周期函數范文

導語：如何才能寫好一篇周期函數，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

關鍵詞 重復出現；周期函數；定義；周期求解

一、周期函數的引入

眾所周知，世界上的萬事萬物都在不停地運動、變化，其中又有很多事物都按照一定規律運動、變化?！半x離原上草，一歲一枯榮”，即描寫了因地球的自轉、公轉而引起的寒暑易節重復出現的規律。與此類似，有些函數也有這種現象，起函數值按照一定規律不斷重復出現，如函數y=sinx、y=cosx等。周期函數就是研究這種函數按照一定規律不斷重復出現的。

二、周期函數定義剖析

人教版高中教材對周期函數的定義是：一般地，對于函數y=f（x），如果存在一個不為0的常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把這個函數y=f（x）叫做周期函數，不為0的常數T叫做這個函數的周期。

（1）定義中的“每一個x”即函數定義域內的所有x都有f（x+T）=f（x）成立才行。這里只要有一個x不能使該關系成立，則T就不是f（x）的周期。如函數y=sinx（x≠0），由于f（2π）=0， f（0）沒有意義，f（2π+0）≠f（0），T=2π就不是函數y=sinx（x≠0）的周期。事實上，由于f（0）沒有意義，所以就不存在這樣的常數T≠0，使得f（0+T）=f（0）成立，所以函數y=sinx（x≠0）就不是周期函數。

（2）關系式f（x+T）=f（x）隱含這樣一個事實：若x是f（x）定義域內的任一個值，則x+T一定是該定義域中的一個值，同時（x+T）+T還是該定義域中的一個值。以次類推，x+nT是定義域中的一個值……，所以周期函數的定義域一定是“無限的”，象函數y=sinx，x∈（-4π，4π）就不是周期函數。

（3）周期函數的定義域是“無限的”，不是說其定義域一定是一切實數，只是說其定義域不能受某一數“限制”。有些周期函數的定義域就是無數個區間的并，如y=tgx的定義域就不是一切實數；又有些周期函數的定義域為無數個零點，如y=的定義域為x=kπ（k∈Z）。

（4）若有f（x+T）=f（x），用x-T代換x 得f（x）= f（x-T），用用x-T代換x 得f[（x+T）+T]=f（x）f（x+T）=f（x）成立，即f（x+2T）=f（x）；同理還可得f（x+3T）=f（x），以次類推，并依定義可知：若f（x）的周期為T，則-2T，-T，T，2T，3T，…，nT，…全部是f（x）的周期，即周期函數的周期應為無數多個，如y=sinx的周期有：…，-4π，-2π，2π，4π，6π，…

（5）在周期函數f（x）的無數個周期中，若有最小的正數，則稱該周期為最小正周期。我們通常所指的周期為最小正周期。但有些周期函數就沒有最小正周期，如f（x）=sin2x+cos2x，因為對于任意不為0的常數T，都有f（x+T）=f（x）=1，所以該函數沒有最小正周期。

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[關鍵詞]周期函數 周期性判別法 最小正數

一、周期函數的基本概念

函數是高等數學的研究對象，也是學好微積分的重要基礎。函數的基本特性主要包括五種，一是函數的單值性與多值性，二是奇（偶）性，三是單調性，四是有界性，五是周期性?，F行高等數學教材中，很少甚至沒有對函數周期性的判別展開研討。為了較為詳細地研討函數周期性的判別，我們首先必須明確什么叫做周期函數？怎樣求出周期函數的周期？然后再結合實例進一步討論函數周期性的幾個判定方法。

定義：設函數y=f（x），如果有一正數ι存在，對屬于定義域的任意x，x+ι，x-ι總有等式：

f（x）=f（±ι） … （1）

成立，則稱f（x）為周期函數。

等式（1）要是成立，容易推知，不論x是屬于定義域的什么值，x+kι也都屬于定義域，且有f（x）=f（x±ι）=f[（x+ι） ±ι]=f（x±2ι）

=…=f（x±kι）

其中k為任意整數?？梢姖M足（1）式的正數ι有無窮多個，在這無窮多個ι中的一個最小的正數T，就稱為周期函數y=f（x）的周期。例如，正弦函數y=sinx是周期為2π的周期函數，因為sin（2π+x）=sinx；正切函數y=tanx是周期為π的周期函數，因為tan（π+x）=tanx。又例如，函數f（x）=sin2x是周期為π的周期函數，因為

。

二、函數周期性的判別法

定理1：若f（x）是周期為T的周期函數，則f（ax+b）是周期為T/a的周期函數，其中a與b為常數且a>0。

證：根據周期函數的定義f（x+T）=f（x），只要證明等式

成立就可以了。

因此f（ax）是周期為T/a的周期函數。

例1.求函數f（x）=sin4x+cos4x的最小周期。

解：

因為余弦函數cosx是周期為2π的周期函數，由定理1可知函數f（x）的最小周期為

T=2π/4=π/2。

在電子技術中，最為常見的正弦函數f（t）=Asin（ωt+ ）是周期為2π/ω的周期函數，其中A，ω， 為常數且ω≠0。

定理2：設f1（x）與f2（x）設是定義在同一數集上且周期分別為T1與T2（T1與T2是可通約的）的兩個周期函數，則

（1）兩函數之和f1（x）±f2（x）也是周期函數，周期為T是T1與T2的最小公倍數。

（2）兩函數之積f1（x）?f2（x）也是周期函數，周期為T是T1與T2的最小公倍數。

證（1）：因為T1與T2是可通約的，即T1/T2=m/n，于是有nT1=Mt2=T，其中n，m∈N且互質，設F（x）=f1（x）±f1（x），則

故兩個函數之和f1（x）±f2（x）是一個周期為T的周期函數，且T是T1與T2的最小公倍數，記作T=[T1，T2]。

故兩個函數之積f1（x）?f2（x）是一個周期為T的周期函數，且T是T1與T2的最小公倍數。

定理3：設f（x）在任一有限區間上都是有界的，且存在一點列{xn}，使 ，則f（x）不是周期函數。

定理4：若f（x）≠a（a為常數），且 ，則f（x）不是周期函數。

如函數 且 不是周期函數。

判定函數f（x）不是周期函數還有其它一些方法，這里不再一一舉例。

例2.判別下列函數的周期性并求其周期。

（1）

（2）

解（1）：由定義可知，正切函數tanx的周期是π，由定理1可知函數 的周期是 ；函數

的周期是 。由定理2可知，函數

也是周期函數，且周期T是4π與6π的最小公倍數12π。即T=[4π，6π]。

解（2）：由定義可知，函數 與函數

都是最小周期為2π的周期函數，而

由定理1可知這兩函數之積的最小周期是T=2π/2=π。

例3.試證f（x）=sinx2不是周期函數。

證明：用反證法證明。假設f（x）=sinx2是周期函數，則應存在與x無關的正數T，使下式成立：sin（x+T）2=sinx2。則當x=0時，有sinT2=0，

得到

（k，n均為正整數），因為k/n是有理數，而 不是有理數，這與假設矛盾，所以f（x）=sinx2不是周期函數。

三、結束語

要判別一個函數是不是周期函數，關鍵在于要找到不為零的常數T?，F將求解或判別已給函數周期性的方法歸之如下：

一是根據周期函數的定義判別，即若存在不為零的常數T，使f（x）=f（x+T）成立，則f（x）就是周期函數，而且最小正數T 就是它的周期。

二是根據定理1來判別，即若....的周期為T，則f（ax+b） 的周期為π/|a| （a，b均為常數且a≠0）。

三是根據定理2來判別，即若f1（x）與f2（x）的周期分別為T1與T2（T1≠T2），則和的函數f（x）=f1（x）±f2（x）或積的函數 的周期T是T1與T2的最小公倍數。

四是根據定理3和定理4來判別。

我們看到，具有相同周期T的兩個函數f1（x）與f2（x），它們之和f1（x）±f2（x）或之積f1（x）?f2（x）仍以T為周期的周期函數，但當T是兩個已給周期函數的最小周期時，它們的和或積其T可能不再是新周期函數的最小周期了。例如f1（x）=3sinx+2，f2（x）=2-3sinx，它們都是最小周期為2π的周期函數，但其和f1（x）+f2（x）=4卻沒有最小周期。又例如

也都是最小周期為2π的周期函數，但其積

根據定理1，它的最小周期是π。

值得注意的是，并非每一個周期函數都有最小周期。例如，任何實數都是f（x）=C（C為常數）的周期，所以它沒有最小周期。另外，在幾何上，周期函數的圖形是關于y軸及其與之平行的另一直線對稱的。

[參考文獻]

[1]朱有清.高等數學復習[M].上海：上海交大出版社，1986： 20―22.

[2]許康.高等數學學習指導[M]. 長沙：湖南科技出版社，1981：21―22.

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一、 奇偶性、對稱性與周期性

定理1 ： 設y=

f (x)是定義在

R上的奇函數，它的圖象關于直線x=a對稱（a為不等于零的常數）.那么

（Ⅰ）y=f (x)是周期函數；

（Ⅱ）若y=f (x)的圖象在

x=-a和

x=a之間無對稱軸，則y=f (x)的最小正周期T=4|a|.

證明 ：（Ⅰ）因y=f (x)是定義在

R上的奇函數，所以對于任意的x∈

R都有

f (-x)=-f (x).所以f (4a+x)=f ［2a-(-2a-x)］

=f (-2a-x)=

-f (2a+x)=-f ［2a-(-x)］=-f (-x)=f (x).

即

y=f (x)是以4a為一個周期的周期函數.

（Ⅱ）假設T0是

y=f (x)的最小正周期，且T0

1° 當a>0時，由T0

T0

所以-a

因為T0是y=f (x)的最小正周期，

所以-T0也是y=f (x)的一個周期.

由f (-T0+x)=f (x),f (2a-x)=f (x),

得f (-T0+x)=f (2a-x).

所以x=2a-T0 2是y=f （x）圖象的一條對稱軸，與已知

y=

f（x）圖象在x=-a和x=a之間無對稱軸矛盾.

2° 當a

由f (T0+x)=f (x)，f (2a-x)=f (x)，

得f (T0+x)=f (2a-x).

所以x=2a+T0 2是

y=f (x)圖象的一條對稱軸，與已知

y=f (x)圖象在

x=-a和x=a之間無對稱軸矛盾.

綜合1°、2°可知，

y=f (x)的最小正周期T=4|a|.

定理2 ：設

y=f (x)是定義在

R上的偶函數，它的圖象關于直線x=a對稱（a是不等于零的常數）.那么

（Ⅰ）y=f（x）是周期函數；

（Ⅱ）若y=f（x）的圖象在x=0和x=a之間無對稱軸，則y=f（x）的最小正周期T=2|a|.

定理3 ：設y=f（x）是定義在

R上的函數，f（a+x）=f（a-x）和f（b+x）=f（b-x）

對于x∈

R恒成立（a、b為常數，且b>a）.那么

（Ⅰ）y=f (x)是周期函數；

（Ⅱ）若y=f (x)的圖象在x=a和x=b之間無對稱軸，則y=f (x)的最小正周期T=2（b-a）.

注:這三個定理證法類似，故只證定理1.

二、奇偶性、周期性與對稱性

定理4 ：如果y=f (x)是定義在

R上的偶函數，且是以a為最小正周期的周期函數，那么

y=f (x)圖象的所有對稱軸方程是

x=ka 2(k∈

Z).

證明 ：因為y=f (x)是定義在

R上的偶函數.

所以f (-x)=f (x).

又y=f x)是以a為最小正周期的周期函數.

所以ka (k∈Z且k≠0)也是

y=f (x)的周期.

有f (ka+x)=f (x),f (ka+x)=f (-x).

則x=ka 2是y=f (x)圖象的對稱軸方程，

又x=0也是y=f (x)圖象的對稱軸方程,

所以x=ka 2(k∈

Z)是

y=f (x)圖象的對稱軸方程.

假設y=f (x)圖象在x=0和

x=a 2之間還有一條對稱軸

x=x0且0

那么T=2(a 2-x0)=a-2x0,是y=f (x)的一個周期.

而0

a是y=f (x)的最小正周期相矛盾.

所以y=f (x)圖象的所有對稱軸的方程是

x=ka 2(k∈

Z).

定理5 ：設

y=f (x)

是定義在

R上的奇函數，且是以a為最小正周期的周期函數.如果

y=f (x)的圖象關于直線

x=a 4對稱，那么

y=f (x)圖象的所有對稱軸方程是

x=ka 2

+a 2(k∈

Z).

注: 定理 5與定理4的證法類似故從略.

三、奇偶性、對稱性、周期性的應用

例1 （1996年高考題）設f（x）是（

-∞,+∞）上的奇函數，

f (x+2)=-f (x).當0≤x≤1時， f（x）=x.則f（7.5）等于（ ）

(A) 0.5 (B) -0.5(C) 1.5(D) -1.5

分析 ：y=f (x)的對稱軸是x=1，根據定理1可知

y=f (x)是以4為周期的周期函數，不難作出選擇(B).

例2 （2001年高考題）設f (x)是定義在

R上的偶函數，其圖象關于直線x=1對稱，證明f(x)是周期函數.

分析 ：這是2001年高考文理科壓軸題，主要是考查函數的概念、圖象，函數的奇偶性、對稱性和周期性的相互關系.解題的突破口是找出滿足該函數的一個周期.根據定理2，不難找出它的一個周期是2 .此時，由題設條件和周期函數的定義，就很容易證明了.

例3 函數y=f (x)定義在

R上，對于任何x∈

R都有

f (2+x)=f (2-x)和f (7+x)=f (7-x)成立.若

x=0是方程

f (x)=0的一個根，求方程f (x)=0在閉區間［-1000,1000］上至少有幾個根.

解 :根據定理3，

f (10+x)= ［14-(4-x)］=f (4-x)=f (x)

所以，y=f (x)是以10為周期的周期函數.

由

f (10+x)=f (x)

得f (10)=f (0)=0.又

f (4)=f (0)=0.

所以f (x)=0在一個周期內至少有兩個根.

所以，方程f (x)=0在閉區間［-1000,1000］上至少有

［(1000+1000)÷10］×2+1=401

（個根）.

例4 （1991年高考題）函數

y=sin(2x+5π 2)的圖象的一條對稱軸方程是( )

(A) x=-π 2 (B)

x=-π 4

(C) x=π 6〖DW〗(D)

x=5π 4

解 :根據定理5，函數的所有對稱軸方程是：

2x+5π 2

=kπ+π 2,

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【關鍵詞】函數奇偶性;周期性;圖象的對稱性;關系分析

在函數的學習中，其奇偶性、周期性及圖象的對稱性是非常重要的性質，解題中有著廣泛的應用。筆者在此想從函數的奇偶性、周期性定義出發進行類比、聯想，再結合函數性質探討它們之間及圖象的對稱性之間的相互聯系及應用。

（一）首先奇偶函數及周期函數的定義及定義式：f（-x）=f（x）;f（-x）=-f（x）;f（x+T）=f（x）函數的奇偶性定義中涉及兩個方面關系，f（-x）與f（x），f（-x）與-f（x）。有理由問一下周期函數定義中若考慮兩方面關系又會怎樣呢？即有問題：f（x+T）=-f（x）時，f（x）的周期性怎樣呢？不難證明，此時2T為f（x）的周期;其次，再對比f（-x）.f（x）。把f（x+T）=f（x）與f（x+T）=-f（x）中f（x）用f（-x）代換，則又將有什么結論呢？同樣不難證明：若f（x+T）=f（-x），則f（x）為偶函數時，T為f（x）的周期;f（x）為奇函數時，2T為f（x）的周期.若f（x+T）=-f（-x），則f（x）為偶函數時，2T為f（x）的周期;f（x）為奇函數時，T為f（x）的周期。但事實上此時f（x）不一定是偶函數或奇函數，那么單從f（x+T）=f（-x）或f（x+T）=-f（-x）就不一定：若f（x+T）=f（-x）能推出f（x）的周期，可以證明：若f（x+T）=f（-x），則f（x+T）為偶函數;若f（x+T）=-f（-x），則f（x+T）為奇函數。

至此，小結前面結果即有下面結論。

定理1：若f（x+T）=f（x），則f（x）是周期函數，且T為f（x）的周期;若f（x+T）=-f（x），則f（x）是周期函數，且2T為f（x）的周期;定理2：若f（x+T）=f（-x），則f（x）為偶函數時，T為f（x）的周期;f（x）為奇函數時，2T為f（x）的周期.定理3：若f（x+T）=-f（-x），則f（x）為偶函數時，2T為f（x）的周期;f（x）為奇函數時，T為f（x）的周期。定理4：若f（x+T）=f（-x），則對定義域內任意x都成立;若f（x+T）=-f（-x），則f（x+T）為奇函數。（以上定理中函數定義域假定為R，同時等式對定義域內任意x都成立，且T≠0）

把定理2，3結合起來，即有f（x+T）為偶函數且f（x）為偶函數，則f（x）是周期函數，且T為f（x）的周期;f（x+T）為奇函數且f（x）為奇函數，則f（x）是周期函數，且2T為f（x）的周期;從而可得下列定理;定理5：給出三個判斷：（1）f（x+T）為偶函數。（2）f（x）為偶函數，（3）f（x）是周期函數，且T為f（x）的周期;則以其中任兩個為條件，第三個為結論可得三個真命題。定理6：給出三個判斷：（1） f（x+T）為奇函數。（2）f（x）為奇函數，（3）f（x）是周期函數，且2T為f（x）的周期;則以其中任兩個為條件，第三個為結論可得三個真命題。

（二）另一方面，從奇函數與偶函數函數圖象的對稱性方面聯想f（x+T）的奇偶性與f（x）函數圖象的對稱性又有：定理7：f（x+T）為偶函數。f（x）的圖象關于直線x=T對稱;f（x+ T） 為奇函數。f（x） 的圖象關于點（ T ，0）對稱。

至此，再結合對稱性與奇偶性的等價關系及定理4.5 又有定理8：給出三個判斷：（1） f（x） 圖象關于直線x=0 對稱。（2） f（x） 的圖象關于直線x= T對稱。（3）f（x） 是周期函數，且T為f（x）的周期;則以其中任兩個為條件，第三個為結論可得三個真命題。定理9：給出三個判斷：（1） f（x） 圖象關于點（0，0）對稱（2） f（x） 的圖象關于點（ T ，0） 對稱（3）f（x） 是周期函數，且2T為f（x）的周期;則以其中任兩個為條件，第三個為結論可得三個真命題。推論1： f（x） 為偶函數且圖象關于直線x= T 對稱，則f（x） 是周期函數，且T為f（x）的周期;推論2： f（x） 為奇函數且圖象關于直線x= T 對稱，則f（x） 是周期函數，且2T為f（x）的周期。

（三）最后考慮對稱的一般性

f（x） 的圖象關于直線x= a 對稱且關于直線x= b 對稱。同樣可得到。定理10：給出三個判斷：（1） f（x） 圖象關于直線x=a 對稱。（2） f（x） 的圖象關于直線x=b對稱。（3）f（x） 是周期函數，且2（a-b）為f（x）的周期;則以其中任兩個為條件，第三個為結論可得三個真命題。定理11：給出三個判斷：（1） f（x） 圖象關于點（a，0）對稱（2） f（x） 的圖象關于點（b，0） 對稱（3）f（x）是周期函數，且4（b-a）為f（x）的周期;則以其中任兩個為條件，第三個為結論可得三個真命題。

以上結論從一定成度上反映了函數的奇偶性，周期性與圖象的對稱性的內在聯系，利用這些結論不難解決一些相關問題。

總之，函數的奇偶性周期性及其圖象的有機結合在解一些綜合的函數問題是非常有用的，具備這些知識，在作題時會起到事半功倍的作用。

【參考文獻】

[1]劉偉佳.關于函數奇偶性的一點注記――兼對一道習題的建議[J].數學教學通訊，2013年05期

[2]段小龍.多項式函數奇偶性定理的證明和應用[J].中學數學，2014年12期

篇5

1. 已知[f（x）]是奇函數，[g（x）]是偶函數，且[f（-1）+g（1）=2]，[f（1）+g（-1）=4]，則[g（1）]等于（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

2. 已知[f（x）]是定義在R上的奇函數，當[x≥0]時，[f（x）=3x+m]（[m]為常數），則[f（-log35）]的值為（ ）

A. 4 B. -4 C. 6 D. -6

3. 已知[f（x）]是定義在R上的奇函數，若對于[x≥0]，都有[f（x+2）=f（x）]，且當[x∈[0，2]]時，[f（x）=ex-1，][f（2013）+f（-2014）=]（ ）

A. [1-e] B. [e-1]

C. [-1-e] D. [e+1]

4. 已知函數[f（x）]的定義域為[（3-2a，a+1）]，且[f（x+1）]為偶函數，則實數[a]的值可以是（ ）

A. [23] B. 2 C. 4 D. 6

5. 已知奇函數[f（x）=3x+a（x≥0），g（x）（x

A. -6 B. -8 C. 4 D. 6

6. 定義運算[ab=a2-b2，][ab=][（a-b）2]，則[f（x）=2x（x2）-2]為（ ）

A. 奇函數 B. 偶函數

C. 常函數 D. 非奇非偶函數

7. 已知函數[f（x）=12（ex-e-x）]，則[f（x）]的圖象（ ）

A. 關于原點對稱 B. 關于[y]軸對稱

C. 關于[x]軸對稱 D. 關于直線[y=x]對稱

8. 函數[f（x）=log2（1+x），g（x）=log2（1-x），]則[f（x）-g（x）]是（ ）

A. 奇函數

B. 偶函數

C. 既不是奇函數又不是偶函數

D. 既是奇函數又是偶函數

9. 已知定義在[R]上的函數[f（x）]，對任意[x∈R]，都有[f（x+6）=f（x）+f（3）]成立，若函數[y=f（x+1）]的圖象關于直線[x=-1]對稱，則[f（2013）=]（ ）

A. 0 B. 2013 C. 3 D. -2013

10. 已知定義在[R]上的函數[y=f（x）]滿足以下三個條件：①對于任意的[x∈R]，都有[f（x+4）=f（x）]；②對于任意的[x1，x2∈R]且[0≤x1

A. [f（4.5）

B. [f（7）

C. [f（7）

D. [f（4.5）

二、填空題（每小題4分，共16分）

11. 若函數[fx=ax2+bx+3a+b][（a-1≤x≤][2a）]是偶函數，則點[a，b]的坐標是 .

12. 已知函數[f（x）]是定義在R上的奇函數，其最小正周期為3，且[x∈（-32，0）]時，[f（x）=] [log2（-3x+1）]，則[f（2014）]= .

13. 定義在[[-2，2]]上的奇函數[f（x）]在[（0，2]]上的圖象如圖所示，則不等式[f（x）>x]的解集為 .

14. 給出定義：若[m-12

三、解答題（共4小題，44分）

15. （10分）設[a]為實數，函數[f（x）=x2+|x-a|][+1]，[x∈R].

（1）討論[f（x）]的奇偶性；

（2）求[f（x）]的最小值.

16. （12分）已知函數[f（x）=-x2+2x，x>0，0，x=0，x2+mx，x

（1）求實數[m]的值；

（2）若函數[f（x）]在區間[[-1，a-2]]上單調遞增，求實數[a]的取值范圍.

17. （10分）已知函數[f（x）]的定義域是（[0，+∞）]，且滿足[f（xy）=f（x）+f（y），f（12）=1]，對于[0

（1）求[f（1）]；

（2）解不等式[f（-x）+f（3-x）]≥-2.

18. （12分）設函數[f（x）=ax-（k-1）a-x（a>0][且a≠1）]是定義域為[R]的奇函數.

（1）求[k]值；

篇6

【關鍵詞】昌吉州；防控；鼠疫

【中圖分類號】R378 【文獻標識碼】A 【文章編號】1004-7484（2013）03-0757-01

昌吉州是新疆維吾爾自治區歷史鼠疫流行較嚴重的地州之一，解放前共發生人間鼠疫三起，其中：呼圖壁縣2起，分別為1914年，死亡9人；1918年，亡37人?，敿{斯縣1起，為1938年，死亡80人。解放后我州積極開展了人、動物間鼠疫防治工作，系統地開展監測及預警預報工作，取得顯著成效，保障了公眾健康與生命安全。本文探討新疆昌吉州灰旱獺鼠疫防控及其對策。

1.鼠疫防治

1.1 鼠疫應急演練

呼圖壁縣、瑪納斯縣和昌吉市3個監測縣每年均開展鼠疫防控應急演練，提高了專業人員應急反應能力和實戰技能，較好地鍛煉了隊伍，使其在鼠疫防治中發揮積極作用。10年間，參加演練人數達367人次。

1.2 認真開展培訓，提高專業人員專業技能

組織縣、鄉、村、“三級監測網”相關人員、疫源縣醫療機構的急診、門診、傳染科醫師，鄉鎮衛生院院長、防疫專干及村醫等專業技術人員參加的專業知識和技術培訓，10年共培訓3877人次，提高醫療衛生專業人員對鼠疫的診斷和應急處置能力。

1.3 積極開展鼠疫防治知識宣傳，落實“三報三不”制度

1.2.1 在鼠疫流行季節，定期在轄區內組織開展以“三報三不”為主要內容的鼠疫防治知識的宣傳教育，10年共發放鼠疫防治宣傳單、宣傳掛歷134355份，同時在監測點周圍、交通要道刷寫永久性墻體標語和設置宣傳牌、張貼宣傳畫、宣傳標語等，對疫區游客和群眾進行警示性宣傳教育，增強了疫區群眾防病與自我保護意識。

2.北天山灰旱獺鼠疫疫源地監測：

該疫源地我州設立3個鼠疫固定監測點，分別是呼圖壁縣、瑪納斯縣、昌吉市，其中呼圖壁縣為國家級鼠疫監測點，瑪納斯縣、昌吉市為新疆自治區鼠疫監測點。

10年間，3個鼠疫監測縣用鼠疫間接血凝試驗檢測灰旱獺血清10060份，檢出陽性27份，陽性率為0.27%，其中呼圖壁縣和瑪納斯縣陽性率分別為0.77%和0.08%，以2007年呼圖壁縣檢出率較高，達4.04%；見表3。檢測牧犬血清753份，結果均為陰性，未檢出鼠疫F1抗體。

3 昌吉州灰旱獺鼠疫疫源地今后防控工作重點

監測結果顯示，2001～2010年昌吉州山地灰旱獺鼠疫疫源地病原學和血清學均有檢出陽性材料，表明動物間存在流行跡象，雖然未波及到人間，必須引起高度重視，要繼續加強監測，積極做好防控工作，密切注視動物間疫情動態，防止動物鼠疫波及人間。

3.1 積極開展滅獺拔源工作

10年間，3個鼠疫監測縣宿主動物密度保持較高狀態，每年灰旱獺密度（定點法）保持在0.38～3.2只/hm2，平均密度為2.42只/hm2，遠高于遠超過“滅源達標”0.06～0.1只/hm2，而昌吉市灰旱獺密度每年均保持在很高的水平，1.6～3.2只/hm2，這就為動物間鼠疫流行提供宿主的條件，對旱獺密度高于1只/hm2地區，建議開展滅獺工作，降低獺密度，以消滅傳染源，鞏固防治成果。

3.2 加強監測，密切注視動物間疫情

進一步加強鼠疫病原學和血清學監測，尤其是自斃獺的病原檢測，同時對高抗動物牧犬的血清學檢測，以及時發現區域間的鼠疫疫情動態，盡早消滅在萌芽狀態，防止動物間鼠疫波及人間。

3.3 加強宣傳，提高人群自我防病意識：

隨著昌吉州的經濟不斷發展，旅游業也獲得快速發發展，每年游客也在不斷增加，昌吉州南山是我州旅游景點，這就為鼠疫防控工作帶來新的課題與挑戰，防控工作任重而道遠，因此，應由政府牽頭，多部門參與，積極地在人群間開展鼠疫防治知識的宣傳教育工作，提高群眾及游客對鼠疫防治的知曉率，防止人間鼠疫的發生與流行。

參考文獻：

[1] 中華人民共和國衛生部疾病控制司 鼠疫血清學檢驗 鼠疫防治手冊 2001年10月，147-151

[2] 中華人民共和國衛生部疾病控制司 鼠疫細菌檢驗 鼠疫防治手冊 2001年10月，127-135

作者簡介：

白克重（1955.10.17），男，地方病副主任醫師，新疆昌吉人，研究方向：地方病。

篇7

關鍵詞：信號；時域；頻域；抽樣；周期性；Matlab仿真

0 引言

現實中的信號非常復雜，連續信號經過"抽樣"，再對得到的抽樣信號量化、編碼變成數字信號。信號的抽樣是對信號的初步處理，同時也是對具體信號性質正確分析的前提和基礎。信號的"抽樣[1]"是抽樣定理的基礎。正確理解和應用信號的時域和頻域"抽樣"過程，并且理清并學會應用他們之間的復雜的周期關系，對今后的學習和研究大有裨益。

1 抽樣過程

本文所要討論的問題都是在"抽樣"的基礎上進行的，首先給出下面"抽樣"的定義：

"抽樣"就是利用抽樣脈沖序列p（t）從連續信號f（t）中"抽取"一系列的離散樣值，這種離散信號通常稱為"抽樣信號"，并且以fs（t）表示。

2 連續信號的時域抽樣[2，3]

抽樣脈沖序列p（t）的傅里葉變換為p（w）=F[p（t）]；

抽樣后信號fs（t）的傅里葉變換為Fs（w）=F[fs（t）]

本節我們將給出連續信號的時域抽樣的具體過程。如下：

為了簡化過程采用均勻抽樣，并且抽樣周期為Ts，對f（t）的時域抽樣即為：

fs（t）=f（t）p（t）

由于p（t）是周期信號，根據周期信號傅里葉變換可以得到它的傅里葉變換為：

P？棕=2π■P■？啄？棕-n？棕■

其中P■=■■pte■dt

由頻域卷積定理得到

F■w=■P■Fw-nw■ （1）

從（1）式中我們可以發現：信號在時域被抽樣后，它的頻譜 F■w是連續信號頻譜Fw的形狀以抽樣頻率w■為間隔周期地重復而得到，在重復的過程中幅度被p（t）的傅里葉系數pn所加權.因為pn只是n的函數，所以Fw在重復過程中不會使形狀發生變化。

3 單脈沖信號的頻域抽樣

由于單脈沖信號的頻域是連續函數，為了與前面的連續信號的時域抽樣進行對照，在這一節我們給出單脈沖信號的頻域抽樣的過程。

假設有一連續頻譜函數F？棕，它對應的時間函數為Ft。如果F？棕在頻域中被間隔為？棕1的周期序列？啄■？棕抽樣.同時域抽樣相同，F？棕的抽樣也滿足

F1？棕=F？棕？啄■？棕

周期序列？啄■？棕的逆變換為：

. F■[？啄■？棕]=■■？啄t-nT■=■？啄■t

再由時域卷積定理得到f1t=ft*■■？啄t-nT■，這樣

f1t=■■？啄t-nT■

上式表明如果ft單脈沖信號的頻譜被間隔為？棕■的沖激序列抽樣，則在時域中相當于ft以T■為周期進行周期延拓，信號強度為原來信號的■倍。

4 離散時間信號的頻域采樣[4，5]

序列 的傅里葉正變換為：Xe■=■xne■

現在以■為采樣間隔，對Xe■進行等間隔采樣，得到：■■k=Xe■|■=■xne■

由上得知■■k是以N為周期的頻域函數。

根據離散傅里葉級數理論，■■k必然是一個周期序列■■n的DFS系數。所以■■k的IDFS為：

■■n=IDFS[■■k]=■xm■■e■

由于■■e■=1，m=n+iN，i為整數0，m為其他值，所以

■■n=IDFS[■■K]=■xn+iN（2）

由（2）式說明頻域采樣■■k所對應的時域周期序列■■n是原序列x（n）的周期延拓序列，并且延拓周期為N。

5 結論

本文重點討論了時域抽樣和頻域抽樣的詳細過程和信號的時域和頻域函數采樣后，所對應的頻域函數和時域函數與原信號的周期關系。最終我們得到了對模擬信號進行時域等間隔采樣，頻域采樣信號的頻譜是原模擬信號頻譜的周期延拓函數。對連續頻譜函數在頻域等間隔采樣，則采樣得到的頻譜對應的時域序列必然是原序列的周期延拓序列的結論。類似的結論對離散時間信號也有同樣適用。綜合以上，得到的最終結論為：時域采樣，頻域周期延拓，頻域采樣，時域周期延拓。

參考文獻：

[1]鄭君里.信號與系統[M].北京北京：高等教育出版社.2011.

[2]賈中云.李秀梅，等.數字信號處理[J].中采樣定理的探索.中國電力教育.2012.

[3]驗證時域采樣定理和頻域采樣定理[J].西京學院課程設計報告.2012.

篇8

題目：設函數f（x）= sin3x+ |sin3x|，則f（x）為 （ ）

A周期函數，最小正周期為 ？仔/3。

B周期函數，最小正周期為2？仔/3。

C周期函數，最小正周期為2？仔。

D非周期函數。

解法一：驗證法

分析：由于本題為選擇題，所以可將備選項代入驗證求解。

解：f（x+？仔/3）= sin（3x+？仔）+ |sin（3x+？仔）|

= - sin3x+|sin3x|≠f（x）

排除A；

f（x+2？仔/3）= sin（3x+2？仔）+ |sin（3x+2？仔）|= sin3x+ |sin3x|= f（x）

2？仔/3為函數f（x）的周期

同理，可得2？仔也是函數f（x）的周期。

綜上，可知函數f（x）的最小正周期為2？仔/3，故選B。

評注：采用驗證法來解決這類問題，為我們節省了大量寶貴的時間，今后當遇到求解三角函數最小正周期的選擇題，直接求解化簡困難時，可采用這種方法。

解法二：轉化法

分析：由于本題為含有絕對值的函數，故可去掉絕對值轉化為分段函數求解。

解：

f（x）=2sin3x，2k？仔/3

函數f（x）的最小正周期T=2？仔/3，故選B。

解法三：最小公倍數法

分析：對于此類的正弦、余弦的和組成的三角函數式，可以先求出各個函數的最小正周期，然后求出所有最小正周期的最小公倍數即可。

解：設f1（x）= sin3x，f2（x）=|sin3x|

易知f1（x）是周期函數，且最小正周期T1=2？仔/3；f2（x）是周期函數，且最小正周期T2=？仔/3。由于2？仔/3和 ？仔/3的最小公倍數是2？仔/3，可知函數f（x）=sin3x+|sin3x|的最小正周期為2？仔/3，故選B。

解法四：圖象法

分析：做出函數f（x） =sin3x+|sin3x|的圖象，可由圖象直觀得出其最小正周期。

解：做出函數f（x） =sin3x+|sin3x|的圖象，如右圖，由圖象可知其最小正周期T=2？仔/3，故選B。

■

評注：實現數與形轉化的關鍵是準確做出函數的圖象，將數的問題在圖形中直觀地表示出來。

篇9

關鍵詞：數學教學 中學生 發展思維 探索

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2016）02-0100-02

函數是中學數學的重點內容，而抽象函數因其解析式的不具體而成為函數內容的難點之一，但因其又能很好地考查學生對函數概念的理解與抽象思維能力，因而在進幾年的高考和各類競賽中經常出現抽象函數方面的題目，本文就抽象函數的周期存在條件作一點探討，從而得出一種簡捷的求抽象函數周期的方法，以期能在這方面給大家一點啟示。

定義：對于函數f（x），如果存在非零常數T，使得當x取定義域內的每一值時，都有f（x+T）=f（x）成立，那么函數f（x）是周期函數，并且周期為T。

定理1.對于函數f（x），如果存在一個非零的常數a，使得當x取定義域內的每一值時，都有下列條件之一成立時，那么f（x）是周期函數，并且周期為2a，即：

條件1：f（x+a）= -f（x）

條件2：f（x+a）=f（x-a）

條件3：f（a+x）=f（a-x）且f（x）是偶函數

條件4：f（a+x）=

證明：①由條件1及已知，對函數f（x）定義域內的任意x都有f（x+a）= -f（x）

所以f[（x+a）+a]= -f（x+a） =f（x） 即f（x+2a）=f（x）

所以函數f（x）的一個周期為2a

②由條件2 及已知，對函數f（x）定上域內的任意x都有f（x+a）=f（x-a）

所以f[（x+a）+a]=f[（x+a）-a]=f（x） 即f（x+2a）=f（x）

所以函數f（x）的一個周期為2a

③由條件3及已知，對函數f（x）定義域內的任意x都有f（a+x）=f（a-x），且f（x）是偶數

所以f[a+（x+a）]=f[a-（x+a）]=f（-x）=f（x）

即f（x+2a）=f（x） 所以函數f（x）的一個周期為2a

④由4可知，對f（x）定義域內的任意x都有f（a+x）=

所以f（x+2a）=f[（a+x）+a]= =f （x）

即f（x+2a）=f（x） 所以函數f（x）的一個周期為2a

定理2.對于函數f（x），若存在一個非零常數a，使得當x取定義域內的每一值時都有下列條件之一成立時，函數f（x）是周期函數，并且周期為4a。即：

條件5：f（x+a）= -f（x-a）

條件6：f（a+x）= -f（a-x）且f（x）為偶函數

證明：⑤由條件5及已知

因為f（x+a）= -f（x-a）

所以f（x+2a）=f[（x+a）+a]= -f[（x+a）-a]= -f（x）

所以f（x+4a）=f[（x+2a）+2a]= -f[（x+2a）= f（x）

所以函數f（x）的一個周期為4a

⑥由條件6及已知

因為f（a+x）= -f（a-x）且f（x）為偶函數

所以f（2a+x）=f[a+（a+x）]= - f[a-（a+x）]= -f（-x）= -f（x）

所以f（4a+x）=f[2a+（2a+x）]= - f（2a+x）= f（x）

所以函數f（x）的一個周期為4a

推論1.對于函數f（x），若存在兩個非零常數a，b（a≠b）使得當x取定義域內的每一個值時，都有下列條件之一成立時，那么函數f（x）是以2（a-b）為周期的函數，即：

條件7：f（a+x）=f（a-x）且f（b+x）=f（b-x）

條件8：f（a+x）= -f（a-x）且f（b+x）= -f（b-x）

簡證：⑦由條件7及已知

f[x+（a-b）]=f[a+（x-b）]=f[a-（x-b）]=f[b+（a-x）]=f[b-（a-x）]=f[x-（a-b）]

由定理1的條件2知，f（x）是以2（a-b）為周期的函數

⑧由條件8及已知

f[x+（a-b）=f[a+（x-b）]= -f[a-（x-b）]= -f[b+（a-x）=f[b-（a-x）]=f[x-（a-b）]

由定理1條件2知，f（x）是以2（a-b）為周期的函數

推論2對于函數f（x），若存在兩個非零常數a，b（b≠a）使得當x取定義域內的每一值時，都有下列條件之一成立時，則f（x）是以4（a-b）為周期的函數，即：

條件9.f（a+x）=f（a-x）且f（b+x）= -f（b-x）

條件10.f（x+a）=f（x-a）且f（x+b）= -f（x-b）

間證：⑨由條件9及已知

f[x+（a-b）]=f[a+（x-b）=f[a-（x-b）]=f[b-（x-a）] Cf[b+（x-a）]= -f[x-（a-b）]

由定理2條件5知，f（x）是以4（a-b）為周期的函數

⑩由條件10及已知

f[x+（a-b）]=f[（x+a）-b]= -f[（x+a）+b]= -f[（x+b）-a]= -f[（x+b）-a]= -f[x-（a-b）]

由定理2條件5知，f（x）是以4（a-b）為周期的函數。

例1.設f（x）是R上的奇函數，且f（x+3）= -f（x）求f（2016）

解：由定理1的條件1知函數f（x）的周期

為T=2×3=6 所以有f（6k+x）=f（x） （k為非零整數）

又f（x）為R上的奇函數 所以f（0）=0

所以f（2016）=f（6×336）=f（0）=0

例2.設f（x）是實數集R為定義域的函數且滿足：

f（x+10）=f（10-x） f（20-x）=-f（20+x）

則f（x）是（ ） （1992年全國高考中聯賽題）

A.偶函數又是周期函數 B.偶函數不是周期函數

C.奇函數又是周期函數 D.奇函數不是周期函數

解：由推論2條件9可知，函數f（x）的周期為

T=4×（20-10）=40

又f（20-x）=-f（20+x）

所以f（-x）=f[20-（x+20）]=-f[20+（x+20）]=-f（40+x）=-f（x）

即：f（-x）=-f（x），所以函數f（x）是奇函數 故選（C）

例3：設f（x）是定義在R上的偶函數，其圖像關于直線x=1對稱，對任意x1、x2：∈[0， ]都有f（x1+ x2）=f（x1）?f（x2）且f（1）=a>0

（1）、求f（ ）及f（ ）

（2）、證明f（x）是周期函數（2001年全國高考題）

解（1）（略）

（2）依題設y=f（x）關于直線x=1對稱

由定義的條件3可知：f（1+x）=f（1-x）

用x-1代x得：f（x）=f[1-（x-1）]

故 f（x）=f（1+1-x） 即f（x）=f（2-x）， x∈R

由f（x）是偶函數知f（-x）= f（x） x∈R

f（-x）=f（2-x） x∈R

篇10

【關鍵詞】函數 ； 圖象 ； 性質

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2014）27-0284-01

函數y= （ac≠0）是經常遇到的一類函數，它的圖象有什么特點，有哪些重要性質？下面就這個問題做一簡單的探討。

為了探討方便起見，將函數y= （ac≠0）分離常數，即

y= + 。為了敘述方便起見，記y= （ac≠0）為函數（1）。

1.ad=bc時的圖象和性質

1.1當ad=bc且b=d=0時的圖象和性質

當ad=bc且b=d=0時，函數（1）可化簡為y= （x≠0），它的圖象是一條過點（0， ），與x軸平行且不包含點（0， ）的直線（圖1）。

它有如下性質：

（1）定義域：{x∈R|x≠0}。

（2）值域：{ }。

（3）奇偶性：因為函數（1）的定義域是{x∈R|x≠0}，關于原點對稱，且對于定義域內的任一自變量x都有f（-x）= =f（x），所以函數（1）是偶函數。

（4）周期性：因為對任意非零實數T，當x=-T時，函數（1）都有f（x+T）≠f（0）

而f（0）不存在，即存在x=-T，使f=（x+T）≠f（x）

所以，函數（1）不是周期函數。

（5）單調性：因為對于函數（1）定義域內的任意兩個自變量x1，x2，當x1

1.2當ad-bc=0且bd≠0時的圖像和性質

當ad-bc=0且bd≠0時，函數（1）可化簡為y= （x≠- ），它的圖象是一條過點（0， ），與x軸平行且不包含點（- ， ）的直線（圖2）。

它有如下性質：

（1）定義域：{x∈R|x≠- }。

（2）值域：{ }。

（3）奇偶性：因為函數（1）的定義域是{x∈R|x≠- }，不關于原點對稱， 所以函數（1）是非奇非偶函數。

（4）周期性：因為對任意非零實數T，當x=-T- 時，函數（1）都有f（x+T）=f（- ）

而f（- ）不存在，即存在x=-T- ，使f（x+T）≠f（x）

所以，函數（1）不是周期函數。

（5）單調性：因為對于函數（1）定義域內的任意兩個自變量x1，x2，當x1

2.ad≠bc時的圖象和性質

當ad≠bc時，把反比例函數y= 的圖象向左或向右平移| |個單位，再向上或向下平移| |個單位，就得到函數（1）的圖象，它是以點（- ， ）為對稱中心，以直線y=±（x+ ）+ 為對稱軸的雙曲線（圖3）。

它有如下性質：

（1）定義域：{x∈R|x≠- }。

（2）值域：當ab≠bc時，因為 ≠0，所以y= + ≠ ，因此函數（1）的值域是{x∈R|x≠ }。

（3）奇偶性：因為函數（1）的定義域是{x∈R|x≠- }，不關于原點對稱， 所以函數（1）是非奇非偶函數。

（4）周期性：假設函數（1）是周期函數，T（T≠0）是它的周期，則對于函數（1）定義域內的任意自變量都有f=（x+T）=f（x）

即 + = +

化簡，得 =

即x+T+ = x+

所以，T=0

這個結論與T≠0矛盾，說明假設錯誤，即函數（1）不是周期函數。

（5）單調性：利用函數單調性的定義，容易證明：