函數歸納數學教案

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1.映射定義：設非空數集A，B，若對集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b與之對應，則稱從A到B的對應為映射

2.若集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，則從A到B可建立nm個映射

3.函數定義：函數就是定義在非空數集A，B上的映射，此時稱數集A為定義域，象集C={f(x)|x∈A}為值域。定義域，對應法則，值域構成了函數的三要素

4.相同函數的判斷方法：①定義域、值域;②對應法則(兩點必須同時具備)

5.求函數的定義域常涉及到的依據為①分母不為0;②偶次根式中被開方數不小于0;③對數的真數大于0，底數大于零且不等于1;④零指數冪的底數不等于零;⑤實際問題要考慮實際意義⑥注意同一表達式中的兩變量的取值范圍是否相互影響

6.函數解析式的求法：

①定義法(拼湊)：②換元法：③待定系數法④賦值法7.函數值域的求法：

①換元配方法。如果一個函數是二次函數或者經過換元可以寫成二次函數的形式，那么將這個函數的右邊配方，通過自變量的范圍可以求出該函數的值域。②判別式法。一個二次分式函數在自變量沒有限制時就可以用判別式法去值域。其方法是將等式兩邊同乘以dx2+ex+f移項整理成一個x的一元二次方程，方程有實數解則判別式大于等于零，得到一個關于y的不等式，解出y的范圍就是函數的值域。

③單調性法。如果函數在給出的定義域區間上是嚴格單調的，那么就可以利用端點的函數值來求出值域

8.函數單調性的證明方法:

第一步：設x1、x2是給定區間內的兩個任意的值，且x1

第二步：作差¦(x1)-&brVBar;(x2)，并對“差式”變形，主要采用的方法是“因式分解”或“配方法”;

第三步：判斷差式¦(x1)-&brVBar;(x2)的正負號，從而證得其增減性

9、函數圖像變換知識

①平移變換：

形如：y=f(x+a)：把函數y=f(x)的圖象沿x軸方向向左或向右平移

|a|個單位，就得到y=f(x+a)的圖象。

形如：y=f(x)+a：把函數y=f(x)的圖象沿y軸方向向上或向下平移|a|個單位，就得到y=f(x)+a的圖象

②.對稱變換y=f(x)→y=f(-x),關于y軸對稱

y=f(x)→y=-f(x),關于x軸對稱

③.翻折變換

y=f(x)→y=f|x|,(左折變換)

把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關于y軸對稱

y=f(x)→y=|f(x)|(上折變換)

把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關于x軸對稱

10.互為反函數的定義域與值域的關系：原函數的定義域和值域分別是反函數的值域及定義域;

11.求反函數的步驟：①求反函數的定義域(即y=f(x)的值域)②將x,y互換，得y=f–1(x);③將y=f(x)看成關于x的方程，解出x=f–1(y)，若有兩解，要注意解的選擇;。

12.互為反函數的圖象間的關系：關于直線y=x對稱;

13.原函數與反函數的圖象交點可在直線y=x上，也可是關于直線y=x對稱的兩點

14.原函數與反函數具有相同的單調性

15、在定義域上單調的函數才具有反函數;反之，并不成立(如y=1/x)

16.復合函數的定義域求法：

①已知y=f(x)的定義域為A，求y=f[g(x)]的定義域時，可令g(x)ÎA，求得x的取值范圍即可。

②已知y=f[g(x)]的定義域為A，求y=f(x)的定義域時，可令xÎA，求得g(x)的函數值范圍即可。

17.復合函數y=f[g(x)]的值域求法：

首先根據定義域求出u=g(x)的取值范圍A，

在uÎA的情況下,求出y=f(u)的值域即可。

18.復合函數內層函數與外層函數在定義域內單調性相同，則函數是增函數;單調性不同則函數是減函數。增增、減減為增;增減、減增才減

①f(x)與f(x)+c(c為常數)具有相同的單調性

②f(x)與c·f(x)當c>0是單調性相同，當c<0時具有相反的單調性

③當f(x)恒不為0時，f(x)與1/f(x)具有相反的單調性

④當f(x)恒為非負時，f(x)與具有相同的單調性

⑤當f(x)、g(x)都是增(減)函數時，f(x)+g(x)也是增(減)函數

設f(x)，g(x)都是增(減)函數，則f(x)·g(x)當f(x)，g(x)兩者都恒大于0時也是增(減)函數，當兩者都恒小于0時是減(增)函數

19.二次函數求最值問題：根據拋物線的對稱軸與區間關系進行分析，

Ⅰ、若頂點的橫坐標在給定的區間上，則

a>0時：在頂點處取得最小值，最大值在距離對稱軸較遠的端點處取得;

a<0時：在頂點處取得最大值，最小值在距離對稱軸較遠的端點處取得;

Ⅱ、若頂點的橫坐標不在給定的區間上，則

a>0時：最小值在離對稱軸近的端點處取得，最大值在離對稱軸遠的端點處取得;

a<0時：最大值在離對稱軸近的端點處取得，最小值在離對稱軸遠的端點處取得

20.一元二次方程實根分布問題解法：

①將方程的根視為開口向上的二次函數的圖像與x軸交點的橫坐標

②從判別式、對稱軸、區間端點函數值三方面分析限制條件

21.分式函數y=(ax+b)/(cx+d)的圖像畫法：

①確定定義域漸近線x=-d/c②確定值域漸近線y=a/c③根據y軸上的交點坐標確定曲線所在象限位置。

22.指數式運算法則23.對數式運算法則：

24.指數函數的圖像與底數關系：

在第一象限內，底數越大，圖像(逆時針方向)越靠近y軸。

25.對數函數的圖像與底數關系：

在第一象限內，底數越大，圖像(順時針方向)越靠近x軸。

26.比較兩個指數或對數的大小的基本方法是構造相應的指數或對數函數，若底數不相同時轉化為同底數的指數或對數，還要注意與1比較或與0比較

27.抽象函數的性質所對應的一些具體特殊函數模型：

①f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)Þ正比例函數f(x)=kx(k¹0)

②f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);f(x1-x2)=f(x1)÷f(x2)Þy=ax;

③f(x1•x2)=f(x1)+f(x2);f(x1/x2)=f(x1)-f(x2)Þy=logax

28.如果f(a+x)=f(b-x)成立，則y=f(x)圖像關于x=(a+b)/2對稱;

特別是，f(x)=f(-x)成立，則y=f(x)圖像關于y軸對稱

29.a>f(x)恒成立Ûa>f(x)的最大值

a

30.a>f(x)有解Ûa>f(x)的最小值

a