幾何學(xué)社會文化根源論文

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【內(nèi)容提要】本文從古希臘獨(dú)特的社會文化形態(tài)作為切入點(diǎn)，探索求解了數(shù)學(xué)思想史上著名的“克萊因問題”，從而破解了希臘證明幾何學(xué)的成因之謎。古希臘社會在從氏族社會向民族社會轉(zhuǎn)軌變形的過程中，爆發(fā)了一場綿延數(shù)世紀(jì)的思想啟蒙運(yùn)動。希臘人從宗教神學(xué)中解放了出來，開始了對世界的理性思考，他們?yōu)榱私鉀Q社會秩序的重組問題，提出了以法治國的政治主張。從此希臘社會走上了法制的軌道。在古典的民主政治和商品經(jīng)濟(jì)形成的同時，古希臘民族也孕育出了一種獨(dú)特的文化形態(tài)——古典的理性文化或科學(xué)文化。希臘幾何學(xué)正是在這種以法律文化為核心、以語言文化為生長點(diǎn)的理性文化中誕生、形成和發(fā)展起來的。希臘哲學(xué)文化則是使公理幾何學(xué)最終定型的關(guān)鍵因素。

【關(guān)鍵詞】希臘幾何學(xué)/法律文化/語言文化/哲學(xué)文化

【正文】

希臘幾何學(xué)是數(shù)學(xué)史上一顆璀璨的明珠。她作為一種科學(xué)研究的范式，直接影響過西方數(shù)學(xué)，乃至整個科學(xué)的發(fā)展。著名數(shù)學(xué)史學(xué)家克萊因在《古今數(shù)學(xué)思想》一書中曾經(jīng)指出過：“希臘人在文明史上首屈一指，在數(shù)學(xué)史上至高無上。”并且他提出了數(shù)學(xué)思想史上非常重要的一個問題，這就是“文明史上的重大問題之一，是探討何以古希臘人有這樣的才氣和創(chuàng)造性。”[1]本文試圖對“克萊因問題”進(jìn)行探索求解，以破解長期困擾著數(shù)學(xué)史研究中的希臘論證幾何學(xué)的成因之謎。反觀“中國古代為什么沒有產(chǎn)生證明幾何學(xué)”也就容易找到答案了。

一

古希臘是一個移民的社會，從開始就沒有像東方民族所具有的以血緣關(guān)系為紐帶的宗法式的社會結(jié)構(gòu)。這種以地緣關(guān)系為基礎(chǔ)的社會共同體，加上希臘所處的獨(dú)特地理位置，為希臘古典的民主政治和商品經(jīng)濟(jì)——希臘城邦制的出現(xiàn)提供了必要的條件。在此基礎(chǔ)上，古希臘社會孕育出了一種獨(dú)特的文化形態(tài)——古典的理性文化或科學(xué)文化。希臘幾何學(xué)正是在這種理性文化中誕生、形成和發(fā)展起來的。

古希臘是法學(xué)的發(fā)源地，法律文化得到了充分的發(fā)展。公元前11世紀(jì)——9世紀(jì)是希臘的荷馬時代，也就是史稱的“英雄時代”。這一時代是希臘社會發(fā)生重大變革的時代，首先表現(xiàn)在希臘人自我意識的覺醒。希臘人開始從宗教神學(xué)中解放出來，以“人為一切事物的尺度”來審視世間的一切。荷馬時代實(shí)質(zhì)上是希臘歷史上的一次思想啟蒙運(yùn)動，是古希臘文明的開端。從此，希臘民族完成了從神秘主義文化向理性主義文化的轉(zhuǎn)變，開創(chuàng)了以法律文化為軸心的科學(xué)文化的歷史進(jìn)程。《荷馬史法》作為調(diào)整社會關(guān)系、重建社會秩序的法典，確立了一種政治民主制：其中包括議事會、人民大會和首長選舉等內(nèi)容。因此可以說，希臘文化的源頭或邏輯起點(diǎn)是《法典》，由此鑄成希臘民族的“法律”意識和“法制”觀念。爾后的德拉古立法，直到公元前594年梭倫立法，最終確立起古希臘的法律體系，推動了希臘民族法律文化的繁榮發(fā)達(dá)。希臘人唯“法”是從，遇事講“理”，依法辦事，他們以“法”的眼光審視社會、審查自然、審理知識，創(chuàng)造出了獨(dú)具特色的古希臘文明。

希臘幾何學(xué)的證明思想導(dǎo)源于法律文化，論證幾何發(fā)凡于梭倫立法時代。希臘的法學(xué)稱“正義學(xué)”。人們在立法的過程中首先遇到的是：“什么是正義？為什么有罪？”等法理問題。其中包括“公理、公設(shè)、前提、條件”等法學(xué)的基礎(chǔ)問題，以及審判過程中的“事實(shí)、理由、證據(jù)、推理”等法學(xué)的邏輯問題。要從根本上弄清楚這些法理問題，人們就必須在思想上進(jìn)行一種“分析”的理性思考。立法者告誡人們：法律是規(guī)則的、普遍的，并對一切人都是相同的；法律所需要的是公平，誠實(shí)與有用；他們欲求為一普遍的規(guī)律對于一切人都是一樣，因?yàn)榉N種理由所有的人都要服從法律。

梭倫當(dāng)權(quán)后，所做的第一件事，同時也是最大的一件事，就是對“法律”制度的改革。他認(rèn)為，無法和內(nèi)亂是人類最大的災(zāi)難，而法律和秩序則是人類最大的幸福。梭倫改革的目標(biāo)是企圖建立一個為新的、舊的勢力都能接受的民主和諧的政治，以保證社會各種勢力的平衡和政治穩(wěn)定。為此，梭倫建立了新的法律，史稱“梭倫”立法。其中最大的舉措是加強(qiáng)了公民大會的權(quán)力，凡年滿20歲的雅典公民均可參加，會議定期舉行。400人組成議會。他創(chuàng)建了宏大的人民法院依利艾阿，總?cè)藬?shù)達(dá)6000人，任何人都可以譴責(zé)執(zhí)政官的無理決定。

公元前6世紀(jì)雅典陪審法院的建立，這不僅標(biāo)志著希臘民主政治的進(jìn)一步完善，而且更為重要的是促進(jìn)了整個希臘學(xué)術(shù)思想的繁榮與發(fā)達(dá)。古希臘的法律文化發(fā)展到一個新的階段。首先是推動了自然法的理論研究。強(qiáng)調(diào)其法律存在的客觀性和同一性，認(rèn)為不同國家和不同時代的法律有其共同的根源和價值目標(biāo)，這就是人的本性和規(guī)律，就是理性，就是正義所綜合的一系列價值目標(biāo)，如自由、平等、秩序等。因此，自然法學(xué)者特別重視探索法律的終極目標(biāo)和客觀基礎(chǔ)。其二，法根源于人的永恒不變的本性：社會性和理性。真正的法律或自然法應(yīng)與之相符，特別是與理性相符合，或者說法是人的理性所發(fā)現(xiàn)的人的規(guī)律和行為準(zhǔn)則，是“理性之光”，它能照亮人前進(jìn)的道路。其三，法的功能和目的在于實(shí)現(xiàn)正義。所謂正義，就是基于公共幸福的合理安排，就是人在社會中“得其所哉”，即享受人應(yīng)該享受的權(quán)力和平等地承擔(dān)義務(wù)，法律面前人人平等。其四，法律作為一種社會的行為準(zhǔn)則能使人們辨是非、知善惡，自然法就是人們不斷追求的終極性的價值目標(biāo)。

生活在梭倫立法時代的泰勒斯，與梭倫同為希臘“七賢”里的人物。他受希臘法律文化（社會立法）的深刻影響，尤其是受自然法理論研究的啟發(fā)，創(chuàng)造性地運(yùn)用法學(xué)的思想和方法為知識“立法”。泰勒斯對經(jīng)驗(yàn)幾何學(xué)知識進(jìn)行了卓有成效的理性研究。作為數(shù)學(xué)思想家的泰勒斯，他突破了以往幾何知識僅僅“是什么”的認(rèn)識水平，將幾何知識提升到了“為什么”的認(rèn)識層次。由此開幾何命題的證明之先河。泰勒斯在進(jìn)行幾何學(xué)研究的過程中，不僅發(fā)現(xiàn)了“任何圓周都要被其直徑平分；等腰三角形的兩底角相等；兩直線相交時，對頂角相等；若已知三角形的一邊和兩鄰角，則此三角形完全確定；半圓周角是直角”等五個幾何命題，而且還從理論上證明了這些命題。[2]

畢達(dá)哥拉斯繼承和發(fā)揚(yáng)了泰勒斯的證明幾何學(xué)，并且將數(shù)學(xué)概念抽象化，進(jìn)一步推動了演繹數(shù)學(xué)的發(fā)展。畢達(dá)哥達(dá)斯的“數(shù)是萬物的本質(zhì)，宇宙的組織在其規(guī)定中通常是數(shù)及其關(guān)系的和諧體系”的數(shù)理宇宙觀對古希臘的數(shù)學(xué)思想產(chǎn)生了極其深刻的影響。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派因發(fā)現(xiàn)“無理數(shù)”（不可公度的量）而引起的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，充分證明了幾何證明的必要性，在一定程度上進(jìn)一步推動了人們對幾何命題的理論證明。

貫穿于希臘古典民主政治、商品經(jīng)濟(jì)和理性文化之中的是希臘的自由精神，這是在世界上其他任何民族都沒有出現(xiàn)的。這種自由精神最終演化為學(xué)術(shù)思想上的自由探索精神。正是這種“百家爭鳴”的希臘研究之風(fēng)，才迎來了“百花齊放”的希臘科學(xué)之春。

二

獨(dú)具特色的希臘語言文化也是希臘理性主義起源的一個重要誘發(fā)因素。最早對語法現(xiàn)象進(jìn)行研究的是希臘人。公元前10世紀(jì)前后，希臘人在閃語字母的基礎(chǔ)上，經(jīng)過一番改造，首次創(chuàng)造了音位文字字母，并且還把閃語文字自右向左的書寫規(guī)則改為自左向右。到公元前775年左右，希臘人把他們用過的各種象形文字書寫系統(tǒng)改換成腓尼基人的拼音字母，建立起了希臘語言文字系統(tǒng)。在此基礎(chǔ)上理論家們開始了為語言“立法”——語法的研究。赫拉克利特指出過：“如果要想理智地說話，那就必須用這個人人共有的東西武裝起來，就像城邦必須用法律武裝起來一樣，而且要武裝得更牢固。”[3]

希臘哲學(xué)、法學(xué)、邏輯學(xué)與希臘語言文字的關(guān)系密切。哲學(xué)中的許多派別的理論觀點(diǎn)時常牽涉到對語言的認(rèn)識。法學(xué)中的論戰(zhàn)、法律條文的制定，也往往涉及到對語言的修辭和準(zhǔn)確的表達(dá)。邏輯學(xué)與語言學(xué)，特別是與語法學(xué)的關(guān)系更是密切相關(guān)。語言是思維的物質(zhì)外殼，是思維的工具。思維要通過語言來表達(dá)，它是否合乎邏輯就成為語言表達(dá)中的一個重要問題。語言家要利用邏輯學(xué)的術(shù)語和方法來研究語言中的結(jié)構(gòu)意義；另一方面，研究邏輯的也往往牽涉到語言的問題。

希臘的語言結(jié)構(gòu)復(fù)雜。希臘語言中的動詞更是變化多端，它有人稱、時、態(tài)、體、式的變化。特別是由系動詞附圖變來的（附圖）一詞，具有多種的語言意義，表現(xiàn)出多種的語法關(guān)系。正是這種奇特的語言現(xiàn)象引起了理論家們的關(guān)注，成為“智者”們思考和研究的對象。

當(dāng)希臘語中使用“附圖”一詞時，就有多種不同的意義。亞里士多德曾經(jīng)指出：“當(dāng)動詞‘是’被用來作為句子中的第三種因素時，會產(chǎn)生兩種肯定命題與否定命題。如在句子中‘人是公正的’中，‘是’這個詞被用作第三種因素，無論你稱它是動詞，還是名詞。”[4]系動詞“附圖”在希臘語中不同凡響，它是人們進(jìn)行言語對話，進(jìn)行思想交流，進(jìn)行陳述和判斷不可缺少的詞語。同時，在人們的語言表達(dá)中最容易產(chǎn)生歧義的也是這個中詞。在“他在這兒”這個句子中，它所表示的是一種物理位置；在“天使是白色的”這個句子中，它表示天使的一種與位置或物理存在無關(guān)的屬性；在“那個人正在跑”這個句子中，這個詞所表示的是動詞的時態(tài)；在“二加二等于四”這個句子中，它的形式被用于表示數(shù)字上的相等；在“人是兩足的能思維的哺乳動物”這個句子中，它的形式被用來斷言兩組之間的等同。

在形式邏輯的主賓式語句中“附圖”是一個典型的多義詞。它可以表示“＝”（等于）、“∈”（隸屬）和“附圖”（包含）三種關(guān)系。例如：(1)“歐幾里得是《幾何原本》的作者”與“《幾何原本》的作者是歐幾里得”，這里的兩個“是”具有可逆性，他們是一種等價的關(guān)系（＝），可解釋成關(guān)系“＝”（等于）。(2)“歐幾里得是古希臘的數(shù)學(xué)家”中的“是”為“∈”（隸屬）。即個體和集合之間的隸屬關(guān)系、層次關(guān)系，因而不可逆。可解釋成關(guān)系“∈”（隸屬）。(3)“數(shù)學(xué)家是科學(xué)家”中的“是”被解釋成關(guān)系“附圖”（包含），即集合與集合之間的包含關(guān)系，一般來說也是不可逆的。科學(xué)家不一定是數(shù)學(xué)家。

正是由于希臘語言中的這種多義詞，也往往容易產(chǎn)生語言思維中的歧義性，由此引發(fā)了語言文化史上的“希臘景觀”——觀念的戰(zhàn)爭。正如科學(xué)哲學(xué)家被波普爾所指出的那樣“觀念的戰(zhàn)爭是希臘人的發(fā)明，它是曾經(jīng)作出的最重要的發(fā)明之一。實(shí)際上用語詞戰(zhàn)爭代替刀劍戰(zhàn)爭的可能性，還是我們文明的基礎(chǔ)。特別是我們文明的一切立法和議會機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)。”[5]

由此可見，當(dāng)我們探索追蹤古希臘論證幾何學(xué)的成因的時候，我們不能不考察獨(dú)特的古希臘語言文化方面的根源。

三

古希臘哲學(xué)——本體論、知識論和邏輯學(xué)是希臘理性文化中的精品。“愛智者”們從深層次的根基問題上開始了對法學(xué)和語言學(xué)中所提出的帶普遍性的諸如“自然規(guī)律”、羅各斯、真理等知識理論問題進(jìn)行理性思考。公元前5世紀(jì)出現(xiàn)的智者運(yùn)動，對希臘哲學(xué)的發(fā)展以及幾何學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了重大的影響。當(dāng)時，雄辯術(shù)(Sophistry)的一個方面或一種類型就是進(jìn)行某種語言審查，稱為反駁論證(Elenchis)，要求把一切行為都置于理性批判和理性推論的基礎(chǔ)之上。希臘論辯術(shù)除了論點(diǎn)和論據(jù)以外，還涉及到邏輯，即語言處理法。“邏輯”這個概念，在古希臘語言文化的使用中有多種含義：發(fā)言、演說、陳述、論證等等。但概括起來講，邏輯一詞主要有三個應(yīng)用領(lǐng)域，它們之間有著潛在的概念上的統(tǒng)一性。首先是語言和語言的領(lǐng)域，包括發(fā)言、演說、描述、陳述、（用語言表達(dá)的）論證等等；其次是思想和思維過程的領(lǐng)域，包括思考、推理、解釋、說明等等；第三是世界，即我們所言說、所思想的對象，包括構(gòu)造原理、公式、自然法則等等。

詞匯、思想和事物之間究竟是一種什么關(guān)系？這成為智者們思考的一個重要問題。一旦人們把這三者區(qū)分開來，同時仍然堅持作為獲得真理和知識的必要條件，三者之間應(yīng)該具有某種一致性，由此人們就面臨著如何最恰當(dāng)?shù)睦斫膺壿嬇c這三者的關(guān)系問題。一個事物的邏輯就是：其一，事物自身的原則、本質(zhì)、顯著標(biāo)志或事物本身的組成部分；其二，我們認(rèn)為它所是的東西；其三，對事物（語言上的）正確描述、說明或定義。這些都提出了是什么的問題。事物的邏輯在第一項(xiàng)下是指事物是什么；在第二項(xiàng)下是指人們認(rèn)為它指的是什么；在第三項(xiàng)下是指人們說它是什么。歸根到底，從最高意義上講，也就是思維和存在的關(guān)系問題。蘇格拉底向人們指出，要解決這個問題，“最好求助于羅各斯，從中考查存在的真理。”

至少有10種含義的希臘字“附圖”成為蘇格拉底時代希臘哲學(xué)發(fā)展的突破口。獨(dú)特的希臘系動詞“是”（附圖）引起了理論家們的注意，成為哲學(xué)家思考和研究的對象，由此而開創(chuàng)了哲學(xué)本體論的研究領(lǐng)域。作為哲學(xué)范疇的“附圖”一詞的哲學(xué)意義為“存在”、“本性”、“有”、“是”。存在與非存在、有與無、是與非等問題的論爭貫穿于希臘哲學(xué)發(fā)展的全過程，特別地成為辯證法的搖籃。三大幾何難題（三等分角、化圓為方、立方倍積）和芝諾四大悖論（實(shí)質(zhì)是運(yùn)動和靜止、有限和無限、連續(xù)和間斷的矛盾性）的出現(xiàn)都是希臘人辯證思維的產(chǎn)物。

蘇格拉底在愛利亞學(xué)派的本體論和芝諾反證法的基礎(chǔ)上，首創(chuàng)“詰問式”的辯證方法，一種“發(fā)明觀念”的矛盾方法，促進(jìn)了對“定義”和“推論”的深化研究。他提出“真正的知識基于普遍的定義”和“歸納的理論”。他以邏輯辯論的方式啟發(fā)思想，揭露矛盾，以辯證思維的方法深入到事物的本質(zhì)。蘇格拉底致力于尋求事物的普遍定義，例如“什么是正義”。他總是以提問的方式揭露對方提出的各種命題、學(xué)說中的各種矛盾，以動搖對方論證的基礎(chǔ)，指明對方的無知。蘇格拉底以此來訓(xùn)練人的邏輯推理能力。

柏拉圖不僅是一位法理學(xué)家，而且是一位極其重要的數(shù)學(xué)思想家。“不懂幾何者不能入內(nèi)”是他教育學(xué)生、訓(xùn)練思維的主要方法。在數(shù)學(xué)教育史上，柏拉圖是第一個提出以幾何學(xué)作為訓(xùn)練和提高人的思維能力的哲學(xué)家和教育家。在數(shù)學(xué)方法論上，柏拉圖是第一個把嚴(yán)密推理法則加以系統(tǒng)化的人。他特別關(guān)心數(shù)學(xué)中的證明問題，關(guān)心推理過程中的方法論。柏拉圖提出數(shù)學(xué)證明應(yīng)以某種假設(shè)作為出發(fā)點(diǎn)，即公理、然后通過一系列邏輯推理，最后達(dá)到所要證明的結(jié)論。他將這種數(shù)學(xué)推演過程概括為“假設(shè)法”。柏拉圖學(xué)派把幾何學(xué)證明方法的發(fā)明推向高潮。他們發(fā)明了幾何證明中的分析法、間接證明中的歸謬法。古希臘從柏拉圖時代起，數(shù)學(xué)上要求根據(jù)一些公認(rèn)的原理作出演繹證明，已經(jīng)成為數(shù)學(xué)研究中的一個準(zhǔn)則。演繹證明是以其正確性已經(jīng)是眾所周知的理論陳述，或者以在一個既定的理論體系中被視為正確的公理為出發(fā)點(diǎn)，并以它們?yōu)楦鶕?jù)，借助于邏輯的最終規(guī)則，構(gòu)成一系列陳述，而這些陳述的最后是可以被論證的命題。每一個相繼產(chǎn)生的陳述必須按照最終規(guī)則從前一個陳述中產(chǎn)生。數(shù)學(xué)中純粹的演繹證明，早已是以相關(guān)理論的廣泛的形式化為前提。

法學(xué)家、哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家歐多克索斯，繼承了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派開創(chuàng)的把幾何學(xué)作為證明的演繹科學(xué)進(jìn)行研究的方向。在同代人，特別是柏拉圖學(xué)派的研究基礎(chǔ)上，初步建立起以公理為依據(jù)的演繹法。歐多克索斯的數(shù)學(xué)思想完全來源于希臘的哲學(xué)文化。希臘字假設(shè)(hypothesis)，其本意為辯論雙方可接受的命題為出發(fā)點(diǎn)，不需證明或證實(shí)的是基本命題。公理(Axioma)原義乃請求，轉(zhuǎn)義為公理，指基礎(chǔ)、研究的出發(fā)點(diǎn)。歐多克索斯總結(jié)出直接證明的演繹推理手法與間接證明的反證法，分析法和綜合法為幾何證明中的主導(dǎo)思想方式。

亞里士多德為古希臘哲學(xué)文化的集大成者。他倡導(dǎo)“第一哲學(xué)”，研究“存在的存在”，作為“是的是”的科學(xué)。他認(rèn)為，思想在推理和證明的過程中的聯(lián)系、邏輯學(xué)定律和規(guī)則，是以存在本身的聯(lián)系為基礎(chǔ)的。亞里士多德的形式邏輯，作為工具論，對希臘證明幾何學(xué)的最終完成，作出了重要貢獻(xiàn)。他在《分析篇》中指出：“我們無論如何都是通過證明獲得知識的，我所謂的證明是指產(chǎn)生科學(xué)知識的三段論。所謂科學(xué)知識，是指只要我們把握了它，就能據(jù)此知道事物的東西。”[4]他在《論題篇》中指出：“推理是一種論證，其中有一些被假設(shè)為前提，另外的判斷則必須由它們發(fā)生。當(dāng)推理由此出發(fā)的前提是真實(shí)的和原初的時……這種推理就是證明的。”[4]亞里士多德明確提出證明三要素：一是有待于證明的結(jié)論；二是公理（公理是證明的基礎(chǔ)）；三是載體性的種及其規(guī)定及依據(jù)自身的屬性由證明揭示。他還認(rèn)為，數(shù)學(xué)是研究形式的，人們通過算術(shù)證明幾何命題。

亞里士多德的邏輯學(xué)是為人們的思維“立法”，它所總結(jié)出來的邏輯規(guī)律（同一律、矛盾律、排中律）為幾何證明提供了一種法度，即有效推理的準(zhǔn)則。數(shù)學(xué)論證必須滿足兩大條件：真前提或出發(fā)點(diǎn)，以及有效的論證。數(shù)學(xué)推理都是根據(jù)矛盾律進(jìn)行的；反證法的依據(jù)是邏輯的排中律。希臘人確信，邏輯是科學(xué)的工具，真理是建立在證明之上的，而且是一種“信念”的源泉。理所當(dāng)然，數(shù)學(xué)體系的建立離不開思維的邏輯工具。

四

公元前300年左右，亞歷山大里亞的數(shù)學(xué)家歐幾里得站在巨人的肩膀上，運(yùn)用亞里士多德形式化的邏輯分析和證明理論，終于建立起一個完備的幾何學(xué)知識體系。他把前人已有的幾何學(xué)知識充分搜集起來并加以系統(tǒng)化，從中抽出那些最簡單、最基本，已被無數(shù)經(jīng)驗(yàn)事實(shí)所一再證實(shí)了的命題，作為不證自明的公理或公設(shè)，再由此出發(fā)，以嚴(yán)格的邏輯演繹方法，循序漸進(jìn)、由簡及繁地引出幾何學(xué)的全部定理，并為之提供了精辟的邏輯證明。《幾何原本》的誕生，標(biāo)志著希臘證明幾何學(xué)的完成和演繹數(shù)學(xué)體系的確立。

在《幾何原本》里，歐幾里得對他以前的和他親自增補(bǔ)的所有幾何問題，作出了嚴(yán)格的邏輯性的敘述。這種敘述是借助于演繹法包含把假定作為基礎(chǔ)的某些不要求證明的定義和真理，而一切進(jìn)一步的原理則用嚴(yán)格的證明作出，這些證明或者是根據(jù)這些真理，或者是根據(jù)由真理得出的原理。歐幾里得倡導(dǎo)的“定義—公設(shè)—公理—命題”四步曲，成為數(shù)學(xué)研究的綱領(lǐng)方法論和數(shù)學(xué)理論最通用的鋪陳方式，以及“已知—求證—證明”的數(shù)學(xué)演算三段論，對后世的數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了極其深遠(yuǎn)的影響。

綜上所述，我們可以得出以下結(jié)論：希臘幾何學(xué)從泰勒斯開始，到歐幾里得完成，其間經(jīng)歷了萌芽、生長、成熟和定型四個階段，歷經(jīng)300余年的發(fā)展。每一個階段的演進(jìn)都受到了希臘理性文化的深刻影響。法律文化中的公理、假設(shè)、理由、證據(jù)等范疇是幾何學(xué)中的公理、公設(shè)、推論、證明的概念根源；語言文化中的希臘系動詞“是”（附圖）獨(dú)特的語法現(xiàn)象，誘發(fā)出了哲學(xué)本體論和知識論的研究，以及邏輯學(xué)中的概念、判斷和推理等思維形式的研究，這些都成為幾何學(xué)中的定義、推論和證明的理論基礎(chǔ)；博大精深、內(nèi)涵豐富的希臘哲學(xué)文化，成為幾何證明方法不斷發(fā)明創(chuàng)造的源泉動力。反過來，公理幾何學(xué)的發(fā)展，給希臘理性文化以影響，使之具有幾何學(xué)的本質(zhì)。由此從中給人們透露出一種信息：幾何學(xué)，乃至整個數(shù)學(xué)的發(fā)展無不受到人文、社會科學(xué)發(fā)展的影響和制約。文理交叉、優(yōu)勢互補(bǔ)、相得益彰、協(xié)同進(jìn)化，是科學(xué)發(fā)展的一條重要規(guī)律。

【參考文獻(xiàn)】

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