復變函數與積分變換課程教學設計思考

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摘要:復變函數與積分變換課程是理工科的一門重要的數學基礎課，在學生后續學習其他工科課程中發揮著極其重要的作用。鑒于這門課程的理論復雜性，傳統的教學模式往往受學時的限制，教學效果并不理想，因此為提高教學效果，本文提出以學生為中心的原則下課程教學設計的若干思考，即在倡導網絡教學的新形勢下如何激發學生的學習興趣、培養學生的學習信心以及提升他們的學習能力。近幾年的教學實踐表明，這些方法對提高這門課程的教學效果行之有效，受到學生們的普遍歡迎。

關鍵詞:復變函數與積分變換;教學設計;對分課堂;Matlab仿真;學習通軟件

眾所周知，復變函數與積分變換是理工科各專業的一門重要的數學基礎課，它是學生學習農業機械化、力學、自動控制理論、電子技術、自動化、信號處理等諸多課程的先修課，也是解決實際工程問題的有力數學工具。然而，由于這門課是建立在高等數學與數學分析課程的基礎之上，其數學公式繁多，理論性較強，因此對初學者而言，它的內容顯得難度很大，學生學習的效果往往不容樂觀。鑒于工科學生學好這門課程的重要性，我們做了一些新的嘗試，開展了多樣化的線上教學模式，并將其與傳統的教學模式相結合，充分發揮線上模塊化教學與線下集中授課的優點，取長補短。既解決了學時的限制，又拓寬了知識面，也加深了一部分內容的難度和深度，以適應不同專業對該門課程的不同需求。本文是根據多年來這門課的教學經驗與學生的學習情況，堅持“以學生為中心”原則，總結若干切實可行的新型教學方法，期待與同行專家學者學習交流。

一、注重激發學生的學習興趣

本科階段三門數學基礎課:高等數學、線性代數及概率論與數理統計，雖然讓學生學習到了豐富的大學數學知識，但由于它們的抽象性與計算復雜性，學生學習效果也是良莠不齊。考慮到它們是考研科目，學生還是會全力以赴去學好這些課程。然而，復變函數與積分變換不是工科學生的考研科目，加上它的理論復雜性，學生的學習動力明顯不足，這樣在平時教學中，學生比較容易懈怠，集中上課的效果不容樂觀，作業完成的質量往往不高。以上這些是當前學生學習這門課的普遍現象，作為教師，我們需要重視并改變它。為了讓課堂的氣氛活躍起來，我們以PPT課件和錄制小視頻的形式給同學們介紹與這門課知識點有關的有趣故事。例如在講復數的起源時，可先通過PPT課件介紹在復數的產生過程中，那些著名的數學家的故事，了解其人，知道其對復變函數作出的偉大貢獻，包括偉大的數學家歐拉，柯西，魏爾斯特拉斯，黎曼等等。簡要了解數學史對學習這門課程很有幫助。比如讓同學們了解歐拉是如何利用高等數學知識，得到歐拉公式的，而后人又是如何利用三角函數的冪級數展開式給出其嚴格證明方法，歐拉本身的生平事跡十分勵志，特別對于處于信息嚴重爆炸的今天的學生，會有很強的震撼作用，學生也必然會被歐拉論文成果多產與毅力堅強所吸引。當學生不再感覺這門課程只是晦澀難懂的時候，我們提出一些有趣的問題。比如，正弦函數與余弦函數在高等數學里有界，它們在復變函數是否仍然有界?復變函數中，指數函數如何定義?指數函數又為什么會具有周期性呢?對數函數為什么會是多值的?這些與高數截然不同的結論，必然激發他們學習復變函數的極大興趣，于是我們再鼓勵學生課余時間在復變函數與積分變換教材中尋找答案，讓他們以行動自覺地學習這門課程的相關知識點。另外，我們也會利用數學軟件Matlab仿真來處理一些理論性強的概念如級數、留數、傅里葉變換及拉普拉斯變換等，鼓勵學生課余時間也來利用這軟件做一些仿真練習，這些形象的教學手段有助于學生加強對復雜公式、概念等的理解與認識。由此激發學生的學習興趣，讓他們感受到我們教師這么做就是為了讓他們學習這門課充滿樂趣，而不是只有枯燥與困惑。

二、培養學生學習這門課的信心

多年的教學經驗告訴我們，切不可在課堂上一味地講授復變函數與積分變換的知識點。雖然這門課是建立在高等數學與數學分析之上，但很多學生已經忘記甚至記錯高等數學中的概念、定義、定理等，甚至搞錯解題方法。因此，我們在下次講授新課前，會提醒學生我們將要學習哪些內容，這些內容與高等數學里哪些內容相似或有關，鼓勵同學們課余時間復習相關的高等數學知識，同時預習這門課的新知識點。例如，復變函數與積分變換課程中的極限、連續、導數、級數及其斂散性的判別等，在高等數學中也有此類定義。我們采用的這種類比的教學方法可以很好地培養學生自發學習與查資料的學習習慣。當他們走進課堂學習新知識點的時候，信心滿滿;當我們事先設計好問題，在課堂提問的時候，他們也會搶著回答。我們的課堂教學形成了很好的互動氛圍，讓學生感受到他們就是課堂教學的積極參與者，課堂是他們展現自我才華的舞臺。

三、最大可能地提升學生的學習能力

當同學們對復變函數與積分變換課程的學習充滿興趣與信心的時候，作為這門課的教師，我們思考著如何趁熱打鐵，最大可能地提升他們的理解能力、計算能力及表達能力。具體而言，我們采用對分課堂教學模式。這種教學模式最早是復旦大學張學新教授提出的，它起初主要應用于人數少的文科課程教學。我們采用分組的方法，布置學習任務給每個小組，再結合超星學習通的線上教學平臺，也取得了較好的效果。我們的具體做法是，將全班分成若干小組，選擇各章的部分小節內容作為他們的自學內容，小組內部互相交流，確定學生代表，利用課堂教學的部分時間，采用板書或者PPT的形式給全班師生講解，然后全班討論，最后我們授課教師總結與點評。例如，我們講授復變函數的概念與極限，先請學生代表講解復變函數的連續性，然后請其他小組同學討論該學生代表講課的優點與不足，最后授課教師點評。我們講函數解析的充分必要條件，先安排小組同學講初等函數并舉例，大家再討論，最后我們加以總結。在時間上，我們一般安排學生講課15分鐘，大家討論5分鐘，教師點評與總結25分鐘。這樣，學生將有20分鐘課堂時間展現自我風采，鍛煉自己的理解能力與表達能力。這對于學生也是一種很必要的鍛煉，離開座位，走上講臺，當一次“老師”，體會自己學會和通過自己的講解讓別人學會的區別，也是學生展現自己的一次難得機會。這樣做的確會占用一部分課堂教學時間，教學大綱中的教學任務如何有效完成呢?我們充分利用超星學習通線上教學平臺，將每次上課的內容、課件及相關資料放在平臺上，供學生隨時查閱。承擔復變函數與積分變換教學的所有教師均可提前錄制相關教學內容的視頻，放在學習通的資料庫里，根據每個班級的教學進度按時發放。這樣一方面可以彌補課堂教學時間的不足，另一方面對于學生在課下預習和復習時，可以反復觀看教學視頻，也可以結合自己的實際理解情況，選擇跳過某部分視頻，直接進行下一個知識點的學習。這種自主選擇學習內容的方式受到同學們的普遍歡迎，既照顧學習能力比較強的學生，節約了時間，又可以照顧到接受能力相對薄弱的學生，通過反復觀看理解，有疑問隨時在平臺上提出，老師不再局限于地點的選擇，隨時隨地可以解答疑問。每章結束以后會進行線上測試，分為系統自評和學生互評兩種。系統自評以客觀題為主，在題庫里隨機選擇相關題目，學生可多次作答，取最高分數計入該次成績。系統可以統計出每題的正確率，授課教師可參考統計結果決定是否在課堂上統一講解該題目。這樣可以很好地彌補課時量不足的局限。教師也可以根據測試結果和每次的作業報告及時了解學生對知識點的掌握情況，從而在后面的教學中及時查缺補漏。下圖是部分作業的發放和統計情況。對于成績方面，我們將學生的出勤、講課質量、線上線下作業的完成情況作為平時成績考核的重要依據，適當降低期末考試成績所占的比重，這樣更好地激發了同學們的學習自覺性。

總之，我們所做的一切都是旨在以學生為中心，激發學生學習復變函數與積分變換課程的興趣，培養他們敢于挑戰這門理論性強的數學課程的學習勇氣，進而最大可能性提升他們的理解能力、計算能力及表達能力。這樣，他們將努力學好這門課，為其他后續理工科的應用類課程打好基礎。教學相長，這也提高了我們教師的業務水平與專業素養。致謝:作者感謝南京農業大學工學院教改項目《復變函數與積分變量》混合式教學探索與實踐(No．2019GQ0502)的資助，也感謝編輯和審稿專家的寶貴建議。

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作者:王凡 孔倩 張新華單位:南京農業大學