微積分范文10篇

摘要：高等數學是高等職業教育必修的基礎課，其理論基礎和思想方法不僅為專業課學習提供基礎，還是技能發展的支撐工具。高等數學在高素質技能型人才的培養方面占據非常重要的地位。微積分教學作為高等數學教學中的重要模塊，其教學成效重要性不言而喻。本文對微積分的教學進行研究，探討微積分的案例教學如何實現。

關鍵詞：教學成效;微分學;積分學;案例教學

高職院校以培養高素質技術型人才為主要方向的高等教育目的，其在課程設置需要依照高等職業院校學生的特點和專業需要。高等數學的教學展開情況直接影響了技術型人才的技能素養和終身發展的需求。

一、發展簡史

微積分的發展體現著人類認識是感性認識到理性認識的過程。早期萌芽時期始于公元前七世紀上半頁，表現為對圖形的長度，面積和體積的研究，比如窮竭法，割圓術等都體現了微積分思維的雛形。發展成型于十七世紀，此時科學的理論研究著力于速率、極值、切線等問題，特別是描述運動與變化的無限小算法等，后來，牛頓和萊布尼茨各自獨立地提出微積分系統的理論，使得微積分成為一門數學學科。自此以后，連續性、導數、無窮小以及函數收斂等得到一系列數學家的繼續深化研究和改善，微積分建立在牢固的理論基礎上。初等數學無法解決的問題隨著微積分理論迎刃而解，顯示出微積分學的非凡魅力。

二、教學案例的設計

摘要：微積分對于大多數的獨立院校財經類學生而言，是一門比較抽象的課程，沒有直觀性的理解，學習起來具有一定的難度，而建模是將知識加以利用從而解決實際問題，因此建模對學生的微積分學習具有一定的促進作用，可以提升學生的學習興趣，并且加深對知識的理解及應用，論文就兩者之間的融合進行探討。

關鍵詞：微積分；數學建模

當今部分獨立院校致力于培養學生為應用型人才，使學生通過本科階段的學習培養，具有一定的綜合能力與知識素養，能夠在管理、生產服務建設等方面具有持續發展能力的應用型人才。對于獨立院校經管類學生來說，微積分是一門重要的基礎類課程，與后續的經濟學、概率統計、專業課程的學習是緊密相關的。因此需要學好微積分來為其他學科的學習打下扎實的基礎。微積分具有較強理論性，邏輯嚴謹，內容抽象等特征，對于獨立經管院校的學生來說，學習起來會有些吃力，晦澀難懂，往往存在生搬硬套，只會套用公式做題，知其然而不知其所以然。對于獨立院校，需要教師在教學過程中，加強學生對知識點的深入理解，盡量做到學以致用，從而有利于學生的后續發展，為實現將學生培養為應用型人才而打好堅實的基礎。數學建模是通過對實際問題的觀察分析、在一定的設定條件下，對問題進行抽象簡化，通過設定變量與參數，利用數學符號語言表達變量間的關系，然后需要運用數學或者統計等相關軟件對數學模型進行近似求解，最后通過求解的結果來解釋、驗證或者預測某些現象與問題。下面對數學建模思想在微積分教學中的作用進行探討。

一、數學建模思想在微積分教學中的作用

數學建模能夠較好的培養學生對知識的應用理解能力，同時提升學生的創造能力。因此，將數學建模思想融入微積分課程課程的教學中，是一件非常有意義的事，下面來具體進行介紹：（一）增強學生的學習興趣獨立院校經管專業的學生，一般數學基礎相對薄弱，在授課過程中如果全程貫穿抽象的理論與計算，學生更會覺得學習枯燥乏味，從而對微積分的學習提不起興趣。數學一般具有銜接性非常強的特點，而微積分的學習通常需要兩個學期，學生如果中間有幾節課落下，就會對后續的學習產生較大的影響，甚至影響整門課程學習效果。所以，在教學過程中，融入一些生活中的實際例子，然后利用微積分方法進行恰當的解決，會使學生覺得微積分沒有那么晦澀難懂，抽象乏味，進而提高學習的興趣。（二）加深對知識的理解與提高對知識的應用能力在授課過程中，通過融入適當的應用模型，可以幫助學生對知識點的深入理解。比如，在學習兩個重要極限的知識之后，利用極限來計算復利，然后讓學生在課下查資料，分成小組討論，對房貸中的等額本息與等額本金兩種貸款方式的進行理解計算，課上教師再加以進一步的講解，這樣可以加深學生對極限的理解與應用。在學習微分時，可以讓學生對經濟學中的一些問題進行近似計算，在這個過程中，既使得學生理解了微分的意義，又促進了學生對為微分的應用能力的提升。

二、建模思想融入微積分教學的途徑

摘要：微積分作為數學知識的基礎,是學習經濟學的必備知識,著重討論了微積分在經濟學中最基本的一些應用，計算邊際成本、邊際收入、邊際利潤并解釋其經濟意義,尋求最小生產成本或制定獲得最大利潤的一系列策略。

關鍵詞：微積分；邊際分析；彈性；成本；收入；利潤；最大值；最小值

1導數在經濟分析中的應用

1.1邊際分析在經濟分析中的的應用

1.1.1邊際需求與邊際供給

設需求函數Q=f（p）在點p處可導（其中Q為需求量，P為商品價格），則其邊際函數Q’=f’(p)稱為邊際需求函數，簡稱邊際需求。類似地，若供給函數Q=Q(P)可導（其中Q為供給量，P為商品價格），則其邊際函數Q=Q(p)稱為邊際供給函數，簡稱邊際供給。

摘要:文章主要探討了牛頓和萊布尼茲所處的時代背景以及他們的哲學思想對其創立廣泛地應用于自然科學的各個領域的基本數學工具———微積分的影響。

關鍵詞:牛頓;萊布尼茲;微積分;哲學思想

今天,微積分已成為基本的數學工具而被廣泛地應用于自然科學的各個領域。恩格斯說過:“在一切理論成就中,未有象十七世紀下半葉微積分的發明那樣被看作人類精神的最高勝利了,如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績,那就正是在這里。”[1](p.244)本文試從牛頓、萊布尼茲創立“被看作人類精神的最高勝利”的微積分的時代背景及哲學思想對其展開剖析。

一、牛頓所處的時代背景及其哲學思想

“牛頓(IsaacNewton,1642-1727)1642年生于英格蘭。⋯⋯,1661年,入英國劍橋大學,1665年,倫敦流行鼠疫,牛頓回到鄉間,終日思考各種問題,運用他的智慧和數年來獲得的知識,發明了流數術(微積分)、萬有引力和光的分析。”[2](p.155)

1665年5月20日,牛頓的手稿中開始有“流數術”的記載。《流數的介紹》和《用運動解決問題》等論文中介紹了流數(微分)和積分,以及解流數方程的方法與積分表。1669年,牛頓在他的朋友中散發了題為《運用無窮多項方程的分析學》的小冊子,在這里,牛頓不僅給出了求一個變量對于另一個變量的瞬時變化率的普遍方法,而且證明了面積可以由求變化率的逆過程得到。因為面積也是用無窮小面積的和來表示從而獲得的。所以牛頓證明了這樣的和能由求變化率的逆過程得到(更精確地說,和的極限能夠由反微分得到),這個事實就是我們現在所講的微積分基本定理。這里“,牛頓使用的是無窮小方法,把變量的無限小增量叫做“瞬”,瞬是無窮小量,是不可分量,或是微元,牛頓通過舍棄“瞬”求得變化率。”[3](p.199)1671年牛頓將他關于微積分研究的成果整理成《流數法和無窮級數》(1736),在這里,他認為變量是連續運動產生的,他把變量叫做流,變量的變化率叫做流數。牛頓更清楚地陳述了微積分的基本問題:已知兩個流之間的關系,求它們流數之間的關系,以及它的逆問題。《流數法和無窮級數》是一部較完整的微積分著作。書的后半部分通過20個問題廣泛地介紹了流數法各無窮級數的應用。1676年,牛頓寫出了《求曲邊形的面積》(1704),在這里,牛頓的微積分思想發生了重大變化,他放棄了微元或無窮小量,而采用了最初比和最后比的方法。

【摘要】大學物理是本科院校理工科學生的主要必修課程。研究微積分在力學中的主要應用，幫助學生重視微積分理論與技能學習，提升物理學習效果，同時對數理教學活動提供一點參考。

【關鍵詞】微積分;導數;微分;積分

一、導數在力學中的應用

（一）根據導數定義

假設一元函數在某點一個鄰域內有定義，當給該點以增量（仍在同鄰域）時函數產生相應增量。若函數增量與自變量增量比值，在自變量增量趨于零時的極限存在，則稱此極限值為函數在點的導數.又稱函數在該點可導。

（二）導數在力學中的應用

一、微積分在數學教育中的必要性

隨著社會的不斷發展，微積分及其相關知識應用越來越廣泛。新課改也要求將微積分加入到教學中來，其必要性是因為它對很多學科、專業都有重要影響。同時，隨著微積分對于現代生活的影響越來越廣泛，微積分成為教學內容也可以說是社會對教育的要求。是社會發展的必然趨勢。科學技術發展的越快，數學的應用也越來越多，從而對數學的要求也會越來越高。這就會對數學教學教學產生影響，教學的內容會相應的隨著社會需求而改變。為了滿足科技對人才的需要，教學內容就會增加新知識，以此適應時代的發展。例如，網絡知識的增加、概率統計學以及微積分知識的加入，都是為了社會的發展而加入到教學中的。如今我們所面對的世界已經進入了信息時代，為了適應新時代的發展，微積分自然而然的就進入了高中教學中。高中作為我國基礎教育的最后階段，有著十分重要的作用。微積分之所以出現在高中也是為了推動可持續發展。無論高中畢業后是否繼續學習，微積分都會在以后的生活中起到積極作用。對于大學生來說，高中的微積分教育是繼續深造的基礎；對于將要開始工作的學生來說微積分對新知識的掌握也有很大幫助。總之，在現代社會微積分是一項重要的基礎知識。微積分的學習對學生思維的發展有著積極的影響。微積分中的以“直”代“曲”、以“局部”研究“整體”，從“有限”認識“無限”等思想，都是初等數學中從未涉及的。這些思想和方法有利于學生形成辯證邏輯思維，對學生的跳躍性思維有重要影響。體現了數學教育對人的思維的影響。這種從直到曲，從局部到整體，從有限到無限的思維認識，會成為學生在學習生涯中得到的寶貴知識。

二、微積分在數學教育中的價值

通過微積分的課程，可以加強高中數學教育的嚴謹性，從而達到優化教學的作用。鍛煉學生解決實際問題的能力，提升他們應對問題時的反應能力，也會使學生不自覺的用數學思維思考問題。微積分的教育價值體現在，兼顧不同層次的學生要，對不同的層次研究不同的教法，準確把握不同階段的學生對微積分知識的掌握情況做好定位。在數學教育中，嚴謹、精確是其最大的特點。而利用微積分相關的知識可以增加數學的嚴謹性。同時，它還可以使高中階段的一些繁瑣的數學問題簡單化，能夠輕易的解決難題，解題步驟也會讓人眼前一亮。可見微積分知識擴展了數學教學，加強學生對解題的多樣性思維的鍛煉。微積分對于培養學生在解決實際問題和鍛煉思維能力方面有重要作用。微積分會通過大量的實際經驗和具體的實際案例所得出一些概念。例如通過研究增長率、膨脹率、效率、密度、速度等反映導數應用的實例，用來引導學生感受由平均變化率到瞬時變化率的過程，了解瞬時變化率就是導數，感受微積分在研究函數和解決實際問題中的作用，體會微積分的思想及其內涵。微積分還有助于幫助學生解決一些實際生活中存在的問題，對于相關學科的理解學習也有幫助，從而開發學生在解決問題方面的能力，為學生解決問題積累經驗教訓。同時，鍛煉思維能力，也是微積分進入數學教育的目的之一。微積分中包含有重要的數學思想和解題的思維方法，這些思想和方法會促進學生辯證邏輯思維的形成。掌握了微積分的知識，更有利于學生從微積分的高度重新的角度認識初等數學中的知識，這會加深學生的理解，更利于掌握初等數學，更明確清晰地了解其知識內容。同時，有利于加深對數學知識的體驗，無論是初等數學知識還是高等數學知識他們都是有統一性存在的。通過學習這種更加靈活的思維模式，提高學生的思維能力。

三、微積分的作用以及對數學教育的影響

微積分的出現可以說推動了數學的發展速度。微積分讓數學更生動，例如，微積分對于描述運動的事物有幾大幫助，可以描述變化的過程。甚至可以說，數學界因微積分的出現而發生了改變。微積分的出現不單單是推動數學的發展，同時開創了許多新的數學分支，例如：微分方程、無窮級數、離散數學等等。這些新的分支不斷地推動著數學的發展，特別是數學教育中，微積分的不斷創新更利于學生在思維方面的不斷創新。使得數學的學習增添了更多的趣味性。微積分還對其他一些相關學科有促進作用。由于數學本就是工具學科，對自然學科等發展都有重要影響。對物理學的影響更是不言而喻，很多的物理學問題都要靠微積分作答。偉大的牛頓就是用微積分學及微分方程從萬有引力定律導出了開普勒行星運動三大定律。除此之外還有很多就不一一列舉了。不可否認微積分的出現對社會和科學都有巨大貢獻。而微積分在教育中的作用同樣不可忽視，微積分的出現是對數學教育的推動。它讓數學教育的內容更豐富，在教學中更具實用性。它使得數學與現實生活聯系的更緊密，更靈活，著更有助于加深高中生對微積分的印象和興趣。讓微積分不知不覺滲透到他們的生活與學習中。微積分對于研究變化規律十分有幫助，因此只要涉及到與變化有關的學科都可以用到微積分。在人類發展的進程中微積分做出了舉足輕重的貢獻。如今，微積分更是被應用到各個行業，無論是社會還是經濟的變化由于微積分有著不可分割的聯系。此外，微積分還參與著人們的日常生活，以及各種科技工程等。微積分在高中教學中出現，對于為國家輸送人才有很大幫助。這就體現了微積分在高中數學中的存在價值，雖然暫時來說微積分教育并不成熟，仍然存在很多不足，但綜上所述，微積分教育在高中數學教育中出現時有必要的。

摘要:2017版新課標對高中微積分的內容和要求做出了較大調整，使得在微積分教學時遇到了一定困難。本文以新課標為出發點，歸納新課標中關于微積分的內容和要求的主要變化，揭示現階段高中生在學習微積分中存在的問題，并針對這些問題提出具體的教學建議和策略，為新課標背景下高中微積分的教學提供一定思考和改革策略。

關鍵詞:新課程標準；微積分；高中數學；教學

隨著課程標準的不斷改革，微積分在高中階段越來越受到重視。教育部頒布《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱新課標），對微積分的教學提出了更高的要求。事實上，微積分中所蘊含的美育價值、思維價值和應用價值，對高中生辯證思維的發展、解題思路的拓展和后續學習都有著十分重要的影響。因此，在新課標下，高中微積分教學成為數學教師亟需思考和研究的新課題。微積分在高中數學中經歷了多次改革，廣大數學教育工作者針對歷次改革的新內容、新要求，對高中微積分教學提出了許多建議。如孟季和［1］在《中學微積分教材教法》中，對適應1978年教學大綱改革的微積分教學的教法進行了探討；楊鐘玄［2］根據新《數學教學大綱》的改革情況，結合當時數學課本弊端，提出要將數列極限的定義由抽象的“ε－N”符號語言改成更為直觀語言的建議；匡繼昌［3］尖銳地指出教學大綱刪去極限內容的錯誤性，并表示這種無極限的導數模式不是創新，而是一種退步；李倩等［4］對課程標準中所列出的高中微積分內容從教學價值、教學實施方面進行了不同的探討，認為高中微積分教學要充分體現高中微積分和大學微積分對學生的不同要求，不能讓學生產生對運用微積分知識過度依賴的心理。因此，高中課程改革中微積分教學方法研究一直是數學教師教學研究的熱點課題。另一方面，雖然我國數學教育工作者關于高中微積分教學研究較為廣泛，但是在新課標框架下，探討高中微積分教學的研究卻不多。本文首先總結歸納新課標中微積分內容及其要求變化，然后剖析高中生學習微積分普遍存在的問題，最后有針對性地提出在新課標背景下高中微積分教學的幾點策略。

1新課標中微積分內容和要求的變化

新課標對于微積分內容和要求做出了較大調整，尤其是對于理工科學生，其在內容的難度、深度、廣度以及學習目標等方面都有很大的提高。表1以新課標A類為例，比較了其與2003年《普通高中數學課程標準（實驗）》的異同。經過比較和分析，新標準關于微積分的變化可歸納為以下三個方面：1．1注重與大學數學的接軌。在2003版的高中數學課程標準中，考慮到高中生的認知水平，當時我國高中數學涉及微積分的知識無論是從內容的深度、廣度和難度上都較為淺顯。在世界范圍內，相對于其他發達國家和部分地區高中數學課程標準中有關微積分內容，我國高中數學微積分內容的難度排名也相對靠后［5］。從表1可看出，新課標在微積分內容和結構上作出了調整。在內容上，數列極限、函數極限、連續函數、二階導數、導數的應用、定積分的理論知識部分有明顯的擴充和具體要求。在結構上，逾越極限直接通過大量的實例來理解導數的概念，修改為先學極限，再從極限的基礎上給出導數這一數學定義，該教學結構與大學微積分基本一致。另外，新課標改善了高中和大學微積分內容的斷點問題，在知識的建構上逐步與大學微積分接軌，其課程的連貫性和延續性得到進一步增強。1．2注重數學符號語言的培養。數學符號語言是一種簡潔、高效的思考與表達方式［6］。一直以來，關于是否在高中階段引入極限符號語言一直存在爭議。數學課程標準研制組在《普通高中數學課程標準（實驗）解讀》中明確指出高中學習極限的弊端：若按照先學極限再學導數的順序，極限的抽象概念會對理解導數思想和本質產生不利影響［7］。也有不少數學教育學者指出，高中極限內容的刪減只會對學生理解微積分會產生障礙。新課標再一次增設了極限內容，對極限內容的學習要求由了解上升到理解的層面，不僅給出了極限的數學符號定義，并且要求學生掌握極限的相關性質及其證明。此外，有關連續函數、導數、定積分的概念，新課標也都給出了嚴格的定義和證明，這充分體現了新課標對培養學生數學符號語言的表達能力的重視。1．3注重微積分的實際應用。微積分是研究現代數學的基礎，也是解決其他領域技術的重要工具。新課標更加強調借助幾何直觀和物理實際背景來引入微積分思想，并且對微積分的實際應用能力提出了更高的要求。事實上，微積分在研究數學的函數變化、物理學的物體變速運動以及經濟學的生產優化等問題中起到關鍵作用。如在初等數學中，學生對于曲邊圖形面積和旋轉體體積的計算往往倍感無從下手，但從微積分的極限思想出發，將曲邊圖形和旋轉體劃分為無數個無限小的面積微元和體積微元，再近似求和，便能有效地推導出曲邊圖形和旋轉體積的求解公式。又如在物理的運動學問題中，對于常見的勻速直線運動等簡單的運動形式，學生往往能得心應手，而對于變速直線運動來說，很多學生往往一籌莫展，但如果使用微積分工具便能很好地解決［8］。由此可見，提升微積分的實際應用能力是適應新時代數學教育發展，培養應用型人才的有效手段。

2高中生學習微積分存在的問題

摘要：《高等學校課程思政建設指導綱要》指出，全面推進高校課程思政建設是落實立德樹人根本任務的戰略舉措。微積分課程思政的實施在于教師的引導和挖掘，教師在教學中堅持以學生為中心，做好頂層設計，實施寓教于樂，做到教書育人兩手抓，讓學生在學習專業知識的同時，樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀。該文通過微積分知識點與課程思政元素的結合，實現微積分課程思政的有效開展。

關鍵詞：微積分；課程思政；教書育人

微積分作為一門典型的理工科專業基礎課程，對后續課程和專業學習至關重要。正如李克強總理在2021年全國兩會上對青年學生說的幾句話：“不管你們將來從事什么職業、有什么樣的志向，一定要注意加強基礎知識學習，打牢基本功和培育創新能力是并行不悖的，樹高千尺，營養還在根部。把基礎打牢，將來就可以旁通，行行都可以寫出精彩”[2]。而微積分恰好就是這樣的一門基礎課。作為理、工、經、管、文、法各專業的通識教育必修課，微積分是一門學時長、課時緊、內容多、知識難的基礎課程。如何結合數學學科特點，使微積分課堂教學與思想政治理論教學同向同行，形成協同效應，實現全程、全方位育人的新理念呢？本文從以下幾個方面進行了探索：

1微積分課程思政的實施對教師的要求迫在眉睫

1.1專任教師正確認識開展課程思政的必要性和緊迫性

2021年年初，一個網名叫“離燈冬眠”的25歲女生，因為游戲機被母親砸爛，選擇自殺離開這個世界，在遺書中說游戲是她人生唯一的追求和樂趣，失去了游戲就失去了人生的樂趣，這樣的案例讓教育工作者不得不思考，我們現在培養的部分大學生，專業知識有了，但是世界觀、人生觀、價值觀嚴重偏離人生正確的軌道，大學畢業就失去了人生目標和崇高理想。因此，在專業教學中開展課程思政，幫助學生樹立正確的“三觀”，不但必要而且迫在眉睫。作為一名高校數學教師，不但要傳授數學知識、數學方法、數學思維、數學技能，還要通過課堂思政教會學生如何做人、做事，形成正確的“三觀”，摒棄“思政教育是思政教師的工作，思政教育跟數學教學沒有關系”的錯誤思想，把課堂思政真正落到實處，讓學生在學習專業知識的同時，接受思想政治教育，真正成長為有理想、有信念的時代新人[3]。

一、符號邏輯：“通用數學語言”

萊布尼茨對數學問題的最早探索和最初貢獻是試圖沿著笛卡爾和霍布斯的思路建構所謂的“通用語言”。這種語言是一種用來代替自然語言的人工語言，它通過字母和符號進行邏輯分析與綜合，把一般邏輯推理的規則改變為演算規則，以便更精確更敏捷地進行推理。（［1］，p．8）或者說，“通用語言”是一套表達思想和事物的符號系統，利用這些符號可以進行演算并推出各種知識。在《論組合術》中，二十歲的萊布尼茨曾立志要創設“一個一般的方法，在這個方法中所有推理的真實性都要簡化為一種計算。同時，這會成為一種通用語言或文字，但與那些迄今為止設想出來的全然不同；因為它里面的符號甚至詞匯要指導推理；錯誤，除去那些事實上的錯誤，只會是計算上的錯誤。形成或者發明這種語言或者記號會是非常困難的，但是可以不借助任何詞典就很容易懂得它。”（［2］，p．123）在1679年9月8日給惠更斯的信中他又寫道，有一個“完全不同于代數的新符號語言，它對于精確而自然地在腦子里再現（不用圖形）依賴于想象的一切有很大的好處。……它的主要效用在于能夠通過記號〔符號〕的運算完成結論和推理，這些記號不經過非常精細的推敲或使用大量的點和線會把它們混淆起來，因而不得不作出無窮多個無用的試驗；另一方面，這個方法會確切而簡單地導向〔所需要的〕結果。我相信力學差不多可以象幾何學一樣用這種方法去處理。”（［3］，p．151～152）

綜合萊布尼茨零零碎碎的設想，他的宏偉規劃大體旨在創造兩種工具：其一是通用語言，其二是推理演算（calaulusratiocinator）。前者的主要使命是消除現存語言的局限性和不規則性，使新語言變成世界上人人會用的具有簡明符號、合理規則的語言，規定符號的演變規則與運算規則，使邏輯演變依照一條明確的道路進行下去，進而解決所有可用語言表達的問題。

為此，萊布尼茨做了兩方面的努力：一是尋找能夠代表所有概念并可認作最根本的不可分析的符號；二是給出表述諸如斷定、合取、析取、否定、全稱、特殊、條件聯結等形式概念的設計。關于第一方面，萊布尼茨首次設想用數目代表原初概念，而邏輯演算則用如同算術中的乘或除來代替。他認為用這種數字的不同方式排列組合，進行各種運算，就可產生無窮多的復合概念。這一思想后來改進為以素數代表基本概念，而復合詞項即可借分解相應的數字成為它們的素數因子來加以分析。以“人是理智動物”為例，用素數“3”代表“動物”、“5”代表“理智”，則“人”即以“15＝3．5”代表。為了更好地構設“通用語言”，萊布尼茨又以設想的“人類概念字母表”為語言詞匯基礎創制了一些邏輯符號，如“∪”（并）、“∩”（交）等，一直沿用下來。

關于第二方面，萊布尼茨的工作大致可以1679、1686、1690三個年代為標志劃分為三個階段。（［4］，pp．271～273）

第一階段，萊布尼茨改進從數字代替概念以其演算，代之以對普通命題經驗分析為基礎的代數邏輯。他以全稱肯定命題“a是b”的形式開始，提出五條基本演算規則：（1）ab是ba（交換律）；（2）a是aa（重言律）；（3）a是a（同一原則）；（4）ab是a或ab是b（化簡原則）；（5）如a是b且b是c，則a是c（傳遞原則）。以此為據，他證明了同一和包含兩個邏輯系詞之間的重要關系，即，如a是b且b是a，則a與b是同一的。進而，他又提出四個定理：（1）如a是b且a是c，則a是bc；（2）如a是bc，則a是b且a是c；（3）如a是b，則ac是bc；（4）如a是b且c是d，則ac是bd。由此可見，萊布尼茨在第一階段的邏輯演算已相當完善和科學化，為邏輯的系統化打下了堅實的基礎。

戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（1646～1716）對數學有兩項突出貢獻：發明了符號邏輯和微積分。由于這兩項成就分屬不同的數學分支，人們也往往將其看作萊布尼茨的兩種不同工作，忽視了它們之間的一致性，這為研究萊布尼茨的數學思想、完整地理解數學史和科學發現的規律帶來不少困難。本文的目的就是試圖理解的揭示這種一致性。

一、符號邏輯：“通用數學語言”

萊布尼茨對數學問題的最早探索和最初貢獻是試圖沿著笛卡爾和霍布斯的思路建構所謂的“通用語言”。這種語言是一種用來代替自然語言的人工語言，它通過字母和符號進行邏輯分析與綜合，把一般邏輯推理的規則改變為演算規則，以便更精確更敏捷地進行推理。（［1］，p．8）或者說，“通用語言”是一套表達思想和事物的符號系統，利用這些符號可以進行演算并推出各種知識。在《論組合術》中，二十歲的萊布尼茨曾立志要創設“一個一般的方法，在這個方法中所有推理的真實性都要簡化為一種計算。同時，這會成為一種通用語言或文字，但與那些迄今為止設想出來的全然不同；因為它里面的符號甚至詞匯要指導推理；錯誤，除去那些事實上的錯誤，只會是計算上的錯誤。形成或者發明這種語言或者記號會是非常困難的，但是可以不借助任何詞典就很容易懂得它。”（［2］，p．123）在1679年9月8日給惠更斯的信中他又寫道，有一個“完全不同于代數的新符號語言，它對于精確而自然地在腦子里再現（不用圖形）依賴于想象的一切有很大的好處。……它的主要效用在于能夠通過記號〔符號〕的運算完成結論和推理，這些記號不經過非常精細的推敲或使用大量的點和線會把它們混淆起來，因而不得不作出無窮多個無用的試驗；另一方面，這個方法會確切而簡單地導向〔所需要的〕結果。我相信力學差不多可以象幾何學一樣用這種方法去處理。”（［3］，p．151～152）

綜合萊布尼茨零零碎碎的設想，他的宏偉規劃大體旨在創造兩種工具：其一是通用語言，其二是推理演算（calaulusratiocinator）。前者的主要使命是消除現存語言的局限性和不規則性，使新語言變成世界上人人會用的具有簡明符號、合理規則的語言，規定符號的演變規則與運算規則，使邏輯演變依照一條明確的道路進行下去，進而解決所有可用語言表達的問題。

為此，萊布尼茨做了兩方面的努力：一是尋找能夠代表所有概念并可認作最根本的不可分析的符號；二是給出表述諸如斷定、合取、析取、否定、全稱、特殊、條件聯結等形式概念的設計。關于第一方面，萊布尼茨首次設想用數目代表原初概念，而邏輯演算則用如同算術中的乘或除來代替。他認為用這種數字的不同方式排列組合，進行各種運算，就可產生無窮多的復合概念。這一思想后來改進為以素數代表基本概念，而復合詞項即可借分解相應的數字成為它們的素數因子來加以分析。以“人是理智動物”為例，用素數“3”代表“動物”、“5”代表“理智”，則“人”即以“15＝3．5”代表。為了更好地構設“通用語言”，萊布尼茨又以設想的“人類概念字母表”為語言詞匯基礎創制了一些邏輯符號，如“∪”（并）、“∩”（交）等，一直沿用下來。

關于第二方面，萊布尼茨的工作大致可以1679、1686、1690三個年代為標志劃分為三個階段。（［4］，pp．271～273）