略論求極限的教學方法

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摘要通過民辦本科院校高等數學求極限的教學，培養學生的學習信心，學習興趣，學習能力，激發學生自主學習的愿望，培養學生透過現象看本質的意識。

民辦本科院校是我國較為年輕的一支教育教學力量，由于受到諸多方面的限制和影響，生源大多是基礎相對薄弱，學習愿望相對不高，學習動力不足的學生群體。如何教好這類學生，經驗豐富的重點大學教授（兼職或退休后受聘于民辦院校）也一籌莫展，剛畢業的碩士、博士生老師更是哀其不爭，怒其無用。如何才能使這群家庭條件相對好，生活相對豐裕的學生用心學習，為學習專業課或開發學習能力奠定良好的基礎，帶著這樣的認識筆者開始嘗試下面的教學方法：

1利用學生中學已經熟練掌握的初等數學公式求極限，培養學生的自信心

（1）計算

解：∵2+4+6+…+2n==(n+1)n（等差數列前項和公式）

∴==1

（2）計算

解：分析本題分子，分母都符合等式數列前n項和的公式。

1+（）2+…+（）n=

1++（）2+…+（）n=

這兩個題目讓學生嘗試到中學基礎知識在高等數學求極限中的重要性，同時學習難度不大，很容易激發學生的求知欲望和自信心，有利于培養學生的求知欲，找到學習的成就感，找到學習的樂趣，點燃學習激情。

2例題講解后布置的思考題：

①設f(x)=31-x，求{f2(1)+f2(2)+…+f2(n)}

②計算{}

留給學生5分鐘左右的思考時間，通過課間巡查，觀察有思路的學生，讓有思路的學生大膽發言或上堂演算，鼓勵其表現，與學生建立良好互動的平臺，教學信任度的建立，有利于教學工作的開展，教學效果趨于良好。

思考題①的解答即：

∵f(x)=31-x

∴f2(1)=(31-1)2=1，f2(2)=(31-2)2=（）2，f2(3)=(31-3)2=()2

…………（類推），f2(n)=(31-n)2=()2

∴{f2(1)+f2(2)+…+f2(n)}

={1+()2+()2+…+()2}==

2利用兩個重要極限及變量代換求極限，培養學生觀察問題，分析問題，解決問題的能力

（3）計算=

解：分析當x→0時,分子n-1,分母x都是以0為極限

可設=u，則1+x=un

即x=un-1，∴當x→0時，u→1

∴==

===1

（4）計算()x+1

解法一：令x+1=u，當x→∞時，u→∞

∴原式=()u=(1+)u=e

解法二：原式=()x·()1=·1==e。教育學生深刻理解(1+)x=e公式及變量替換的方法可以培養學生的新思維。

3利用極限存在的準則求極限

（5）求(4n+3n+2n)

解：∵4n＜4n+3n+2n＜3·4n

∴4＜(4n+3n+2n)＜·4（夾逼準則的應用）

而=1∴(4n+3n+2n)=4

教育學生通過有效的放縮法，利用極限存在的準則有利于極限的求解，培養學生在今后的學習，工作中能夠利用有效放縮的變通思想解決實際問題。

4利用函數的連續性求極限，培養學生解決復雜問題及因勢利導的能力

（6）設yn=b，求(1+)n

解：因為指數函數是連續函數

∴（函數運算和極限運算可交替進行）

5利用冪指函數的公式求極限

（7）計算(1+sinx)

解：(1+sinx)=eln(1+sinx)（冪指函數改寫指數形式）

=（利用連續函數求極限的性質）==e

6利用羅必答法則求極限

（8）計算解：

（9）若f''''''''(a)存在，求

解：====2f''''''''(a)-f''''''''(a)=2f''''''''(a)

培養學生掌握羅必達法則的條件及應用，解決冪指函數及抽象函數求極限的方法。

7綜合分析題

（10）計算(++…+)

解：設Sn=+++…+

2Sn=1++++…+

2Sn-Sn=1+(-)+(-)+…+(-)-=2+++…+-

∴Sn=2+(++…+)-

又∵=(++…+)=1=0

∴Sn=3

此題著重培養學生解決復雜問題的能力，本題分子呈等差數列，而分母呈等比數列，若要求此極限，必須先求前n項和，然后再求極限，利用2Sn-Sn的方法可將它變成只含有等式數列的前n項，這樣有利于求極限。

總之，通過對極限的教學培養學生的自信心，激發學生的求知欲，培養學生觀察問題，分析問題，解決問題的能力，利用極限存在的準則（夾逼準則）培養學生變通的邏輯思維，利用函數的連續性求極限培養學生因勢利導的能力，利用冪指函數的改寫，連續函數求極限的性質：1∞型的結果，告誡學生必須熟練掌握所學知識的重要性；培養學生對抽象函數求極限，求導數的方法。教育教學必須注重教育對象的特質，利用被教育對象的潛質，來開發學生的潛能，培養其學習興趣，達到完成教育教學任務的同時，更主要是讓學生自己認識到學習的樂趣，從而成為學習的主人，變被動學習為主動學習。