管網數學基本定理分析論文

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一、引言

一般管網的管段水力計算沿用理論公式或經驗公式，在國外它們也稱為Darcy-Weisbach公式或Hazen-Williams公式。兩個公式是一致的，只是表達形式不同。上述公式是管網分析的基礎，無論樹狀管網或環狀管網水力分析一般都是從管網中任一個節點開始，或從水源端開始逐段計算分析最后得到全部管網的水力參數。這種傳統計算方法只能得出管網的靜態參數，無法準確給出管網在與水泵聯合工作的動態情況，即給出整個系統的狀態參數的變化情況。如Q、H為水源節點，即根據Q、H值選擇水泵，期望能使管網工作在選定的Q、H值附近。現代管網分析，從精確輸水、節水、節能和高效利用能源考慮，特別是一些需要實時控制的系統，關注管網系統的實時狀態，以及管網與水源聯合工作的狀態變化，已經顯得十分必要了。本文作者于1988年發表了《噴灌系統自適應模擬方法》，文中給出了樹狀管網的動態模擬方法。隨著人們對節能、節水的需求越來越迫切，有必要對管網分析的理論進行全面的探討。本文在此提出解決復雜管網分析問題所需的基本原理和方法。

二、Darcy-Weisbach和Hazen-Williams公式

Darcy-Weisbach公式：

一般沿程阻力系數f=f(Q),即f是流量Q的函數，但在紊流的流態時，f與Q無關。Hazen-Williams公式：

這里如管網布置完成，管長、管道采用的材料已確定，兩者經變換可得到統一的形式，不妨將兩者的寫成統一的形式如下：

（1）

式中：

a,b―為不等于零的待定實數。根據GBJ85-85《噴灌工程技術規范》給出的水頭損失計算公式，，容易得到：

，。

在紊流的流態時，一般b為的實數。即在其有意義的定義域為單調增的冪函數。

圖1

圖1即為式（1）的函數曲線。

定義1：

將式（1）所表達的函數曲線稱為管件的流量壓力特征曲線。

定義2：

將對水流呈現阻力并消耗能量的管網部件稱為管件。管件具有式（1）所示的數學模型。

根據定義2，也將式（1）稱為管件的冪函數數學模型。不難看出式（1）對局部損失也成立，故管件數學模型也可用來表示管網中產生局部損失的部件。

這樣，管件就將管網中的管段、管接頭、閘閥、三通和噴頭等管網中的部件包含在內，它們在管網中都表現為消耗水能，故它們都有如式（1）的相同數學模型。

定義3：

對于在管網中能提升管道壓力，并向管網提供水量的部件稱為水源部件。簡稱：水源。

一般的水源部件有：水泵、高位水塔、水庫等。對于水泵其數學模型一般采用以下方程：

（2）

式中：

A、B、C―為常數。

對于理想的水庫，其模型可表示為：

（3）

其中：

C―為常數。

一般水源數學模型總可以表示為：

（4）

式中：

a―為指數系數。

三、管件組合數學模型

1.管件組合模型

定理1：

任何管件的組合，其組合后的管件，以管件斷面的流量和壓力水頭表示的數學模型具有冪函數的形式。即無論組合前和組合后管件數學模型都是冪函數，只是它們的比例系數和指數系數的值有所變化。

證明如下：

這里用數學歸納法證明之。

（1）當n=1時

其中Ho是第一個管件的出水端斷面位置水頭，該水頭是相對的。當以第一個管件的首端斷面定為基準點時，Ho=0（以下如沒有特別指出H表示斷面的壓力水頭，Q表示通過斷面的流量）則

這就是說n=1時定理1成立。

（2）假設當n=k時，有

對于沒有流量交換的管件

，上面的定理1成立，則

那么，管段的進水端k+1

不失一般性，不妨設，因冪函數在定義域的第一象限內是單調增函數，總存在一個使得

令則有：

即

成立。

對于有流量交換的管件

這里用q來表示管件進口端的流量與出口端流量的不同。

雖然，但兩者具有可互換性，如，用以上方法，同理可得

如，因冪函數在定義域的第一象限內是單調增函數，總存在一個使得

綜上所論，可得

成立，證畢。

2.流量與壓力水頭互為冪函數

定理2：

管件中的流量Q與壓力水頭H互為冪函數的映射。

該定理容易從

可以推得

只要令：

即可。從以上分析中可知定理2成立。

以下稱：

a,b為管件的流量系數，管件的流量指數；

­為管件的壓力水頭系數，管件的壓力水頭的指數。

3.管件兩端模型之間的關系

（1）對于沒有流量交換的管件

已知管件進水端的冪函數模型，可以求出管件出水端的冪函數表達式。

已知：，由于

即

圖2

等式右邊已知，令，并兩邊取自然對數，則有

在管件冪函數有意義的第一象限，取Q=1，Q=e兩點可得

（5）

（6）

（2）對于有流量交換的管件

已知進水端的：令兩邊取對數，則有

圖3

如已知上述函數曲線上的兩點可用以下線性方程組

（7）

求出a2和b2。

4.管件簡單聯接方式

（1）串聯

如圖4所示的抽象管網中，我們稱之為串聯管網。

把管件一個接著一個地串接在一起，中間沒有分岔，在水源部件的作用下，水流只有一條通道，這種聯接方式稱為管件的串聯。如將管件的hf稱為管阻，即

如串聯管件用同一種材料做成，水流的流態處在紊流區，bi=b。則

即串聯管件的等效管件其參數

圖4

（8）

（2）并聯

把管件的一端都聯接在同一點，另一端都聯接在另外一點，在水源部件的作用下，它們兩端的水壓都相同，這種聯接方式稱為管件的并聯。見圖7

如并聯管件用同一種材料做成，水流的流態處在紊流區，。則

即并聯管件的等效管件的

圖5

（3）混聯

既有管件串聯又并聯的管路稱為混聯管件。有串聯、并聯管件的知識不難分步求出混聯管件的參數。

5.管網系統的模擬方法

根據以上分析可知，當我們得到管網的水源節點處的管件端冪函數的兩個關鍵參數a,b后，可以將模型

和水源部件模型，這里不妨假定為水泵，其模型為

這兩個模型的曲線放入同一個座標系中，容易看出兩條曲線的交點即為管網系統的工作點。由工作點的值，我們很容易得出整個系統的狀態值。

根據以上模型我們可以用計算機模擬出管網系統動態，并調整工作點使水泵工作于高效區。

圖6

四、管網模型的識別方法

對于由各管件組成的樹狀管網，按上述方法逐個推出的管件端的冪函數模型，運算量大、計算和存儲要求高。事實上，我們可以根據定理1，用n組計算得的值作為觀測量來推斷出管網水源端的冪函數參數a，b。

具體說，我們已知水源節點管件進水端滿足冪函數關系的數學模型，不妨從樹狀管網最遠離水源的末端管件開始，任取若干組輸入數據，從中得到一系列的水源節點進水端的Q,H，它們在控制理論中也稱為觀測量。用這一系列Q，H可以通過數理統計的冪函數回歸方法容易得到管網進水端的冪函數的兩個參數a，b。詳見圖7。

這種方法也可用于管網中各管件模型未知，或者不確定的系統，比如可以用測量設備，測量不同的數個點后，用數理統計方法得到管件的冪函數數學模型。同樣的方法可得到管件的組合數學模型和管網系統的數學模型。

以上我們只討論了樹狀管網，對于環狀管網，我們總可以找到一個最小的支撐樹，將問題化為樹狀管網進行分析，最后加上聯接部分形成回路，完成環狀管網的分析工作。這里限于篇幅從略。

圖7

五、結論

用本文提出的方法，雖然得到與某些圖解法相類似的圖表，如圖6，但其意義完全不同，而且這種變化十分重要。定理1指出管件斷面的H與Q有確定的對應關系，這種關系是一種冪函數形式，比例系數a、指數系數b是兩個可以唯一確定模型的重要參數。本文中提出的水力學管網分析中的管件的定義、管件組合及其組合后的等效模型，以及管網系統的冪函數數學模型的識別方法，為解決管網實時動態分析提供實用的理論和方法。

傳統的分析方法得出的是計算斷面的靜態Q、H值。從本文提出的數學方法中，我們不僅能夠得到所計算節點的Q、H值，有了節點斷面的比例系數a和指數系數b，我們還可以唯一地確定出一個冪函數來代表該節點的數學模型。從一個工作點到一個函數給出的無數個可能的工作點，反映了我們觀察問題的角度的擴展。這種新思路為我們用管網系統的自適應模擬方法解決復雜管道系統的水力學問題提供了全新的途徑。

參考文獻

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