“思想方法”的內容

初中數學教學思想和教學方法包含的內容千羅萬象，我們無法做到一一舉例。但是可以從基本規律中研究兩者具備的共同特點和內容。初中數學的教學思想和方法大致包括轉化思想、分類討論思想和數形結合思想這幾種關于思想方法的內容。其中，轉化思想我們能夠直接從字面上的意思去理解。“轉化”，顧名思義是指把復雜的事物簡單化，化煩瑣為容易。它需要經過一系列復雜的程序才得以轉化，比如在初中數學的教學中，數學教師的任務就是把復雜的數學問題簡單化，以一種通俗易懂的形式傳授給學生，讓他們能明白這道數學題的解題思路與做法。

分類思想在初中數學教學中應用非常廣泛。實際上，在初中數學中應用最多的就是分類討論思想。用分類討論思想解決問題的一般步驟是首先明確需討論的對象及討論對象的范圍；其次正確選擇分類的標準，進行合理分類；再次根據分類討論解決問題；最后歸納并作出結論。數學教師在教學中應注重對學生分類思想的培養，及時糾正學生所犯的思維錯誤。因為數學中的分類討論思想是一種比^重要的數學思想，通過加強數學分類討論思想的訓練，有利于提高學生對學習數學的興趣，培養學生思維的條理性、縝密性、科學性，這種優良的思維品質對學生的未來必將產生深刻和久遠的影響。

初中數學教師在制訂教學目的、采用教學方法時，應有意識地突出分類討論思想，并在具體教學過程中努力體現。根據初中學生的特點，教學中要遵照循序漸進的原則并采用靈活多變的教學手段來實施分類討論方法的教學。

三、如何加強初中數學教學 “思想方法”的運用

首先，教師應該樹立數學思想方法教學的核心觀念，并準確、清晰地把握好初中數學教材中的數學思想方法。同時，要深入地研究初中數學教材大綱，把其中隱含的數學思想方法找出來，并加以運用。其次，在課堂教學過程中，適時滲透與數學有關的思想方法。數學的思想方法并不等同于知識，但又蘊含于知識之中。因此，教師要想方設法把思想滲透在教學內容里，讓學生有所體會。例如，一些概念的形成過程、命題、定理、公式法則的推導過程等，都隱藏著向學生滲透數學思想方法的好機會。最后，通過小結的形式歸納概括出其中的數學思想方法，將不同的小知識點聯系在一起，總結出應用的某種數學思想，這是學生掌握數學思想方法的一種有效途徑。

綜上所述，我們了解了初中數學教學思想與方法中包含的很多內容。《九年義務教育全日制初級中學數學教學大綱（試用修訂版）》中指出，初中數學課的教學，不僅要加強數學課本的教學，還要大大加強數學思想方法的教學。解題過程中，解題的思路過程就是教師們教學思想方法的深入滲透，只要循序漸進地加強滲透，許多數學教學問題就可以迎刃而解。

參考文獻：

[1]陳 燕.數學思想方法的滲透和培養[J].數學學習與研究，2016（22）.

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中學數學知識結構涵蓋了辯證思想的理念，反映出數學基本概念和各知識點所代表的實體同抽象的數學思想方法之間的相互關系。數學實體內部各單元之間相互滲透和維系的關系，升華為具有普遍意義的一般規律，便形成相對的數學思想方法，即對數學知識整體性的理解。數學思想方法確立后，便超越了具體的數學概念和內容，只以抽象的形式而存在，控制及調整具體結論的建立、聯系和組織，并以其為指引將數學知識靈活地運用到一切適合的范疇中去解決問題。數學思想方法不僅會對數學思維活動、數學審美活動起著指導作用，而且會對個體的世界觀、方法論產生深刻影響，形成數學學習效果的廣泛遷移，甚至包括從數學領域向非數學領域的遷移，實現思維能力和思想素質的飛躍。

可見，良好的數學知識結構不完全取決于教材內容和知識點的數量，更應注重數學知識的聯系、結合和組織方式，把握結構的層次和程序展開后所表現的內在規律。數學思想方法能夠優化這種組織方式，使各部分數學知識融合成有機的整體，發揮其重要的指導作用。因此，新課標明確提出開展數學思想方法的教學要求，旨在引導學生去把握數學知識結構的核心和靈魂，其重要意義顯而易見。

二、對初中數學思想方法教學的幾點思考

1、結合初中數學大綱，就初中數學教材進行數學思想方法的教學研究

首先，要通過對教材完整的分析和研究，理清和把握教材的體系和脈絡，統攬教材全局，高屋建瓴。然后，建立各類概念、知識點或知識單元之間的界面關系，歸納和揭示其特殊性質和內在的一般規律。例如，在“因式分解”這一章中，我們接觸到許多數學方法—提公因式法、運用公式法、分組分解法、十字相乘法等。這是學習這一章知識的重點，只要我們學會了這些方法，按知識──方法──思想的順序提煉數學思想方法，就能運用它們去解決成千上萬分解多項式因式的問題。又如：結合初中代數的消元、降次、配方、換元方法，以及分類、變換、歸納、抽象和數形結合等方法性思想，進一步確定數學知識與其思想方法之間的結合點，建立一整套豐富的教學范例或模型，最終形成一個活動的知識與思想互聯網絡。

2、以數學知識為載體，將數學思想方法有機地滲透入教學計劃和教案內容之中

教學計劃的制訂應體現數學思想方法教學的綜合考慮，要明確每一階段的載體內容、教學目標、展開步驟、教學程序和操作要點。數學教案則要就每一節課的概念、命題、公式、法則以至單元結構等教學過程進行滲透思想方法的具體設計。要求通過目標設計、創設情境、程序演化、歸納總結等關鍵環節，在知識的發生和運用過程中貫徹數學思想方法，形成數學知識、方法和思想的一體化。

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分類是自然科學中的基本邏輯思想方法之一，各門科學都要運用分類思想（如語文分為文學、語言和寫作，外語分為聽、說、讀、寫和譯，物理學分為力學、運動學、熱學、聲學、電學、光學和原子核物理學，化學分為無機化學和有機化學，生物學分為植物學、動物學和人類學等），只有將分類思想應用于空間形式和數量關系時，才能成為數學思想。“數學中的分類思想是按照數學對象的共同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的思想方法。分類以比較為基礎，通過比較識別出數學對象之間的異同點，然后，根據共同點將數學對象歸并為較大的類，根據差異點將數學對象劃分為較小的類，從而將數學對象區分為具有一定從屬關系的等級系統。”本研究所說的分類討論思想方法是指數學思想方法中的分類討論思想方法。

在人類認識史上，分類一直扮演著重要的角色，可以說，自有人類的產生，就有了分類活動，分類活動貫穿于人類的一切生產、生活等社會實踐活動中。中西各族人民都有自己悠久的分類活動史，閃爍著豐富的分類思想的光輝。從分類思想的歷史考察中可以發現，中西在公元前就有了分類思想，并逐步得到發展。

在數學的發展歷史中，分類思想方法是被人們廣泛使用來研究數學問題，解決各種各樣問題的重要方法，也是一種最基本、較高層次的思想方法。古今中外的名家名著對此有過精辟的研究和闡述:如《九章算術》是一部經幾代人整理、刪補和修訂而成的古代數學經典著作，約成書于東漢初年（公元前一世紀）。全書采用問題集的形式編寫，共收集了246個問題及其解法，分屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。每道題都以“有問、有答、有術”的形式給出，其中“術”就是解題方法，有的一題一術，有的多題一術。在代數方面，《方程》一章中所引入的負數概念及正負數加減法法則，在世界數學史上都是最早的記載；書中關于線性方程組的解法和現在中學講授的方法基本相同。就《九章算術》的特點來說，它注重應用，注重理論聯系實際，形成了以籌算為中心的數學體系，對中國古算影響深遠。它的一些成就如十進制值制、今有術、盈不足術等還傳到印度和阿拉伯，并通過這些國家傳到歐洲，促進了世界數學的發展。公元656年由太史令李淳風等人編纂注釋《算經十書》（包括《周髀算經》《九章算術》《海島算經》《孫子算經》《張丘建算經》《夏侯陽算經》《緝古算經》《五曹算經》《五經算術》和《綴術》），作為算學館學生用的課本。其中也包含著大量分類討論思想方法的問題。

在西方，公元前五世紀柏拉圖在分類問題上提出了二分法思想。亞里士多德在批判二分法的基礎上提出自己的見解，全面地在各個領域進行分類。而柏拉圖的另一個學生大數學家歐幾里得是與他的巨著――《幾何原本》一起名垂千古。這本書是世界上最著名、最完整而且流傳最廣的數學著作，也是歐幾里得最有價值的一部著作。在《幾何原本》里，歐幾里得系統地總結了古代勞動人民和學者們在實踐和思考中獲得的幾何知識，歐幾里得把人們公認的一些事實列成定義和公理，以形式邏輯的方法，用這些定義和公理來研究各種幾何圖形的性質，從而建立了一套從公理、定義出發，論證命題得到定理的幾何學論證方法，形成了一個嚴密的邏輯體系――幾何學。而這本書，也就成了歐式幾何的奠基之作。其中組成《幾何原本》的概念結構方法就是分類討論思想方法，在書中點是最小元素，點的延伸形成線，線的延伸形成面，面的延伸形成體。點只有位置，線只有長度，面只有長度和寬度，體有長度、寬度和高度。點、線、面、體，是幾何的最大分類。其中，點、線、面、體四大元素各自又可以在內部分類，當然點除外。分類出來的小元素各自又可以在內部繼續分類，直至不可以再分類。也就是說，在縱向應該力求盡可能窮盡的分類。在橫向也應該力求盡可能窮盡的分類。這就像一個國家，首先分類為省，各省又分類為市，各市又分類為區、縣，區又分類為辦事處以及街道、縣又分類為鄉鎮以及村落。《幾何原本》就是這樣力求完美的邏輯體系。兩千多年來，《幾何原本》一直是學習幾何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡爾、牛頓等許多偉大的學者都曾學習過《幾何原本》，從中吸取了豐富的營養，從而作出了許多偉大的成就。

經過人類幾千年的發展，數學內容的分支也越來越多，從廣義上來看，數學有縱向和橫向兩種分類方法。

從縱向劃分：

初等數學和古代數學；變量數學；近代數學；現代數學。

從橫向劃分：

基礎數學；應用數學；計算數學；概率統計；運籌學與控制論。

數學分類現象有現象分類本質分類之別。所謂現象分類，是指僅僅根據數學對象的外部特征或外部聯系進行分類。這種分類往往把本質上相同的對象分為不同的類別，而把本質上不相同的對象歸為同一類別。例如：自然數集可以根據能否被2整除的標準分類奇數和偶數。為了更好地認識自然數間的內在聯系，則需要按自然數所含質因數的個數進行分類

自然數質數（質因數個數為1）1（質因數個數為0）合數（質因數個數大于1）

在這個更深刻的本質分類的基礎上，通過對質數、合數的進一步研究，就可得到算術基本定理。

在現代數學教育研究中主要有解恩澤，徐本順、張奠宙、朱成杰、朱水根、王延文、王林全、李玉琪、彭光明等人對分類思想方法作了一些研究，這些研究成果主要有:

1989年解恩澤，徐本順 《數學思想方法》（編著）

1991年張奠宙，朱成杰 《現代數學思想講話》（編著）

1998年朱水根，王延文 《中學數學教學導論》（專著）

1999年王林全，林國泰 《中學數學思想方法概論》（編著）

2000年李玉琪《中學數學教學與實踐研究》（編著）

2008年彭光明《數學教學方法思考與探究》（專著）

在這些編著或專著中，分類討論思想是作為研究的一小部分被提及，作為數學思想的一個部分，研究者一般都是先介紹分類討論的概念、原則、分類的解題步驟，最后舉例分類討論的應用。對分類討論思想方法在中學數學教學中的地位，分析分類討論思想方法教學對學生的培養功能及探索分類討論思想方法的教學途徑，這些書本都沒有提到，本研究將會在這些方面加強，這也是論文的創新之處。

由此可見，分類討論思想方法作為數學中的思想方法一直受到數學家或數學教育者的關注。在數學問題的解決，數學的發展過程中分類討論思想方法有著極其重要的作用。

參考文獻：

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關鍵詞：高中數學；解題教學；數學思想

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711(2014)07-0138

數學思想是數學理論和內容經過人腦思維活動而產生并存在于人腦中的一種意識，它是對數學事實與理論內容的最根本認識；數學方法是數學思想在研究數學問題過程中的具體表現形式，實際上它們的本質是相同的，差別只是數學方法站在解決問題的角度看問題，而數學思想是站在問題最本源的角度去思索問題。通常統稱為“數學思想方法”。常見的數學思想有：函數與方程思想、轉化與化歸思想、分類討論思想、數形結合思想等。

一、函數與方程思想

函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學特有的語言將問題中的條件轉化為數學模型(方程、不等式、或方程與數學思想方法不等式的混合組)，然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解；有時，還能實現函數與方程的互相轉化，達到解決問題的目的。例如，數列是特殊的函數，函數有解析法、列表法、圖像法三種表示方法，相應的數列就有通項公式、遞推公式、列表、圖像等表示方法，用函數的單調性、最值等性質解決數列問題非常快捷。

二、轉化與化歸思想

轉化與化歸思想是把生疏問題轉化為熟悉問題、復雜問題轉化為簡單問題、抽象問題轉化為具體問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉化，學生可以把未知解的復雜問題轉化為在已知范圍內可解的簡單問題。我們教師要不斷培養和訓練學生自覺的轉化與化歸意識，這將有利于訓練學生思維能力，使學生更聰明、更靈活、更敏捷；也有助于我們提高教學水平。

三、分類討論思想

在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，對此，我們必須對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。以下是來自教材的命題：

例1. 若loga3/40且a≠1)，求實數a的取值范圍。

解：因為loga3/4

當a>1時, 函數y= logax在其定義域上遞增,則有a>3/4,故有a>1 成立。

當0

綜上所述，a>1或0

例2. 已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}若BA，求實數a的值。

解：顯然集合A={-1，1}，對于集合B={x|ax=1}，

當a=0時，集合B=滿足BA，即a=0；

當a≠0時，集合B={}，而BA，則，=1或=-1，

得a=-1，或a=1，

綜上所述，實數a的值為-1，0，或1。

在教學中，教師要和學生一起分析總結引起分類討論的原因主要有以下幾個方面：

①題目所涉及的數學概念是分類進行定義的。如指數函數、對數函數的定義中對底數a的要求是a>0且a≠1。這種分類討論題型可以稱為概念型。如例1。

②題目中涉及到的數學定理、公式和運算性質、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數列的前n項和的公式，分q=1和q≠1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質型。

③解含有參數的題目時，學生必須根據參數的不同取值范圍進行討論。例如解不等式mx>2時分m>0、m=0和m

④某些不確定的數量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結論等，都需要通過分類討論，以保證其完整性與確定性。

在解答分類討論問題時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的；標準是統一的；不重不漏的科學劃分；分清主次；不越級討論；其中最重要的一條是“不重不漏”。我們的基本步驟是：首先，要確定討論對象及所討論對象的全體范圍；其次，確定分類標準并進行正確合理的分類，即標準統一、不漏不重；再次，對所分類別逐類進行討論，獲取階段性結果；最后，歸納總結得出結論。

四、數形結合思想

數形結合思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段、數為目的，比如運用函數的圖像來直觀地說明函數的性質；二是借助于數的精確性和嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段、形作為目的，如解析幾何中運用橢圓、雙曲線、拋物線的方程來精確地闡明這三種曲線的幾何性質。

例3. 方程sin((πX)/2)=logaX，(a>0且a≠1)，恰有3個不相等實數根，則a的取值范圍()

A. 空集B. (5，9) C. (1/7，1/3)D. (5，9)∪(1/7，1/3)

解：因為方程sin((πX)/2)=logaX，(a>0且a≠1)，恰有3個不相等實數根，所以函數y=sin((πX)/2)和函數y=logaX的圖像有3個交點。

做出函數y=sin((πX)/2)在區間[0，10]的圖像，(周期為4)

當a>1時，作出函數y=logaX的圖像，(單調遞增)因為有3個交點，

所以loga51,

解得5

當0

所以-1

解得1/7a

綜上所述，a的取值范圍是(5，9)∪(1/7，1/3)

師生共同觀察黑板上畫的圖象，很明顯地能看出a的取值范圍。

師：同學們反思一下自己的解題過程，用兩句話概括出解決本題的關鍵是什么？

生：利用函數與方程思想方法解題，關鍵是找到函數。

生：利用數形結合思想方法，找到圖像的交點。

師：很好。本題運用函數思想的前提是把求方程的實根轉化為求兩個函數的圖像交點。此題，我們可以體會到函數思想和數形結合思想以及轉化與化歸的思想。希望在以后的解題中，同學們能敞開思路，實現數學思想方法在解題中的應用。

華羅庚先生說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”數形結合的思想，巧妙地將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，是數的問題與圖形之間相互轉化的橋梁。

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關鍵詞：初中數學；思想方法；思維策略

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）12-260-01

一、初中數學思想方法教學的重要性

傳統的數學教學中，過分注重知識的傳授，往往忽視知識的形成過程中的數學思想方法的滲透，它嚴重影響了學生的思維發展和能力培養。隨著教育改革的不斷深入，越來越多的教育工作者，特別是一線的教師們充分認識到：中學數學教學，一方面要傳授數學知識，使學生掌握必備的數學基礎知識；另一方面，更要通過數學知識這個載體，挖掘其中蘊含的數學思想方法，更好地理解數學，掌握數學，形成正確的數學觀和一定的數學意識。事實上，單純的知識教學，只顯見于學生知識的積累，是會遺忘甚至于消失的，而方法的掌握，思想的形成，才能使學生受益終生，正所謂“授之以魚，不如授之以漁”。不管他們將來從事什么職業和工作，數學思想方法，作為一種解決問題的思維策略，都將隨時隨地有意無意地發揮作用。

二、初中數學思想方法的主要內容

初中數學中蘊含的數學思想方法很多，最基本最主要的有：轉化的思想方法，數形結合的思想方法，分類討論的思想方法，函數與方程的思想方法等。

1、轉化的思想方法。轉化的思想方法就是人們將需要解決的問題，通過某種轉化手段，歸結為另一種相對容易解決的或已經有解決方法的問題，從而使原來的問題得到解決。初中數學處處都體現出轉化的思想方法。如化繁為簡、化難為易，化未知為已知等，它是解決問題的一種最基本的思想方法。具體說來，代數式中加法與減法的轉化，乘法與除法的轉化，幾何中添加輔助線等等，都體現出轉化的思想方法。

2、數形結合的思想方法。數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學，因而研究總是圍繞著數與形進行的。“數”就是代數式、函數、不等式等表達式，“形”就是圖形、圖象、曲線等。數形結合就是抓住數與形之間的本質上的聯系，以形直觀地表達數，以數精確地研究形。數學家華羅庚曾說：“數無形時不直觀，形無數時難入微。”數形結合是研究數學問題的重要思想方法。初中數學中，通過數軸，將數與點對應，通過直角坐標系，將函數與圖象對應，用數形結合的思想方法學習了相反數的概念、絕對值的概念，有理數大小比較的法則，研究了函數的性質等，通過形象思維過渡到抽象思維，大大減輕了學習的難度。

3、分類討論的思想方法。分類討論的思想方法就是根據數學對象本質屬性的共同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的思想方法。分類是以比較為基礎的，它能揭示數學對象之間的內在規律，有助于學生總結歸納數學知識，解決數學問題。初中數學從整體上看分為代數、幾何兩大類，采用不同方法進行研究，就是分類思想的體現。具體來說，實數的分類，方程的分類、三角形的分類，函數的分類等，都是分類思想的具體體。

4、函數與方程的思想方法。函數思想是客觀世界中事物運動變化，相互聯系，相互制約的普遍規律在數學中的反映，它的本質是變量之間的對應。用變化的觀點，把所研究的數量關系，用函數的形式表示出來，然后用函數的性質進行研究，使問題獲解。如果函數的形式是用解析式的方法表示出來的，那么就可以把函數解析式看作方程，通過解方程和對方程的研究，使問題得到解決，這就是方程的思想。在初中數學教材中，其它的思想方法都是隱藏在數學知識里，沒有單獨提出來，而函數與方程的思想方法，其內容和名稱形式一致，單獨作為章節系統學習。

三、初中數學思想方法的教學規律

數學思想方法蘊含于數學知識之中，又相對超脫于某一個具體的數學知識之外。數學思想方法的教學比單純的數學知識教學困難得多。因為數學思想方法是具體數學知識的本質和內在聯系的反映，具有一定的抽象性和概括性，它強調的是一種意識和觀念。對于初中學生來說，這個年齡段正是由形象思維向抽象的邏輯思維過渡的階段，雖然初步具有了簡單的邏輯思維能力，但是還缺乏主動性和能動性。因此，在數學教學活動中，必須注意數學思想方法的教學規律。本人通過多年教學，有以下幾方面的心得體會。

1、深入鉆研教材，將數學思想方法化隱為顯。首先，在備課時，要從數學思想方法的高度深入鉆研教材，數學思想方法既是數學教學設計的核心，同時又是數學教材組織的基礎和起點。通過對概念、公式、定理的研究，對例題、練習的探討，挖掘有關的數學思想方法，了然于胸，將它們由深層次的潛形態轉變為顯形態，由對它們的朦朧感受轉變為明晰、理解和掌握。一方面要明確在每一個具體的數學知識的教學中可以進行哪些思想方法的教學；另一方面，又要明確每一個數學思想方法，可以在哪些知識點中進行滲透。只有在這種前提下，才能加強針對性，有意識地引導學生領悟數學思想方法。

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其中分類討論思想就是根據數學對象本質屬性的共同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的思想方法。分類是以比較為基礎的，它能揭示數學對象之間的內在規律，對培養學生思維的條理性、縝密性，提高學生全面、周密地分析問題和解決問題的素質和能力起到十分關鍵的作用，故“分類討論”思想在初中數學中占有重要地位。但初中學生常常分類討論的意識不強，不知道哪些問題需要分類及如何合理的分類。這就需要教師在教學中結合教材，創設情景，予于強化，需要區分種種情況進行討論的問題，啟發誘導，揭示分類討論思想的本質，從而培養學生自覺應用分類討論的意識。

分類討論一般應遵循以下的原則：

1.對問題中的某些條件進行分類，要遵循同一標準。

2.分類要完整：不重復，不遺漏。

3.有時分類并不是一次完成，還須進行逐級分類，對于不同級的分類，其分類標準不一定統一。

而在初中數學的教學過程中我們常在以下情況中應用分類討論思想：

一、在概念教學中滲透分類討論意識和原則

分類討論是重要的數學思想方法，由于數學中的許多概念的定義是分類給出的或是不少概念都有一定的限制，如實數的分類：

例：比較a與-a的大小。

分析：易得a〉-a 的錯誤，導致錯誤在于沒有注意到數a可表示不同類型的數。應分a〉0，a= 0，a

又例：在學習絕對值的定義時，要有意識地啟發學生從有理數分類進行認知的遷移，幫助學生概括出a>0，a=0，a

二、在法則、定理、公式導出過程中體現分類討論思想

有些數學性質、公式或定理在不同條件下有不同的結論，或是結論在一定限制條件下才成立，這就要在教學的過程中逐步體現分類討論思想。

例：方程kx2-2x+5=0有幾個實數根？

學生往往不注意k對方程性質的影響，討論或講評中，使學生明確系數k決定方程的次數，從而分k=0，k≠0兩類討論。當k≠0時，再分>0，=0，

例：解關于x的不等式：ax+3>x+a

分析通過移項不等式化為（a-1）x>a-3的形式，然后根據不等式的性質可分為a-1>0，a-1=0，和a-1

當a-1>0，即a>1時，不等式的解是x>a-3>/a-1；

當a-1=0，即a=1時，不等式的左邊=0，此時不等式不成立；

當a-1

又例：二次函數y=kx+b的圖像過哪幾個象限？

這道題勢必要考慮圖像的變化趨勢，又要考慮圖像與y軸交點的位置。要對字母k和b進行分類討論。怎么分，則應由學生討論，互相補充，互相評價，逐步完善。

三、在幾何中，常常由于圖形的的形狀、位置的不同而要進行分類討論

例如：若等腰三角形一腰上的中線分周長為9cm和12cm兩部分，求這個等腰三角形的底和腰的長。

簡析：已知條件并沒有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，應有兩種情形。若設這個等腰三角形的腰長是xcm，底邊長為ycm，可得或解得或即當腰長是6cm時，底邊長是9cm；當腰長是8cm時，底邊長是5cm。

又例如：已知半徑為a的兩圓外切，半徑為2a且和這兩圓都相切的圓共有多少個？

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函數與方程的思想方法。函數思想的實質是提取問題的數學特征,用聯系變化的觀點提出數學對象,抽象其數學特征,建立函數關系。很明顯,只有在對問題的觀察、分析、判斷等一系列的思想過程中,具備有標新立異、獨創性思維,才能構造出函數原型,化歸為方程的問題,實現函數與方程的互相轉化接軌,達到解決問題的目的。

數形結合的思想方法。數形結合的思想,其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來,使抽象思維形象思維結合,通過對圖形的認識,數形結合的轉化,可以培養思維的靈活性,使問題化難為易,化抽象為具體。

分類討論的思想方法。分類討論是解決問題的一種邏輯方法,也是一種數學思想,這種思想在人的思維發展中有著重要的作用。從絕對值、算術根以及在一般情況下討論字母系數的方程、不等式、函數,到曲線方程等,無不包含著參數討論的思想。

等價轉化的思想。等價轉化思想是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題是一種重要數學思想方法,轉化包括等價轉化和非等價轉化。轉化思想貫穿于整個高中數學之中,每個問題的解題過程實質就是不斷轉化的過程。

2.數學思想方法教學的主要途徑。

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關鍵詞：數學；思想方法；高中；應用

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）08-264-01

數學思想、數學方法很多，這里僅就高中教材中和考試題中常見的四種：函數思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化化歸思想作些探討，讓學生從中體會四種基本數學思想方法在解題中的重要作用。

函數思想就是運用運動和變化的觀點，集合與對應的思想，去分析和研究數學問題中的等量關系，建立或構造函數關系，再運用函數的圖象和性質去分析問題，達到轉化問題的目的，從而使問題獲得解決的思想。

方程思想，就是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型―方程或方程組，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決的思想。

1、函數與方程的思想

函數與方程的思想是高中數學中最基本也是最重要的思想方法之一，在高考中有非常重要的地位。數學中很多函數的問題需要用方程的知識和方法來支持，很多方程的問題需要用函數的知識和方法去解決，即函數與方程可相互轉化。

下面來看這樣一道例題：

例1：和 的定義域都是非零實數集，是偶函數，是奇函數，且求的取值范圍。

分析：已知兩個函數的和，求商，好象從未見過。我們不能只看符號，不注重文字，其實這一題的關鍵在于“是偶函數，是奇函數”，于是就有，又有再把換成。這時不能再把 當函數解析式來看了，知道了+，-就可以把它們當成兩個未知數，只需去解一個二元一次方程組問題就解決了。

由于函數在高中數學中的舉足輕重的地位，因而函數與方程的思想一直是高考要考察的重點，它在解析幾何、立體幾何、數列等知識中都有廣泛應用。

2、數形結合的思想

數形結合思想就是充分運用數的嚴謹和形的直觀，將抽象的數學語言與直觀的圖形語言結合起來，使抽象思維和形象思維結合，通過圖形的描述，代數論證來研究和解決數學問題的一種數學思想方法。

數學是研究數量關系和空間形式的科學，數和形的關系是非常密切的。把數和形結合起來，能夠使抽象的數學知識形象化，把數學題目中的一些抽象的數量關系轉化為適當的幾何圖形，在具體的幾何圖形中尋找數量之間的聯系，由此可以達到化難為簡、化繁為易的目的。

看一道數形結合的例題：

例2：已知關于x 的方程=px，有4個不同的實根，求實數p的取值范圍。

分析：設y = = 與y=px這兩個函數在同一坐標系內， 畫出這兩個函數的圖像

（1）直線y= px與y=-（x-4x+3），x[1，3]相切時原方程有3個根。

（2）y=px與x軸重合時， 原方程有兩個解， 故滿足條件的直線y=px應介于這兩者之間，由：得x+（p -4）x+3=0，再由=0得，p=4±2，當p=4+2時， x=-[1，3]舍去， 所以實數p的取值范圍是0

在數學中只要我們注意運用數形結合思想，既可增加同學們對數學的興趣，同時又能提高對數學問題的理解力和解題能力，也是提高數學素質不可缺少的因素之一。

3、轉化與化歸的思想

轉化與化歸思想是通過某種轉化過程，把待解決的問題或未知解的問題轉化到已有知識范圍內可解的問題或者容易解決的問題的一種重要思想方法。通過不斷轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范甚至模式化、簡單的問題。

轉化與化歸的思想貫穿于整個數學中，掌握這一思想方法，學會用轉化與化歸的思想方法分析問題、處理問題有著十分重要意義

看一個簡單的例子：

例3：求函數的最值

分析：若平方、移項等，你會發現這些嘗試都是徒勞無功的。我們注意到：可以把換成什么？有了，也是在上的！

從某種意義上講，解答每一道題都是通過探索而找到解題思路，通過轉化達到解題目的。轉化時，一般是把一個領域內的問題轉化為另一個領域內的問題；把實際問題轉化為數學模型；把陌生繁復的問題轉化為熟悉，簡單的問題等。

4、分類討論的思想

所謂分類討論，就是在研究和解決數學問題時，當問題所給對象不能進行統一研究，我們就需要根據數學對象的本質屬性的相同點和不同點，將對象區分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結果得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想”。

分類討論時，必須遵循兩個原則：（1）對存在總域的各個子域分類做到“既不重復，又不遺漏”；（2）每次分類必須按同一標準進行。數學分類思想的關鍵在于正確選擇分類標準，要找到適當的分類標準，就必須運用辨證的邏輯思維，就必須對具體事物具體分析，在表面上極為相似的事物之間看出它們本質上的差異點，在表面上差異極大的事物之間看出它們本質上的相同點。這樣才能揭示數學對象之間的內在規律，對數學對象進行有意義的分類。

分類討論難免會有點繁瑣，看似一道題，卻相當于幾道題的工作量。但當目標不明確時，分類討論就是開門鑰匙了！

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關鍵詞 初中數學教育；數學思想；數學教育；教育方法

初中階段的教育尤其是數學教育的重點和難點在于數學思想方法和數學思維方式的培養，良好的數學思想和數學思維對于初中階段數學的學習可以說是至關重要的。隨著社會的發展，初中階段的教育也越來越受到廣大家長以及教師的重視，同時初中數學的教學目標、教學內容、教學方法等一系列的問題也都在隨之不斷的變革。在這樣的社會大背景之下，我們更有責任和義務去深入的研究初中數學常用思想方法，不斷的深思其重要性，從而為我們社會的初中數學教育貢獻自己的一份力量。

一、數學思想方法和數學思維

數學思想和方法，其實就是我們平時所說的數學學科本身的一些客觀存在的“公式、定理、原理、數學符號”等，這些都是我們用來解決實際數學問題的最基本的工具。而數學思維則更多的是一種主觀性的存在，是一種思考的方式的，當我們看到眼前的事物時，能將看到的現象，用數字、符號等數學語言描述出來，然后運用理性的思考方式找出各個事物之間存在的關系和規律，最終使問題得到解決。

雖然在數學教學理論上各種數學思想方式有著各自明確的定義和概念，但是在實際的初中數學教學中，教師的教學中一般是各種數學思想方法和思維方式相互的融合貫通，不再去刻意的追求某一種具體的數學思維或是數學思想方法，從而加強了學生在解決實際數學問題時的各種綜合能力，使得學生能夠獨立的運用已經掌握的各種數學思想方法來看待問題，用獨特的數學思維去解構數學問題，全面增強解決問題的實際能力。筆者以為，這也是初中數學教育的本質所在。

二、常用數學思想方法的研究

就我國現階段初中數學教育來說，在當下的初中數學教學中采用最多的數學思想方法主要有：數形結合的思想方法、分類討論的思想方法、化歸思想方法、整體思考的思想方法等等。這幾種數學思想方法也是初中數學教學中運用最多的，因此我們有必要對其進行深入的研究。

1.數形結合的思想方法

所謂的“數形結合”的思想方法就是在解決一些數學問題時，對待用文字數學語言描述的數學問題，我們可以用圖形語言將它翻譯過來。由此一個“數學問題”在一定程度上就變成了一個“幾何問題”，從而完成了由抽象的思維方式到直觀可視的思維方式的轉變，在相當的程度上減小了解決數學問題的難度。對于初中階段抽象思維還不是很完善的學生來說，“數形結合”的思想方法應當是最好的解題方法。

“數形結合”的思想方法中最常用的數學符號語言其中有數軸、平面直角坐標系等。“數形結合”思想方法就是數字和圖形相結合的解題方式，它同時包含了抽象數學數據和直觀的圖形，成功的完成了抽象思維向形象思維的過渡轉化，減小了解題的難度。

在解決實際的數學題目時，學生應該注意數量與圖形的轉化，在看待數字的同時在圖像上找到與之相稱的圖像信息，在分析具體的數學圖形時要做到見形思數，數形結合，最終完成問題的解答。

2.分類討論的思想方法

分類討論的思想方法也是初中數學教學中比較常用的一種思想方法，主要在有一定解題數量的基礎之上，對遇到的數學題目進行歸類、分析、總結，從而的出一套能夠運用在一系列相同或者相似的數學問題之上的解題理論方法，減少分析已有問題的思考量。

分類討論思想方法中的分類方式不是隨意分類的，而是具有一定嚴格的分類原則的：被分類問題的標準時統一一致的，被分類問題的解題原理是相同或是相近的，被分類題目不能重復但是也不能遺漏。正確的分類是分類討論思想方法的重點所在，因此在實際教學中，在必要的時候，教師應該進行適當的引導以保證教學方向的正確。

分類討論思想方法的一般過程是，找到明確的數學問題個體，由該數學問題個體找到能夠涵括此類問題的問題總體，完成問題的分類，在此基礎之上，深入的研究解決此類問題共同的理論依據，總結出解決此類問題的實際方法，推廣運用。

3.化歸思想方法

化歸思想方法的就是用已有的數學思想方法和數學技能把全新的數學問題轉化為已經熟悉的數學問題的過程。其實這個過程就是一種知識的解構過程，把全新的數學問題“化成”幾部分，然后運用熟知的數學思想方法重新組合、重新思考這個問題，完成看由全新到熟知的轉化。

化歸思想方法也是一種“由繁化簡”的過程，例如在方程式問題方面，運用化歸思想方法就能完成高次方程到低次方程的轉化，多元方程向二次方程甚至是一元方程等轉化。當完成了從復雜到簡單的轉化之后，數學問題就變的簡單明了，學生就能很好的處理好初中階段相對復雜相對困難題目的解答，對于學生數學能力的提升有很大的幫助。

4.整體思考的思想方法

古詩有“不知廬山真面目，只緣身在此山中”，告誡我們看待問題是不能局限于一個點或者是一個面，應該用一個整體的角度全面的去看待問題，只有這樣才不會迷惑，不會陷于其中。

同樣在解決數學問題時，我們應該汲取古人的經驗，全面的看待問題。在實際教學中，經常出現學生因看不懂題目的一個方面，死鉆牛角尖，最終無法完成問題解答的情況。每每遇到這種情況，我總是感慨，當我們在教學中不斷的給學生灌輸各種解題技巧各種數學思想方法的時候，我們忘記了告訴學生這樣去思考，怎么全面的去看待問題。

三、總結

通過對初中階段數學教育中常用的集中數學思想方法的介紹和深入的研究，我們對各種數學思想方法有了更加深入的了解和認識。在明了各種數學思想方法的基礎之上，進一步明確了各種數學思想方法的作用方式，從宏觀上更加深入的認識到各種數學思想方法在初中階段數學教育中的重要性，各種數學思想方法相互作用，相互滲透，共同構成了數學教學的理論基礎。

參考文獻：

[1]高瑞.淺談當前環境初中數學課堂中探究性學習探討[J].中國教育.2010.（6）

[2]王薇.初中數學課堂中素質教育的思考[J].新疆農墾經濟.2008.（11）