反比例函數及其圖象教案

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反比例函數及其圖象

教學目標：

1、理解反比例函數，并能從實際問題中抽象出反比例關系的函數解析式；

2、會畫出反比例函數的圖象，并結合圖象分析總結出反比例函數的性質；

3、滲透數形結合的數學思想及普遍聯系的辨證唯物主義思想；

4、體會數學從實踐中來又到實際中去的研究、應用過程；

5、培養學生的觀察能力，及數學地發現問題，解決問題的能力.

教學重點：

結合圖象分析總結出反比例函數的性質；

教學難點：描點畫出反比例函數的圖象

教學用具：直尺

教學方法：小組合作、探究式

教學過程：

1、從實際引出反比例函數的概念

我們在小學學過反比例關系.例如：當路程S一定時，時間t與速度v成反比例

即vt=S（S是常數）；

當矩形面積S一定時，長a與寬b成反比例，即ab=S（S是常數）

從函數的觀點看，在運動變化的過程中，有兩個變量可以分別看成自變量與函數，寫成：

（S是常數）

（S是常數）

一般地，函數（k是常數，）叫做反比例函數．

如上例，當路程S是常數時，時間t就是v的反比例函數．當矩形面積S是常數時，長a是寬b的反比例函數．

在現實生活中，也有許多反比例關系的例子．可以組織學生進行討論．下面的例子僅供

2、列表、描點畫出反比例函數的圖象

例1、畫出反比例函數與的圖象

解：列表

x

-6

-5

-4

-3

1

2

3

4

5

6

-1

-1.2

-1.5

-2

6

3

2

1.5

1.2

1

1

1.2

1.5

2

-6

-3

-2

-1.5

-1.2

1

說明：由于學生第一次接觸反比例函數，無法推測出它的大致圖象.取點的時候最好多取幾個，正負可以對稱著取分別畫點描圖

一般地反比例函數（k是常數，）的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線.

3、觀察圖象，歸納、總結出反比例函數的性質

前面學習了三類基本的初等函數，有了一定的基礎，這里可視學生的程度或展開全面的討論，或在老師的引導下完成知識的學習.

顯示這兩個函數的圖象，提出問題：你能從圖象上發現什么有關反比例函數的性質呢？并能從解析式或列表中得到論證.（下列答案僅供參考）

（1）的圖象在第一、三象限.可以擴展到k>0時的情形，即k>0時，雙曲線兩支各在第一和第三象限.從解析式中，也可以得出這個結論：xy=k，即x與y同號，因此，圖象在第一、三象限.

的討論與此類似.

抓住機會，說明數與形的統一，也滲透了數形結合的數學思想方法.體現了由特殊到一般的研究過程.

（2）函數的圖象，在每一個象限內，y隨x的增大而減小；

從圖象中可以看出，當x從左向右變化時，圖象呈下坡趨勢.從列表中也可以看出這樣的變化趨勢.有理數除法說明了同樣的道理，被除數一定時，若除數大于零，除數越大，商越小；若除數小于零，同樣是除數越大，商越小.由此可歸納出，當k>0時，函數的圖象，在每一個象限內，y隨x的增大而減小.

同樣可以推出的圖象的性質.

（3）函數的圖象不經過原點，且不與x軸、y軸交.從解析式中也可以看出，.如果x取值越來越大時，y的值越來越小，趨近于零；如果x取負值且越來越小時，y的值也越來越趨近于零.因此，呈現的是雙曲線的樣子.同理，抽象出圖象的性質.

函數的圖象性質的討論與次類似.

4、小結：

本節課我們學習了反比例函數的概念及其圖象的性質.大家展開了充分的討論，對函數的概念，函數的圖象的性質有了進一步的認識.數學學習要求我們要深刻地理解，找出事物間的普遍聯系和發展規律，能數學地發現問題，并能運用已有的數學知識，給以一定的解釋.即數學是世界的一個部分，同時又隱藏在世界中.

5、布置作業習題13.81-4

教學設計示例2

反比例函數及其圖像

一、素質教育目標

（一）知識教學點

1．使學生了解反比例函數的概念；

2．使學生能夠根據問題中的條件確定反比例函數的解析式；

3．使學生理解反比例函數的性質，會畫出它們的圖像，以及根據圖像指出函數值隨自變量的增加或減小而變化的情況；

4．會用待定系數法確定反比例函數的解析式.

（二）能力訓練點

1．培養學生的作圖、觀察、分析、總結的能力；

2．向學生滲透數形結合的教學思想方法.

（三）德育滲透點

1．向學生滲透數學來源于實踐又反過來作用于實踐的觀點；

2．使學生體會事物是有規律地變化著的觀點.

（四）美育滲透點

通過反比例函數圖像的研究，滲透反映其性質的圖像的直觀形象美，激發學生的興趣，也培養學生積極探求知識的能力.

二、學法引導

教師采用類比法、觀察法、練習法

學生學習反比例函數要與學習其他函數一樣，要善于數形結合，由解析式聯想到圖像的位置及其性質，由圖像和性質聯想比例系數k的符號.

三、重點·難點·疑點及解決辦法

1．教學重點：反比例的概念、圖像、性質以及用待定系數法確定反比例函數的解析式.因為要研究反比例函數就必須明確反比例函數的上述問題.

2．教學難點：畫反比例函數的圖像.因為反比例函數的圖像有兩個分支，而且這兩個分支的變化趨勢又不同，學生初次接觸，一定會感到困難.

3．教學疑點：（1）反比例函數為何與x軸，y軸無交點；（2）反比例函數的圖像只能說在第一、三象限或第二、四象限，而不能說經過第幾象限，增減性也要說明在第幾象限（或說在它的每一個象限內）.

4．解決辦法：（1）中隱含條件是或；（2）雙曲線的兩個分支是斷開的，研究函數的增減性時，要將兩個分支分別討論，不能一概而論.

四、教學步驟

（一）教學過程

提問：小學是否學過反比例關系？是如何敘述的？

由學生先考慮及討論一下.

答：小學學過：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做反比例的量，它們的關系叫做反比例關系.

看下面的實例：（出示幻燈）

1．當路程s一定時，時間t與速度v成反比例；

2．當矩形面積S一定時，長a與寬b成反比例；

它們分別可以寫成（s是常數），（S是常數）寫在黑板上，用以得出反比例函數的概念：（板書）

一般地，函數（k是常數，）叫做反比例函數.

即在上面的例子中，當路程s是常數時，時間t就是速度v的反比例函數，能否說：速度v是時間t的反比例函數呢？

通過這個問題，使學生進一步理解反比例函數的概念，只要滿足（k是常數，）就可以．因此可以說速度v是時間t的反比例函數，因為（s是常量）．對第2個實例也一樣．

練習一：教材P129中1口答．P1301

根據前面學習特殊函數的經驗，研究完函數的概念，跟著要研究的是什么？

答：圖像和性質．

通過這個問題，使學生對課本上給出的知識的發生、發展過程有一個明確的認識，以后

學生要研究其他函數，也可以按照這種方式來研究．

下面，我們就來看一個例題：（出示幻燈）

例1畫出反比例函數與的圖像．

提問：1．畫函數圖像的關鍵問題是什么？

答：合理、正確地選值列表．

2．在選值時，你認為要注意什么問題？

答：（1）由于函數圖像的特點還不清楚，多選幾個點較好；

（2）不能選，因為時函數無意義；

（3）選整數較好計算和描點．

這個問題中最核心的一點是關于

的問題，提醒學生注意．

3．你能不能自己完成這道題呢？

學生在練習本上列表、描點、連線，教師在黑板上板演，到連線時可暫停，讓學生先連完線之后，找一名同學上黑板連線，然后就這名同學的連線加以評價、總結：

注意：（1）一般地，反比例函數的圖像由兩條曲線組成，叫做雙曲線；

（2）這兩條曲線不相交；

（3）這兩條曲線無限延伸，無限靠近x軸和y軸，但永不會與x軸和y軸相交．

關于注意（3）可問學生：為什么圖像與x和y軸不相交？

通過這個問題既可加深學生對反比例函數圖像的記憶，又可培養學生思維的靈活性和深刻性．

再讓學生觀察黑板上的圖，提問：

1．當時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限？在每個象限內，y隨x的增大怎樣變化？

2．當時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限？在每個象限內，y隨x的增大怎樣變化？

這兩個問題由學生討論總結之后回答，教師板書：

對于雙曲線（1）當：（1）當時，雙曲線的兩分支位于一、三象限，y隨x的增大而減少；（2）當時，雙曲線的兩分支位于二、四象限，y隨x的增大而增大．

3．反比例函數的這一性質與正比例函數的性質有何異同？

通過這個問題使學生能把學過的相關知識有機地串聯起來，便于記憶和應用．

練：教材P129中2由學生在練習本上完成，教師巡回指導.P130中2、3填在書上

上面，我們討論了反比例函數的概念、圖像和性質，下面我們再來看一個不同類型的例題：（出示幻燈）

例2已知y與成反比例，并且當時，，求時，y的值.

用提問的方式對此題加以分析：

（1）y與成反比例是什么含義？

由學生討論這一問題，最后歸結為根據反比例函數的概念，這句話說明了：.

（2）根據這個式子，能否求出當時，y的值？

（3）要想求出y的值，必須先知道哪個量呢？

（4）怎樣才能確定k的值？用什么條件？

答：用待定系數法，把時代入，求出k的值.

（5）你能否自己完成這道例題：

由一名同學板演，其他同學在練習本上完成.

例3已知：，與x成正比例，與x成反比例，當時，時，，求y與x的解析式.

分析：一定要先寫出y與x的函數表達式，

要用x分別把，表示出來得，

要注意不能寫成k，∴

解：設，

.

由題意得

∴.

（二）總結、擴展

教師提問，學生思考回答：

1．什么是反比例函數？

2．反比例函數的圖像是什么樣的？

3．反比例函數的性質是什么？

4．命題方向及題型設置，反比例函數也是中考命題的主要考點，其圖像和性質，以及其函數解析式的確定，常以填空題、選擇題出現，在低檔題中，近兩年各省、市的中考試卷中出現不少將反比例函數與一次函數、幾何知識、三角知識等綜合編擬的解答題，豐富了壓軸題的形式和內容.

五、布置作業

1．教材P130中4，5，6

2．選做：P130中B1，2

六、板書設計

13．8反比例函數及其圖像

引例：（1）例1：例2：例3：

（2）

1．反比例函數：

2．反比例函數的性質

探究活動

已知：如圖，一次函數的圖像經過第一、二、三象限，且與反比例函數的圖像交于A、B兩點，與y軸交于點C，與x軸交于點D。。

（1）求反比例函數的解析式；

（2）設點A的橫坐標為m，的面積為S，求S與m的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；

（3）當的面積等于時，試判斷過A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長能否等于3。如果能，求此時拋物線的解析式；如果不能，請說明理由。

解：（1）過點B作軸于點H。

在Rt中，

由勾股定理，得

又，

∴點B（－3，－1）。

設反比例函數的解析式為

。

∵點B在反比例函數的圖像上，

。

∴反比例函數的解析式為。

（2）設直線AB的解析式為。

由點A在第一象限，得。

又由點A在函數的圖像上，可求得點A的縱坐標為。

∵點B（－3，－1），點，

∴解關于、的方程組，得

∴直線AB的解析式為。

令。

求得點D的橫坐標為。

過點A作軸于點G

由已知，直線經過第一、二、三象限，

∴，即。

由此得

∴。

即。

（3）過A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長不能等于3。

證明如下：

。

由，

得

解得。

經檢驗，都是這個方程的根。

，

∴不合題意，舍去。

∴點A（1，3）。

設過A（1，3）、B（－3，－1）兩點的拋物線的解析式為。

∴由此得

即。

設拋物線與x軸兩交點的橫坐標為。

則

令

則。

即。

整理，得。

，

∴方程無實數根。

因此過A、B兩點的拋物線在x軸上截得的線段長不能等于3。