逆向思維能力的培養方法范文

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關鍵詞：逆向思維；數學教學；邏輯關系；應用

Discussion on Training of Reverse Thinking of Mathematics Teaching

Abstract： Reverse Thinking has very important applications in mathematics teaching， which provides a great help for training students’ thinking ability， and improving the innovation and development capacity. From the logic of reverse thinking， this article discuss the concrete manifestation of reverse thinking ability in mathematics Textbooks and mathematics teaching.

Keywords：reverse thinking；mathematics teaching；logic relationship；application

逆向思維是一種重要的數學思維，是孕育創造性思維的萌芽，逆向思維能力的掌握對解決生活和學習中面臨的問題提供了一種主動、積極的思維方法[1]。在數學教學中，逆向思維對學生提高數學學習興趣、培養學生創新意識有很大幫助，是學生學習和生活必備的一種思維品質[2-3]。然而，在數學教學實踐中更注重正向思維的培養，而淡化逆向思維的重要性，久而久之造成學生學習數學循規蹈矩、順向定性的去認識和感知數學，缺乏創造能力和分析能力，這種思維方式也隨之應用于生活和其它學習中，極大阻礙了學生思維能力的拓展和對新生事物的認知力和適應力[2]。因此，在數學教學中要充分認識逆向思維的重要性，強化學生數學方面逆向思維的培訓，完善學生的數學知識構架，激發學生的求知欲和創新精神。本文從逆向思維的重要性和數學教學中逆向思維的意義出發，探討了數學教學中如何培養學生逆向思維的方法。

1 逆向思維的邏輯關系

“反其道而思之”是逆向思維的精髓，即從事物發生的對立面或者結果對事物進行分析，從問題結論出發對問題進行探索的思維方式。逆向思維是與正向思維相對立的，其將正向思維認知的事物在思維上向對立面方向發展，打破習慣性的沿著事物發展的方向去思考和分析事物，而是從事物產生的結果或者效應反向思考和推斷事物和結果之間的辯證效應，尤其面對一些特殊問題，從結論反向推斷，逆向思考，反而會使問題簡單化[1-3]。逆向思維的優點在于行業需求的普遍性、對正向思維的批判性和思維方式的新穎性，逆向思維的培養往往會增強你對事物認知的興趣，提高自身開拓能力和創新能力，試想一下，當大多數人以習慣性的正向思維方式去看待事物或思考問題，而你運用逆向思維方式思考和解決問題，以“出奇”達到“制勝”，這種效果就會使你在行業競爭、就業選擇中脫穎而出。

數學中逆向思維的應用可以分為宏觀逆向思維方法和微觀逆向思維方法。從辯證唯物主義來講，事物都是對立存在的，往往互為因果，這就為分析和思考事物提供了兩種思維方法――正向思維方法和逆向思維方法，宏觀逆向思維方法就是從事物的辯證特性出發，突破思考框架、擺脫思維定律，形成用逆向思維去解決數學問題的思維認知，歐幾里得的《幾何原本》就是宏觀逆向思維的產物。微觀逆向思維方法是針對性解決一個數學問題，數學證明中的反證法、舉反例法都是逆向思維的體現。

2 數學教學中的逆向思維培養

學生逆向思維的培養對于提高學生創新能力、培養學生興趣愛好、加強對事物的認知能力至關重要。在數學教學中，除了學生正向思維的培養外，要消除思想束縛，大膽嘗試和訓練學生的逆向思維能力，在數學教學中加強對學生逆向思維的培訓，養成逆向思維思考問題的習慣，并且與正向思維相結合，雙向思維進行數學問題的理解和思考，是培養學生數學能力的一種體現，更是培養學生創造性思維的一種重要途徑。

2.1 數學定義的正、逆思維理解

學生對數學定義的理解即是一個對新事物認知的過程，在數學教學過程中，由于老師往往以正向思維方法對數學定義進行闡述，學生對數學定義的理解僅停留在數學定義的字面意思，而缺少對定義深部的挖掘和理解。在教學過程中利用正、逆思維對學生進行數學定義的分析和講解，列舉反例，引導學生利用定義進行反向思考，判別異同和是非，培養學生的逆向思維能力。

例1：已知函數是R上的單調遞減的奇函數，若，求a的取值區間？

解答：

變形為

是奇函數

，根據奇函數定義

又函數遞減，

解得

2.2 數學公式、法則的逆向推斷

數學公式和法則是揭示相關數量間數學關系的銜接橋梁，數學公式和法則本身上是具有正、逆兩向的，正向公式和法則的運用必然會產生等量關系的建立，而數量間已經產生的定量關系也是公式和法則的逆向體現。學生對公式和法則的理解，受到固定正向思維的影響，僅僅停留在相關數量間等量關系的建立，而缺乏對公式和法則的推斷、變形，更不會去利用逆向思維對公式、法則進行思考和分析。在解題過程中，除了公式、法則的正向運用外，常常面臨公式、法則的逆向運用，而學生逆向思維的缺乏，增加了解題難度。

例2：已知，，求的值？

解答：=27/16

該題運用的主要為同底數冪除法性質和冪的乘方性質，逆向思維進行計算，不僅提高了運算速度，而且對結果的正確性更有把握，如果利用正向思維進行解答，這道題無從下手。類似題目的練習不僅提高了對公式、法則的認識和熟練程度，還在很大程度上培養了學生逆向思維的能力。

2.3 數學解題方法中正、逆思維的運用

數學是一門靈活學科，對于數學問題的解答存在多種方式，但歸結起來就是正向解題和逆向解題方法，其中逆向解題法主要有逆推分析法，間接法，（排除法），等，逆推法主要運用與條件證明結論的數學問題中，反證法是經典的逆向解題方法，而間接法主要運用在選擇題中。

1.逆推法的運用，對于條件推斷結論的數學問題來說，從僅有的條件出發，數學問題往往不知從哪下手，很容易出現思維瓶頸，造成結論解答的困難。而逆推法是從結論出發，逆向推斷結論產生所需的條件，這樣往往可以簡化問題，明確解題思路，并且能培養學生的逆向思維能力和解答類似數學問題的興趣。

2.反證法的運用，首先假設結論不成立，然后利用已有的定義、公式或者法則證明結論的不成立與題目條件相矛盾，從而證明命題成立。該方法是一種很實用的證明數學命題方法，并且對培養學生逆向思維能力有很大幫助。

例3：證明：在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60度。

反證法解答：假設命題不成立，即三角形三個內角都大于60度；

則三個內角和必然大于180度；

這與定理“三角形內角和等于180度”相矛盾；

所以假設不成立，故原命題得證。

3.間接法（排除法），這種方法主要應用于數學競技考試中，對于一個選擇性的數學問題，正向思維解題尋找答案耗費時間較長，并且容易出錯，而在競技考試中時間是最重要的，所以可以選用將答案選項帶入題目中，進行錯誤答案排除法。

例4：當b=1時，關于x的方程有無數多個解，則a等于（ ）

A：2；B：-2；C：-2/3；D不存在

該題目是典型的競技考試選擇題類型，如果正向思維解題，將b值帶入方程，并進行化簡和求解，耗費大量時間。而運用逆向思維方法，將答案帶入到題目中，很快就會發現答案應選A。

3 逆向思維培養的保障

學生逆向思維的培養關鍵在于數學教學中逆向思維的日常培訓，如何保障學生逆向思維的培養是數學教學需要探討的重要問題。學生逆向思維的形成與提升主要受到周邊環境的影響，這些環境包括教師教育理念、學校學習氛圍、學生興趣培養等等，不同環境影響下的學生對數學理念的認識、問題的處理和興趣的培養有著不同的見解程度，這對學生隨后的學習和生活起到很大程度的影響。數學逆向思維的培養，教師的教育理念至關重要，因為學生的思維方法受到老師的影響程度深，先進的教育理念重視運用正、逆思維思考和解決數學問題，尤其在數學定義、公式和法則的認識和講解中，重視逆向思維的運用，并且在日常訓練中，有意加深對逆向思維的練習。學校學習氛圍是培養學生運用逆向思維思考興趣的平臺，學校注重學生的逆向思維培養，構建逆向思維訓練對象和競賽，培養學生的逆向思維興趣。

4 結 論

數學教學中逆向思維的培養，對提升學生學習興趣，激發學生創新能力和思維能力，對學生的學習和生活具有重要意義。培養學生的正、逆思維能力，可以在解答數學問題的時候，尋求更便捷的解題思路，克服了學生正向思維的固定思考模式。學生逆向思維的培養是個復雜過程，注重數學教學中逆向思維的培養，充分認識到逆向思維的學生思想、創新能力的重要性，從數學學習的興趣培養中構建學生的逆向思維體系。

參考文獻

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[3]許娟娟. 數學教學中逆向思維能力及其培養[J]. 基礎教育研究，2012，（3）上：44-46

[4]趙景倫. 數學解題中逆向思維的培養途徑[J]. 數學教學通訊，2003，（8）：39-40

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關鍵詞 能力培養；逆向思維；解題方法

逆向思維是指與正常思維正好相反的一種思維方式。在教學中，逆向思維是指從結論逆向一步步找出結論需要具備的條件，從而達到解決問題的目的。逆向思維具有極其嚴密的邏輯性、推理性，能更好地培養學生的邏輯思維能力。在初中數學教材中有著大量互逆關系的數學知識，如互逆公式，互逆法則，互逆定理等等。在教學中，培養學生運用逆向思維解決實際問題的能力，必須加深學生對互逆關系的理解與分析，從而不斷培養學生的逆向思維靈活性，從正向思維向逆向思維的持續能力。

平時與數學老師交流和本人三十多年的數學教學實踐表明，要培養學生的正向思維能力，更要培養學生的逆向思維能力。正向思維從習慣上可牢記和掌握，在頭腦中有正向模式，而逆向思維的形成對學生是一個難題。教學時需對所學的運算知識，形成逆向模式。所以，教學前要精心設計，讓學生從正向接受逆向的思維的基本訓練。在初中數學實際教學中怎樣培養學生逆向思維的能力呢？

一、利用初中數學課本中大量的互逆知識培養學生的逆向思維能力

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一、培養逆向思維能力是數學教學的重要任務

逆向思維是科學發現的重要方法之一，許多數學結論都是通過這種方法得到的。在數學科學發展史上，不乏運用逆向思維取得成功的事例。如《 幾何原本 》問世后，證明歐氏第五公設的難題曾煩惱數學家達兩千年之久，后來還是羅巴切夫斯基與鮑耶大膽引用一條與第五公設完全相反的命題，各自獨立地發現了非歐幾何的廣闊天地。由于逆向思維的結果具有不確定性和多值性，也就是發散性，所以這種結果更廣泛，更深刻，更具有創造性。

另外現在社會的各個領域也處處存在著逆向思維過程。比如在人際關系上，在處理人和人之間矛盾的時候，提倡換位思考，這可以加強人和人之間的相互理解，這其實就是把逆向思維用到處理人事關系上。在商業界，公司都比較保守，它們向消費者提品，卻從來不透露這些產品是怎么做出來的。競爭者需要根據其產品，研究出其制造方式。具有逆向思維能力的人，能夠根據一種產品比如一粒藥片，研究出其中的成分和配方，并經過改進可以造出更好的藥。

因此，一個不具備逆向思維能力的人是很難適應當今社會發展需要的。數學教學擔負著培養學生思維能力的重要任務，要學好數學學科，無論是學習理論，還是掌握數學知識，解答習題，應用知識，自始至終都存在著積極的思維活動。而逆向思維是思維的一種方式，所以，在數學的教學過程中應努力培養學生掌握各種逆向思維的方法，提高逆向思維的能力，這對學生當前的學習和今后適應社會的需要都具有十分重要的意義，因此，培養逆向思維能力是數學教學的重要任務。

二、挖掘數學基礎知識中的逆向思維素材，培養逆向思維能力

在數學教學過程中要善于挖掘數學基礎知識中的逆向思維訓練素材，并充分利用這些素材，創設問題情境來培養學生的逆向思維能力。

1．定義教學中逆向思維能力的培養

數學概念都是充要條件，均為可逆的。它是通過揭示其本質屬性來定義的。如果說由本質屬性引出概念的思維過程是正向思維，那么由概念得出其本質屬性的思維過程就是逆向思維。因此數學中的定義都有雙向性，許多學生習慣于定義的正向應用，而忽視定義的逆向應用。在教學中，為了使學生深刻理解定義，使定義發揮更大的作用，就必須強化定義的逆用，這不僅會達到使問題解答簡捷的目的，而且對培養學生的逆向思維能力也是很有好處的。

例1：已知奇函數f（x）在定義域（-1，1）內單調遞減，且f（1-a）+f（1-a2）＜0，求a的值集。

分析：由f（x）的定義域，可得：

-1＜1-a＜1

-1＜1-a2＜1

解得：0＜a＜■ ①

逆用奇函數的定義得：f （1-a2）=-f （a2-1）

又由已知不等式得：f （1-a）＜-f （1-a2）

從而：f （1-a）＜f （a2-1），

于是逆用減函數的定義得：1-a＞a2-1

解得：-2＜a＜1 ②

故由①②可得a的值集為：{a|0＜a＜1}

例2：設f （x）=8x-22x+1，求f-1（0）。

分析：常見的方法是，先求出反函數f-1（x），然后再求f-1（0）的值。但只要我們逆用反函數的定義，令f（x） = 0，解出x的值為1，即為f-1（0）的值。所以f-1（0）=1。

2．公式教學中逆向思維能力的培養

數學公式是揭示相關數量之間關系的等式。數學公式本身是雙向的，但由于學生首先學習正用公式，更多的問題也是用正用公式解決的，因此運用公式時易遵循正用這樣的習慣順序。學生對公式的逆向運用不敏感，存在一定的困難。而在不少數學習題的解決過程中，都需要將公式逆過來用，而學生往往在解題時缺乏這種自覺性和基本功。因此，需要在教學中有意識地加強這方面的訓練，以提高學生的逆向思維能力，達到靈活運用公式的目的。

例3：計算sin14°cos16°+cos14°sin16°的值。

分析：因為14°、16°都不是特殊角，顯然直接計算是較繁的，如果引導學生逆向應用公式sin（α+β）=sinαcos β+cosαsin β，問題便得到解決。

原式=sin（14°+16°）=sin30°=■

例4：求證：2csc2α=■。

分析：可從右邊出發逆用有關公式逐步推到左邊。右邊=■（逆用公式1+tan2α=sec2α）

=■（逆用公式tanαcotα=1）

=■=tanα+cotα

=■+■=■

=■=■=2csc2α=左邊

3．定理教學中逆向思維能力的培養

定理是已經證明具有正確性、可以作為原則或規律的命題，因此，任一定理都有逆命題。不是所有的定理的逆命題都是正確的，引導學生探究定理的逆命題的正確性，既能使學生正確理解數學命題結構之間的關系，又培養了學生善于從相反方向去觀察、分析問題的逆向思維能力，并且能使學生學到的知識更加完備，而且還能激發學生去探索新的知識。如在立體幾何中，許多性質與判定都有逆定理。例如，平行平面的性質與判定、三垂線定理和三垂線的逆定理等，注意它的條件與結論的關系，加深對定理的理解和應用。又如求證Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n，可思考是否與二項式定理有關？如何使n項變為一項？很快發現逆用二項式定理便可得Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=（1+1）n=2n。另外重視逆定理的教學對開闊學生的思維視野，活躍思維都大有益處。

三、運用解證數學題的幾種典型思維方法，培養逆向思維能力

數學題的解證方法有多種，在數學教學過程中要充分利用其中的幾種典型思維方法，不失時機地對學生進行訓練來培養學生的逆向思維能力。

1．分析法教學中逆向思維能力的培養

數學中的許多問題，要得到的結論是很明顯的，但困難往往是不知道從哪里起步，如何達到這個結論。這時最好的辦法就是逆向思考，從結論出發，逐步追溯充分條件，直追溯到題目所給條件為止，其實質是“由果尋因”，這就是分析法。這是一種非常典型的逆向思維過程，也是數學解題中一種常用的方法。

例5：某市有100名學生參加圍棋比賽，采用輸一場即被淘汰的單淘汰賽，輪空者為當然勝者，每場比賽都得定出勝負，請問：共需要進行多少場比賽，才能選出冠軍？

分析：本題從目標正面直接求解，計算繁難，容易出錯，但如果改從目標反面入手，即去計算產生99名被淘汰者的比賽場數就比較容易求解。因為按比賽規則，每比賽一場就產生一名被淘汰者，100人參賽，選出冠軍一人，就相當于要產生99名被淘汰者，所以共需要比賽99場。

例6：已知正數a、b、c成等差數列，求證：a2-bc、b2-ac、c2-ab也成等差數列。

分析：要證原結論成立，只需證2（b2-ac）=a2-bc+c2-ab，即證2b2+（a+c）b=（a+c）2。又2b=a+c，所以上式成立，于是原結論成立。

2．反證法教學中逆向思維能力的培養

中國古代有一個很著名的“道旁苦李”的故事，蘊含著反證法的思想。故事說王戎小時候愛和小朋友在路上玩耍。一天，他們發現路邊的一棵樹上結滿了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，獨有王戎沒動，并說李子是苦的。等到小朋友摘了李子一嘗，原來真是苦的！他們都問王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結滿了李子，所以李子一定是苦的。”這則故事中王戎的論述，也正是運用了反證法。

反證法是數學中很重要的一種證題法，它首先假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立，然后從這個假設出發，通過正確的邏輯推理推導出一個錯誤結果，從而導致矛盾，最后判定其矛盾的產生是假設不成立所致，最終肯定命題的結論正確。實際上，反證法是先證明原命題的否定為假，所以其思維方法可以說是雙重的逆向思維。適當地運用反證法，既能提高解題的靈活性，又能培養思維的活躍性，促進思維的發展。

例7：求證■是無理數。

分析：假設■是有理數，則不妨設■=■（m、n為互質正整數），從而：（■）2=3，m2=3n2，可見m是3的倍數。

設m=3p（p是正整數），則3n2=m2=9p2，

可見n也是3的倍數。這樣，m、n就不是互質的正整數（矛盾）。

■=■不可能成立，■是無理數。

3．反例教學中逆向思維能力的培養

在數學中，肯定一個命題需要嚴格的邏輯推理來證明，否定一個命題，則只需舉出一個例子予以否定，這種例子就是反例。反例在數學發展中和證明一樣占著同樣重要的地位，這是因為在數學問題的探索中，猜想的結論未必正確，要說明正確則需要嚴格證明，要說明錯誤只需舉一個反例。數學史上著名的尺規作圖的三大難題，即三等分角問題、立方倍積問題、化圓為方問題，就是通過反例證明其不可能的。利用舉反例可以判定一個命題是假命題。反例不僅能夠幫助學生深入地理解定理的條件與結論，而且還能培養學生的逆向思維能力。因此在數學教學中必須重視反例的構造，反例必須具備命題的條件，卻不具備命題的結論，從而說明命題是錯誤的。

例如，對于有理數和無理數這兩個概念的區別，學生往往根據表面現象來判定一個數是有理數還是無理數，認為一個含有無理數的式子的組合就是一個無理數。這樣的錯誤，可通過應用反例加以糾正。比如（■+■）（■-■）就不是一個無理數，因為它的值為1。又如，函數y=f（x）在點x有導數，則必在點x連續，但反之未必成立。可舉反例，如函數y=|x|，它在x=0點連續，但在該點卻沒有導數，用此例簡潔而明確地說明了函數在一點連續是在該點有導數的必要條件，而不是充分條件。

4．排除法教學中逆向思維能力的培養

對于那些正面情況比較復雜、較難入手而反面卻比較簡單的問題，可逆向考慮其反面，從反面入手解決問題，這種解決問題的方法就是排除法。排除法不僅是一種有效的解題方法，而且還能培養學生的逆向思維能力。

例8：15件產品中有3件次品，從中任取5件，至少有1件是次品的取法有多少種？

分析：此題從正面著手，分類進行，問題可解決，但比較繁瑣。但若逆向考慮，用排除法從取出的總種數中減去不符合條件的種數，剩余的就是符合條件的種數，則較為簡便。即C155-C125=3003-792=2211。

例9：若方程x2-ax+4=0，x2+（a-1）x+16=0，x2+2ax+3a+10=0中至少有一個方程有實根，求a的取值范圍。

分析：若從正面著手，非常繁瑣，但若從反面入手，考慮其否定的命題“三個方程都沒有實數根”，則可得：

Δ1=a2-16＜0Δ2=（a-1）2-64＜0Δ3=4a2-4（3a+10）＜0

解得：-2＜a＜5

即當且僅當-2＜a＜5時，三個方程均無實根。

因此，a≤-2或a≥5時，三個方程中至少一個有實根。

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【關 鍵 詞】 逆向思維；平面幾何；教學

初中數學的教學目的是為了使學生獲得數學基本知識，獲得正確的運算能力，一定的邏輯思維能力和空間想象能力，最終分析解決實際問題。實現這一目的的手段，是加強對各種思維能力的培養，初中平面幾何教學能培養學生的分析能力和思維推理能力，而思維能力的培養又是提高平面幾何解題能力的關鍵，加強逆向思維訓練是培養思維能力的重要方面。逆向思維是一種從問題的相反方面進行思維，反轉思路，另辟蹊徑的思維方法。這種“倒過來思”的方法，能使人們在遇到難題時，通過分析因與果，條件與問題之間的聯系，擺脫“山重水復疑無路”的窘境，到達“柳暗花明又一村”之佳境。下面就如何加強逆向思維訓練，提高平面幾何解題能力，談幾點粗淺的看法。

一、加強數學基本知識的逆向教學

平面幾何中的基礎知識指的是定義、公理、定理等。掌握基礎知識是指學生能把學過的知識形成自身的認知結構，是培養基本技能的基礎。

（一）注意定義、性質的逆向教學

對概念的教學不僅要從正向講清定義、公理、定理的確切含義，而且要注意逆向教學，只有這樣才能加深學生對概念的理解和記憶。教材也提供了逆向思維的數學模型。如“兩直線相交，只有一個交點。”如果兩直線相交有兩個交點，那么與兩點決定一直線的幾何公理矛盾，故兩直線相交只有一個交點。教師可根據學生實際對“過直線外一點，只能作一條直線平行（垂直）于已知直線”“兩直線平行，同位角相等”“三角形中最多只有一個直角或鈍角”等性質進行逆向教學，可使學生對概念理解加深，融會貫通。

（二）注意定理的逆向教學

平面幾何教學中引導學生探索一些定理的逆命題是否正確，不僅可鞏固所學知識。而且還能激發學生探求新的知識，培養學生的學習興趣。如學生在對“等腰三角形的頂角平分線，底邊上的高，底邊上的中線重合”的逆命題“如果三角形的一個角的平分線平分它所對的邊，那么這個三角形是等腰三角形”進行討論給出了三種證法（如圖1）：

證法1：AD平分∠BAC ? =，又BD=DC 則AB=AC

證法2：延長AD至E，使AD=ED，連接BE則ADC≌EDB ? AC=BE=AB

證法3：ABD和ACD中，∠BAD=∠CAD

AD=AD

BD=CD ? ABD≌ACD ? AB=AC ? ABC為等腰三角形。

證法1：利用角平分線定理，證法簡明。

證法2：利用延長法作輔助線，能鞏固全等三角形的知識，起到證明命題的作用。

證法3：是錯誤的，兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等。

通過對以上證法的分析能糾正學生的錯誤，引導學生選擇最優證法，提高解題能力。

二、注意方法上的逆向訓練，提高解題能力

教師通過例題的講解進行逆向分析，讓學生掌握解題的基本方法，提高解題思維能力。

（一）加強分析法教學，明確解題思路

分析法是從命題的結論出發，先假設命題成立，然后尋找充分條件的證題方法。學生感到平面幾何題無從下手，原因是缺乏分析能力，沒有明確的思路，具有盲目性。分析法能使學生思路清晰，從復雜的條件、圖形理出頭緒，也能讓學生比較、選擇最優方案。

（二）利用反證法教學

在學生有一定的基礎時，適當地進行反證法教學能提高解題的靈活性，同時也可使零散的知識具有系統性。如對定理“在同一三角形中，大角對大邊”可引導學生運用反證法。

如圖2，已知∠C>∠B，求證AB??AC。

證明1：假設AB=AC；則∠B=∠C與∠C>∠B相矛盾，故AB≠AC。

證明2：假設ABAC。

（三）利用開放性試題，發散學生逆向思維

開放性試題由于具有條件開放、結論開放、方法開放、思路開放等特點，能有效地為學生的思維發展創造條件，能更好地培養學生的獨立思考能力和探索精神，發展學生的創新意識。如圖3，已知∠BAC=∠ABD，試添加一個條件，使ABC≌BAD。

解析：把圖形分解成ABC與BAD，已知AB為公共邊，∠BAC=∠ABD；根據“SAS”可以補充AC=BD；根據“ASA”可補充∠ABC=∠BAD；根據“AAS”可補充∠C=∠D。

這是一道典型的條件開放式試題，訓練學生逆向思維能力，采用逆推法解題，執果索因。

總之，提高初中生的幾何解題能力，是一項艱巨的任務，逆向訓練是提高平面幾何解題能力的一個手段。正向訓練更不能忽視，只有綜合運用，才能使學生具有創新思維的能力，逐步形成一系列行之有效的解題策略。

【參考文獻】

[1] 過伯祥. 平面幾何解題思想與策略[M]. 杭州：浙江大學出版社，2011.

[2] 鄧云. 利用逆向思維解立體幾何問題[J]. 湖南教育（下旬刊），2010（10）.

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關鍵詞:逆向思維;思維定勢;創新作文教學

作文教學占了語文教學的半壁江山，同樣要培養學生創新作文能力十分必要，因此，必須對學生進行創新作文教學。從“創新作文教學研究”開展以來，筆者進行了有益的嘗試，著重培養了學生逆向思維能力，側向思維能力和多向思維能力，旨在創新作文教學，培養學生寫出立意“深、新、活”的好作文。

“揚州八怪”之一鄭板橋，為一李姓男壽星寫賀詩，適逢滂沱大雨，壽典難以為續，眾人皆嘆奈何，板橋提筆便寫:“奈何奈何可奈何，奈何今日雨滂沱”，此時，旁觀者噓聲四起，板橋不以為意，接著寫道:“滂沱雨為李公壽，李公壽比雨更多。”當鄭公停筆，掌聲四起。鄭公能贏得一片掌聲，是因為他能出其不意，出奇制勝，做出了令人羨慕不已的突破性發明創造。是板橋的逆向思維助他贏得掌聲。

逆向思維，是指采用通常情況下的普遍習慣的單向思維完全相反的思路，從對立的、完全相反的角度思考和探索問題的思維。這種思維方法，看似荒唐，實際上是一種打破常規的，非常奇特而又絕妙的創新思維方法，如果，我們創新作文教學能培養學生逆向思維方法，寫出來的文章就有獨創性，就能達到立意深刻的目的。

我們的學生長期以來形成了思維定勢，作文常依賴《作文寶典》等拐杖，根據范文割割補補，拾人牙慧，步人后塵，提不出與眾不同的見解，吃別人咀嚼過的東西，毫無新意。因此，在作文教學過程中，教師要注意引導學生打破傳統的、常規的思維的束縛，大膽地反彈琵琶，從問題的相反方向深入地進行探索和挖掘，寫出“人人心中皆有，而個個筆底全無”的文章。

如，指導學生寫《愛》一文，我就啟發學生:每個人的成長都離不開愛，有愛才有溫暖，才有幸福的生活，才有美好的未來……有的學生說，我多么希望得到愛，因為在現實生活中缺少愛——無論是父母的，還是教師的，或者是人與人的;也有學生說，我得到了愛，因為生活中已經有人給了我無微不至的關懷，它帶來了信心、力量和勇氣。而最令人贊美的是，一位學生用了逆向思維:我不需要父母或教師過分的愛，因為過分的愛限制了我的發展，過分的愛使我與同學朋友之間產生隔閡，希望父母不溺愛，希望教師能把愛灑向每一個學生。這樣的立意避免了單一與狹窄，顯得新穎、獨特，高人一籌。

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談敏

（南京市秦淮中學，江蘇  南京  211100）

摘  要：在高中數學解題過程中，幫助學生培養逆向思維能力，引導他們正確而巧妙地利用逆向思維，不僅有助于學生突破思維定勢，改變其思維結構，進入新的境界，還可以使他們的思維靈活性和深刻性得到培養，分析和解決問題的綜合能力也能進一步得到提高。本文從定義、定理、公式等幾方面的應用對逆向思維在數學解題中的應用進行了論述。

關鍵詞：逆向思維；高中數學解題；應用

逆向思維是一種與正向思維相反，從問題的反面進行思考的思維方式，也就是把命題的結論作為出發點，進而找尋結論成立的充要條件或者充分條件。在高中數學的教學過程中，教師應該意識到逆向思維的重要性，結合教材，培養學生的逆向思維能力，積極地引導學生在學習過程中正確有效的利用逆向思維，由根索源，反向思考，激發學生的創新意識，完善他們的綜合知識，更好地完成教學目標，提升學生的分析能力。本文作者通過對實際數學問題的解析，探討了逆向思維在數學解題過程中的應用。

一、逆向思維的含義和培養

逆向思維是一種發散性思維，是指人們從問題的反面出發，從問題的對立面去思考問題的答案。逆向思維的特點是另辟蹊徑，從不同的角度思考問題，思路寬廣，靈活多變，考慮精細，且答案新穎。逆向思維幫助學生突破思維定勢，產生新的思考方法，發現新知識，開拓認識的新領域，形成新的思考方法以及新的科學理論的思維方式。在高中數學學習過程中，培養學生逆向思維能力的關鍵在于挖掘數學知識的逆向思維素材，并選擇典型的逆向思維范例。其主要途徑有：1、通過數學定義的逆向思維。例如，關于異面直線的定義：不在一個平面內的任何兩條直線都是異面關系；2、通過數學定理的逆向思維。雖然并非所有定理的逆命題都正確，但是引導學生對定理的逆命題進行探討，驗證其是否正確，是指導學生研究新問題的有效方法；3、通過數學公式的逆向思維。公式的兩邊是等價的，其本身是雙向的，平時學生在運用公式時總是習慣地由左至右，化繁為簡。但在一些數學習題中對公式進行逆向應用，由右到左，由簡到繁能更好地對問題進行解答，有助于學生形成解題技巧，而且又利于提高他們的解題能力，培養其逆向思維能力，使他們的思維得到鍛煉；4、在數學基本概念的學習過程中培養學生的逆向思維能力。例如在對“直角三角形”的定義進行講解時，教師可以采用如下的形式：正向思維：有一個角為90度的三角形稱之為直角三角形。逆向思維：直角三角形中必須有一個角為90度。另外，在教學過程中，教師要明確哪些定理的逆命題是真命題；5、通過反證法，分析法，待定系數法等培養學生的逆向思維能力。

二、逆向思維在高中數學解題中的一些具體應用實例

（一）逆用定義

以雙曲線定義為例，若點P的軌跡是雙曲線，則等式 恒成立。

例1（福建卷）已知F1，F2是雙曲線 （a＞0，b＞0）的兩個焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（）

 

解：因為MF1F2是正三角形且邊MF1的中點在雙曲線上，則設設邊MF1的中點為P，有角F1PF2=90°，角PF1F2=60°，從而

所以根據雙曲線的定義可知

 解得 ，故選D。

 點評：當已知是何種圓錐曲線且與兩焦點有關時，可直接利用定義求解，以達到簡縮思路、簡化運算的目的。

（二）定理的逆用

勾股定理的逆定理是判斷三角形為銳角或鈍角的一個簡單的方法。若c為最長邊，且a²+b²=c²，則ABC是直角三角形。如果a²+b²>c²，則ABC是銳角三角形。如果a²+b²<c²，則ABC是鈍角三角形。

例2 如圖1所示，在四邊形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2:2:3:1，且角B=90°，求角BAD的度數。

解：設AD=a，則AB=BC=2a，CD=3a，連接AC，三角形ABC為等腰三角形，所以角BAC=45°，在Rt三角形中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2=2AB2=8a2，又因為AD2=a2，CD2=9a2，所以AC2+AD2=CD2。

由勾股定理的逆定理知三角形CAD是直角三角形。

所以角CAD=90°，角BAD=角BAC+角CAD=45°+90°=135°。

 

 

 

 

 

圖1

（三）公式的逆用

根據所求式子的結構特征及要求，把已知式子變成公式的變形形式或逆用形式，再進行變形的方法叫公式的變形及逆用法。比如對于兩角和與差正切公式

 

可以變形為

 

即顯示了兩角正切乘積與正切和與差的關系，若α+β是特殊角，可直接找出它們的關系。

例3：求tan17°+tan43°+    tan17°•tan43°的值。

分析：注意17°+43°=60°

解：因為   =tan60°=tan（17°+43°）=（tan17°+tan43°）／（1-tan17°tan43°）

所以 tan17°+tan43°=    （1-tan17°tan43°）

所以 原式=   （1-tan17°tan43°）+    tan17°•tan43°=    。

（四）反證法與分析法，待定系數法等的應用

反證法，分析法和待定系數法等重要的數學方法也都是通過逆向思維體現出來的。

例4：已知b=b1+b2，其中b1與a成正比例關系，b2與a成反比例關系，并且當a=1時，b=4；a=2時，b=5，求b與a之間存在的函數關系。

解：依題意，設b1=k1a,b2=k2／a，則b=b1+b2=k1a+k2／a。由已知條件可列方程組

 

解得k1=2，k2=2。因此，b與a之間的函數關系式為b=2a+2／a。

綜上所述，在數學解題中，當應用常規正向思維受阻，或者需要迂回曲折才能找到答案時，改為應用逆向思維，往往能得到更為簡單的解答，開拓出新的解答途徑。因此，在平時的教學過程中，重視對學生逆向思維能力的培養，可以激發學生的學習興趣，培養其數學思維，以及思維的敏捷性，并且有助于提高學生的綜合能力，開發其智力。

參考文獻：

[1]顧秀明.淺談中學數學中逆向思維方法的應用—以定義、定理、公式的逆用為例[J].理科愛好者(教育教學),2009,1(4).

[2]張恩祥.試論逆向思維在高中數學中的應用[J].理科愛好者(教育教學版),2012,4(4).

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下面結合自身的教學實踐，就新課標下初中數學教學中學生思維能力的培養進行深入探討.

一、培養學生思維能力的重要性

對學生思維能力的培養不僅是為了彌補學生綜合發展過程中自身存在的不足，也是為了滿足新課程標準的要求.注重學生思維能力的提升，能夠引導學生更全面地看待問題，進而從對問題的推理過程中找尋出解決問題的辦法.

初中生處于特殊的年齡階段，加強學生思維能力的培養不僅能增強學生對數學基礎知識的理解，還能提高他們的思維嚴謹性.在教學工作過程中，教師應擺脫傳統的機械式思維習慣與思維方式，提高學生的思維能力，改善他們的思維方式，以引導他們形成良好的思維習慣.

二、注重學生逆向思維能力的培養

1.正確運用數學概念，培養學生的逆向思維能力

概念教學作為初中數學教學的一個重要環節，對于學生逆向思維能力的培養發揮著非常重要的作用.為此，在概念教學工作過程中應引導學生反過來思考問題，使他們能夠對概念進行充分、透徹的了解，以便在做題時得心應手.

2.合理選擇教學方法，培養學生的逆向思維能力

（1）公式逆用，注重學生逆向思維能力的培養

課堂上，教師應給學生示范公式的推導、公式的形成過程以及對公式的多種形式進行對比區分，探索公式是否可以逆用.在具體的課堂教學中，應多引導學生往這方面思考，讓其活躍思維，拓寬思路，尋求更為精妙簡單的解題方法，進而獲得成就感，以此促進逆向思維能力的提升.對于初中數學而言，公式逆向應用等培養學生逆向思維能力的例子不勝枚舉，如逆用乘法公式、逆用分式加減法則、逆用完全平方公式、逆用同底數冪乘法法則以及逆用一元二次方程根的判別式等.

（2）充分利用反證法，培養學生的逆向思維模式

利用反證法解題是運用逆向思維方式解題的一種體現，并且該方法也是初中階段較常用的一種證明方法，能夠有效地提升學生的逆向思維能力.

三、注重學生合情推理能力的培養

在傳統的初中數學教學過程中，教師往往只是就題論題，忽視了學生合情推理能力的提升.為此，在今后的教學過程中，教師應注重教學方法的選擇，以在對學生進行知識傳授的額同時，促進學生合情推理能力的提升.

在數學課程的教學過程中，教師應利用文字、圖像等已知條件，引導學生對問題進行認真分析、概括，以對問題共性與規律的總結來尋求出解決問題的答案.

由此可見，學生在不斷的觀察與思考中，有助于概括能力的提升，有助于引導他們去發現并掌握事物的存在規律，為他們合情推理能力的提升打下了堅實的基礎.

四、注重學生創新思維能力的培養

1.總結教學方法，強化學生自主學習體驗

對于初中數學課程而言，具有一定的抽象性與邏輯性，因引導學生把握數學規律與思維方法，才能使學生掌握數學教材的核心知識點，并將這些知識點運用到解決實際問題當中.因此，在具體的初中數學教學過程中，教師應對教學方式進行不斷總結，注重滲透數形結合規律、對應規律、化歸規律、函數與方程規律抽樣統計等規律來引導學生對知識的梳理，并引導他們按照“數與代數”、“空間與圖形”、“統計與概率”之間的關系來建立起網絡化的知識模塊，以便于學生自主學習，使他們更加輕松地掌握每個模塊的核心內容.同時，蘇教版新課程標準要求，應注重學生解題技巧的培養.因此，在教學過程中，教師還應通過講解一些例題來向學生揭示解決問題的規律與方法，培養學生的創新思維能力.

2.不斷拓展、深化思維，引導學生創新思維的應用

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人的思維能力是指智力能力，它的培養是小學數學教學中的要求，因此思維能力的培養具有十分重要的意義。心理學家的研究成果表明：兒童思維能力的發展潛力是非常大的，要是教育得法，這種潛力就能獲得很大的發展。思維能力的發展過程是按一定規律的趨勢連續不斷進行的。要使學生思維能力符合于事物這種聯系和發展趨勢，就必須對學生的思維程序進行培養，而逆向思維是改變了正常的思維程序，遇到問題倒過來想一想。進行這種思維的訓練，能促使兒童思維敏捷。培養創新型的人才。古代司馬光砸缸救小孩的故事，就是逆向思維活動的體現，通常救落水兒童是讓人離開水，而他卻是使水離開人的辦法，這種逆向思維的培養，值得積極探討，下面，筆者就逆向思維能力的培養談幾點做法：

1 概念、公式在數學教學中的逆向運用

一個數學概念的形成，一個數學公式的成立都具有其嚴密的邏輯性和科學性。學生對概念、公式的順向理解和掌握是較為容易的。可是它們的逆向性往往會把學生弄得一塌糊涂，這就需要我們科學地分析，正確地引導，耐心地講解，幫助學生理解，使學生自己掌握。

例如：只有一組對邊平等的四邊形，叫做梯形。這個數學概念的順向性比較容易理解、掌握。根據分析、推導可得出梯形的面積公式：梯形的面積=（上底+下底）×高÷2。這樣的知識一般的學生是可以較快理解和掌握的。不管是提問概念，或是給條件計算面積，都能比較順利解決問題。在教學這個問題的同時，我又提出逆向判斷問題：凡是只有一組對邊平形的圖形一定是梯形（×）。竟然有多數同學回答出現錯誤。有部分同學雖然回答正確，但不能說明道理。說徹底，就是問題的逆向性困擾著他們，對于這個問題，筆者通過逆向的提問判斷，使學生知道梯形概念應具備的充要條件要有兩個：①只有一組平行線；②圖形是四邊形。這樣學生才真正掌握梯形的概念。教學利用梯形面積公式計算圖形面積時，筆者除按照：知道梯形的上底、下底和高，求面積外，還應出現逆向的練習題：

①已知：梯形的面積、上底、下底，求梯形的高。

②已知梯形的面積、上底、高，求梯形的下底。

這樣通過逆向反復練習，加深對公式的理解，溝通了數學教學實際問題與數學概念的認識，從而使學生對概念、公式牢固的掌握。也就是說，無論對概念還是公式，都要對其結構進行透徹的分析，順逆反復練習，才能達到加深理解，掌握知識，培養思維。

2 數學教學中逆向思維技能的培養

一個學生牢固掌握基本概念和公式是必要的，而技能的培養在實際數學教學中，也具有重要的作用，但這種能力的培養往往是難度較大。筆者在教學中采用抓逆向性的關鍵問題，靈活加以解決，既培養了思維又激發了興趣。有這樣一道數學題目：有三塊鐵片，分別二塊二塊過稱，它們所稱得的重量分別是：155千克、165千克、170千克，問最輕的那一塊鐵片有多少千克？

這是一道求平均數逆向性的應用題。如果根據平均數=總數÷總份數，這個基本方法是不能直接解決問題的，通過分析，我們不難可以發現總數逆向性這個問題的關鍵性。我們即可得到最輕鐵塊的重量（平均數），等于兩次較輕重量之和減去最重一次稱得的重量差（總數），除以稱得次數（總份數）。即（155+165-170）÷2=70（千克）。這樣既優化了練習方法，提高教學效率和效果，形成技能，又使逆向思維技能獲得培養。

3 假設是培養逆向思維的手段之一

在數學這門學科中，學生在解決問題時，往往會碰到一時難以解決的直接途徑，這種問題，我們要培養學生一種假設的方法，以培養他們的逆向思維。

解決這類題目時，先假設某個數為我們特指的一個數，根據這個數和題目中的條件，還原出題中的某一數據，再對照還原出來的數與已知數據的差或倍比關系，調整假設數字，從而得出正確的答案。

例如：有7千克和9千克重的兩種木箱共重249千克，計31箱。問兩種木箱各有多少個？

我們假設31箱都是9千克，可得木箱總重量是9×31=279（千克），超條件的總重量（279―249）30千克，每加7千克一箱減少2千克，需減少30千克，可得7千克木箱有：30÷（9―7）=15（個）。從而得9千克重的木箱只有16個。

這種假設可起著使學生正逆思維相互交替作用，使學生對方法的理解和問題的解決更加深刻、更加牢固。

4 逆正互化也是培養學生逆向思維的途徑

正向思維是學生思維能力發展的基礎，而逆向思維的培養，又是對思維能力發展的挖掘。我利用逆向互化的方法解決問題，達到培養的目的。

例如：甲乙兩車分別從AB兩地相向開出，甲車先開出2.5小時后，乙車以每小時以42.5千米的速度行駛12小時與甲車相遇，相遇時甲車比乙車多行駛84.5千米，甲車平均每小時行駛多少千米？

這是一道行程問題的逆向問題，如果我們把它理解為求平均數問題，就變成一道順向的求平均數應用題，解決問題也因此轉化而變得簡單。即總數（甲車行程數）=42.5×12+84.5=594.5（千米），總份數=12+2.5=14.5（小時），平均數（甲車速度）=594.5÷14.5=41（千米）。

5 圖解是直觀培養學生逆向思維的有效方法

圖解是利用圖形來分析或演算，以解決數學問題。它能讓抽象、深奧的數學知識變成直觀、通俗易懂學習內容；喚起學生對數學的學習興趣。提高學生數學逆向思維的能力。

例如：甲乙兩車勻速分別從AB兩地相向開出，第一次在距離A地16千米處相遇，相遇后兩車繼續往前行駛，甲車到達B地后即時往回行駛，乙車到達A地后即時往回行駛，第二次在距離B地7千米處相遇。問AB兩地距離多少千米？

本問題直接從時間、速度以及路程數量關系是解決不了問題的，通過圖解：

我們從圖中很容易看出：①甲乙兩車每行駛一個AB全程甲車行駛16千米。②到第二次相遇時甲乙兩車行駛了3個AB全程。③第二次相遇時甲車行了一個AB全程還多7千米。

篇9

國家發展的關鍵在人才，人才的成長依靠教育，因此對教育制度的深化和改革，是每一位教師的職責所在。在具體的實操中，對于歷史課程的教學而言，如何培養學生的多重思維能力最為重要，教師，不僅要傳道授業，如今更加注重解惑的講課方法，即與以往相比更側重于對每一位學子的思維訓練。

據筆者觀察，與物理、化學課程教學方式不同的是，初中歷史教學中存在的顯要難題是無實踐、多抽象，多數老師講課傾向于重知識、輕理解，重灌輸、輕引導、重結論、輕演繹。

對初中歷史課程的教學中，過多地追求考試成績，對學生進行填鴨式教學，長此以往，往往使得本就處于叛逆期的中學生產生逆反心理，從而對歷史課程的學習喪失興趣，認為歷史課只能用來考分數。導致的嚴重后果是，學生死記硬背歷史知識，來應付期末考試，這樣不僅抹殺了歷史的有用性，更不利于學生將來的全面發展，有道是不讀史不能明智。

本文認為逆向思維能力的培養，恰恰是解決當前初中歷史教學中這一癥結的藥方，配合各項思維能力的訓練，從而發掘出一條適合中學生正確學習歷史課程的途徑和方法。

一、何為逆向思維

逆向思維能力，即是一種與常規思維方式相左的思維模式，也常被稱之為反向思維，常言道：“倒過來思考”說的就是逆向思考的方式。作為一種求異思維，對于習以為常的結論、或者常識反過來思考的一場逆向思維方法，“反其道而行之”。

對于中學生而言，讓思維朝向對立面發展，從知識的另一面進行鍥而不舍地探索，從而樹立新的認知。

舉一個最簡單的例子，歷史課本中的“司馬光砸缸”，順向思維的方式是先從水缸救人，然而司馬光卻另辟它徑，使用逆向思維的方法，果斷的用石頭打破大瓷缸，從而就出水缸中的同學。

上述實例，便是采用逆向思維處理問題的方式，通過這種思考方式的不斷訓練，使得中學生輕松掌握一種新的學習技巧，同時也可以練就多維度認知歷史、判斷當前、預知未來的能力。

二、如何培養逆向思維能力

歷史教學的最根本目標是，使每一位中學生在成長階段獲得對歷史知識的深刻認知，培養他們對歷史、對當下、對未來的把握能力。這就要求教師的教學過程，多強調知識形成的過程，減少對結果的關注，避免使學生陷入死學的漩渦。

對于逆向思維能力的培養，在實際教學中，教師首先要擅長啟發式授課，徐徐引導學生在課堂上多思考、多質疑，用疑問來啟發新知。

比如，在母系氏族公社中，緣何是女性在生產和生活中占據著無比重要的位置，男性則處于附庸位置？再比如，為何有的國家信奉伊斯蘭教，而有的地區信奉基督教，緣起是什么？對于學生們千奇百怪的問題，作為歷史老師，不應該阻止，反而應給予肯定的態度，將學生的問題，集中起來一起討論，引導學生思考，從而培養他們的自學能力和解答問題的能力。

其次，培養學生逆向思考、推理演繹的能力。例如世界第一次世界大戰爆發的原因是什么，這是個從結果刨根溯底追究問題的原因，教師此時應當引導學生順藤摸瓜，層層推理，步步設問，最后尋出戰爭爆發的原因。

可以引導學生首先提出“一戰”的性質是什么，學生根據查詢課本得出結論“帝國主義的非正義掠奪之戰”。隨后，老師循序漸進指引學生進行分析，參戰的雙方是誰，學生再次查詢資料得出，雙方為同盟國與協約國，并得出這是河蚌之爭，是世界兩大帝國主義集團的利益之爭。緊接著，老師會繼續發問，這兩個帝國主義集團是怎樣出現的，學生再次討論、查閱書籍，得出各大帝國主義國家因利益之爭，引發不可調節的矛盾。繼續推導，具體矛盾有哪些，以及形成這些矛盾的原因又是什么，結論是帝國主義國家對世界殖民地的掠奪。追問，掠奪殖民地的原因是什么，推論出是因為帝國主義國家經歷了快速的經濟發展，需要大量廉價的勞動力以及豐富的資源，這又是兩次工業革命的刺激下引起的西方國家的迅速擴張。

歷史事件的發生，往往都是一個系統地、連貫性的過程，這實際上也是一種前后相繼的因果聯系，在歷史授課中，通過引導學生從結論循序漸進地反向找到事件發生的原因，實際上，這也是辯證唯物論和歷史唯物主義基本原理的反推運用，更是逆向思維學習初中歷史的重要方法之一。

在這個“順藤摸瓜”的過程中，教師起到了至關重要的作用，在學生對歷史事件不得其解或了無興趣時，均可采用這種逆向思維和推理的方法，來引導學生對歷史課的學習。

三、逆向思維能力培養的多重思路

除了逆向思維能力，還需要輔以其它的思維方法來配合逆向思維使用。具體說來，首先，需要有懷疑精神，“盡信書不如無書”，在歷史課程的學習中，教師要培養學生的批判精神，對所學要保持懷疑的態度，多問為什么，這是培養逆向思維能力的前提。例如，清末中國處于一個翻天覆地的劇變中，作為兩個時代的銜接階段，歷史課本的講述也許并不能完全解答學生的疑問，如李鴻章的歷史地位是怎樣的，清朝末年為何遭受各帝國主義的瓜分，帶著眾多的疑問，教師引領學生通過上網、或圖書館查閱更多詳盡的資料，最好來自我解答心中疑惑。

在初中歷史課程的教學中，不提倡將歷史故事化，但要鼓勵將歷史形象化，幾千年的歷史，正是由一個個單獨發生的歷史事件串聯而成，在解讀這些歷史事件時，不僅要運用逆向思維能力來理解歷史，也要鼓勵中學生提出自己的看法和理解，提高學習歷史的主觀能動性。

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一、 意識培養——關注數學中的互逆問題。在課堂教學中，除了進行正面的講授外，我們還要去有意識地挖掘教材中蘊含著的豐富的互逆素材，精心設計問題，以打破學生思維中的定勢，增強學生逆向思維的意識。開展“一題多解”訓練，對拓展學生的思維寬度和廣度以及逆向思維能力都有很好的幫助。學生如在教學“商不變性質”后，當學生總結出結論：“被除數和除數同時乘以或除以相同的數，（0除外）商不變。”后，教師可接著提問“如果單單是被除數變化呢？或單單是除數變化呢？”以上提問就是為了打破學生思維的定勢，使學生的思維一直處于順向和逆向的積極活動之中。另外，教師要十分注意中問題設置上進行正導向的變式訓練，如:進行語言敘述的變式訓練，既讓學生根據一句話，不改變意思，只改變敘述的形式，用其他的話表達出來。

這樣，不僅使學生對此知識辨析得更清楚，而且還逐步培養了學生逆向思維的意識。

二、 興趣激發——運用逆向思維解題。我們在應用題的教學中，不只是為了求出一個答案，重要的是得出答案的思考過程，因為正是這個思考過程展示了學生數學思維能力的發展，在應用題的教學中注重逆向思維能力的培養，不僅能使學生加深對應用題的理解，而且能促使思維的發散，用多種方法來解題，獲取問題解決的最佳策略，使其思考過程最優化。在解答數學問題時，如果正面求解感到困難，甚至難以下手時，可以引導學生從反面去考慮，這時往往會很快找到解題思路。當學生有了“峰回路轉、柳暗花明”的瞬間思維火花的閃耀，那一種成功的感覺是學生最可寶貴的。