弧齒錐齒輪齒面數(shù)學(xué)建模研究

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摘要:弧齒錐齒輪的精確3D幾何模型是虛擬裝配、接觸性能分析和精密測(cè)試的基礎(chǔ)。由于弧齒錐齒輪齒面屬于復(fù)雜曲面，形狀和結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，當(dāng)今的齒面成型技術(shù)還不成熟，以至于齒面無法精確成型。為提高齒面成形精度，研究一種快速精確的齒面成形方法。以齒輪嚙合原理為理論依據(jù)，MATLAB為主要運(yùn)算工具，精確輸出齒面點(diǎn)三維坐標(biāo);采用3D建模軟件SolidWorks進(jìn)行三維建模。結(jié)果表明:該方法可以提高齒輪齒面的精度。

關(guān)鍵詞:弧齒錐齒輪;齒面成形;建模

弧齒錐齒輪正朝著高速、重載和輕量化的方向發(fā)展。長期以來，可用于螺旋錐齒輪的齒面類型受到限制，并且型號(hào)很少。齒輪齒面的形狀取決于所用機(jī)床刀具的形狀，嚴(yán)重影響了工業(yè)設(shè)備的進(jìn)一步發(fā)展應(yīng)用［1］。目前可查到的文獻(xiàn)，主要通過分析齒面的幾何設(shè)計(jì)、加工制造及接觸，實(shí)現(xiàn)齒面優(yōu)化，提高齒面的承載能力。但尚未查到關(guān)于提高齒輪傳動(dòng)性能的研究。弧齒錐齒輪的嚙合過程和齒面形狀極為復(fù)雜，因此其建模過程異常困難。該方法和一般齒輪的共軛曲面成形理論不同，它以齒輪的嚙合理論為基礎(chǔ)，運(yùn)用MATLAB作為運(yùn)算輔助工具，利用三維軟件Solid-Works進(jìn)行三維繪制，以研究一種快速精確的齒輪齒面設(shè)計(jì)方法。該方法的研究有利于推進(jìn)弧齒錐齒輪制造工藝的發(fā)展和進(jìn)行齒輪有限元分析［2］。

1齒面成形機(jī)制

1.1齒輪的嚙合方程

2個(gè)齒輪相互嚙合傳動(dòng)的基本要求是齒輪2個(gè)相互接觸的齒面必須相切于空間的某一點(diǎn)，如圖1所示。分別設(shè)置S1和S2為齒輪相互嚙合的2個(gè)齒面，且相切于點(diǎn)M，無論2個(gè)齒面如何運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M都在2個(gè)運(yùn)動(dòng)曲面上。這2個(gè)齒面S1和S2上分別有坐標(biāo)系σ1和σ2，并隨著齒面的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)。在曲面S1和S2上分別設(shè)置徑向矢量r1和r2、法向矢量n1和n2，設(shè)置O1和O2分別為坐標(biāo)系σ1和σ2的原點(diǎn)，則由O1到O2徑向矢量m=O1O2［3］。根據(jù)齒輪的嚙合原理，切點(diǎn)M處的2個(gè)曲面必須滿足接觸并且相切的要求，則有如下方程組當(dāng)齒輪的2個(gè)接觸齒面在點(diǎn)M處接觸時(shí)，條件是上述方程組中的第1個(gè)公式;當(dāng)2個(gè)齒面在點(diǎn)M處相切時(shí)，條件是上述方程組中的第2個(gè)公式［4］。齒輪在旋轉(zhuǎn)過程中要達(dá)到嚙合狀態(tài)，必須滿足方程組(1)。采用相對(duì)微分的方法，對(duì)接觸點(diǎn)的曲率、速度進(jìn)行轉(zhuǎn)換，在齒面嚙合接觸的位置，還需要滿足以下條件:v12·n=0(2)該方程的物理含義:2個(gè)運(yùn)動(dòng)表面的法向子速度必須相等，以確保2個(gè)運(yùn)動(dòng)表面連續(xù)嚙合。否則，這2個(gè)表面將在下一刻分離或彼此嵌入，但這是不被允許的［5－6］。在弧齒錐齒輪2個(gè)相互接觸嚙合的齒面，無論是線接觸還是點(diǎn)接觸均應(yīng)同時(shí)滿足公式(1)和公式(2)［7］。

1.2齒輪加工坐標(biāo)系的建立

根據(jù)螺旋錐齒輪的嚙合運(yùn)動(dòng)關(guān)系建立坐標(biāo)系，創(chuàng)建機(jī)床坐標(biāo)系Sm、搖臺(tái)坐標(biāo)系Sg、刀盤坐標(biāo)系St、輔助坐標(biāo)系Sn和Sq、工件坐標(biāo)系S1，這些坐標(biāo)系的空間位置關(guān)系如圖2所示［8］。

1.3大輪齒面方程的建立

圖3所示為刀具切削錐面。大輪刀具的切削面(錐面)方程rt和法線方程nt在坐標(biāo)系Ot中表示。其中:“－、+”由加工齒輪的凹凸面決定，凹面為“－”、凸面為“+”［9－10］。經(jīng)過坐標(biāo)變換，大輪切削面方程為r2(up，θp，φp)=M2a·Mam·Mmp·Mpe·re(5)式中:M2a、Mam、Mmp、Mpe為坐標(biāo)變換矩陣。為方便計(jì)算，可以消去一個(gè)參數(shù)up，因此，在固定坐標(biāo)系Sm中建立嚙合方程:vm·nm=0(6)求解式(5)、(6)，則可以消除參數(shù)up，得到大輪齒面方程r(θp，φp)。圖3

2齒面點(diǎn)獲取

選擇一組成對(duì)的弧齒錐齒輪，具體參數(shù)如表1所示，并以此齒輪為例獲取齒面點(diǎn)。通過齒面方程得到的曲面是一種空間復(fù)雜曲面，對(duì)于整個(gè)齒輪，齒面只是整個(gè)曲面的一部分。因此，有必要確定齒面變量的范圍［11－12］。旋轉(zhuǎn)曲面并將它投影到其軸向滑動(dòng)平面上，再對(duì)軸向滑動(dòng)平面上的投影面進(jìn)行網(wǎng)格劃分，如圖4所示。將投影平面離散化以獲得一組用于齒側(cè)面的三維坐標(biāo)方程，即軸截面上的投影齒側(cè)面點(diǎn)的坐標(biāo)值;建立齒面與軸截面點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系;根據(jù)函數(shù)得到齒面離散點(diǎn)的坐標(biāo)［13］。獲取齒面點(diǎn)的具體流程如圖5所示。根據(jù)以上理論公式和流程，編寫MATLAB程序，求出齒輪基本參數(shù)、齒面方程，輸出一個(gè)齒輪凸面，具有5×9=45個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，得到這些點(diǎn)在大輪凸面上的離散坐標(biāo)值［14－15］。表2為部分齒面點(diǎn)三維坐標(biāo)。

3齒面成形

文中使用MATLAB作為計(jì)算工具獲取的齒面點(diǎn)，求解齒輪的齒面方程和齒面點(diǎn)的坐標(biāo)值，并計(jì)算其3D坐標(biāo)值。通過編制的程序?qū)С鳊X面離散點(diǎn)的坐標(biāo)，并以SolidWorks可識(shí)別的文件格式保存［16－17］。該程序的一部分如下所示:將通過MATLAB獲得的45個(gè)齒面點(diǎn)分成5組，并分別保存為．txt格式，導(dǎo)入到SolidWorks中以形成大輪凸面曲線，如圖6所示。再將曲線通過放樣曲面、縫合、延伸命令生成凸面，用同樣的方法生成齒面凹面并將它導(dǎo)入Solid-Works中，如圖7所示。根據(jù)螺旋錐齒輪輪坯的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，確定齒輪輪坯的基本參數(shù)和修改參數(shù)，完成輪坯的設(shè)計(jì)。將凹凸面進(jìn)行放樣切割，得到如圖8所示的齒槽，然后再進(jìn)行環(huán)形陣列，得到如圖9所示的齒輪，至此完成弧齒錐齒輪大輪的精確建模。

4總結(jié)

螺旋錐齒輪的齒面非常復(fù)雜，而3D模型構(gòu)建的準(zhǔn)確性直接影響后續(xù)性能分析的準(zhǔn)確性。本文作者研究了一種高速精確建模方法，以齒輪嚙合原理為理論基礎(chǔ)，MATLAB作為運(yùn)算工具，提高了齒輪齒面的精度，為弧齒錐齒輪的加工提供參考，也可以為圓弧齒廓齒面的研究提供模型參照。在獲得完整齒廓表面模型的基礎(chǔ)上，可以提高齒輪壽命和傳動(dòng)效率，為研究和討論各種應(yīng)用技術(shù)提供參考。

作者：田國富 趙繼寧 單位：沈陽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院