談音樂與數(shù)學(xué)的關(guān)系

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摘要：本文對(duì)數(shù)學(xué)思維在音樂中音程、音符、和聲、節(jié)奏和結(jié)構(gòu)等方面的運(yùn)用進(jìn)行了初步分析，發(fā)現(xiàn)音樂與數(shù)學(xué)不僅有許多結(jié)合點(diǎn)，而且音樂與數(shù)學(xué)思維的結(jié)合所揭示的自然和諧統(tǒng)一規(guī)律，既是音樂理論所追求的美學(xué)價(jià)值，也是數(shù)學(xué)理論追求的美學(xué)價(jià)值。

關(guān)鍵詞：音程；音符；和聲；節(jié)奏；結(jié)構(gòu)

音樂與數(shù)學(xué)的淵源可追溯到古希臘時(shí)期。數(shù)學(xué)鼻祖畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了音樂與數(shù)學(xué)的微妙關(guān)系，以數(shù)學(xué)來(lái)解釋音樂，用弦來(lái)計(jì)算音程的度數(shù)，將音程分為協(xié)和與不協(xié)和兩種，他認(rèn)為數(shù)的原則是一切事物的原則。他的觀點(diǎn)至今對(duì)我們解釋音樂都有極大的影響。音樂中，音的排列、命名、時(shí)值、和聲、結(jié)構(gòu)等無(wú)不包含著“數(shù)”，而且這種“數(shù)”是在形象的變化中構(gòu)筑、延伸、流動(dòng)的某種線條，也就是說(shuō)，音樂的根基是數(shù)與形的交融。

1音樂與數(shù)學(xué)在音的排列、命名、時(shí)值中的結(jié)合

在五線譜中，當(dāng)我們按上行、下行排列將所有的音（也就是音列）放入數(shù)學(xué)中的坐標(biāo)內(nèi)，并將所有的音符看作點(diǎn)連起來(lái)，會(huì)發(fā)現(xiàn)他們組成了一條直線。并且隨著這條直線的向右、向左延伸，樂譜中的音的音高也隨之遞增、遞減。有興趣的讀者可以做個(gè)實(shí)驗(yàn)，把熟悉的音樂作品的音符按音高與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)畫出其音樂曲線，你會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，美妙的音樂其音樂曲線的圖形也是那樣的優(yōu)美。而在記錄聲音長(zhǎng)短的音的時(shí)值中，音符的命名與音符的時(shí)值成反比。隨著音符命名的增大，音符時(shí)值逐漸縮小，并且音符的命名與音符的時(shí)值都各自形成了等比數(shù)列：音符的命名：全（一）音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符、三十二分音符音符的時(shí)值：4、2、1、1/2、1/4、1/8音樂正是將這些相互聯(lián)系、長(zhǎng)短不同的音符組合在一起，形成了我們所熟悉的節(jié)奏。

2音樂與數(shù)學(xué)在和聲中的結(jié)合

在表現(xiàn)音樂聲響的和聲中，更強(qiáng)烈地表現(xiàn)出了音樂與數(shù)學(xué)的微妙關(guān)系，也正式基于此，音樂理論作曲家姆尼茲•豪普德曼稱音樂是流動(dòng)的建筑。幾何中，點(diǎn)組成線，線組成面，再由多個(gè)相交的面構(gòu)成許許多多的立體圖形。音樂同樣是由音符組成音線，由音線組成不同的音面，從而形成立體的結(jié)構(gòu)。在這個(gè)立體結(jié)構(gòu)中，最重要的是和聲。它是由幾個(gè)音甚至更多個(gè)音組成的和音，并且這種多個(gè)和音連續(xù)進(jìn)行。如果我們把開始的和音中的每一個(gè)音看作每條音線開始的點(diǎn)，并把相繼而出的不同和音中的每個(gè)音看作構(gòu)成不同音線中的不同的音點(diǎn)，這樣就形成多條音線。音線與音線交錯(cuò)，音面與音面相交，就構(gòu)成了立體的音樂。不同的作品形成不同的立體圖形，這就使不同的作曲家具有了各自獨(dú)特的風(fēng)格，并且同一作家在同一時(shí)期的作品所構(gòu)成的立體圖形也大致相同，就形成了作曲家特有的音樂語(yǔ)言。曾有一位音樂家嘗試將莫扎特的第39、第40、第41交響曲輸入計(jì)算機(jī)，讓電腦對(duì)其進(jìn)行人工智能分析后，使電腦按分析出的特征進(jìn)行創(chuàng)作，并將電腦創(chuàng)作出的仿莫扎特交響曲稱為“第42交響曲”，引起了極大的反響，許多人甚至音樂學(xué)專家都信以為真。這是一個(gè)有趣的例子，但它足以說(shuō)明不同的音樂風(fēng)格是可以科學(xué)區(qū)分的，音樂的構(gòu)成與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系。

3音樂與數(shù)學(xué)在節(jié)奏中的結(jié)合

在構(gòu)成音樂的三大要素之一的節(jié)奏中，也明顯包含了數(shù)學(xué)的思維。在現(xiàn)代音樂中，作曲家更多地汲取了數(shù)學(xué)的思維方式。他們發(fā)展和演變了傳統(tǒng)節(jié)奏記譜體系，提升了音樂的表現(xiàn)力。法國(guó)序列音樂大師梅西安的節(jié)奏理論，為作曲家開拓了新的思維方式。他依據(jù)人體、樹葉、蝴蝶等天然存在的對(duì)稱現(xiàn)象建立了“非逆行節(jié)奏”。這一節(jié)奏不僅體現(xiàn)在節(jié)奏片段中，而且也體現(xiàn)在整個(gè)作品的宏觀節(jié)奏變化中。在這里僅舉一個(gè)節(jié)奏片段：（對(duì)稱軸）：可以看出，這一節(jié)奏不僅體現(xiàn)出數(shù)學(xué)中量的變化（增減），而且體現(xiàn)出數(shù)學(xué)中形的對(duì)稱，使現(xiàn)代音樂在變化節(jié)奏增強(qiáng)音樂表現(xiàn)力的同時(shí)仍然遵循整體平衡的美學(xué)原則。正如數(shù)學(xué)家G.馬諾拉得出的結(jié)論：音樂的平衡對(duì)稱現(xiàn)象也包含了明顯的數(shù)學(xué)思想。

4音樂與數(shù)學(xué)在結(jié)構(gòu)中的結(jié)合

音樂的結(jié)構(gòu)明顯具有數(shù)學(xué)的邏輯和推理思想，特別是伴隨著菲波那契數(shù)列結(jié)構(gòu)和0.618黃金分割點(diǎn)的產(chǎn)生，音樂的美就與之聯(lián)系在一起了。菲波那契數(shù)列結(jié)構(gòu)是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89其規(guī)律是每一項(xiàng)（從第三項(xiàng)起）都是前兩項(xiàng)之和。而“黃金分割”在數(shù)學(xué)中的比例關(guān)系為較大部分與整體之比等于較小部分與較大部分之比，其比值為0.618。它們都與音樂的結(jié)構(gòu)有著密切的聯(lián)系。菲波那契數(shù)列在音樂作品中所表現(xiàn)出來(lái)的暫時(shí)的不平衡與局部的不對(duì)稱，使音樂更具有的某種感召力和表現(xiàn)力。比如，匈牙利作曲家巴托克作品《弦樂、打擊樂與鋼片琴音樂》的第一樂章，全曲共89小節(jié)，從高潮點(diǎn)劃分為兩個(gè)部分，分別為55和34小節(jié)，按照作曲家對(duì)音色和強(qiáng)度的布局，我們將開始到高潮的部分（55小節(jié)）劃分為34+21小節(jié)，將高潮到結(jié)尾的部分（34小節(jié)）劃分為13+21小節(jié)。我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這些小節(jié)數(shù)與菲波那契數(shù)字驚人的一致，并且小節(jié)的劃分正是遵循了菲波那契數(shù)列結(jié)構(gòu)的規(guī)律。而“黃金分割”在音樂結(jié)構(gòu)中的運(yùn)用更為廣泛。比如，匈牙利作曲家巴托克作品《第一鋼琴協(xié)奏曲》的第二樂章，總長(zhǎng)為214小節(jié)，高潮點(diǎn)正好落在214×0.618＝132小節(jié)處。

通過(guò)上述對(duì)音樂中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思維的簡(jiǎn)單分析，我們發(fā)現(xiàn)音樂中處處體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的數(shù)的語(yǔ)言、形的語(yǔ)言，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)作為抽象藝術(shù)的嚴(yán)密的邏輯體系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美，即它的形式美、抽象美、邏輯美、對(duì)稱美、和諧美。愛因斯坦形象地稱這個(gè)世界可以由樂譜組成，也可以由數(shù)學(xué)公式組成。的確，音樂與數(shù)學(xué)思維相結(jié)合，所揭示的自然和諧的統(tǒng)一規(guī)律，是音樂理論所追求的美學(xué)價(jià)值，也是數(shù)學(xué)理論所追求的美學(xué)價(jià)值。

作者:常沁怡 單位:上海大學(xué)

參考文獻(xiàn)：

［1］蘭德衛(wèi).巴托克的曲式與和聲［J］.音樂譯叢，1979.

［2］鐘子林.西方現(xiàn)代音樂概述［M］.北京：人民音樂出版社，1996.