淺思高等數學教學應過程化
時間：2022-08-03 11:24:00
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摘要：在高等數學的教學中，作為教師既要教給學生系統的數學知識，又要向學生展現知識的發現、提出、發展等思維過程，只有這樣才能使學生既學到了知識、掌握科學發明的方法，更重要的是提高學生自身創造能力，為終身學習打下基礎。
一、問題的提出
高等數學是理工科院校的一門重要的基礎課程，它不但為學生學習后繼課程和解決實際問題提供必不可少的數學基礎知識及常用的數學方法。而且在培養學生的創新思維能力方面也起著重要的作用。高等數學教學質量的好壞，直接影響著學生對后繼課程的學習，也直接影響著學生的學習質量。
長期以來，許多工科院校的高等數學教學已形成了一種默認的方式：在遇到需要講解公式、定理時，教師自認為對學生講公式、定理的證明有浪費時間的嫌疑，索性簡單地介紹一下，要求學生記住公式、定理，然后把課堂的大部分時間都用在講解例題，帶領學生做關于此公式、定理的各種各樣的題型，這種教學即不講定理、公式是如何發現和提出的，也不說明它們是如何證明的，更不講定理、公式是如何發展和應用的，各個定理、公式之間有何聯系等等，學生只要知道公式、定理的結論，能熟練的運用公式、定理就意味著他們已掌握教學內容，從而教學任務也就完成了，至于其推理過程講起來費時費力，再加上學時的限制，大家都只好走馬觀花了。這種教學的效果如何呢？請聽一聽過來學生的心聲吧！一個已考上研究生的學生這樣評價自己的高數學習：讓我們背公式、記定理，做計算題，我們毫不含呼，但如果讓我們做證明題，一點辦法都沒有。還有一個同學對我講，老師，我們為什么要學習泰勒公式，泰勒公式對今后的工作有用嗎？泰勒公式的證明是如何想到的？其實有類似想法的學生也許還有許多。那么造成這些后果的原因到底出在哪里？從實質上看，問題主要在于我們的教學主要是呈現前人發明的結果和狀態，完全或部分丟掉了數學發明的過程，不妨稱它為“結果教學”，如果教學僅僅為了系統傳授知識，僅僅為了提高學生的運算技能，這種教學就足夠了，但在大力倡導提高民族創新精神的今天，結果教學已完全落后于時代，它使學生“只見樹木，不見森林”，只知其然，而不知所以然，只學到了靜態的、刻板的知識，而沒有掌握數學思想方法，其實質是降低了對學生數學能力的要求，也是無法實現高等數學的教育目標的。而方法才是具有活力的要素，如何解決上述兩個同學的困惑和疑問，使學生掌握鮮活的知識，如何提高和培養學生的創造能力？現代數學教學論認為數學教學是思維活動的教學，只有按照思維活動過程的規律進行教學，才能優化學生的思維品質，提高學習的質量。而偉大的數學家萊布尼茲也曾說過：“沒有什么比看到發明的源泉（過程）更重要了，比發明本身更重要”②。因此筆者認為教學應按照數學思維活動的規律，既教給學生數學發明創造的成果，又向學生展示知識的形成、發展、前進的過程，只有這樣才能有效的解決我們當前高數教學中存在的問題的。這種教學不妨稱為“過程教學”。
二、過程教學的理論依據
(一)現代建構主義教育觀認為學生的學習是在自己原有認知結構的基礎上的一個主動建構過程，能夠使學生的思維始終處于積極狀態的教學才是有效的教學，而過程教學正是在教學中通過展現數學家的思維過程（創造過程）、教師自己的思維過程，使學生在重新經歷數學知識的發現、形成、改造、發展中和數學家同思考、共發現，師生之間的交流也實現了心靈與心靈零距離的有效碰撞，從而使學生能真正體會到數學家是如何選擇問題的突破口？如何合理選擇發明創造的方法，如何調整研究問題的方向？面對錯誤是如何修正的等等，這樣的教學不但有利于發揮學生的主動性，而且更有利于培養學生的創造性，使學生學到活生生的創造方法，同時學生的心靈也可以受到潛移默化的影響，而這種影響則是永久的，終生的留在了學生的記憶里，是學生生命的需要。
(二)從心理學的角度來講，過程教學中全體學生的不同思維展現，使不同的思考方法異彩紛呈，更易在同學之間產生影響，好的方法更易被采納，失敗的教訓更易接受，從而更有利于解決他們將來遇到的新問題，因此在教學中暴露思維活動的過程應是高數教學貫穿的生命主線。
三、過程教學的實施
在教學中如何開展過程教學呢？擬從下面幾個方面進行：
概念、定理、公式的教學中，引導學生經歷概念、定理、公式的發現、形成及證明思路的形成過程，讓學生掌握不同定理、公式之間的聯系和區別。
數學概念、定理的教學是數學教學中一個十分重要的環節，它是深刻理解、掌握教學內容，成功解決問題的基礎。教材中一般只給出了概念的定義、定理的內容，省略了概念、定理提出、證明方法的形成過程，從而給學生的學習造成了一定的困難，如何讓學生深刻理解概念、定理的本質，體驗概念、定理提出的必要性和可行性呢？筆者認為教師應向學生提供數學概念、定理形成的有效情景，引導學生利用自己已有的知識和經驗，通過主動探索和積極思考，親身經歷概念是如何發現、形成的，最終由學生自己發現相應的概念與定理，這樣，學生才能真正領悟概念的本質，弄清概念的外延，從而避免在后繼的學習中出現概念性錯誤。比如在講解微積分學基本定理，有兩條方案可供選擇：
其一是直接給出變上限的定積分的概念，接著推出微積分學基本定理，
評價：這種方法是大多數教師采用的方法，它能按時完成教學任務，也能使學生會用此公式進行定積分的運算，但由于缺乏對學習此公式的必要性和可行性的認同，因而學習沒有興趣，另外，這種教學也使學生缺少了一次數學思想方法和創造發明方法洗禮的好機會。其二是教師可在第一節定積分的概念和性質的基礎上創設如下兩個問題情景：
情景1：計算及。
評價：在計算時，同學們能夠用定積分的定義計算出來，但在計算時，卻無論如何無法進行，此時他們深刻體會到利用定義計算定積分是多么復雜的，尋求計算定積分的簡單方法此刻已成為他們內心的需求。也許此時有的同學認為可利用定積分的中值定理來解決，在剛講過中值定理的情況下，學生有這種思考是自然的，此時教師可留出時間讓學生來嘗試，通過嘗試他們會發現在中由于不知道ξ的值，而無法進行下去。（注：學生對問題嘗試解決的受阻又進一步提高解決問題的積極性。）
下面教師就可出示第二個問題，
情景2：有一物體在x軸上運動，設時刻t時物體所在的位置為s(t)，速度為v(t)(v(t)≥0），請討論物體在時間間隔[T1，T2]內經過的路程。
此時教師可引導學生利用導數、定積分的物理意義及物理學中路程的含義得出物體在時間間隔[T1，T2]內經過的路程，而，于是就有式子成立，由此引導大家得到猜想：速度函數v(t)在區間[T1，T2]上的定積分等于其原函數s(t)在該區間上的增量，這樣的結論是否具有普遍性呢？這樣引出變上限定積分就有了合理性。
評價：采用上述方式教學，情景1的設計首先從思想上解決了學習微積分學基本定理的必要性，讓學生體會到問題是如何提出的，更引發了學生的學習興趣，“變要我學，為我要學”，接下來通過不同學生的探索過程，又讓學生體驗到問題是如何解決；情景2的設置使學生體驗到當問題解決不下去時，如何尋找出路，達到柳暗花明的境界，那就是利用特殊化的思想把研究的問題先特殊化，變成我們熟悉的、能夠解決的問題，從特殊問題的解決中找出規律，尋求一般問題解決的思路，這種解決問題、思考問題的方法正是進行科學研究經常采用的，對學生進行科學研究方法的訓練，也正是教學要達到的一個較高境界。