兩角差的余弦公式教案

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【教學(xué)目標(biāo)】

【知識(shí)與技能】

①了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo);

②掌握兩角差的余弦公式并能對(duì)公式進(jìn)行初步的應(yīng)用。

【過(guò)程與方法】

①經(jīng)歷大膽猜想---初步驗(yàn)證---理論證明---應(yīng)用與拓展的數(shù)學(xué)化的過(guò)程讓學(xué)生感受到知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展;

②利用信息技術(shù)揭示單角的三角函數(shù)值與兩角差的余弦值之間的關(guān)系，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)的積極性;

③培養(yǎng)學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)交流的能力;

【情感態(tài)度價(jià)值觀】

①使學(xué)生體會(huì)聯(lián)想轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想;

②培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想、敢于探索、勇于置疑、嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)的科學(xué)態(tài)度。

【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】

重點(diǎn)：兩角差余弦公式的探索和初步應(yīng)用。

難點(diǎn)：探索過(guò)程的組織和引導(dǎo)。

【教學(xué)手段】用幾何畫(huà)板和PowerPoint演示。

【教學(xué)流程】

創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，揭示課題感知猜想

利用幾何畫(huà)板驗(yàn)證猜想

組織和引導(dǎo)學(xué)生共同合作探索公式

通過(guò)例題、練習(xí)，加強(qiáng)對(duì)公式的理解

回顧與反思

布置作業(yè)，引發(fā)其他公式的探究

【教學(xué)設(shè)計(jì)】

(一)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，揭示課題

先讓學(xué)生口答的正弦余弦值，再提出

問(wèn)題1.有什么關(guān)系?

()

問(wèn)題2.對(duì)于a、b、c

(讓學(xué)生討論，老師歸納其討論結(jié)果，并指出不成立。因?yàn)?/p>

)

問(wèn)題3.對(duì)于任意角α、β，

(設(shè)計(jì)意圖：由特殊問(wèn)題引發(fā)一般問(wèn)題，喚起學(xué)生解決問(wèn)題的意識(shí)，拋出新知識(shí)引起學(xué)生的疑惑，在興趣和疑惑中，激發(fā)學(xué)生的求知欲，引導(dǎo)學(xué)習(xí)方向。)

(二)感性認(rèn)知，提出猜想

問(wèn)題：如何用任意角α和β的正弦、余弦值來(lái)表示cos(α-β)?

雖然但學(xué)生自然猜想到它們之間有一定的等量關(guān)系，于是讓學(xué)生憑借直覺(jué)，發(fā)揮想象，將sinα、sinβ、cosα、cosβ隨意組合，構(gòu)造出結(jié)果的表示形式。

(三)驗(yàn)證猜想

借助幾何畫(huà)板，呈現(xiàn)猜想的式子，計(jì)算出cos(α-β)和各式子的值，發(fā)現(xiàn)當(dāng)隨意變換角度α和β時(shí)，總有cos(α-β)和

cosαcosβ+sinαsinβ的結(jié)果相等，所以猜測(cè)公式的形式可能是：

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

(第一組驗(yàn)證)

(第二組驗(yàn)證)

(設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生看到現(xiàn)代化信息技術(shù)對(duì)探討數(shù)學(xué)問(wèn)題的幫助，從而引導(dǎo)學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)和工作中能重視現(xiàn)代信息技術(shù)的應(yīng)用。)

(四)聯(lián)想轉(zhuǎn)化、探索論證

讓學(xué)生加強(qiáng)新舊知識(shí)的聯(lián)系，尋找已有知識(shí)點(diǎn)的理論支持，選定探討方法，適時(shí)提問(wèn)，逐步引導(dǎo)，層層推進(jìn)。

問(wèn)題(1)剛才的驗(yàn)證可靠嗎?為什么?

(不可靠，它并不能代表一般性)

問(wèn)題(2)對(duì)于任意的α和β,你如何證明上式恒成立呢?你聯(lián)想到哪些相關(guān)知識(shí)?

1.根據(jù)學(xué)生的回答，先利用向量來(lái)證明。

問(wèn)題(3)你是如何聯(lián)想到向量?用向量證明得先做哪些準(zhǔn)備?

問(wèn)題(4)在圖中選擇哪些向量，它們?nèi)绾伪硎?

問(wèn)題(5)如何利用向量的運(yùn)算構(gòu)造出等式的左右兩邊?

問(wèn)題(6)證明是否嚴(yán)密?若有，請(qǐng)你補(bǔ)充。

(設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷利用向量知識(shí)解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)向量方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的簡(jiǎn)潔性。)

2.利用學(xué)生對(duì)舊知識(shí)的聯(lián)想提出利用三角函數(shù)線來(lái)證明。

讓學(xué)生研讀教材，并提出相應(yīng)的問(wèn)題，拓寬學(xué)生的思維。

問(wèn)題(1)如何構(gòu)造三角函數(shù)線來(lái)證明公式?

問(wèn)題(2)證明前提是什么?證明完成了嗎?

(是在三個(gè)角都是銳角的前提下證明的,不具備一般性)

問(wèn)題(3)兩種證明方法用的是哪一種數(shù)學(xué)思想方法?

問(wèn)題(4)你認(rèn)為哪一種方法好?

(設(shè)計(jì)意圖：分化難點(diǎn)，突出重點(diǎn)，拓寬思維，養(yǎng)成研讀教材，善于思考，善于提問(wèn)，小組合作的好習(xí)慣)

3.分析公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，尋求簡(jiǎn)單記憶

(記作,諧音記憶為:烤烤曬曬符號(hào)反)

【拓展與應(yīng)用】

1.利用差角余弦公式求的值

(求解過(guò)程讓學(xué)生獨(dú)立完成，注意引導(dǎo)學(xué)生多方向、多維度思考問(wèn)題)

2.

(讓學(xué)生結(jié)合公式，明確需要再求哪些三角函數(shù)值，可使問(wèn)題得到解決。并使學(xué)生體會(huì)到思維的有序性和表達(dá)的條理性是三角變換的基本要求。)

變式：去掉α的范圍，對(duì)結(jié)果有影響嗎?

(提醒學(xué)生注意三角函數(shù)的符號(hào)問(wèn)題，并培養(yǎng)學(xué)生分類(lèi)討論的思想)

3.①求的值

②求的值

③求的值

(設(shè)置題目由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由具體角度到任意角，培養(yǎng)學(xué)生的靈活變換能力和逆向思維能力)

4.

(讓學(xué)生結(jié)合公式，明確需要先求哪些三角函數(shù)值，可使問(wèn)題得到解決。)

(讓學(xué)生自主練習(xí)，收集學(xué)生的解法，對(duì)比點(diǎn)評(píng)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)角進(jìn)行拆分，構(gòu)造出差角，靈活運(yùn)用公式)

變式二：

(鞏固對(duì)角的拆分，突出靈活的重要性)

(例題和習(xí)題的設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)基礎(chǔ)訓(xùn)練和變式訓(xùn)練，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)公式的理解和應(yīng)用，體驗(yàn)公式既可正用、逆用，還可變用.還可使學(xué)生掌握“變角”和“拆角”的思想方法解決問(wèn)題，培養(yǎng)了學(xué)生的靈活思維品質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力，促進(jìn)思維的創(chuàng)新。)

【回顧與反思】

1.回顧公式的推導(dǎo)過(guò)程，讓學(xué)生口述并輔以簡(jiǎn)單的流程圖。

2.體會(huì)其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想。

3.你在公式的推導(dǎo)過(guò)程中有什么啟發(fā)和感受?

4.公式的應(yīng)用過(guò)程中應(yīng)該注意什么問(wèn)題，你有什么體會(huì)?

(設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)自己小結(jié)，反思學(xué)習(xí)過(guò)程，加深對(duì)公式的推導(dǎo)和應(yīng)用過(guò)程的理解，促進(jìn)知識(shí)的內(nèi)化。)

【設(shè)置作業(yè)和思考題】.

作業(yè):的1,4題

思考:你能利用如何用cos(α-β)繼續(xù)探究α±β的三角函數(shù)?

(設(shè)計(jì)意圖：鞏固本節(jié)課的知識(shí),并根據(jù)本節(jié)課所講的知識(shí)提出問(wèn)題，而用下一節(jié)課要學(xué)的知識(shí)解決問(wèn)題作為課堂教學(xué)的結(jié)束，使新舊知識(shí)建立聯(lián)系，給學(xué)生留下懸念。使學(xué)生在探索學(xué)習(xí)的過(guò)程中，充滿好奇心和興趣，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的主觀能動(dòng)性。)