初等數(shù)學(xué)內(nèi)容范文

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論文摘 要 高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的有效銜接問題，是切實(shí)提高高等院校高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵問題之一。本文對高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)教材中有關(guān)“函數(shù)與極限”、“導(dǎo)數(shù)與微分”等內(nèi)容及教學(xué)要求進(jìn)行了比對，并給出了解決這些問題的一些建議。

經(jīng)過調(diào)研了解到，2003年3月教育部頒發(fā)的《普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》出臺之后，新出版的高中教材與以前的教材相比，一個(gè)重要的特點(diǎn)是新教材進(jìn)一步加強(qiáng)了高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系，高中教材中安排了大學(xué)數(shù)學(xué)課程里的一些基本概念、基礎(chǔ)知識和思維方法。試圖從教學(xué)內(nèi)容方面解決高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的銜接問題。但是，大學(xué)數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的銜接上還存在不少問題。這些問題影響了大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量，對大學(xué)新生盡快適應(yīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形成了障礙。高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的有效銜接亟待解決。

1 “函數(shù)與極限”的銜接

函數(shù)，是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，高考要求較高，學(xué)生掌握也比較牢固。高等數(shù)學(xué)教材中的這部分內(nèi)容基本相同，但內(nèi)涵更豐富，難度也提高了。

（1）函數(shù)概念：在原有內(nèi)容中，增加了幾個(gè)在高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到的實(shí)例，如取整函數(shù)、狄利克雷函數(shù)、黎曼函數(shù)、符號函數(shù)等。因此，在學(xué)習(xí)中，函數(shù)概念部分可以簡略，重點(diǎn)學(xué)習(xí)這幾個(gè)特殊函數(shù)即可。

（2）初等函數(shù)：反三角函數(shù)要求提高，新增加了“雙曲函數(shù)”和“反雙曲函數(shù)”等內(nèi)容。反三角函數(shù)的概念在高中已學(xué)過，但高中對此內(nèi)容要求較低，只要求學(xué)生會用反三角函數(shù)表示“非特殊角”即可。而高等函數(shù)中要求較高，此處在學(xué)習(xí)中應(yīng)補(bǔ)充有關(guān)內(nèi)容：在復(fù)習(xí)概念的基礎(chǔ)上，要求學(xué)生熟悉其圖像和性質(zhì)，以達(dá)到靈活應(yīng)用的目的。新增加的“雙曲函數(shù)”和“反雙曲函數(shù)”在高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到，故應(yīng)特別注意。

（3）函數(shù)極限：“數(shù)列極限的定義”，高中教材用的是描述性定義，而高等數(shù)學(xué)重用的是“”定義，此處是學(xué)生在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中遇到的第一個(gè)比較難理解的概念，因此在教學(xué)中應(yīng)注意加強(qiáng)引導(dǎo)，避免影響函數(shù)極限后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)。新增內(nèi)容“收斂數(shù)列的性質(zhì)”雖是新增內(nèi)容，但比較容易理解和掌握，教學(xué)正常安排即可。“極限四則運(yùn)算”處增加了“兩個(gè)重要極限”，要加強(qiáng)有關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

2 “導(dǎo)數(shù)與微分” 的銜接

高中新教材中的一元函數(shù)微積分的部分內(nèi)容，是根據(jù)高等數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)需要所添加，目的是加強(qiáng)高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，讓中學(xué)生初步了解微積分的思想。

（1）導(dǎo)數(shù)的定義：高中數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)教材中，這一內(nèi)容是相同的，不同的是學(xué)習(xí)要求。高中數(shù)學(xué)要求：了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（例如瞬時(shí)速度，加速度，光滑曲線的切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的概念和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念。也就是說，盡管極限與導(dǎo)數(shù)在高中已經(jīng)學(xué)過，但主要是介紹概念和求法，對概念的深入理解不作要求。到了大學(xué)，概念上似懂非懂、不會靈活運(yùn)用，成了夾生飯。但高等數(shù)學(xué)要求學(xué)生掌握并熟練應(yīng)用，這是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，在此處應(yīng)用舉例增加了利用“兩個(gè)重要極限”解題的例題，在教學(xué)中應(yīng)給與足夠的重視。

（2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算：高中新課標(biāo)教材要求較低：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義會求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會求簡單的復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)。重點(diǎn)考察利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析問題、解決問題的綜合能力。

高等數(shù)學(xué)教學(xué)大綱對這部分內(nèi)容要求：掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法；掌握初等函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)的求法，會求分段函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)；了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)；了解微分的概念與四則運(yùn)算。

建議：高中學(xué)過的僅僅是該內(nèi)容的基礎(chǔ)，因此需重新學(xué)習(xí)已學(xué)過的內(nèi)容，為本節(jié)后面更深更難的內(nèi)容打好基礎(chǔ)。

（3）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：高中新教材中僅是借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，并通過實(shí)際的背景和具體應(yīng)用事例引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由函數(shù)增長到函數(shù)減少的過程，使學(xué)生了解函數(shù)的單調(diào)性，極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，要求結(jié)合函數(shù)圖像，知道函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件，會用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最大最小值；體會導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性；通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。

高等數(shù)學(xué)對這部分內(nèi)容的處理是：先介紹三個(gè)微分中值定理、洛必達(dá)法則、泰勒公式，然后嚴(yán)格證明函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹凸性，給出函數(shù)的極值、最值的嚴(yán)格定義，及函數(shù)在一點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件。在此基礎(chǔ)上，討論求最大最小值的應(yīng)用問題，以及用導(dǎo)數(shù)描繪函數(shù)圖形的方法步驟。

建議：由以上分析比較可知，高中數(shù)學(xué)所涉及的一元微分學(xué)雖然內(nèi)容差別不大，但內(nèi)容體系框架有很大差異，高等數(shù)學(xué)知識更系統(tǒng)，邏輯更嚴(yán)謹(jǐn)。學(xué)習(xí)要求上，對于導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及簡單函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和求函數(shù)極值都是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中要求的重點(diǎn)，是重點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練的知識點(diǎn)。而在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中建議一點(diǎn)而過，教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)放在用微分中值定理證明函數(shù)單調(diào)性的判定定理、函數(shù)極值點(diǎn)的第一、二充分條件定理以及曲線的凹凸性、拐點(diǎn)等內(nèi)容上。

以上主要分析比較了高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重復(fù)知識點(diǎn)。除此之外，二者之間以及高等數(shù)學(xué)與后繼課程之間還存在著知識“斷裂帶”。

3 高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)知識的“斷裂帶”

高考對平面解析幾何中的極坐標(biāo)內(nèi)容不做要求，鑒于此這部分知識在高中大多是不講的；而在大學(xué)教材中，極坐標(biāo)知識是作為已知知識直接應(yīng)用的，如在一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用中求曲率，以及定積分的應(yīng)用中求平面圖形的面積等。建議在相應(yīng)的地方補(bǔ)充講解極坐標(biāo)知識。

初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)除了在教材內(nèi)容上的銜接外，在學(xué)習(xí)思想和方法等方面的銜接也都是值得研究的課題。學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，不能很好地銜接，教師在教學(xué)中要注意放慢速度，幫助學(xué)生熟悉高等數(shù)學(xué)教與學(xué)的方法，搞好接軌。首先要正確處理新與舊的關(guān)系，在備課時(shí)，了解中學(xué)有關(guān)知識的地位與作用及與高等數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的密切聯(lián)系，對教材做恰當(dāng)?shù)奶幚恚簧险n時(shí)教師要經(jīng)常注意聯(lián)舊引新，運(yùn)用類比，使學(xué)生在舊知識的基礎(chǔ)上獲得新知識。

總之，努力探索搞好初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)銜接問題，是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一。

參考文獻(xiàn)

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【關(guān)鍵詞】初等數(shù)學(xué)；高等數(shù)學(xué)；關(guān)系

從數(shù)學(xué)這門學(xué)科的建立直至十七世紀(jì)這整個(gè)階段，數(shù)學(xué)只能解釋一些靜止的現(xiàn)象和計(jì)算一些定量（例如，它只能用于計(jì)算直邊所圍成的面積，以及固定的高度和距離等）這個(gè)階段被稱為初等數(shù)學(xué)階段。初等數(shù)學(xué)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足社會發(fā)展的需要，因此人們尋求新方法，解釋那些運(yùn)動現(xiàn)象（例如，變速運(yùn)動的瞬時(shí)速度、任意曲邊所圍成的面積等）于是建立了高等數(shù)學(xué)。高等數(shù)學(xué)的出現(xiàn)，顯示出了巨大威力，許多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，至此迎刃而解了。

本文介紹了初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一些相關(guān)內(nèi)容及它們之間的關(guān)系。

1.初等數(shù)學(xué)簡介及其研究內(nèi)容

代數(shù)的最早起源可追溯到公元前1800年左右。那時(shí)代的巴比倫數(shù)學(xué)文獻(xiàn)里已經(jīng)含有二次方程和某些很特殊的三次方程。從那時(shí)直到15世紀(jì)的三千多年里，中國﹑印度﹑阿拉伯和歐洲都在不同的方面對代數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了不同貢獻(xiàn)。特別是中國的代數(shù)獲得了比較系統(tǒng)的﹑高水平的發(fā)展。例如，約在公元前1世紀(jì)前后成書的《九章算術(shù)》，其中記載了“方程術(shù)”和“正負(fù)術(shù)”等重要成就。到了13世紀(jì)后，中國數(shù)學(xué)在高次方程的數(shù)值解法﹑同余式理論以及高階等差數(shù)列等方面又再放異彩，取得令人驚異的成就。

縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展的整個(gè)歷史過程，大體上經(jīng)歷了初等代數(shù)的形成﹑高等代數(shù)的創(chuàng)建以及抽象代數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展三個(gè)階段。隨著這門學(xué)科的不斷發(fā)展，人們對于代數(shù)學(xué)的研究對象問題的認(rèn)識也不斷深化，逐步形成下面幾個(gè)觀點(diǎn)。

（1）代數(shù)學(xué)是研究方程解法和字母運(yùn)算的科學(xué)

（2）代數(shù)學(xué)是研究多項(xiàng)式和線性代數(shù)的科學(xué)

（3）代數(shù)學(xué)是研究各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的科學(xué)

（4）代數(shù)是推動數(shù)學(xué)發(fā)展、解決科學(xué)問題的有利工具

初等數(shù)學(xué)中主要包含兩部分：初等幾何與初等代數(shù)。初等幾何是研究空間形式的學(xué)科，而初等代數(shù)則是研究數(shù)量關(guān)系的學(xué)科。初等數(shù)學(xué)基本上是常量的數(shù)學(xué)。

1.1數(shù)的概念及其運(yùn)算 1.2解析式及其恒等變換 1.3方程 1.4不等式 1.5函數(shù) 1.6 平面幾何1.7立體幾何

2.高等數(shù)學(xué)簡介及其研究內(nèi)容

16世紀(jì)以后，由于生產(chǎn)力和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，天文﹑力學(xué)﹑航海等方面都需要很多復(fù)雜的計(jì)算，初等數(shù)學(xué)已經(jīng)不能滿足時(shí)展的需要了，在此種情況下，高等數(shù)學(xué)隨之應(yīng)運(yùn)而生。 高等數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，它從更深的層次揭示了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

高等數(shù)學(xué)含有非常豐富的內(nèi)容，它主要包含：高等代數(shù)﹑解析幾何﹑微積分﹑概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等。 所有這些學(xué)科構(gòu)成高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)部分，在此基礎(chǔ)上建立了高等數(shù)學(xué)的宏偉大廈。

2.1高等代數(shù)（研究方程式的求根問題）

高等代數(shù)是代數(shù)學(xué)發(fā)展到高級階段的總稱。它包括很多分支，現(xiàn)在一般把它分為兩部分：多項(xiàng)式理論，線性代數(shù)初步。

高等代數(shù)主線明晰，多項(xiàng)式理論以整除、分解為主線，矩陣是一條最粗最顯的主線，貫穿整個(gè)線性代數(shù)部分，從而使高等代數(shù)具有嚴(yán)密邏輯性、高度抽象性、廣泛應(yīng)用性等特征，這也增加了與初等數(shù)學(xué)的變化聯(lián)系。 [1]

2.2 解析幾何（用代數(shù)方法研究幾何）

社會生產(chǎn)力的發(fā)展和科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步都要求數(shù)學(xué)從研究靜止的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)變到研究變化著的數(shù)量之間的關(guān)系，也就是說研究運(yùn)動和變化，并用數(shù)學(xué)來描述這種運(yùn)動和變化，這種數(shù)學(xué)是一種研究變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)，解析幾何正是在這種需要描述變量關(guān)系的背景下應(yīng)運(yùn)而生的。解析幾何的誕生實(shí)質(zhì)上也就是變量數(shù)學(xué)的誕生和發(fā)展。解析幾何的誕生，又構(gòu)成變量數(shù)學(xué)研究的起點(diǎn)，促進(jìn)了變量數(shù)學(xué)的發(fā)展。

在解析幾何中我們主要采用代數(shù)的方法研究幾何，它主要包括兩部分：平面解析幾何、空間解析幾何。[2]

2.3微積分（研究變速運(yùn)動及曲邊形的求積問題）

微積分是人們認(rèn)識客觀世界中量的運(yùn)動變化規(guī)律的有力工具，又是很多其它學(xué)科的基礎(chǔ)，而且又能直接應(yīng)用解決實(shí)際問題。

它主要解決以下四部分的相關(guān)問題：

第一類問題是求即時(shí)速度的問題。

第二類問題是求曲線的切線的問題。

第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。

第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。

函數(shù)是微積分的研究對象，極限是微積分的研究工具， 微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué)。

微分學(xué)的主要內(nèi)容包括：極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。

（2）積分學(xué)的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分等。[2]

2.4概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（研究隨機(jī)現(xiàn)象，依據(jù)數(shù)據(jù)進(jìn)行推理）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是從數(shù)量側(cè)面研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的數(shù)學(xué)理論。

主要包括：隨機(jī)事件和概率，一維和多維隨機(jī)變量及其分布，隨機(jī)變量的數(shù)字特征，大數(shù)定律與中心極限定理，參數(shù)估計(jì)，假設(shè)檢驗(yàn)等內(nèi)容。

在初等數(shù)學(xué)中一些關(guān)于排列組合及使用排列組合去計(jì)算概率的內(nèi)容，這個(gè)內(nèi)容在一定意義上屬于日常生活的基本知識，它是高等數(shù)學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，關(guān)于抽樣、數(shù)據(jù)、誤差、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、統(tǒng)計(jì)規(guī)律、統(tǒng)計(jì)相關(guān)性、大數(shù)定律等內(nèi)容，與我們的現(xiàn)實(shí)生活密切相關(guān)，有著廣泛的應(yīng)用。[3]

3.初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間的關(guān)系

初等數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)不可或缺的基礎(chǔ)，它從最簡單的一元一次方程開始，一方面進(jìn)而討論二元及三元的一次方程組，另一方面研究二次以上及可以轉(zhuǎn)化為二次的方程組。沿著這個(gè)方向繼續(xù)發(fā)展，數(shù)學(xué)在討論任意多個(gè)未知數(shù)的一次方程組，也叫線性方程組的同時(shí)還研究次數(shù)更高的一元方程組。發(fā)展到這個(gè)階段，就產(chǎn)生了高等數(shù)學(xué)。

高等數(shù)學(xué)基于初等數(shù)學(xué)，但又高于初等數(shù)學(xué)，除所學(xué)內(nèi)容不同外，處理問題的觀念和方法有所不同。高等數(shù)學(xué)的研究對象主要是函數(shù)。 研究的方法主要是極限的方法。 如果說初等數(shù)學(xué)是用“靜止”的觀點(diǎn)去研究，那么，高等數(shù)學(xué)極限的思想則是一種“運(yùn)動”的觀點(diǎn)。高等數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，它從更深的層次揭示了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。用高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)﹑原理和方法去認(rèn)識﹑理解和解決初等數(shù)學(xué)的問題，有助于我們加深對問題實(shí)質(zhì)與知識間聯(lián)系的理解。高等數(shù)學(xué)是在初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，因而它所包含的思想方法既是初等數(shù)學(xué)方法的進(jìn)一步發(fā)展，又同時(shí)具有更大的適用性和更高的思想層次，通過學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有利于從更高的層次看初等數(shù)學(xué)，加深對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的理解。 [4]

（1）初等數(shù)學(xué)講多項(xiàng)式的加、減、乘、除運(yùn)算法則.高等數(shù)學(xué)在拓寬多項(xiàng)式的含義，嚴(yán)格定義多項(xiàng)式的次數(shù)及加法、乘法運(yùn)算的基礎(chǔ)上，接著講多項(xiàng)式的整除理論及最大公因式理論。

（2）初等數(shù)學(xué)給出了多項(xiàng)式因式分解的常用方法。高等數(shù)學(xué)首先用不可約多項(xiàng)式的嚴(yán)格定義解釋了“不可再分”的含義，接著給出了不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)、唯一因式分解定理及不可約多項(xiàng)式在三種常見數(shù)域上的判定。

（3）初等數(shù)學(xué)講一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.高等數(shù)學(xué)接著講一元n次方程根的定義；復(fù)數(shù)域上一元n次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的個(gè)數(shù)；實(shí)系數(shù)一元n次方程根的特點(diǎn)；有理系數(shù)一元n次方程有理根的性質(zhì)及求法；一元n次方程根的近似解法及公式解簡介。

（4）初等數(shù)學(xué)講二元一次、三元一次方程組的消元解法。高等數(shù)學(xué)講線性方程組的行列式解法和矩陣消元解法、講線性方程組解的判定及解與解之間的關(guān)系。

（5）初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)為高等數(shù)學(xué)的數(shù)環(huán)、數(shù)域提供例子；初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、平面向量為高等數(shù)學(xué)的向量空間提供例子；初等數(shù)學(xué)中的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式成為高等數(shù)學(xué)中坐標(biāo)變換公式的例子。

（6）初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的向量的長度和夾角為歐氏空間向量的長度和夾角提供模型；三角形不等式為歐氏空間中兩點(diǎn)間距離的性質(zhì)提供模型；線段在平面上的投影為歐氏空間中向量在子空間的投影提供模型.

4.結(jié)束語

綜上所述可知，初等數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)不可或缺的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)的繼續(xù)和提高.高等數(shù)學(xué)不但解釋了許多初等數(shù)學(xué)未能說清楚的問題，如多項(xiàng)式的根及因式分解理論、線性方程組理論等，而且以整數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、平面向量為實(shí)例，引入了數(shù)環(huán)、數(shù)域、向量空間、歐氏空間等代數(shù)系統(tǒng).這對用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、原理和方法指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)是十分有用的.

參考文獻(xiàn)：

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[4] 王健吾 數(shù)學(xué)思維方法引論[M] 安徽教育出版

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【關(guān)鍵詞】初等數(shù)學(xué)；高等數(shù)學(xué)；過渡

一、引言

對于高等數(shù)學(xué)的教學(xué)而言，首要問題是如何做好初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的過渡。教學(xué)過程是教師與學(xué)生共同參與的活動，教師要面對來自全國各地、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不同的學(xué)生，而大一學(xué)生無論對于教師授課、教材內(nèi)容還是學(xué)習(xí)方法都需要適應(yīng)過程。隨著數(shù)學(xué)教育的發(fā)展以及初等數(shù)學(xué)課程的改革，過渡中的許多問題被凸顯出來。

二、初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)要面對的問題

1.教師面對的問題

①文理科學(xué)生交叉現(xiàn)象。在高中階段，文理科學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容有所差異，且實(shí)施方式為分開教學(xué)，分開考核。進(jìn)入大學(xué)，會出現(xiàn)一些專業(yè)，文理科學(xué)生重新集合在一起，而高等數(shù)學(xué)課程是一門公共基礎(chǔ)必修課，因此產(chǎn)生了文理科學(xué)生交叉的現(xiàn)象。②學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不一樣。中學(xué)數(shù)學(xué)課程在改革之后，內(nèi)容有必修課程和選修課程之分，但是由于各省份和地區(qū)落實(shí)的情況不一致，且受高考指揮棒影響程度的大小不一樣，造成的結(jié)果是學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容存在差異性，導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不盡相同。③高等數(shù)學(xué)教材與初等數(shù)學(xué)的不匹配。這種現(xiàn)象的出現(xiàn)也是因?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)課程改革的影響，高中數(shù)學(xué)課程改革調(diào)整力度較大、覆蓋范圍較廣，目前入校的大一新生都是在高中數(shù)學(xué)課程改革之后進(jìn)入大學(xué)，而目前的大學(xué)教材作出的調(diào)整很小或者基本沒有調(diào)整，依舊按照以前的教學(xué)內(nèi)容開展教學(xué)。比如反三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、極坐標(biāo)的內(nèi)容在高中只是作為選修課內(nèi)容，有些學(xué)生并沒有學(xué)習(xí)過，或者只做簡單了解，并不深入，而到了大學(xué)，這些內(nèi)容有的成為了重點(diǎn)內(nèi)容。

2.學(xué)生面對的問題

①教學(xué)方法的變化。高中數(shù)學(xué)教師內(nèi)容講解細(xì)致，灌輸式教學(xué)仍占有不小比重，訓(xùn)練量與訓(xùn)練強(qiáng)度大；而高等數(shù)學(xué)教師更多地考慮知識的邏輯性、系統(tǒng)性，注重?cái)?shù)學(xué)概念的本質(zhì)、原理的實(shí)質(zhì)，啟發(fā)式教學(xué)是主要的授課方式，雖配有例題分析，但數(shù)量少，課堂訓(xùn)練量不大。②教學(xué)進(jìn)度的改變。初學(xué)數(shù)學(xué)課程進(jìn)度較慢，講解例題，練習(xí)所占時(shí)間較多；高等數(shù)學(xué)課程進(jìn)度較快，一般每章開設(shè)一到兩次習(xí)題課，甚至沒有安排習(xí)題課，只有少量的答疑時(shí)間，整體來看，高等數(shù)學(xué)課程的進(jìn)度要較初等數(shù)學(xué)快很多，這種影響雖不能量化，但是通過大多數(shù)學(xué)生的感受來看，這種變化對學(xué)生造成的沖擊力非常顯著。③學(xué)習(xí)方法的改進(jìn)。在中學(xué)階段，絕大多數(shù)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力不強(qiáng)，學(xué)習(xí)方法沒有完全定型，大多情況下是在老師的引領(lǐng)和安排下進(jìn)行學(xué)習(xí)，統(tǒng)一上課，統(tǒng)一練習(xí)，統(tǒng)一講解，統(tǒng)一考核，學(xué)生思考的自主空間相對較少，學(xué)習(xí)方法相對比較單一。④心理作用的影響。大一新生需要適應(yīng)新的角色，適應(yīng)新的環(huán)境，適應(yīng)新的教師，另外，進(jìn)入大學(xué)，大多數(shù)學(xué)生的學(xué)習(xí)優(yōu)勢已經(jīng)喪失，要想確立優(yōu)勢，需要付出艱苦的努力。各種心理因素的作用會對高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生一定的負(fù)面影響。⑤考核方式的改變。初等數(shù)學(xué)課程考核有期中、期末考試，配以平時(shí)的章節(jié)考核或其他考核方式，而高等數(shù)學(xué)基本不再有期中考試，只是以期末考試成績或配以平時(shí)成績作為最終成績。考核方式、次數(shù)的改變，令學(xué)生不能適應(yīng)，甚至有失落感和不安全感。

三、如何做好初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的過渡

1.教師的指導(dǎo)和引導(dǎo)作用。第一，初等數(shù)學(xué)課程在內(nèi)容上發(fā)生了較大的變化，作為高等數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該盡快了解初等數(shù)學(xué)新課程的變化，從而考慮如何在高等數(shù)學(xué)課程中進(jìn)行調(diào)整。在遵循課程標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)要求的前提下，適當(dāng)進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容上的調(diào)整和優(yōu)化，強(qiáng)調(diào)教材內(nèi)容中不一致的位置，重點(diǎn)講解，適當(dāng)補(bǔ)充。例如極限的方法貫穿高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，對于極限的定義要加以重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)和分析，使學(xué)生真正掌握極限的本質(zhì)；要適當(dāng)補(bǔ)充極坐標(biāo)的基礎(chǔ)知識，讓學(xué)生掌握基本的極坐標(biāo)表示，為課程教學(xué)做好鋪墊，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)。同時(shí)，要注意文理科學(xué)生基礎(chǔ)的不同以及數(shù)學(xué)思維存在的差異性。

第二，引導(dǎo)學(xué)員主動思考、自主學(xué)習(xí)，著重培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力。現(xiàn)在是一個(gè)終身學(xué)習(xí)的時(shí)代，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，樹立終身學(xué)習(xí)的思想。初等數(shù)學(xué)課程課時(shí)充足，教師教學(xué)時(shí)間充裕，但是導(dǎo)致的結(jié)果是學(xué)生的依賴心理強(qiáng)；而高等數(shù)學(xué)課時(shí)有限，任務(wù)較重，教師授課不可能面面俱到，再加上課程改革之后，不同學(xué)生的知識基礎(chǔ)不盡相同，課堂上不可能滿足每一位學(xué)生對知識的需求。因此，教學(xué)的根本應(yīng)該側(cè)重授人以漁，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

2.學(xué)生的主觀能動性。學(xué)生在遇到問題的時(shí)候，應(yīng)積極思考，通過各種方式尋找解決的方法。筆者認(rèn)為，做好初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的過渡，要做到以下幾點(diǎn)：第一，加強(qiáng)預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)，盡快適應(yīng)教學(xué)方式、教學(xué)進(jìn)度的變化。第二，改變練習(xí)方式，重點(diǎn)題目重點(diǎn)練習(xí)，提高效率。第三，做好心理調(diào)整，制定學(xué)習(xí)計(jì)劃，合理安排時(shí)間。第四，通過自我檢查，相互檢查等方式檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]葛倩，胡明濤.從高等數(shù)學(xué)教學(xué)看中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革[J].科技信息，2008(11)．

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蔡高廳的高等數(shù)學(xué)適合工科類學(xué)生學(xué)習(xí)，比如土木工程、計(jì)算機(jī)、采礦、橋梁等等。

高等數(shù)學(xué)指相對于初等數(shù)學(xué)而言，數(shù)學(xué)的對象及方法較為繁雜的一部分。廣義地說，初等數(shù)學(xué)之外的數(shù)學(xué)都是高等數(shù)學(xué)，也有將中學(xué)較深入的代數(shù)、幾何以及簡單的集合論初步、邏輯初步稱為中等數(shù)學(xué)，將其作為中小學(xué)階段的初等數(shù)學(xué)與大學(xué)階段的高等數(shù)學(xué)的過渡。通常認(rèn)為，高等數(shù)學(xué)是由微積分學(xué)，較深入的代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)以及它們之間的交叉內(nèi)容所形成的一門基礎(chǔ)學(xué)科。主要內(nèi)容包括極限、微積分、空間解析幾何與向量代數(shù)、級數(shù)、常微分方程。

（來源：文章屋網(wǎng) ）

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一、注重引導(dǎo)，抓住學(xué)習(xí)關(guān)鍵

數(shù)學(xué)關(guān)鍵就在一個(gè)悟字，所謂悟，就是開竅，如何開竅，就要求講師不要只講題目的做法，而是包括，是怎么想到要這么做的，以引導(dǎo)學(xué)生去理解，去悟，對于初等數(shù)學(xué)，本人的看法是隨便怎么做，因?yàn)槌醯葦?shù)學(xué)的試題必然有解，必然是可以通過所給條件經(jīng)過N多步驟推出來，不信可以試試，拿一道，先什么都不要管，只管把已知條件以全排列方式組合，以推出新的條件，再將所得條件組合，再推，直到最后推無可推，你會發(fā)現(xiàn)題目所求就在其中，甚至簡單的可能是離最終結(jié)論還有N步，復(fù)雜的估計(jì)也就是最終結(jié)論了，所以以高考為目的的初等數(shù)學(xué)題目是不經(jīng)做的，因?yàn)橹灰阕觯鸵欢茏龀鰜恚院芏鄬W(xué)生覺得難，沒處著筆，不知道改該怎么做，很大一部分是因?yàn)閼校辉竸庸P，而只是呆看，簡單的能看出來，復(fù)雜的是很難看出來的，如果說那種直接推導(dǎo)的辦法太耗時(shí)間，那么只能說是因?yàn)椴皇炀殻坏╊}目做多了，思維形成了，差不多就可以一眼看出來，頂多推兩步，就知道后面的怎么推了，從而省略了N多的分支，古往今來的題海戰(zhàn)術(shù)不是沒有依據(jù)的，熟能生巧，見得多了，做的多了，自然可以找到某種規(guī)律

二、要正確處理本課程的自身邏輯系統(tǒng)與相關(guān)課程的關(guān)系

初數(shù)研究課在研究初等數(shù)學(xué)問題時(shí)，大多采用專題討論的方法，都有一套完整的體系。如果過分強(qiáng)調(diào)自身完整的邏輯系統(tǒng)，容易導(dǎo)致不同學(xué)科、不同課程的內(nèi)客及方法有很多重復(fù)和交叉。

如數(shù)與初等數(shù)論中的相關(guān)內(nèi)容，解析式的恒等變形，方程、不等式的解法與證明，幾何證題法與證題術(shù)排列、組合及數(shù)列的一些解題方法等。如果不處理好它們之間的關(guān)系，只是簡單地追求各門課程自身體系的完整，既不利于學(xué)生整體數(shù)學(xué)思想的建立，又制約了他們數(shù)學(xué)綜合運(yùn)用能力的提高，同時(shí)占用了很多的課時(shí)，所以，對于相關(guān)課程中己作詳盡討論過的知識及理論，應(yīng)作為工具來應(yīng)用，避免一些不必要的重復(fù)。

三、變被動式學(xué)習(xí)為主動式學(xué)習(xí)

1.知識系統(tǒng)的探究

初數(shù)研究課涉及大量的理論，教師講、學(xué)生聽的傳統(tǒng)教學(xué)模式既占用課時(shí)多，又難以體現(xiàn)學(xué)生的主體性。因此對理論性較強(qiáng)的內(nèi)容，教師可以先提出一些切題的問題作為一堂課的鍥子，留待后面逐個(gè)解決。這些問題將整個(gè)教學(xué)內(nèi)容串起來，起到提綱摯領(lǐng)的作用，使學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，集中學(xué)習(xí)資源（如本課程及相關(guān)課程的教村及參考書）有針對性地去探究問題，然后教師組織學(xué)生對探究的結(jié)果進(jìn)行歸納整理，形成較完整的知識體系。當(dāng)然一個(gè)問題的解訣并非探究的終結(jié)，在探究過程中教師與學(xué)生都可以提出一些新問題，延續(xù)學(xué)生探究的熱情，在合作交流的民主和諧的氛圍里，盡可能地讓學(xué)生走向自由探究。

2.解題方法的探究

從學(xué)生的認(rèn)知角度未說，解題過程是獨(dú)立的發(fā)現(xiàn)、探索與積極思考的過程，這種探索過程中所形成的意識和思維，就是真正的創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)。應(yīng)該說，解題教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)之一，設(shè)置初數(shù)研究課程的目的之一，就是結(jié)合中學(xué)實(shí)際對解題作專門的訓(xùn)練。

3.條件與結(jié)論的探究

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【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；中學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)的應(yīng)用

相對于初等數(shù)學(xué)而言，數(shù)學(xué)的對象及方法較為復(fù)雜的一部分。高等數(shù)學(xué)是比初等數(shù)學(xué)“高等”的數(shù)學(xué)。廣義地說，初等數(shù)學(xué)之外的數(shù)學(xué)都是高等數(shù)學(xué)，也有將中學(xué)較深入的代數(shù)、幾何以及簡單的集合論初步、邏輯初步稱為中等數(shù)學(xué)的，將其作為小學(xué)初中的初等數(shù)學(xué)與本科階段的高等數(shù)學(xué)的過渡。通常認(rèn)為，高等數(shù)學(xué)是由微積分學(xué)，較深入的代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)以及它們之間的交叉內(nèi)容所形成的一門基礎(chǔ)學(xué)科，主要內(nèi)容包括：極限、微積分、空間解析幾何與向量代數(shù)、級數(shù)、常微分方程。一般以微積分學(xué)和級數(shù)理論為主，其他方面的內(nèi)容為輔，這是對高等數(shù)學(xué)的總述。隨著我國新課程改革的逐步展開，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，逐漸改變教學(xué)方法，將高等數(shù)學(xué)的教學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)相融合，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中插入高等數(shù)學(xué)，有利于一些抽象數(shù)學(xué)問題的解決，是學(xué)生能更好的掌握所學(xué)的知識內(nèi)容，并更好的舉一反三，解決中學(xué)數(shù)學(xué)中較高邏輯的問題。

1、高等數(shù)學(xué)教學(xué)如何與中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)巧妙結(jié)合

高等數(shù)學(xué)是在初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，與中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)有著緊密的聯(lián)系。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中插入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的方法不僅可以使學(xué)生居高臨下地去觀察一些初等問題，幫助學(xué)生確定新的解題思路時(shí)，還能夠幫助學(xué)生剖析某些疑難問題的實(shí)質(zhì)，尋求簡捷的解法。站在高等數(shù)學(xué)的角度來看中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中出現(xiàn)的某些問題，又會更深刻、更具體、更全面、更據(jù)邏輯性。對于高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的進(jìn)行的巧妙結(jié)合簡要總結(jié)為以下幾點(diǎn)：

1.1 要根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容設(shè)計(jì)貫徹學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)思想方法的途徑。使數(shù)學(xué)教學(xué)的思想方法蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵和發(fā)展之中。在數(shù)學(xué)教學(xué)中要抓住分析過程，概念的形成過如程、定理與法則的發(fā)現(xiàn)過程和一些公式的推導(dǎo)過程、證明思路和解決問題方法等過程。

1.2 在數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中要揭示事物本質(zhì)，指揭示一些抽象的概念、計(jì)算定理、計(jì)算公式或一些計(jì)算方法的本質(zhì)，例如極限方法，實(shí)質(zhì)上是一種以運(yùn)動的、互聯(lián)系和量變引起質(zhì)變的辯證方式，還有比如求函數(shù)的極值、最值問題，也可以設(shè)計(jì)到中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容當(dāng)中，體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

1.3 把邏輯思考問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)。即不以單純的數(shù)學(xué)問題感知為出發(fā)點(diǎn)，教師的教學(xué)更不以直接告訴現(xiàn)成知識結(jié)論為出發(fā)點(diǎn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中而是通過創(chuàng)設(shè)邏輯問題情景啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生，激發(fā)學(xué)生解決問題求知欲，教師扎住時(shí)機(jī)，引入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用高等數(shù)學(xué)解決一些邏輯數(shù)學(xué)的思維，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用高等數(shù)學(xué)解決問題的邏輯思考能力。并同時(shí)指導(dǎo)學(xué)生開展嘗試性的學(xué)習(xí)活動。教師在講授的同時(shí)，輔助指導(dǎo)學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)、應(yīng)用，在活動中解決、學(xué)習(xí)。

1.4 在教學(xué)過程中建構(gòu)連續(xù)地知識結(jié)構(gòu)。適時(shí)指導(dǎo)學(xué)生歸納在高等數(shù)學(xué)中所獲得的新知識和新技能方面的一般結(jié)論，歸入總結(jié)出知識系統(tǒng)，運(yùn)用到中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中。

1.5 根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，及時(shí)反饋，注意調(diào)節(jié)，隨時(shí)搜集與評定高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的教學(xué)效果，有針對性地對學(xué)生進(jìn)行質(zhì)疑性講解，并對學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有困難的學(xué)生給予相應(yīng)的重復(fù)講授的機(jī)會，使教學(xué)效果達(dá)到所定目標(biāo)的要求。

2、在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的創(chuàng)新教育與傳統(tǒng)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之間的差別

創(chuàng)新的教學(xué)模式，需要一種全新的教學(xué)思想。在我國新課程改革的推動下，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中插入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)方法這種全新的教學(xué)思想促進(jìn)了學(xué)生能力、素質(zhì)的提高。傳統(tǒng)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中存在大量與創(chuàng)造性人才的培養(yǎng)不相符的思想與行為，必須加以改進(jìn)、變革，在合理繼承傳統(tǒng)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)上，構(gòu)建與培養(yǎng)新型人才相配套的創(chuàng)新數(shù)學(xué)教學(xué)模式。中學(xué)數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)教學(xué)和創(chuàng)新教學(xué)在實(shí)踐教學(xué)中表現(xiàn)出截然不同的教育模式。

2.1 傳統(tǒng)型的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的學(xué)生與新型插入高等數(shù)學(xué)的學(xué)生在學(xué)習(xí)目標(biāo)、動機(jī)、策略或方法等方面表現(xiàn)出截然不同的學(xué)習(xí)方式和行為傾向。傳統(tǒng)型數(shù)學(xué)教學(xué)傾向于記憶、理解固定的內(nèi)容和知識；學(xué)習(xí)刻苦，意志堅(jiān)定，完全聽從教師的安排，以考試成績?yōu)槟繕?biāo)，使用模仿型的學(xué)習(xí)方法，熟悉教師的講課和書本內(nèi)容；按規(guī)定的時(shí)間做完規(guī)定的作業(yè)；尊重現(xiàn)有的成果，迷信權(quán)威，遵守紀(jì)律，創(chuàng)造力不足。

2.2 新型插入高等數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思考能力和整體的辯查能力；除書本以外，喜歡探究自己學(xué)習(xí)中的一些問題，并不一定以教師的授課內(nèi)容或課程所限制，同時(shí)學(xué)生有時(shí)會對教師講述的問題持有異議；運(yùn)用邏輯思維主動尋找一些解決問題的方法，有批判精神，善于發(fā)現(xiàn)問題，拓展自己的思考范圍；不盲從，培養(yǎng)學(xué)生自己較強(qiáng)的創(chuàng)造力和創(chuàng)新精神。

2.3 傳統(tǒng)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的模式較死板，目標(biāo)較單一，主要以固定目標(biāo)為主。

2.4 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中插入高等數(shù)學(xué)的創(chuàng)新教學(xué)方法，在教師的作用下，讓學(xué)生通過自己的思維來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，教學(xué)時(shí)在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，讓學(xué)生獨(dú)立地去探索教師精心安排的數(shù)學(xué)問題，這些數(shù)學(xué)問題是學(xué)生力所能及的，同時(shí)又具有一定的深度和難度，學(xué)生克服困難的過程，就有可能表現(xiàn)出創(chuàng)造性活動的特征，并在此過程中積累他們自己的經(jīng)驗(yàn)，成為他們將來可以利用的經(jīng)驗(yàn)。

2.5 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中插入高等數(shù)學(xué)的創(chuàng)新教學(xué)方法，可以靈活運(yùn)用高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和技能、解題模式、數(shù)學(xué)方法的典范，逐步的啟迪學(xué)生的思維。充分發(fā)揮例題和習(xí)題的作用（如適當(dāng)?shù)囊活}多解、多題一解等），還可以消除一些學(xué)生不良的心理定勢，使他們逐步養(yǎng)成靈活思考數(shù)學(xué)問題的邏輯思維能力和習(xí)慣。

2.6 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中插入高等數(shù)學(xué)的創(chuàng)新教學(xué)方法，通過舉例分析教會學(xué)生鑒賞數(shù)學(xué)，懂得數(shù)學(xué)的邏輯美表現(xiàn)在哪些層次和方向，如何從高等數(shù)學(xué)的角度分析評比各類數(shù)學(xué)定理和證明方法，啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識到生活中的數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用，從而更好的培養(yǎng)學(xué)生喜歡、熱愛數(shù)學(xué)。

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關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué) 教學(xué) 學(xué)習(xí)

我們可以作這樣一個(gè)比喻：如果將整個(gè)數(shù)學(xué)比作一棵參天大樹，那么初等數(shù)學(xué)是樹根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝，而樹干就是“數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、空間幾何”。這個(gè)粗淺的比喻，形象地說明這“三門”課程在數(shù)學(xué)中的地位和作用。我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)是由微積分學(xué)、空間解析幾何、微分方程組成，而微積分學(xué)是數(shù)學(xué)分析中主干部分，而微分方程在科學(xué)技術(shù)中應(yīng)用非常廣泛，無處不在。大學(xué)新生可能對將要學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)產(chǎn)生畏懼的心理，因?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)相比教師的講授方式和學(xué)生的學(xué)習(xí)方法都有了較大的變化。如何讓學(xué)生們有一個(gè)良好的過度，教師的教就起到了至關(guān)重要的作用，同時(shí)對于學(xué)生的學(xué)習(xí)方法引導(dǎo)也尤為重要。為了解決以上的問題，本文就針對教與學(xué)給出以下一些建議：

教師的教

與初等數(shù)學(xué)相比，高等數(shù)學(xué)的課堂教育有幾個(gè)顯著的特點(diǎn)：第一是時(shí)間長。大學(xué)課堂里的每一堂課一般都是100分鐘，兩節(jié)課連上，高等數(shù)學(xué)也不例外；第二是進(jìn)度快。由于高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容十分豐富，但學(xué)時(shí)又有限，因此每堂課不僅教學(xué)內(nèi)容多，而且是全新的，教師講課主要是講重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)，講概念、講思路，舉例較少。第三是課堂大，高等數(shù)學(xué)一般是若干個(gè)小班合班上課，課堂上不允許過多的同學(xué)們提問。因此教授高等數(shù)學(xué)課是一門藝術(shù)，它涉及到很多個(gè)環(huán)節(jié)，其中定義的引入和講解最為主要，要能夠適應(yīng)學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，美國著名心理學(xué)家布龍菲爾德說：“數(shù)學(xué)不過是語言所能達(dá)到的最高境界”。 這說明數(shù)學(xué)學(xué)科的高度抽象性和概括性，這些特點(diǎn)容易讓學(xué)生對于高等數(shù)學(xué)的定義理解產(chǎn)生困難，不能深入理解其中的內(nèi)涵，造成表面的形式理解，表現(xiàn)在做題時(shí)僅能夠解答與例題類似的習(xí)題，遇到稍微變形的題目時(shí)，就不知如何下手，不會舉一反三，靈活運(yùn)用解題方法。因此，在教學(xué)中要研究高等數(shù)學(xué)定義的認(rèn)識過程的特點(diǎn)和規(guī)律性，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)識能力發(fā)展的規(guī)律來選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)形式，講解時(shí)，盡量由淺入深，多從生活中找素材進(jìn)行引入，使學(xué)生慢慢理解消化。例如，在講解導(dǎo)數(shù)的定義時(shí)，要求變速運(yùn)動物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，根據(jù)他們以前掌握的知識，是沒法準(zhǔn)確得到的，怎樣利用他們已有的知識去解決新的問題？教師這個(gè)時(shí)候，要有目的地去引導(dǎo)，把變速轉(zhuǎn)化為勻速，最后求極限就可以把問題解決。后面定積分的定義和定積分的應(yīng)用都是采用相同的方法，通過這樣慢慢的引導(dǎo)，學(xué)生能明白定義的來龍去脈，對定義的理解會深刻一點(diǎn)，也容易記住定義的實(shí)質(zhì)，而不再死記硬背，起到事半功倍的效果。這種讓學(xué)生也參與其中而不再被動接受知識的授課方式，能促進(jìn)他們從中學(xué)的那種思維方式向大學(xué)學(xué)習(xí)的思維方式轉(zhuǎn)變。同時(shí)教師要注意引導(dǎo)學(xué)生調(diào)整學(xué)習(xí)心態(tài)和學(xué)習(xí)方法，主動地適應(yīng)大學(xué)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)，培養(yǎng)他們自學(xué)的能力，在教學(xué)中要允許學(xué)生有一個(gè)適應(yīng)過程。在課堂上老師應(yīng)該教給學(xué)生們一些基本的方法，除此之外，還要講一些經(jīng)典的題目，這樣就誘發(fā)學(xué)生們的學(xué)習(xí)樂趣，此外就是要留一些課外的作業(yè)，光是靠課堂上 講的完全不夠，課外的作業(yè)就是為了讓學(xué)生們自己去找找方法，很有幫助。 至于什么樣的標(biāo)準(zhǔn)才算教好了，我覺得把學(xué)生們的興趣都培養(yǎng)了，就已經(jīng)達(dá)到教學(xué)目的了，如果只是看成績，那只是表面現(xiàn)象而已。在剛開學(xué)的前幾周，教師講課進(jìn)度要稍慢一些，較難的內(nèi)容講得詳盡些，隨著學(xué)生對大學(xué)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)的不斷適應(yīng)，講課進(jìn)度就可以加快了。

二、學(xué)生的學(xué)

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【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；高考；數(shù)學(xué)思想

隨著新課改的不斷推進(jìn)，參與高考命題的專家越來越重視初、高等數(shù)學(xué)知識的銜接，很多高考題、模擬題的命制都喜歡有著高等數(shù)學(xué)背景的定理，這些看起來抽象、高深的定理下放到中學(xué)試卷中，用初等數(shù)學(xué)方法來解答，往往蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，對于訓(xùn)練思維非常有好處.

下面我將從線性變換、不動點(diǎn)和凹凸函數(shù)三個(gè)方面給出例證.

一、線性變換

例（2009四川卷）設(shè)V是已知平面M上所有向量的集合，對于映射f：VV，a∈V，記a的象為f（a）.若映射f：VV滿足：對所有a，b∈V及任意實(shí)數(shù)λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），則f稱為平面M上的線性變換，現(xiàn)有下列命題：

①設(shè)f是平面M上的線性變換，a，b∈V，則f（a+b）=f（a）+f（b）；

②若e是平面M上的單位向量，對a∈V，設(shè)f（a）=a+e，則f是平面M上的線性變換；

③對a∈V，設(shè)f（a）=-a，則f是平面M上的線性變換；

④設(shè)f是平面M上的線性變換，a∈V，則對任意實(shí)數(shù)k均有f（ka）=kf（a）.

其中的真命題是.（寫出所有真命題的編號）

解析

理解何為“平面M上的線性變換”，是解題關(guān)鍵，對于①④可用特殊值驗(yàn)證，對于②③抓住定義即可.

對①，令λ=μ=1，則有f（a+b）=f（a）+f（b），故①是真命題.

對②，f（b）=b+e，且f（λa+μb）=λa+μb+e，而λf（a）+μf（b）=λ（a+e）+μ（b+e）=

λa+μb+（λ+μ）e，但λ+μ不恒等于1，故②是假命題.

對③，有f（b）=-b，則f（λa+μb）=-（λa+μb）=λ（-a）+μ（-b）=λf（a）+μf（b）是線性變換，故③是真命題.

對④，令λ=k，μ=0，則f（ka）=kf（a），故④是真命題.

認(rèn)清“平面M上的線性變換”定義是解出這道題的關(guān)鍵.

二、不動點(diǎn)

例對于f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0是f（x）的不動點(diǎn).已知函數(shù)f（x）=ax2+（b+1）x+（b-1）（a≠0）.

（1）當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的不動點(diǎn)；

（2）對任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)相異的不動點(diǎn)，求a的取值范圍.

解析（1）a=1，b=-2時(shí)，f（x）=x2-x-3，若x0是f（x）的不動點(diǎn)，則x02-x0-3=x0，解得x0=-1或x0=3，所以-1和3是f（x）=x2-x-3的兩個(gè)不動點(diǎn)；

（2）因?yàn)閒（x）有兩個(gè)相異的不動點(diǎn)，所以方程f（x）=x有兩個(gè)不同的解，所以

f（x）=ax2+（b+1）x+（b-1）=x，即ax2+bx+（b-1）=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，所以

Δ=b2-4a（b-1）>0成立，即對任意b∈R，b2-4ab+4a>0恒成立，所以（-4a）2-4?4a

所以0

只要認(rèn)清了不動點(diǎn)的定義，這道題很容易用初等數(shù)學(xué)知識解答.

三、凹凸函數(shù)

近年高考出現(xiàn)了一類函數(shù)――凹凸函數(shù)，為更好的體現(xiàn)直觀性，給出定義：函數(shù)f（x）在區(qū)間D=[a，b]內(nèi)，若x1，x2∈D時(shí)有：

fx1+x22

fx1+x22>f（x1）+f（x2）2（x1≠x2），則稱f（x）在D內(nèi)為凸函數(shù).

從定義可以看出“凹函數(shù)”圖像是向下凹的，“凸函數(shù)”圖像則是上凸的.

例在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cos2x這四個(gè)函數(shù)中，當(dāng)0

A.0B.1C.2D.3

篇9

關(guān)鍵詞："高觀點(diǎn)"；中考試題； 命制方法

1 "高觀點(diǎn)"思想之由來

"高觀點(diǎn)"思想是德國杰出的數(shù)學(xué)家菲利克斯?克萊因于20世紀(jì)初在《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》這本書中提出來的.克萊因認(rèn)為，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教師應(yīng)該站在更高的視角（高等數(shù)學(xué)）來審視、理解初等數(shù)學(xué)問題，只有觀點(diǎn)高了，事物才能顯得明了而簡單；一個(gè)稱職的教師應(yīng)當(dāng)掌握或了解數(shù)學(xué)的各種概念、方法及其發(fā)展與完善的過程以及數(shù)學(xué)教育演化的經(jīng)過[1]。

克萊因的"高觀點(diǎn)"思想主要是指用高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來剖析、俯視初等數(shù)學(xué)問題.初中數(shù)學(xué)是高中數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高中數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)是初中數(shù)學(xué)的發(fā)展和延伸，它們是一脈相承的.因此，我們可以用高等數(shù)學(xué)（包括高中數(shù)學(xué)，以下簡稱高數(shù)）的觀點(diǎn)（知識、思想、方法等）來剖析、透視初中數(shù)學(xué)試題。

本文以浙江省臺州市中考數(shù)學(xué)試題為例，運(yùn)用"高觀點(diǎn)"思想，剖析試題的解法，分析試題的特點(diǎn)和命制方法。

2 "高觀點(diǎn)"思想下中考數(shù)學(xué)試題之賞識

在近幾年的浙江省臺州市中考數(shù)學(xué)一些試題中，有著或明或暗的高數(shù)背景，都可以從高數(shù)的視角來剖析，舉例如下：

[淺析]本題摒棄了通常的找規(guī)律型試題和給出新定義讓學(xué)生理解的命題方式，獨(dú)辟蹊徑，把主動權(quán)交給學(xué)生，請學(xué)生給出合理的對象定義[2]，這與直接給出新定義的途徑正好相反。該題既考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納、數(shù)學(xué)概括能力，又檢測了學(xué)生的"自我在線監(jiān)控與調(diào)節(jié)"的意識[2]。事實(shí)上，本題的三個(gè)式子中都有ab =ba 這個(gè)重要特征，即對稱性，它的背景就是高等代數(shù)中的對稱多項(xiàng)式。我們知道，在高等數(shù)學(xué)里，如果對于任意的i，j （其中1 i

[淺析]函數(shù)最明顯的特征是模型屬性而非圖形屬性，畫函數(shù)圖像是為研究函數(shù)的性質(zhì)服務(wù)的，而不是為了研究圖像而研究圖像[2]。本題中，學(xué)生通過分析函數(shù)圖像特征斷定用二次函數(shù)來擬合，利用幾個(gè)特殊點(diǎn)確定函數(shù)解析式，求出函數(shù)的最值.從高等數(shù)學(xué)的角度思考，滿足已知條件的函數(shù)也可以用拉格朗日插值函數(shù)來表示：

[淺析]求橢圓的面積需要用高等數(shù)學(xué)中積分的知識來解決，即使如題意中所描述的采用"化整為零，積零為整""化曲為直，以直代曲"的方法，由于初中學(xué)生不清楚橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，分割求面積和求極限都不會.在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力.事實(shí)上，數(shù)學(xué)直覺和合情推理能力是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分，但在現(xiàn)實(shí)的教學(xué)中普遍存在對這兩種能力重視和關(guān)注不夠[3]，該題的出現(xiàn)旨在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺和類比能力.盡管為了降低難度，命題者作了暗示性的鋪墊：希望通過正方形與矩形面積的關(guān)系啟發(fā)得出圓與橢圓的面積關(guān)系，但這種暗示作用甚。也許有人會這樣去猜測，把圓的面積公式πa2 看成πa?a ，再將其中的一個(gè)a換成b，但為什么可以這樣猜測呢？筆者以為，要解決這個(gè)問題，還得從高等數(shù)學(xué)的角度來詮釋，因?yàn)榘褕A壓縮成橢圓就是仿射變換的過程，在仿射變換下，任意兩個(gè)封閉曲線圍成的面積之比是仿射不變量，即

3 "高觀點(diǎn)"思想下初中數(shù)學(xué)試題特征之分析

3.1 "高觀點(diǎn)"思想下初中數(shù)學(xué)試題的特點(diǎn)。

仔細(xì)分析這些試題，我們不難發(fā)現(xiàn)它們有以下一些特征：

①背景深：

試題背景源于高數(shù)，它從不同的角度、不同的思維抓住了初中與高數(shù)的銜接點(diǎn)，立意新，背景深，這類試題或者以高數(shù)符號、概念直接出現(xiàn)，或者以高數(shù)的概念、定理作為依托，融于初中數(shù)學(xué)知識之中，貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).因此這類試題靠猜題押題是不行的，體現(xiàn)了試題的公正性、公平性，為命題者喜歡。

②落點(diǎn)低：

問題的設(shè)計(jì)雖然來源于高數(shù)，但解決問題的思想、方法卻是初中所學(xué)的，決不會超綱，思維雖高落點(diǎn)卻低，它能有利于引導(dǎo)學(xué)生提高思維的邏輯性、敏捷性和嚴(yán)謹(jǐn)性。

③要求高：

試題的設(shè)計(jì)旨在考查知識的基礎(chǔ)上，能寬角度、多觀點(diǎn)地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有層次深入地考查數(shù)學(xué)思維能力和繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能，為學(xué)生的后續(xù)發(fā)展打下基礎(chǔ)。

3.2 "高觀點(diǎn)"思想下初中數(shù)學(xué)試題的命制方法。

相比而言，高數(shù)所涉及的知識點(diǎn)當(dāng)然要比初等數(shù)學(xué)所涉及的多（而且深）."升格"和"降格"是我們編制初等數(shù)學(xué)問題的有效策略。升格就是把問題從局部歸結(jié)為整體，從低維提高到高維，從具體提升到抽象的策略；降格是遵循人們認(rèn)識事物的規(guī)律，把復(fù)雜、多元、高維的問題情形，分解、降維為簡單、一元、低維的情形，如特殊化方法，可以將問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的情形。

"高觀點(diǎn)"思想下初中數(shù)學(xué)試題的命制并不是高數(shù)知識和方法的簡單下嫁，而是充分利用高數(shù)的背景，通過初等化的處理和巧妙設(shè)計(jì)，使之貼近初中學(xué)生的思維認(rèn)知水平，達(dá)到一定的考查目的。

3.2.1 直接引用法。

直接引用法是指將高數(shù)中某些命題、概念、定理、公式等直接移用為初中數(shù)學(xué)試題的一種做法.事實(shí)上，高數(shù)中有許多抽象化的概念本身就是初中數(shù)學(xué)知識的拓展和延伸，在考查學(xué)生掌握相關(guān)知識水平的同時(shí)，也考查了學(xué)生對高數(shù)知識的理解能力。

例4（2009年第10題） 若將代數(shù)式中的任意兩個(gè)字母交換，代數(shù)式不變，則稱這個(gè)代數(shù)式為完全對稱式，如 a+b+c就是完全對稱式。下列三個(gè)代數(shù)式：①（a-b）2 ；②ab+bc+ca ；③a2b+b2c+c2a。其中是完全對稱式的是（ ）

（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③

[淺析]該題中的完全對稱式就是直接引用于高等代數(shù)中的對稱多項(xiàng)式。

3.2.2 適當(dāng)改編法。

根據(jù)高數(shù)有關(guān)知識，結(jié)合相應(yīng)的考查要求，適當(dāng)?shù)貙栴}進(jìn)行改編，使之能符合初中學(xué)生的知識能力要求范圍內(nèi)，可以有效地運(yùn)用初中所掌握的知識和方法予以解決。這類方法可以簡單分為三種：演變法、初化法和高化法。

①演變法 演變法是指將高數(shù)的定理公式等的條件和結(jié)論進(jìn)行演變，或以公式、定理為載體，可以通過對概念的延伸或弱化，或增加適當(dāng)?shù)乇尘埃D(zhuǎn)而考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

問題，通過適當(dāng)演化，用表格創(chuàng)設(shè)背景，所考查的知識內(nèi)容沒有改變。

②初化法 初化法是指將高數(shù)的問題、概念、原理等進(jìn)行特殊化、初等化、具體化、低維化的處理，使之成為具體的初等化內(nèi)容。

例6（2006年第17題） 日常生活中，"老人"是一個(gè)模糊概念.有人想用"老人系數(shù)"來表示一個(gè)人的老年化程度.他設(shè)想"老人系數(shù)"的計(jì)算方法如下表：

[淺析]此題是高等數(shù)學(xué)中的模糊數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)中的分段函數(shù)相結(jié)合后初等化處理的一種設(shè)問形式，主要考查學(xué)生的閱讀理解能力，引導(dǎo)初中數(shù)學(xué)教學(xué)更多地關(guān)注背景深刻、趣味無窮、應(yīng)用廣泛但又是學(xué)生能夠理解和接受的數(shù)學(xué)。

③高化法 高化法是指將初等數(shù)學(xué)的語言、符號、概念等升華為高數(shù)的語言、符號和概念，是學(xué)生所學(xué)知識的延伸，考查學(xué)生的探究能力和后續(xù)學(xué)習(xí)能力。

例7（2008年第10題） 把一個(gè)圖形先沿著一條直線進(jìn)行軸對稱變換，再沿著與這條直線平行的方向平移，我們把這樣的圖形變換叫做滑動對稱變換.在自然界和日常生活中，大量地存在這種圖形變換（如圖4）。結(jié)合軸對稱變換和平移變換的有關(guān)性質(zhì)，你認(rèn)為在滑動對稱變換過程中，兩個(gè)對應(yīng)三角形（如圖5）的對應(yīng)點(diǎn)所具有的性質(zhì)是（ ）

（A）對應(yīng)點(diǎn)連線與對稱軸垂直

（B）對應(yīng)點(diǎn)連線被對稱軸平分

（C）對應(yīng)點(diǎn)連線被對稱軸垂直平分

（D）對應(yīng)點(diǎn)連線互相平行

[淺析]本題從植物葉子的構(gòu)造特征中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)平移與軸對稱的組合變換，是將單一的圖形變換升華為復(fù)合變換，旨在考查學(xué)生對新定義的理解.它也明白地告訴學(xué)生，自然界中的許多現(xiàn)象都可用數(shù)學(xué)的語言區(qū)描述，簡潔而準(zhǔn)確，數(shù)學(xué)是有趣的也是有用的.從高等數(shù)學(xué)看，幾何變換的發(fā)展正是從軸對稱出發(fā)，通過數(shù)學(xué)概念的弱抽象（減弱數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的抽象）過程，探究各種不變量：軸對稱變換合同變換相似變換仿射變換射影變換拓?fù)渥儞Q，因此，軸對稱變換是幾何變換的基礎(chǔ)，該題可以引導(dǎo)學(xué)生在變換過程中積極尋找不變量。

結(jié)語

"站得高才能看得遠(yuǎn)"，從數(shù)學(xué)學(xué)科的整體性和數(shù)學(xué)教育的連續(xù)性的角度上說，用"高觀點(diǎn)"思想分析初中數(shù)學(xué)試題，可以較好地解決一些困惑問題，是一把利器.

當(dāng)然，盡管中考數(shù)學(xué)試題中有一些高數(shù)知識的背景，但是我們也不提倡教師在課堂教學(xué)中把高數(shù)內(nèi)容下放給學(xué)生，否則勢必會加重學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，再說你想教也是教不完的！在學(xué)生充分掌握初中數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，我們可以借助實(shí)例和直觀，滲透一些為學(xué)生所能接受的高數(shù)的初步知識（最近發(fā)展區(qū)），突出思想和方法，重視思維訓(xùn)練，強(qiáng)調(diào)理解和應(yīng)用，不追求嚴(yán)格的證明和邏輯推理，積極發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，從而最終提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

[1] 菲利克斯?克萊因著，舒湘芹 陳義章 楊欽等譯.高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)教育出版社，2011.

篇10

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)競賽；結(jié)合；輔導(dǎo)

一、國際數(shù)學(xué)奧林匹克的起源

國際中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽也被稱為國際數(shù)學(xué)奧林匹克（International Mathematical Olympiad）簡稱IMO。數(shù)學(xué)競賽在國際數(shù)學(xué)教育活動中的發(fā)展歷史是十分悠久的。20世紀(jì)以來，隨著舉辦中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的在全世界的興起，為國際上的數(shù)學(xué)奧林匹克競賽的誕生奠定了一定的客觀基礎(chǔ)。一年一度的IMO在每年的7月進(jìn)行，由各個(gè)參賽國家或地區(qū)輪流主辦。IMO已經(jīng)成為世界所公認(rèn)的最高水平的數(shù)學(xué)競賽，在世界各國的數(shù)學(xué)教學(xué)中都得到了提倡和發(fā)展。經(jīng)過多年學(xué)者們的研究，數(shù)學(xué)競賽的質(zhì)量也得到了逐步提高，要求考試題目的形式具有深刻的數(shù)學(xué)背景，并以最通俗有趣的語言將其表現(xiàn)出來。

二、數(shù)學(xué)奧林匹克競賽在初等數(shù)學(xué)教育中的地位

奧林匹克數(shù)學(xué)完美地結(jié)合了初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)，主要任務(wù)是分別用初等數(shù)學(xué)的語言和方法來描述和解決高等數(shù)學(xué)的有關(guān)問題。隨著數(shù)學(xué)奧林匹克競賽與數(shù)學(xué)教育相互之間的不斷深化和發(fā)展，數(shù)學(xué)教育工作者要客觀恰當(dāng)?shù)卦u估數(shù)學(xué)奧林匹克在數(shù)學(xué)教育中所處的重要地位及產(chǎn)生的影響。概括地講，奧林匹克數(shù)學(xué)活動的教育功能主要體現(xiàn)在以下四個(gè)層面：①有利于優(yōu)質(zhì)人才的及時(shí)發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)；②能激發(fā)青少年對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，具有開發(fā)智力和潛在創(chuàng)造力的深遠(yuǎn)意義；③在很大程度上促進(jìn)并推動了數(shù)學(xué)教育課程的改革和發(fā)展；④豐富了初等數(shù)學(xué)教育研究的內(nèi)容和數(shù)學(xué)解題的思想理論。

三、數(shù)學(xué)競賽與初等數(shù)學(xué)教育的有機(jī)結(jié)合

1.數(shù)學(xué)競賽中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想

我們在對任何一道奧林匹克數(shù)學(xué)競賽題的研究過程中，會發(fā)現(xiàn)其思考方法與解題形式都蘊(yùn)含了大量的數(shù)學(xué)思想方法。這就要求學(xué)生們在讀題的基礎(chǔ)之上能充分地理解出題者的意圖及考察方向。因此，我們只有不斷地去發(fā)現(xiàn)、思考、創(chuàng)造、領(lǐng)悟，得到的數(shù)學(xué)思想才能愈深愈奇。經(jīng)過這樣長期系統(tǒng)的訓(xùn)練，一點(diǎn)一滴地積累、領(lǐng)悟，才能具備超強(qiáng)的研究能力。

2.將數(shù)學(xué)競賽結(jié)合到初等數(shù)學(xué)教育的實(shí)踐中

首先，數(shù)學(xué)教師在具體的教學(xué)實(shí)踐活動中不能只教給學(xué)生“這樣解”的方法，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生去思考“怎樣解”的思想，以及如何發(fā)散思維方式。目前，國家已研制出面向21世紀(jì)中學(xué)數(shù)學(xué)的課程新標(biāo)準(zhǔn)，作為國家教改后第一線主力軍的中學(xué)數(shù)學(xué)教師而言，要善于發(fā)現(xiàn)每一位學(xué)生的優(yōu)勢，并制定出適合每一個(gè)人才的培養(yǎng)方案。將新的理念和教學(xué)模式用心地應(yīng)用到每一堂數(shù)學(xué)課中。事實(shí)上，現(xiàn)階段對數(shù)學(xué)教師的要求是在兼具教學(xué)與科研相結(jié)合的基礎(chǔ)上，盡力發(fā)展每一位學(xué)生的個(gè)性與特長，這就是對我國教育事業(yè)的貢獻(xiàn)。其次，將數(shù)學(xué)奧林匹克視作一種數(shù)學(xué)教育實(shí)驗(yàn)。那么在實(shí)際課堂教學(xué)中，教師應(yīng)啟迪學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神。并引導(dǎo)學(xué)生逐步深入到更高層次的知識中去，將被動接受化為主動探索達(dá)到教與學(xué)的高度統(tǒng)一。教師在教學(xué)過程中，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生積極提出問題，并組織學(xué)生選好一個(gè)角度進(jìn)行分組討論。讓學(xué)生發(fā)表意見，在強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)和歸納結(jié)論時(shí)，盡量創(chuàng)造條件讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立性，而教師只需監(jiān)督檢查和點(diǎn)撥。另一方面，教師要注意邊講邊問，將啟發(fā)誘導(dǎo)貫穿始終，盡可能聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，從最熟悉的地方引入激發(fā)解決問題的興趣，從而使學(xué)生在不斷地思考問題中，把全部精力都用到聽課上來。最后，教師必須協(xié)調(diào)好數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)與正常課堂教學(xué)的關(guān)系。由于許多數(shù)學(xué)奧林匹克問題富有新穎性，如若強(qiáng)度過大地開展這一活動，也會產(chǎn)生消極的影響沖擊正常的數(shù)學(xué)教學(xué)活動。這就在更高層面上要求教師具備將數(shù)學(xué)奧林匹克的普及教學(xué)與日常數(shù)學(xué)教學(xué)有機(jī)地結(jié)合起來的能力。下面舉一個(gè)具體案例：排列組合問題中應(yīng)用的抽屜原理就是數(shù)形結(jié)合教學(xué)法的一個(gè)體現(xiàn)。抽屜原理是證明命題存在性的有力工具。對所要討論的問題，需分清哪個(gè)是蘋果（元素）哪個(gè)是抽屜（集合），及量各是多少。具體應(yīng)用時(shí)，依據(jù)復(fù)雜程度可分為以下六個(gè)層次：①若題目已知蘋果和抽屜，只需進(jìn)行觀察區(qū)分；②注意原理的逆向應(yīng)用，反求蘋果數(shù)和抽屜數(shù)；③若題目已知蘋果與抽屜二者之一，只需構(gòu)造另一個(gè)；④若題目中蘋果與抽屜均是未知時(shí)，需構(gòu)造二者；⑤注意抽屜原理的多次應(yīng)用；⑥綜合應(yīng)用抽屜原理時(shí)，需注意與某些數(shù)學(xué)思想方法的結(jié)合。因此，關(guān)鍵是教會學(xué)生利用題目中的已知條件構(gòu)造出需要的“抽屜”和“蘋果”的思維方式。構(gòu)造法主要有以下五種方式：①利用同余項(xiàng)②利用不大于n的正整數(shù)③分割區(qū)間④分割圖形⑤利用染色。在我們利用抽屜原理解決問題時(shí)，可選的方法途徑多種多樣并不只限于以上五種，因此，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生靈活地應(yīng)用此原理，根據(jù)題目的條件與要求，有的放矢地進(jìn)行構(gòu)造“蘋果”與“抽屜”。

綜上所述，數(shù)學(xué)奧林匹克在一定意義上是一種數(shù)學(xué)教育實(shí)驗(yàn)，指引并推動了中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)改革。在強(qiáng)調(diào)素質(zhì)教育的今天，舉辦數(shù)學(xué)奧林匹克競賽是為了更充分的發(fā)揮其重要的教育功能，從而使我國的數(shù)學(xué)教育體系更加完善，得以健全發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：