不定方程3+2y3=3解析

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摘要：本文用初等方法，對不定方程+2=3的整數解進行探究，得到了方程++=3的若干整數解。

關鍵詞：不定方程；整數解；整除；初等方法

一、引言

文[1]對許多不定方程作過探討，其中不定方程

++=3（1）

的整數解問題是遺留問題之一。

顯然，若不定方程

+2=3（2）

有整數解，則（1）一定有整數解。

因此我們先對不定方程（2）的整數解進行探究，然后導出不定方程（1）的若干整數解。

二、關于不定方程+2=3的整數解

將方程（2）變形為

-1=-2(-1)（3）

即

(-1)[(-1)2+3(-1)+3]=-2(-1)[(-1)2+3(-1)+3]

則

(+3+3)=-2(+3+3)

易知，=0當且僅當=0。

此時方程（2）的一組整數解為()=(1,1)。

下面我們考慮≠0的情形。可設=+3+3=-2(+3+3)

這里為非負有理數。于是有(23+1)+3(22+1)+6+3=0（5）

考慮到方程的判別式

€HU=9(22+1)2-4(23+1)(6+3)

=-3(44+83-122+8+1)≥0

得44+83-122+8+1≤0（6）

記=44+83-122+8+1，有=163+242-24+8=2(83+1)+6(2-1)2

當≥時，>0，

故在[,+∞)上遞增。

但=1>0，因此，若（6）成立，必須<0。

又由方程（3）知，當>1,>1及當≤0,≤0時，方程均無整數解。

(一)設>1且≤0，當=-2,3,4…20時，方程（2）均無整數解，故>20。

由（4）中=，即=-+1，得=-1>0，這說明關于遞增。當≤-1時，≤|=-+2<-0.9。若方程（2）有整數解，則=3-2>3-2(-0.9)3，即0.458+3<0。這與為正整數矛盾。

（二）設≤0且>1，由（4）中=，即=-+1，得=-1<0，這說明關于遞減。當≤-1時，≥|=-+2<-。若方程（2）有整數解，則=3-2>3-2(-)3，即+3>0。這與為負整數矛盾。

綜上，若方程（2）有整數解，則有理數必須滿足-1<<0。

如取=-，代入（5）解得=-6。這時方程（2）的又一組整數解為()=(-5,4)。

因此，由不定方程（2）的整數解()=(1,1)，(-5,4)可導出不定方程（1）的四組整數解為(,)=(1,1,1)，

(4,4,-5),(4,-5,4),(-5,4,4)