管網數學模型分析論文

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復雜管網分析方法有多種，近年新出現的有圖論法和有限元法[3][4]。兩種方法各有所長，圖論法將復雜的管網處理為相應的“網絡圖”，并建立相應的數學模型以適用范圍各不相同管網水力計算。有限元法通過局部的管元分析得出管網的數學模型。

管網水力分析的基礎是管段的水力學模型。常用的數學模型是采用Darcy-Weisbach公式和Hazen-Williams公式。這兩個公式原用于管道沿程水力損失的計算，公式來源于理論研究和實驗得到的結果。這兩個公式的應用基礎是大量實驗統計得出的參數。Darcy-Weisbach公式一般采用Colebrook-White、Swamee-Jain實驗公式和Moody圖表來求出沿程損失系數f[2]。文獻[1]論述了水力模型的基本形式和管網中管件的定理，該理論統一了局部損失和沿程損失的數學模型。這里進一步討論在復雜管網中，基于該定理并利用節點分析方法給出Kirchhoff第一定律和第二定律的表示方法及其應用。

1.管網模型

1.1.管道模型

按文獻[1]介紹的：

定理1：任何管件的組合，其組合后的管件，以管件斷面的流量和壓力水頭表示的數學模型具有冪函數的形式。

（1）

式中：a,b為不會等于零的實系數；hf為管段的水頭損失；q是管段內的流量。

換言之，對于管段兩端，記上游端水頭為H2，下游端水頭為H1，即：

（2）

1.2.復雜管網模型

對于復雜管網，這里所說的復雜是指有多環、多水源、多出流口的管網，對于這種管網可以用與一般管道同樣形式的矩陣公式來表示。

記：

式中：H為管段的節點水頭矢量；q為管網的管段流量；n為管網中的管段數量。

為了有利于統一表達式，記管段兩端的水頭為H1，H2。

對于簡單管段有：

（4）

容易看出這種變形為采用線性方程組提供了方便。當第t次計算時，令：

（5）

式中：管段在第t-1時的流量，在第t-1次計算時它是已知量；是管段在第t時的假定流量。

q是有方向的矢量，其方向是由管段端點2指向端點1。換言之，端點2水頭大于端點1的水頭，這樣水才能從端點2流到端點1，流量的值才可能是正值。從數學的角度理解，假定H1，H2，q為不為零的實數，H1，H2前面的正負號可以表示為管段的端點i在流量指向的方向。

對于如圖1所示的管網，可以用管網鄰接矩陣A表示。

圖1.一個簡單復雜管網圖

對于圖1按節點及管段編號來關聯，行是管段，列是節點。

①節點與1管段、2管段相連接，因假定管段的水流方向是由節點編號大端流向節點編號小端。①節點的鄰接向量是。同理：②節點的鄰接向量是，易知：

容易得到矩陣：

通常將以上矩陣稱為管網的鄰接矩陣，

2.節點分析法

如令：

圖1中與矩陣等式

（6）

對應的是以下矩陣：

（7）

對①節點有：

對②節點有：

表明矩陣等式可以表示節點流量守恒定律。

根據流量守恒定律和能量守恒定律，有的學科也稱為Kirchhoff第一定律和第二定律。管網系統的兩個定律可表達為：

（8）

這也是節點分析法的關鍵方程組。

其中：

（9）

式中：Ac節點與管段的鄰接矩陣；Af節點與已知水頭的鄰接矩陣；Hc管段的節點水頭矢量；Hf已知節點水頭矢量。

而且，

是式（4）在管網中的矩陣表達。

以圖1的管網為例有：

而且，

采用計算機程序自動搜索分析，容易得到以上矩陣。同時，用矩陣表示的是：

=（10）

矩陣運算后可表示成以下方程：

（11）

其中H6是已知水塔的水頭。式（10）表明矩陣方法可以表示節點能量守恒定律。

以上分析雖然是針對圖1的實例進行，但沒有設立管網聯接及出流的特殊性條件，故所介紹的分析結果具有一般性。顯然，這種結果也可以通過采用“圖論法”和有限元法進行分析得到。

3.方程的解法

矩陣方程（8）是復雜管網的數學模型，對此模型的求解可以得到管網的水力學參數。如將Y(q)看作一個常數，該方程就是一個線性方程組，可將此線性方程組稱為非線性方程（8）的伴隨方程。注意到管網在第t-1時的流量為q(t-1)，在第t-1次計算時Y(q(t-1))是已知量；q(t)是管網在第t時的流量。

實際上是在迭代運算中令：

Y(q(t))=Y(q(t-1))

因大多數管網它們的管段內流速v都在1~3m/s之內。經驗證明這樣種情況下，令流速v=1作為t=0的初值比較合理。這時，矩陣方程（8）實際迭代時t為：

式中：Ai為i管段的斷面面積；n為管網的管段數。

當在te時，迭代中，當時，認為方程解為：i=1,…,n；k=1,…,m；m為管網的節點數。

其中，為一相對小的數，工程上，一般取就行了。的值越小計算機的運算時間就越長。

由方程（8）變形得到方程：

（12）

式中，Hc管段的節點水頭矢量，是待求的未知量；Hf為已知節點水頭矢量。q=是管段內的流量矢量，是待求的未知量；d是管網的出水量矢量，是已知量。

用線性方程組的解法容易經3~4次迭代得到方程（12）的解。

4.結論

復雜管網可以用矩陣的形式表示，并可用節點法建立其矩陣方程。其方程為：

（12）

此方程是一個非線性方程，解此方程可用迭代法進行計算。迭代的初始參數及計算方法如下：

當時，認為方程解為：i=1,…,n；k=1,…,m；n為管網的管段數，m為管網的節點數。

[1]李鳴，管網基本定理及其數學模型[J]，節水灌溉，2001(1)8-11

[2]HaestadMethods,ThomasM.Walski,AdvancedWaterDistributionModelingandManagement[M],HaestadPress,2003

[3]石繼，張豐周，魏永曜，圖論法用于供水管網水力計算的研究[J]，水利學報，1999(2)

[4]康躍虎，微灌系統水力學解析和設計[C]，陜西科學技術出版社，1999.4