學(xué)好高等數(shù)學(xué)的幾點(diǎn)建議

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學(xué)好高等數(shù)學(xué)的幾點(diǎn)建議

高等數(shù)學(xué)是一門重要的基礎(chǔ)理論課程，該課程的教學(xué)目標(biāo)是打下掌握和運(yùn)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。與此同時(shí)，高等數(shù)學(xué)還在經(jīng)濟(jì)、管理等科學(xué)領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，所以，它已成為經(jīng)濟(jì)管理類以及其它相關(guān)專業(yè)的一門必修課。

如何學(xué)好該課程，這是學(xué)習(xí)者首先要面對(duì)的問題。數(shù)學(xué)具有很強(qiáng)的抽象性，正是這一點(diǎn)往往成為一些學(xué)習(xí)者從小學(xué)到大學(xué)的心理障礙。有人因?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)學(xué)得不是很好，因此在面對(duì)高等數(shù)學(xué)時(shí)，學(xué)習(xí)起來缺乏自信，不相信自己有能力看懂、學(xué)通這門課程。其實(shí)，在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，的確需要初、高中里的某些數(shù)學(xué)知識(shí)，但需要的這些知識(shí)點(diǎn)基本上都是中學(xué)數(shù)學(xué)里最基礎(chǔ)的。因此，學(xué)習(xí)者在這方面不必有過多的顧慮，而是應(yīng)該樹立信心，以百分之百的自信，把主要精力轉(zhuǎn)移到如何利用有效的手段和方法學(xué)好這門基礎(chǔ)課上。

學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，顧然有一部分原因是為了考試，除此以外，學(xué)習(xí)者還應(yīng)清楚，高等數(shù)學(xué)的幾百個(gè)公式和定理在工程技術(shù)中應(yīng)用不到百分之幾，可是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)出來的嚴(yán)密的邏輯思維形式、思維方法對(duì)我們的影響卻是深遠(yuǎn)而無處不在的。通過該課程的深入學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)習(xí)者用數(shù)學(xué)的思維方式觀察周圍的事物，提高分析實(shí)際問題，解決實(shí)際問題的能力。所以說，學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，不僅僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的知識(shí)，還在于培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的知識(shí)、數(shù)學(xué)的方法和數(shù)學(xué)的技巧去觀察、分析、解決實(shí)際問題的能力。

下面就如何學(xué)好高等數(shù)學(xué)談以下幾點(diǎn)建議。

一、學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，首先要理解知識(shí)間的必然聯(lián)系，在頭腦中形成一個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。《高等數(shù)學(xué)》(一)微積分教材共有八章，涉及極限、微分、積分、級(jí)數(shù)、微分方程等方方面面的知識(shí)，需要理解、記憶、掌握、熟練運(yùn)用大量的定理與公式。這就要求學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)的過程中，理清思路，弄清整本教材的脈絡(luò)。

該課程的核心是微積分，圍繞這一核心，需要了解作為微積分研究對(duì)象的一元函數(shù)和多元函數(shù)的概念。極限理論和方法是微積分建立，無窮級(jí)數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，因而極限論成為重要的基礎(chǔ)內(nèi)容。而微分方程則是微積分的一個(gè)應(yīng)用，它與微積分有著密切的聯(lián)系。從這些方面來看，雖然函數(shù)、極限、微分、積分、無窮級(jí)數(shù)、微分方程各自有各自的特點(diǎn)，但它們又是一個(gè)密不可分的整體。為此，在學(xué)習(xí)的過程中，應(yīng)該掌握好每一塊內(nèi)容的重點(diǎn)和要點(diǎn)，由點(diǎn)帶動(dòng)面的學(xué)習(xí)，由局部帶動(dòng)整體的理解。

二、學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，注意多歸納、勤總結(jié)。歸納總結(jié)能幫助學(xué)習(xí)者將一些比較分散的知識(shí)集中起來，做到對(duì)某一方面的知識(shí)有一個(gè)全面、深入的了解，這樣在解決問題時(shí)，頭腦中會(huì)形成更多的思路，找到更多的解題方法。

下面是對(duì)極限求法的一個(gè)歸納總結(jié)，以此說明歸納總結(jié)的重要性，同時(shí)也希望能對(duì)學(xué)習(xí)者起到一個(gè)拋磚引玉的作用。

求數(shù)列或函數(shù)極限，是高等數(shù)學(xué)里的一類基礎(chǔ)而重要的問題。常見的求法歸納起來有如下幾種：

1．先估計(jì)數(shù)列或函數(shù)的極限值，而后利用定義進(jìn)行驗(yàn)證，這是求極限的最基本的方法，可用于求一些簡單的極限。

2．利用有限個(gè)函數(shù)的和、差、積、商以及復(fù)合函數(shù)求極限的運(yùn)算法則求極限，可以使一些復(fù)雜的極限計(jì)算問題得到簡化。

3．利用無窮小的性質(zhì)求極限。這主要包括：①有限個(gè)無窮小的和(差、積)仍是無窮小。②有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小。③非零無窮小與無窮大互為倒數(shù)。④等價(jià)無窮小代換。當(dāng)求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子與分母都可用等價(jià)無窮小代替。正因?yàn)榈葍r(jià)無窮小的這一性質(zhì)，所以在求極限時(shí)，可以簡化計(jì)算，減少運(yùn)算量，快速地解決問題，起到事半功倍的效果。要用好此性質(zhì)，當(dāng)然需要適當(dāng)掌握一些等價(jià)的無窮小量。

4．兩個(gè)重要極限及其推廣形式(這里f(x)為一自變量同一變化過程中的無窮小量)。

5．利用準(zhǔn)則I(兩邊夾法則)和準(zhǔn)則Ⅱ(單調(diào)有界數(shù)列必有極限)求極限。

6．利用洛必達(dá)法則求0/0型，(無窮)/（無窮）型，0，無窮，無窮-無窮，0的0次方，1的無窮次方，無窮的0次方型函數(shù)極限。

需要說明的是，求函數(shù)極限的方法很多，到底用哪一種方法簡單，這需要具體問題具體分析。有時(shí)對(duì)一個(gè)問題，我們需要兩種或兩種以上的方法才能簡便、快捷地計(jì)算出結(jié)果。同時(shí)運(yùn)用洛必達(dá)法則和等價(jià)無窮小代換，可以大大減少計(jì)算量，同時(shí)也減少了出錯(cuò)的可能。

三、學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，注意自始至終要做到學(xué)習(xí)與思考相結(jié)合。整個(gè)學(xué)習(xí)的過程就是思考的過程。我們?cè)谥袑W(xué)就知道，“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”的道理。這句話提醒我們只有把學(xué)習(xí)與思考結(jié)合起來，才能不斷發(fā)現(xiàn)問題，有所收獲。遇到一些典型問題要多加考慮，追根溯源，這樣不管問題如何變化，都能做到游刃有余。

對(duì)于有些函數(shù)在高等數(shù)學(xué)里被稱為變上、下限的積分函數(shù)。這類函數(shù)在極限問題和微分問題中是常見的，由于該函數(shù)較為抽象，學(xué)習(xí)和理解起來難度相對(duì)來說大一點(diǎn)。教材中已給出當(dāng)積分上限為變量x時(shí)，有公式，我們可以進(jìn)一步考慮到當(dāng)積分下限為變量x時(shí)，應(yīng)該有對(duì)應(yīng)的公式成立。再往深處思考，我們還能想到當(dāng)積分上限為變量x的函數(shù)b(x)，積分下限為變量x的函數(shù)a(x)時(shí)，應(yīng)該有更相對(duì)應(yīng)的公式成立。通過思考若能掌握這些要點(diǎn)，那么再次遇到有關(guān)變上、下限的積分函數(shù)的問題，都可輕松解決了。

四、學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，還要多加注意問題與問題之間的聯(lián)系，做到自覺靈活地分析和解決問題。

對(duì)于1/x的不定積分，其一個(gè)原函數(shù)為lnx，這是一個(gè)大家都很熟悉的公式，再有我們還熟知f(x)導(dǎo)數(shù)的不定積分=f(x)+c。如果將這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來，便可組成一個(gè)求解不定積分的問題。解決不定積分的根本出路是用公式積分，教材中列出了13個(gè)基本積分公式。但直接套用公式的積分問題是很少的。我們所遇到的大多數(shù)問題與積分表中所列公式存在差異，因此求解不定積分的基本方向是改變被積分的形式，從而達(dá)到能夠運(yùn)用基本積分公式的目的。于是教材中列出了三種常用的基本積分法。一是直接積分法；二是換元積分法，具體地又分為第一換元法(又稱為湊微分法)和第二換元法；三是分部積分法。積分時(shí)選用哪一種方法，這就要根據(jù)題目的特點(diǎn)來定，當(dāng)然學(xué)習(xí)者平時(shí)的經(jīng)驗(yàn)積累與敏銳的觀察力也是必不可少的。就此例來說，被積函數(shù)中含有1/x和lnx，聯(lián)系它們之間的關(guān)系，我們可選用換元法中的湊微分法，將(1/x)dx寫成d(lnx)，此類問題即可迎刃而解。

五、學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，日常練習(xí)是必不可少的。通過練習(xí)，一方面可以回顧、鞏固所學(xué)知識(shí)，另一方面還可以總結(jié)解題的關(guān)鍵和思路。但做練習(xí)也要適度，不必沿襲中學(xué)的題海戰(zhàn)術(shù)，練習(xí)時(shí)盡量找有代表性，少而精的題目。

比如，分段函數(shù)是高等數(shù)學(xué)里一類基礎(chǔ)卻重要的函數(shù)為例。所謂分段函數(shù)是指在自變量的不同變化范圍中，對(duì)應(yīng)法則用不同式子來表示的一個(gè)函數(shù)。分段函數(shù)的定義雖然簡單，但我們可以利用它聯(lián)系起來起很多知識(shí)。

如已知一分段函數(shù),求:①函數(shù)的定義域；②f(1)，f(0)，f(-3/2)，f(1/2)；③研究函數(shù)在間斷點(diǎn)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性；④求積分f(x)在某個(gè)范圍的定積分。

通過練習(xí)此題的①②④，可以幫助我們深入理解分段函數(shù)的定義。對(duì)于③的求解，需要用到左、右連續(xù)和左、右導(dǎo)數(shù)的定義以及函數(shù)在某一點(diǎn)處連續(xù)和可導(dǎo)的充要條件。更多地，我們從中還可找出函數(shù)極限存在、連續(xù)與可導(dǎo)之間的密切關(guān)系。可謂是一舉多得。

六、學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，講究循序漸進(jìn)，不可急于求成。這是因?yàn)槿魏沃R(shí)的學(xué)習(xí)都需要一定的消化過程，高等數(shù)學(xué)更是如此。學(xué)習(xí)者應(yīng)根據(jù)自己的實(shí)際能力選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)進(jìn)度。不要一味地追求速度，而忽略了學(xué)習(xí)的效果，也不要因?yàn)槟骋环矫娴膯栴}不能解決而放棄學(xué)習(xí)或停止不前。最好的學(xué)習(xí)方法是邊學(xué)習(xí)邊復(fù)習(xí)。不斷地學(xué)習(xí)能幫助我們吸收新的知識(shí)，而有計(jì)劃的復(fù)習(xí)能鞏固知識(shí)，深化知識(shí)，達(dá)到對(duì)知識(shí)的深入理解。在學(xué)習(xí)過程中遇到各種各樣的問題是在所難免的，如果實(shí)在不能掌握該問題，建議大家不妨?xí)簳r(shí)把問題分成一系列小的問題，然后去復(fù)習(xí)、回顧那些與此相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，采取各個(gè)擊破的方法排疑解難，直到最終解決該問題。比如說，在微分學(xué)一章中，以求多元抽象復(fù)合函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)最為困難。為了克服這一難關(guān)，學(xué)習(xí)者最好先打牢有關(guān)的基礎(chǔ)，如：什么是多元函數(shù)？復(fù)合函數(shù)以及多元復(fù)合函數(shù)的含義是什么？什么樣的函數(shù)為抽象函數(shù)？怎樣正確做出多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)鏈？如何理解多元抽象復(fù)合函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)？解決好這些問題，會(huì)對(duì)我們掌握好多元抽象復(fù)合函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)起到關(guān)鍵的作用。