極限思想的辯證思考以及詮釋

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微積分是研究客觀世界運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的一門(mén)學(xué)科，我們引入極限概念對(duì)客觀世界運(yùn)動(dòng)過(guò)程加以描述，用極限方法建立其數(shù)量關(guān)系并研究其運(yùn)動(dòng)結(jié)果。極限理論是微積分學(xué)的基礎(chǔ)理論，貫穿整個(gè)微積分學(xué)。要學(xué)好微積分，必須認(rèn)識(shí)和理解極限理論，而把握極限理論的前提，首先要認(rèn)識(shí)極限思想。極限思想蘊(yùn)涵著豐富的辯證思想，是變與不變、過(guò)程與結(jié)果、有限與無(wú)限、近似與精確、量變與質(zhì)變以及否定與肯定的對(duì)立統(tǒng)一。

1極限思想與辯證哲學(xué)的聯(lián)系。

1.1極限思想是變與不變的對(duì)立統(tǒng)一。

“變”與“不變”反映了客觀事物運(yùn)動(dòng)變化與相對(duì)靜止兩種不同狀態(tài)，不變是相對(duì)的，變是絕對(duì)的，但它們?cè)谝欢l件下又可相互轉(zhuǎn)化。例如，平面內(nèi)一條曲線C上某一點(diǎn)P的切線斜率為kp。除P點(diǎn)外曲線上點(diǎn)的斜率k是變量，kp是不變量，曲線上不同的點(diǎn)對(duì)應(yīng)不同的斜率K，斜率k不可能等于kp，k與kp是變與不變的對(duì)立關(guān)系；同時(shí)，它們之間也體現(xiàn)了一種相互聯(lián)系相互依賴的關(guān)系。當(dāng)曲線上的點(diǎn)無(wú)限接近P點(diǎn)過(guò)程中，斜率k無(wú)限接近kp，變化的量向不變的量逐漸接近。當(dāng)無(wú)限接近的結(jié)果產(chǎn)生質(zhì)的飛躍時(shí)，變量轉(zhuǎn)化為不變量，即“變”而“不變”，這體現(xiàn)了變與不變的統(tǒng)一關(guān)系。

1.2極限思想是過(guò)程與結(jié)果的對(duì)立統(tǒng)一。

過(guò)程和結(jié)果在哲學(xué)上是辯證統(tǒng)一的關(guān)系，在極限思想中也充分體現(xiàn)了結(jié)果與過(guò)程的對(duì)立統(tǒng)一。在上例中，當(dāng)曲線上的點(diǎn)無(wú)限接近點(diǎn)P的變化過(guò)程中，k是變化過(guò)程，kp是變化結(jié)果。一方面，無(wú)論曲線上點(diǎn)多么接近點(diǎn)P，都不能與點(diǎn)P重合，同樣曲線上變化點(diǎn)的斜率k也不等于kp，這體現(xiàn)了過(guò)程與結(jié)果的對(duì)立性；另一方面，隨著無(wú)限接近過(guò)程的進(jìn)行，斜率k越來(lái)越接近kp，二者之間有緊密的聯(lián)系，無(wú)限接近的變化結(jié)果使得斜率k轉(zhuǎn)化為kp，這體現(xiàn)了過(guò)程與結(jié)果的統(tǒng)一性。所以，通過(guò)研究曲線上點(diǎn)斜率k的變化過(guò)程得到P點(diǎn)的斜率kp就是過(guò)程與結(jié)果的對(duì)立統(tǒng)一。

1.3極限思想是有限與無(wú)限的對(duì)立統(tǒng)一。

在辨證法中，有限與極限是對(duì)立統(tǒng)一的。無(wú)限與有限有本質(zhì)的不同，但二者又有聯(lián)系，無(wú)限是有限的發(fā)展，同時(shí)借助極限法，從有限認(rèn)識(shí)無(wú)限。例如，在極限式limn→∞xn=a中xn對(duì)應(yīng)數(shù)列中的每一項(xiàng)，這些不同的數(shù)值xn既有相對(duì)靜止性，又有絕對(duì)的運(yùn)動(dòng)性。數(shù)列中的每一項(xiàng)xn和a都是確定不變的量，是有限數(shù)；隨著n無(wú)限增大，有限數(shù)xn向a無(wú)限接進(jìn)，正是這些有限數(shù)xn的無(wú)限變化，體現(xiàn)了無(wú)限運(yùn)動(dòng)的變化過(guò)程，這種無(wú)限運(yùn)動(dòng)變化結(jié)果是數(shù)值。因此在極限思想中無(wú)限是有限的發(fā)展，有限是無(wú)限的結(jié)果，他們既是對(duì)立又是統(tǒng)一的。

1.4極限思想是近似與精確的對(duì)立統(tǒng)一。

近似與精確是對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系，在一定條件下可相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化是理解數(shù)學(xué)運(yùn)算的重要方法。

在極限抽象的概念中，引入實(shí)例如“圓內(nèi)接正多邊形面積”，其內(nèi)結(jié)多邊形面積是該圓面積的近似值，當(dāng)多邊形的邊數(shù)無(wú)限增大時(shí)，內(nèi)結(jié)多變形面積無(wú)限接近圓面積，取極限后就可得到圓面積的精確值，這就是借助極限法，從近似認(rèn)識(shí)精確。又如在極限式limn→∞xn=a中，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)x1，x2，…，xn反映變量xn無(wú)限的變化過(guò)程，而a反映了變量xn無(wú)限變化的結(jié)果，每個(gè)xn都是a的近似值，并且當(dāng)n越大，精確度越高；當(dāng)n趨于無(wú)窮時(shí)，近似值xn轉(zhuǎn)化為精確值a。雖然近似與精確是兩個(gè)性質(zhì)不同、完全對(duì)立的概念，但是通過(guò)極限法，建立兩者之間的聯(lián)系，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。因此近似與精確既是對(duì)立又是統(tǒng)一的。

1.5極限思想是量變與質(zhì)變的對(duì)立統(tǒng)一。

在唯物辨證法中，任何事物都具有質(zhì)和量?jī)蓚€(gè)方面，都是質(zhì)和量的統(tǒng)一體。質(zhì)是指事物成為它自身并區(qū)別于其他事物的內(nèi)在規(guī)定性，量是指事物存在的規(guī)模、發(fā)展程度和速度，以及它的構(gòu)成成分在空間上的排列組合等可以用數(shù)量來(lái)表示的規(guī)定性。量變和質(zhì)變既有區(qū)別又有聯(lián)系，兩者之間有著辯證關(guān)系。量變是質(zhì)變的準(zhǔn)備，量的變化達(dá)到一定的度，就不可避免地引起質(zhì)變，只有質(zhì)的變化才是事物根本性質(zhì)的變化，量變質(zhì)變規(guī)律在數(shù)學(xué)研究工作中起重要作用。對(duì)任何一個(gè)單位圓的內(nèi)接正多邊形，事物的質(zhì)是圓的內(nèi)接多邊形，量是內(nèi)接多邊形的邊數(shù)，當(dāng)邊數(shù)無(wú)限增加，得到的仍是圓內(nèi)接正多邊形，是量變，不是質(zhì)變，量變體現(xiàn)事物發(fā)展的連續(xù)性，在事物量變過(guò)程中，保持事物本身質(zhì)的穩(wěn)定性。但當(dāng)邊數(shù)增加的無(wú)限過(guò)程中，由于量的動(dòng)態(tài)變化，多邊形越來(lái)越接近圓，為質(zhì)變創(chuàng)造條件，多邊形面積就變轉(zhuǎn)化為圓面積，促進(jìn)量質(zhì)轉(zhuǎn)化，達(dá)到矛盾統(tǒng)一。

1.6極限思想是否定與肯定的對(duì)立統(tǒng)一。

任何事物的內(nèi)部都包含著肯定因素和否定因素，都是肯定方面和否定方面的對(duì)立統(tǒng)一。單位圓和它的內(nèi)接正多邊形分別是兩個(gè)事物的對(duì)立面，內(nèi)接正多邊形是事物對(duì)自身的肯定，其中也包含著否定，這種內(nèi)在的否定因素是通過(guò)圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的改變而體現(xiàn)的。隨著圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)逐漸增加至無(wú)窮時(shí)，內(nèi)接多邊形的面積轉(zhuǎn)化為該單位圓的面積，促使該事物轉(zhuǎn)化為自己的對(duì)立面，由肯定達(dá)到自身的否定，這體現(xiàn)了否定與肯定的對(duì)立；圓的內(nèi)接正多邊形和圓雖是兩個(gè)對(duì)立的事物，但是二者之間有緊密的聯(lián)系，圓內(nèi)接正多邊形的面積可以轉(zhuǎn)化為圓的面積，而單位圓是通過(guò)逐步增加內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，從而建立了這二者的聯(lián)系，體現(xiàn)了否定與肯定的統(tǒng)一。

2極限思想與辨證哲學(xué)的研究意義。

在唯物辯證法中，客觀事物之間相互影響、相互制約和相互作用的關(guān)系無(wú)處不在，即使是性質(zhì)完全不同、矛盾對(duì)立的兩個(gè)事物，也都有其相互聯(lián)系的一面。所以，在微積分的學(xué)習(xí)過(guò)程中，不容忽視唯物辯證法普遍聯(lián)系思想的滲透。辯證思維在數(shù)學(xué)思維中的滲透和理解，其實(shí)質(zhì)就是按照唯物辯證法的原則，在聯(lián)系和發(fā)展中把握認(rèn)識(shí)對(duì)象，在對(duì)立統(tǒng)一中認(rèn)識(shí)事物。通過(guò)上述分析，極限思想貫穿唯物辨證哲學(xué)的范疇，它揭示了變與不變、過(guò)程與結(jié)果、有限與無(wú)限、近似與精確、量變與質(zhì)變的對(duì)立統(tǒng)一[4]。我們?cè)诶斫鈽O限思想時(shí)必須把單一、封閉、靜態(tài)的形式邏輯思維提高到多維、開(kāi)放、動(dòng)靜態(tài)相結(jié)合的辯證邏輯思維。數(shù)學(xué)思維與哲學(xué)思想的融合是學(xué)好數(shù)學(xué)的高層次要求，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維中的哲學(xué)思想和在哲學(xué)思想的指導(dǎo)下進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、理解數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要方法和手段。