詮釋變式教學中習題引申的問題注意事項

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“引申”主要是指對例習題進行變通推廣，重新認識．恰當合理的引申能營造一種生動活潑、寬松自由的氛圍，開闊學生的視野，激發學生的情趣，有助于培養學生的探索精神和創新意識，并能使學生舉一反三、事半功倍．筆者在教學視導中發現，有些教師對引申的“度”把握不準確，不能因材施教，單純地為了引申而引申，給學生造成了過重的學習和心理負擔，使學生產生了逆反心理，“高投入、低產出”，事倍而功半．下面就引申要注意的幾個問題談點個人的看法．

1引申要在原例習題的基礎上進行，要自然流暢，不能“拉郎配”，要有利于學生通過引申題目的解答，加深對所學知識的理解和掌握

如在新授定理“a，b∈R＋，（a＋b）／2）≥（當且僅當a＝b時取“＝”號）”的應用時，給出了如下的例題及引申：

例1已知x＞0，求y＝x＋（1／x）的最小值．

引申1x∈R，函數y＝x＋（1／x）有最小值嗎?為什么?

引申2已知x＞0，求y＝x＋（2／x）的最小值；

引申3函數y＝（x2＋3）／的最小值為2嗎?

由該例題及三個引申的解答，使學生加深了對定理成立的三個條件“一正、二定、三相等”的理解與掌握，為定理的正確使用打下了較堅實的基礎．

例2求函數f（x）＝sin（2x／3）＋cos[（2x／3）－（π／6）]的振幅、周期、單調區間及最大值與最小值．

這是一個研究函數性質的典型習題，利用和差化積公式可化為f（x）＝cos（（2x／3）－（π／3）），從而可求出所要的結論．現把本例作如下引申：

引申1求函數f（x）＝sin（2x／3）＋cos[（2x／3）－（π／6））的對稱軸方程、對稱中心及相鄰兩條對稱軸之間的距離．

引申2函數f（x）＝sin（2x／3）＋cos（（2x／3）－（π／6））的圖象與y＝cosx的圖象之間有什么關系?

以上兩個引申的結論都是在相同的題干下進行的，引申的出現較為自然，它能使學生對三角函數的圖象及性質、圖象的變換規律及和積互化公式進行全面的復習與掌握，有助于提高學習效率．

2引申要限制在學生思維水平的“最近發展區”上，引申題目的解決要在學生已有的認知基礎之上，并且要結合教學的內容、目的和要求，要有助于學生對本節課內容的掌握

如在新授定理“a，b∈R＋，（a＋b／2）≥（當且僅當a＝b時取“＝”號）”的應用時，把引申3改為：求函數y＝（x2＋3）／的最小值，則顯得有些不妥．因為本節課的重點是讓學生熟悉不等式的應用，而解答引申3不但要指出函數的最小值不是2，而且還要借助于函數的單調性求出最小值，這樣本堂課就要用不少時間去證明單調性，“干擾”了“不等式應用”這一“主干”知識的傳授；但若作為課后思考題讓學生去討論，則將是一種較好的設計．

3引申要有梯度，循序漸進，切不可搞“一步到位”，否則會使學生產生畏難情緒，影響問題的解決，降低學習的效率

如在新授利用數學歸納法證明幾何問題時，《代數》（非實驗修訂本）課本給出了例題：平面內有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，證明交點的個數f（n）等于（1／2）n（n－1）．在證明的過程中，引導學生注意觀察f（k）與f（k＋1）的關系有f（k＋1）－f（k）＝k，從而給出：

引申1平面內有條n直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，求這n條直線共有幾個交點?

此引申自然恰當，變證明為探索，使學生在探索f（k）與f（k＋1）的關系的過程中得了答案，而且鞏固加深了對數學歸納法證明幾何問題的一般方法的理解．類似地還可以給出

引申2平面內有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，該n條直線把平面分成f（n）個區域，則f（n＋1）＝f（n）＋_______________．

引申3平面內有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，該n條直線把平面分成f（n）個區域，求f（n）．

上述引申3在引申1與引申2的基礎上很容易掌握，但若沒有引申1與引申2而直接給出引申3，學生解決起來就非常困難，對樹立學生的學習信心是不利的，從而也降低了學習的效率．

4提倡讓學生參與題目的引申

引申并不是教師的“專利”，教師必須轉變觀念，發揚教學民主，師生雙方密切配合，交流互動，只要是學生能夠引申的，教師絕不包辦代替．學生引申有困難的，可在教師的點撥與啟發下完成，這樣可以調動學生學習的積極性，提高學生參與創新的意識．

如在學習向量的加法與減法時，有這樣一個習題：化簡＋＋．

（試驗修訂本下冊P．103習題5．2的第6小題）在引導學生給出解答后，教師提出如下思考：

①你能用文字敘述該題嗎?

通過討論，暢所欲言、補充完善，會有：

引申1如果三個向量首尾連接可以構成三角形，且這三個向量的方向順序一致（順時針或逆時針），則這三個向量的代數和為零．

②大家再討論一下，這個結論是否只對三角形適合?

通過討論學生首先想到對四邊形適合，從而有

引申2+++＝0．

③大家再想一想或動筆畫一畫滿足引申2的這四個向量是否一定可構成四邊形?

在教師的啟發下不難得到結論：四個向量首尾相連不論是否可形成四邊形，只要它們的方向順序一致，則這四個向量的代數和為零．

④進一步啟發，學生自己就可得出n條封閉折線的一個性質：

引申3＋＋＋…＋＋＝0．

最后再讓學生思考若把＋＋＝0改為任意的三個向量a＋b＋c＝0，則這三個向量是否還可以構成三角形?這就是P．103習題5．2的第7小題，學生很容易得出答案．至此，學生大腦中原有的認知結構被激活，學生的求知欲被喚起，形成了教師樂教、學生樂學的良好局面．

5引申題目的數量要有“度”

引申過多，不但會造成題海，會增加無效勞動和加重學生的負擔，而且還會使學生產生逆反心理，對解題產生厭煩情緒．筆者在一次聽課時，有位青年教師對一道例題連續給出了10個引申，而且在難度上逐漸加大，最后引申的題目與例題無論在內容上還是在解題方法上都相關不大，這樣的引申不僅對學生學習本節課內容沒有幫助，而且超出了學生的接受能力，教學效果也就會大打折扣．

綜上所述，變式教學中習題的引申方式、形式及內容，要根據教材的內容和學生的情況來安排，因材施教是課堂教學永遠要堅持的原則，恰當合理的引申，可使學生一題多解和多題一解，有助于學生把知識學活，有助于學生舉一反三、觸類旁通，有助于學生產生學習的“最佳動機”和激發學生的靈感，它能升華學生的思維，培養學生的創新意識．

參考文獻

1張憲鑄一道向量習題的推廣及應用數學通訊，2001，17