開關電源小信號模型

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1Buck電路電感電流連續時的小信號模型

圖1為典型的Buck電路，為了簡化分析，假定功率開關管S和D1為理想開關，濾波電感L為理想電感（電阻為0），電路工作在連續電流模式（CCM）下。Re為濾波電容C的等效串聯電阻，Ro為負載電阻。各狀態變量的正方向定義如圖1中所示。

S導通時，對電感列狀態方程有

L(dil/dt)=Uin－Uo（1）

S斷開，D1續流導通時，狀態方程變為

L(dil/dt)=－Uo（2）

占空比為D時，一個開關周期過程中，式（1）及式（2）分別持續了DTs和（1－D）Ts的時間（Ts為開關周期），因此，一個周期內電感的平均狀態方程為

L(dil/dt)=D(Uin－Uo)＋(1－D)(－Uo)=DUin－Uo（3）

穩態時，=0，則DUin=Uo。這說明穩態時輸出電壓是一個常數，其大小與占空比D和輸入電壓Uin成正比。

由于電路各狀態變量總是圍繞穩態值波動，因此，由式（3）得

L[d(il+il'''')/dt]=(D＋d)(Uin＋Uin'''')－(Uo＋Uo'''')（4）

式（4）由式（3）的穩態值加小信號波動值形成。上標為波浪符的量為波動量，d為D的波動量。式（4）減式（3）并略去了兩個波動量的乘積項得

L(dil''''/dt)=DUin''''＋dUin－Uo''''（5）

由圖1，又有

iL=C(duc/dt)＋Uo/R0（6）

Uo=Uc＋ReC(duc/dt)（7）

式（6）及式（7）不論電路工作在哪種狀態均成立。由式（6）及式（7）可得

iL＋ReC(dil/dt)=1/Ro(Uo＋CRo(duo/dt))（8）

式（8）的推導中假設Re<<Ro。由于穩態時dil/dt=0，dUo/dt=0，由式（8）得穩態方程為iL=Uo/Ro。這說明穩態時電感電流平均值全部流過負載。對式（8）中各變量附加小信號波動量得

式（9）減式（8）得

iL+ReC(dil/dt)=1/Ro(Uo＋CRo(dUo/dt))（10）

將式（10）進行拉氏變換得

iL(s)=(Uo(s)/Ro)·[(1+sCRo)/(1+sCRe)](11)

(s)=（11）一般認為在開關頻率的頻帶范圍內輸入電壓是恒定的，即可假設=0并將其代入式（5），將式（5）進行拉氏變換得

sLiL''''(s)=d(s)Uin－Uo''''(s)（12）

由式（11），式（12）得

Uo''''(s)/d(s)=Uin[(1+sCRe)/(s2LC+s(ReC+L/Ro)+1]（13）

iL''''(s)/d(s)=[(1+sCRo)/s2LC+s(ReC+L/Ro)+1]·Uin/Ro（14）

式(13)，式(14)便為Buck電路在電感電流連續時的控制－輸出小信號傳遞函數。

2電壓模式控制（VMC）

電壓模式控制方法僅采用單電壓環進行校正，比較簡單，容易實現，可以滿足大多數情況下的性能要求，如圖2所示。

圖2中，當電壓誤差放大器（E/A）增益較低、帶寬很窄時，Vc波形近似直流電平，并有

D=Vc/Vs（15）

d=Vc''''/Vs（16）

式（16）為式（15）的小信號波動方程。整個電路的環路結構如圖3所示。圖3沒有考慮輸入電壓的變化，即假設Uin=0。圖3中，（一般為0）及分別為電壓給定與電壓輸出的小信號波動；KFB=UREF/Uo，為反饋系數；誤差e為輸出采樣值偏離穩態點的波動值，經電壓誤差放大器KEA放大后，得；KMOD為脈沖寬度調制器增益，KMOD=d/=1/Vs；KPWR為主電路增益，KPWR=/d=Uin；KLC為輸出濾波器傳遞函數，KLC=(1+sCRe)/[S2LC+s(ReC+L/Ro)+1]。

在已知環路其他部分的傳遞函數表達式后，即可設計電壓誤差放大器了。由于KLC提供了一個零點和兩個諧振極點，因此，一般將E/A設計成PI調節器即可，KEA=KP(1＋ωz/s)。其中ωz用于消除穩態誤差，一般取為KLC零極點的1/10以下；KP用于使剪切頻率處的開環增益以－20dB/十倍頻穿越0dB線，相角裕量略小于90°。

VMC方法有以下缺點：

1）沒有可預測輸入電壓影響的電壓前饋機制，對瞬變的輸入電壓響應較慢，需要很高的環路增益；

2）對由L和C產生的二階極點（產生180°的相移）沒有構成補償，動態響應較慢。

VMC的缺點可用下面將要介紹的CMC方法克服。

3平均電流模式控制（AverageCMC）

平均電流模式控制含有電壓外環和電流內環兩個環路，如圖4所示。電壓環提供電感電流的給定，電流環采用誤差放大器對送入的電感電流給定（Vcv）和反饋信號（iLRs）之差進行比較、放大，得到的誤差放大器輸出Vc再和三角波Vs進行比較，最后即得控制占空比的開關信號。圖4中Rs為采樣電阻。對于一個設計良好的電流誤差放大器，Vc不會是一個直流量，當開關導通時，電感電流上升，會導致Vc下降；開關關斷，電感電流下降時，會導致Vc上升。電流環的設計原則是，不能使Vc上升斜率超過三角波的上升斜率，兩者斜率相等時就是最優。原因是：如果Vc上升斜率超過三角波的上升斜率，會導致Vc峰值超過Vs的峰值，在下個周波時Vc和Vs就可能不會相交，造成次諧波振蕩。

采用斜坡匹配的方法進行最優設計后，PWM控制器的增益會隨占空比D的變化而變，如圖5所示。

當D很大時，較小的Vc會引起D較大的改變，而D較小時，即使Vc變化很大，D的改變也不大，即增益下降。所以有

d=DV''''/Vs（17）

不妨設電壓環帶寬遠低于電流環，則在分析電流環時Vcv為常數。當Vc的上升斜率等于三角波斜率時，在開關頻率fs處,電流誤差放大器的增益GCA為

GCA[d(iLRs)/dt]=GCA(Vo/L)Rs=Vsfs（18）

GCA=Vc''''/(iL''''Rs)=VsfsL/(UoRs)（19）

高頻下，將式（14）分子中的“1”和分母中的低階項忽略，并化簡，得

iL''''(s)=[d(s)Uin]/sL（20）

由式（17）及式（20）有

(iL''''Rs)/Vc''''=[Rsd(s)Uin/(sL)]/[d(s)Vs/D]=(RsUinD)/(sLVs)（21）

將式（19）與式（21）相乘，得整個電流環的開環傳遞函數為

(RsUinD/sLVs)·(VsfsL)/(UoRs)=fs/s（22）

圖7

將s=2πfc代入上式，并令上式等于1時，可得環路的剪切頻率fc=fs/(2π)。因此，可將電流環等效為延時時間常數為一個開關周期的純慣性環節，如圖6所示。顯然，當電流誤差放大器的增益GCA小于最優值時，電流響應的延時將會更長。

GCA中一般要在fs處或更高頻處形成一個高頻極點，以使fs以后的電流環開環增益以－40dB/dec的斜率下降，這樣雖然使相角裕量稍變小，但可以消除電流反饋波形上的高頻毛刺的影響，提高電流環的抗干擾能力。低頻下一般要加一個零點，使電流環開環增益變大，減小穩態誤差。

整個環路的結構如圖7所示。其中KEA，KFB定義如前。可見相對VMC而言（參見圖3），平均CMC消除了原來由濾波電感引起的極點（新增極點fs很大，對電壓環影響很小），將環路校正成了一階系統,電壓環增益可以保持恒定，不隨輸入電壓Vin而變，外環設計變得更加容易。

4峰值電流模式控制（PeakCMC）

平均CMC由于要采樣濾波電感的電流，有時顯得不太方便，因此，實踐中經常采用一種變通的電流模式控制方法，即峰值CMC，如圖8所示。電壓外環輸出控制量（Vc）和由電感電流上升沿形成的斜坡波形(Vs)通過電壓比較器進行比較后，直接得到開關管的關斷信號（開通信號由時鐘自動給出），因此，電壓環的輸出控制量是電感電流的峰值給定量，由電感電流峰值控制占空比。

峰值CMC控制的是電感電流的峰值，而不是電感電流（經濾波后即負載電流），而峰值電流和平均電流之間存在誤差，因此，峰值CMC性能不如平均CMC。一般滿載時電感電流在導通期間的電流增量設計為額定電流的10％左右，因此，最好情況下峰值電感電流和平均值之間的誤差也有5％，負載越輕誤差越大，特別是進入不連續電流（DCM）工作區后誤差

將超過100％，系統有時可能會出現振蕩現象。在剪切頻率fc以下，由圖6可知平均CMC的電流環開環增益可升到很高（可以>1000），電流可完全得到控制，但峰值CMC的電流環開環增益只能保持在10以內不變（峰值電流和平均值之間的誤差引起），因此，峰值CMC更適用于滿載場合。

峰值CMC的缺點還包括對噪音敏感，需要進行斜坡補償解決次諧波振蕩等問題。但由于峰值CMC存在逐周波限流等特有的優點，且容易通過脈沖電流互感器等簡單辦法復現電感電流峰值，因此，它在Buck電路中仍然得到了廣泛應用。

5結語

采用平均狀態方程的方法可以得到Buck電路的小信號頻域模型，并可依此進行環路設計。電壓模式控制、平均電流模式控制和峰值電流模式控制方法均可用來進行環路設計，各有其優缺點，適用的范圍也不盡相同。