二面角平面角分析論文

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二面角的平面角的特征

α、β是由出發的兩個半平面,O是l上任意一點，OCα，且OC⊥l；CDβ，且OD⊥l。這就是二面角的平面角的環境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角。

它有如下列特征：

（1）過棱上任意一點，其平面角是唯一的；

（2）其平面角所在平面與其兩個半平面均垂直；

另外，若在OC上任取上一點A，作AB⊥OD于B,則由特征（2）知AB⊥β.通過l、OA、OB、AB，之間的關系，便得到另一特征；

（3）：體現出三垂線定理（或逆定理）的環境背景。

2二面角的平面角的特征剖析

由于二面角的平面角是由一點和兩條射線構成，所以二面角的平面角的定位可化歸為“定點”或“定線（面）”的問題。

特征（1）表明：其平面角的定位可先在棱上取一“點”，但這點必須與問題背景相互溝通，給計算提供方便。

特征（2）指出：如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ與α、β的交線，則交線所成的角即為α-l-β的平面角，：

由此可見，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”。

特征（3）顯示：如果二面角α-l-β的兩個半平面之一，存在垂線段AB，由B作OB⊥l于O，連OA，由三垂線定理可知OA⊥l；或由A作OA⊥l于O，連OB。由三垂線逆定理可知OB⊥l。此時，∠AOB即為二面角α-l-β的平面角。

由此可見，二面角的平面角的定位可以找“垂線段”．

以上三個特征提供的思路在解決具體問題時各具特色，其目標是分別找“點”、“垂面”、“垂線段”。事實上，我們只要找到其中一個，另兩個就接踵而至．掌握這種關系對提高解題技能和培養空間想象力非常重要。

3二面角的平面角的定位分析

［例1］：已知E是矩形ABCD邊CD的中點，且，CD=2，BC=1，現沿AE將△DAE折起至△D′AE，使得D′到B、C兩點的距離相等，求二面角D′-BC-A的大小。

解析：取AE中點P，BC中點Q．則可得PQ⊥BC，又由D′B=D′C，得D′Q⊥BC，

∴∠D′QP是二面角D′-BC-A的平面角。

經計算得：∠D′QP＝23

找“點”，由定義確定二面角的平面角。

［例2］：矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對角線AC把△ABC折起，使點B在平面ADC內的射影B′恰好落在AD上，求二面角B-AC-D的大小。

解析：這是一道由平面圖形折疊成立體圖形的問題，解決問題的關鍵在于搞清折疊前后“變”與“不變”。

在平面圖形中過B作BE⊥AC交AC于O、交AD于E，則折疊后OB、OE與AC的垂直關系不變．但OB與OE此時變成相交兩線段并確定一平面，此平面必與棱AC垂直。由特征（2）知，面BOE與面BAC、面DAC的交線OB與OE所成的角∠BOE，即為所求二面角的平面角。

另外，點B在面DAC上的射影必在OE所在的直線上，又題設射影落在AD上,所以E點就是B′點，這樣的定位給下面的定量提供了便捷條件。

經計算：OB=AB·BCAC=3×45=125，AO=AB2AC=95，OE=AO·CDAD=2720，

在Rt△BEO中，設∠BOE＝θ，則cosθ=OEOB=916，

∵0°＜θ＜180°，∴θ=arccos916，

即所求二面角B-AC-D為arccos916，

通過對［例2］的定性分析、定位作圖和定量計算，由特征（2）從另一角度告訴我們：要確定二面角的平面角，可以把構成二面角的兩個半平面“擺平”，依題目條件，在棱上選取一適當的垂線段，即可確定其平面角。“平面圖形”與“立體圖形”相呼映，不僅便于定性、定位，更利于定量。

由“垂線段”定位二面角的平面角。

［例3］：已知二面角α-a-β為，PA⊥α于A，PB⊥β于B，且PA＝8cm，PB＝10cm．求P點到a的距離。

解析：過PA、PB作平面γ，分別與α、β交于AO、BO，

由PA⊥α，aα，知PA⊥a，又由PB⊥β，aβ，知PB⊥a，因此，a⊥平面γ，

∵AO，BO，∴a⊥AO，a⊥BO，

∴∠AOB為二面角α-a-β的平面角，即∠AOB＝120°，

連PO，由PO，得a⊥PO．∴PO的長為P點到a的距離。

經計算：AO＝43（cm），PO＝PA2+AO2=82+（43）2=47（cm）．

由棱的“垂面”定位二面角的平面角。

［例4］：在正方體ABCD-A′B′C′D′中，棱長為2，E為BC的中點．求面B′D′E與面BB′C′C所成的二面角的大小。

解析：面B′D′E與面BB′C′C構成兩個二面角，由特征（2）知，這兩個二面角的大小必定互補．通過特征（3）,我們只須由C′(或D′)作B′E的垂線交B′E于H，然后連結HD′(或HC′),即得面B′D′E與面BB′C′C所成二面角的平面角∠C′HD′(三垂線定理)。

經計算可得：H′C′＝455，在Rt△D′C′H中，∠D′HC′=D′C′H′C′=52，

故所求的二面角角為arctan52或π-arctan52．

二面角的三個特征，雖然客觀存在，互相聯系，但在許多問題中卻很難通過直觀圖反映出來，這就需要我們培養良好的空間思維想象能力，正確定位。

［例5］：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中點，求截面AD1E與底面ABCD所成角的正切值。

解析：圖中截面AD1E與底面ABCD只給出一個公共點，沒有直接反映出二面角的棱，因此還需找出它與底面的另一個公共點．通過補形作出棱，進而再求二面角的大小。

延長DC、D1E交于F，連AF，得截面AD1E與底面ABCD相交所得棱AF，AF交BC于G，過C作CH⊥AF于H，連EH，

∵EC⊥面ABCD，CH⊥AF，∴EH⊥AF（三垂線定理）

∴∠EHC即為所求截面AD1E與底面ABCD所成二面角的平面角．

可設正方體棱長為a，經計算得：EC＝CG＝a2，CF＝a，GF＝52a，CH＝，55a

∴tan∠EHC＝ECCH=52，

即所求二面角的正切值為52．

［另］：△D1FA在底面ABCD的射影是△DFA，

S△DFA=12DF×DA=a2，又D1A＝2，S△D1FA=12D1A×322a=32a2，

由射影面積法，所求角（記為θ）的余弦值為cosθ=S△DFAS△D1FA=23，

則所求二面角的正切值為52。

［另］：還可用向量法求二面角的平面角。

定位是為了定量，二面角的計算是通過其平面角所在的三角形計算而得．而作平面角也是由其基本定義出發，在棱上找一點，在半平面內找一點，或在二面角內找一點，從這點出發作棱的垂線或垂面而得。如果二面角的棱在圖中沒有出現，可采取補形等辦法作出二面角的棱。

綜上所述，二面角其平面角的正確而合理的定位，要在其正確其定義的基礎上，掌握其三個基本特征，并靈活運用它們考察問題的環境背景，建立良好的空間思維，以不變應萬變。

【摘要】空間角是立體幾何中一個重要概念，它是空間圖形的一個突出的量化指標，是空間圖形位置關系的具體體現。解決立體幾何問題的關鍵在于“三定”：定性分析→定位作圖→定量計算，其中定性是定位、定量的基礎，而定量則是定位、定性的深化。在面面關系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結為平面上角的度量，一般來說，對其平面角的定位是問題解決的先決一步，故對二面角的平面角的定位是關鍵。

【關鍵詞】平面角；定性分析；定位作圖；定量計算;點;垂線段;垂平面PositioningAnalysisonthedihedral