指數與指數冪的運算范文

導語：如何才能寫好一篇指數與指數冪的運算，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

初中一年級有關同底數冪的運算通常包括:冪的乘方、同底數冪的乘法、同底數冪的除法與同底同指數的冪的加法(合并同類項)。

各運算單獨出現時,學生計算起來還是能夠準確的。但是,當它們出現混合運算時,有兩處處理的時候有可能出現錯誤。一是底數有的運算中出現相反數時對符號的處理時有難易之分。二是學生對指數的運算容易出現混淆情況。那么就需要一種方法去分清它們之間的區別,記住計算方法。

一、在出現底數是相反數處理符號,把它化為同底數的方法

依據是:多個數相乘時,積的符號由負因數的個數決定.當負因數的個數為奇數時,積為負;當負因數個數為偶數個時,積為正。具體處理方法有兩種:

1.先把每個冪的符號確定為正或負,在根據乘法的符號確定方法來確定,最后在根據公式計算。例如

(-a)33?(a2)2?(-a)5?a3

=(-a9)?a4?(-a)5?a3

=+(a9?a4?a5?a3)

=a21

底數分別是-a和a,不是同底,解決方法――化為同底數。

兩個負因數,積為正。

2.可以一次性確定符號,轉化為同底數問題.還是剛才的例題。

(-a)33?(a2)2?(-a)5?a3

=(-a)9?a4?(-a)5?a3

=+(a9?a4?a5?a3)

=a21

負因數個數9+5=14是偶數,積為正。

再例如:

(-a)33?(a2)2?(-a)6?a3

=(-a)9?a4?(-a)6?a3

=-a10

負因數個數9-6=3是奇數,積為負。

二、冪的運算法則實例

它們的運算法則是:冪的乘方,底數不變,指數相加;同底數冪相乘,底數不變,指數相加;同底數冪相除,底數不變,指數相減;合并同類項,合并它們的系數,字母和指數均不變。它們有兩個共同特點:1.底數不變。2.指數在進行相應的運算。問題就出現指數運算上,但指數運算也有規律的:冪的乘方指數是乘法,同底數冪相乘指數相加,同底數冪相除指數相減.我們可以把運算分為三級:乘方、乘除、加減.那么技巧就是:指數運算比相應冪的運算“降一級”――冪的乘方指數對應運算降為乘法,同底數冪相乘指數對應運算降為加,同底數冪相除指數對應運算將為減,同底同指數冪加減指數不變。這樣在混合運算中按冪的運算來確定指數運算就不容易出現問題了。下面舉幾個例子來說明:

例:1.乘方與乘方

(a2)3?(a3)4

=a6?a12

=a18

指數運算為加

2.乘除

a10÷a7?a2

=a10-7+2

=a5

指數運算分別為加減

3.乘與加減

a?a7+a4?a4-a2?a3

=a8+a8-a5

=2a8-a5

指數運算為加

指數不變

4.乘方、乘、加減

(a4)2+a3?a5-a9?a2

=a8+a8-a7

=2a8-a7

指數運算分別為乘、加

指數不變

三、冪的運算公式的逆運用

在整式乘除運算中,有的運用冪的運算性質運算,有的運用乘法公式運算,大量習題都是直接套用公式運算,但有一部分如果直接運用公式不僅計算很繁,而且很難計算準確。如果把公式反過來使用,就會化繁為簡,化難為易。

1.同底數冪乘法公式的逆用

例1.已知3m=4,3n=5求3m+n

分析:本題如果想先求出m,n的值,再代入3m+n中求值,是很難辦到的,但若將同底數冪乘法性質反過來用,就可得到aman=am+n,這樣問題就迎刃而解了.

解:3m+n=3m?3n=4×5=20.

2.積的乘方性質的逆用

例2.計算(a-1)2(a+1)2

分析:這個題若按一般運算順序,先算乘方,后算乘法,就會很繁雜,但若仔細觀察,不難發現,作為兩個因式的冪的指數都是2,如果將積的乘方性質反過來運用就會簡捷很多.

解:(a-1)2(a+1)2

=(a-1)(a+1)2

因此,記住冪的運算中指數運算比相應冪的運算“降一級”就能準確分清指數運算,提高運算的正確率,避免失誤.

篇2

學得越多，懂得越多，想得越多，領悟得就越多，就像滴水一樣，一滴水或許很快就會被太陽蒸發，但如果滴水不停的滴，就會變成一個水溝，越來越多，越來越多，下面給大家分享一些關于初一數學知識點歸納，希望對大家有所幫助。

初一數學知識點歸納1多項式除以單項式

一、單項式

1、都是數字與字母的乘積的代數式叫做單項式。

2、單項式的數字因數叫做單項式的系數。

3、單項式中所有字母的指數和叫做單項式的次數。

4、單獨一個數或一個字母也是單項式。

5、只含有字母因式的單項式的系數是1或―1。

6、單獨的一個數字是單項式，它的系數是它本身。

7、單獨的一個非零常數的次數是0。

8、單項式中只能含有乘法或乘方運算，而不能含有加、減等其他運算。

9、單項式的系數包括它前面的符號。

10、單項式的系數是帶分數時，應化成假分數。

11、單項式的系數是1或―1時，通常省略數字“1”。

12、單項式的次數僅與字母有關，與單項式的系數無關。

二、多項式

1、幾個單項式的和叫做多項式。

2、多項式中的每一個單項式叫做多項式的項。

3、多項式中不含字母的項叫做常數項。

4、一個多項式有幾項，就叫做幾項式。

5、多項式的每一項都包括項前面的符號。

6、多項式沒有系數的概念，但有次數的概念。

7、多項式中次數的項的次數，叫做這個多項式的次數。

三、整式

1、單項式和多項式統稱為整式。

2、單項式或多項式都是整式。

3、整式不一定是單項式。

4、整式不一定是多項式。

5、分母中含有字母的代數式不是整式;

而是今后將要學習的分式。

四、整式的加減

1、整式加減的理論根據是：去括號法則，合并同類項法則，以及乘法分配率。

2、幾個整式相加減，關鍵是正確地運用去括號法則，然后準確合并同類項。

3、幾個整式相加減的一般步驟：

(1)列出代數式：用括號把每個整式括起來，再用加減號連接。

(2)按去括號法則去括號。

(3)合并同類項。

4、代數式求值的一般步驟：

(1)代數式化簡。

(2)代入計算

(3)對于某些特殊的代數式，可采用“整體代入”進行計算。

五、同底數冪的乘法

1、n個相同因式(或因數)a相乘，記作an，讀作a的n次方(冪)，其中a為底數，n為指數，an的結果叫做冪。

2、底數相同的冪叫做同底數冪。

3、同底數冪乘法的運算法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加。

即：am﹒an=am+n。

4、此法則也可以逆用，即：am+n=am﹒an。

5、開始底數不相同的冪的乘法，如果可以化成底數相同的冪的乘法，先化成同底數冪再運用法則。

六、冪的乘方

1、冪的乘方是指幾個相同的冪相乘。

(am)n表示n個am相乘。

2、冪的乘方運算法則：冪的乘方，底數不變，指數相乘。

(am)n=amn。

3、此法則也可以逆用，即：amn=(am)n=(an)m。

七、積的乘方

1、積的乘方是指底數是乘積形式的乘方。

2、積的乘方運算法則：積的乘方，等于把積中的每個因式分別乘方，然后把所得的冪相乘。

即(ab)n=anbn。

3、此法則也可以逆用，即：anbn=(ab)n。

八、三種“冪的運算法則”異同點

1、共同點：

(1)法則中的底數不變，只對指數做運算。

(2)法則中的底數(不為零)和指數具有普遍性，即可以是數，也可以是式(單項式或多項式)。

(3)對于含有3個或3個以上的運算，法則仍然成立。

2、不同點：

(1)同底數冪相乘是指數相加。

(2)冪的乘方是指數相乘。

(3)積的乘方是每個因式分別乘方，再將結果相乘。

九、同底數冪的除法

1、同底數冪的除法法則：同底數冪相除，底數不變，指數相減，即：am÷an=am-n(a≠0)。

2、此法則也可以逆用，即：am-n=am÷an(a≠0)。

十、零指數冪

1、零指數冪的意義：任何不等于0的數的0次冪都等于1，即：a0=1(a≠0)。

十一、負指數冪

1、任何不等于零的數的―p次冪，等于這個數的p次冪的倒數，即：

注：在同底數冪的除法、零指數冪、負指數冪中底數不為0。

十二、整式的乘法

(一)單項式與單項式相乘

1、單項式乘法法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數不變，作為積的因式。

2、系數相乘時，注意符號。

3、相同字母的冪相乘時，底數不變，指數相加。

4、對于只在一個單項式中含有的字母，連同它的指數一起寫在積里，作為積的因式。

5、單項式乘以單項式的結果仍是單項式。

6、單項式的乘法法則對于三個或三個以上的單項式相乘同樣適用。

(二)單項式與多項式相乘

1、單項式與多項式乘法法則：單項式與多項式相乘，就是根據分配率用單項式去乘多項式中的每一項，再把所得的積相加。

即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。

2、運算時注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。

3、積是一個多項式，其項數與多項式的項數相同。

4、混合運算中，注意運算順序，結果有同類項時要合并同類項，從而得到最簡結果。

(三)多項式與多項式相乘

1、多項式與多項式乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。

2、多項式與多項式相乘，必須做到不重不漏。

相乘時，要按一定的順序進行，即一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項。在未合并同類項之前，積的項數等于兩個多項式項數的積。

3、多項式的每一項都包含它前面的符號，確定積中每一項的符號時應用“同號得正，異號得負”。

4、運算結果中有同類項的要合并同類項。

5、對于含有同一個字母的一次項系數是1的兩個一次二項式相乘時，可以運用下面的公式簡化運算：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。

十三、平方差公式

1、(a+b)(a-b)=a2-b2，即：兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方之差。

2、平方差公式中的a、b可以是單項式，也可以是多項式。

3、平方差公式可以逆用，即：a2-b2=(a+b)(a-b)。

4、平方差公式還能簡化兩數之積的運算，解這類題，首先看兩個數能否轉化成

(a+b)?(a-b)的形式，然后看a2與b2是否容易計算。

初一數學知識點歸納2一、同底數冪的乘法

(m，n都是整數)是冪的運算中最基本的法則，在應用法則運算時，要注意以下幾點：

a)法則使用的前提條件是：冪的底數相同而且是相乘時，底數a可以是一個具體的數字式字母，也可以是一個單項或多項式;

b)指數是1時，不要誤以為沒有指數;

c)不要將同底數冪的乘法與整式的加法相混淆，對乘法，只要底數相同指數就可以相加;而對于加法，不僅底數相同，還要求指數相同才能相加;

二、冪的乘方與積的乘方

三、同底數冪的除法

(1)運用法則的前提是底數相同，只有底數相同，才能用此法則

(2)底數可以是具體的數，也可以是單項式或多項式

(3)指數相減指的是被除式的指數減去除式的指數，要求差不為負

四、整式的乘法

1、單項式的概念：由數與字母的乘積構成的代數式叫做單項式。

單獨的一個數或一個字母也是單項式。單項式的數字因數叫做單項式的系數，所有字母指數和叫單項式的次數。

如：bca22-的系數為2-，次數為4，單獨的一個非零數的次數是0。

2、多項式：幾個單項式的和叫做多項式。

多項式中每個單項式叫多項式的項，次數項的次數叫多項式的次數。

五、平方差公式

表達式:(a+b)(a-b)=a^2-b^2,兩個數的和與這兩個數差的積,等于這兩個數的平方差,這個公式就叫做乘法的平方差公式

公式運用

可用于某些分母含有根號的分式:

1/(3-4倍根號2)化簡:

六、完全平方公式

完全平方公式中常見錯誤有：

①漏下了一次項

②混淆公式

③運算結果中符號錯誤

④變式應用難于掌握。

七、整式的除法

1、單項式的除法法則

單項式相除，把系數、同底數冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式。

注意：首先確定結果的系數(即系數相除)，然后同底數冪相除，如果只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式。

初一數學知識點歸納31.1正數與負數

在以前學過的0以外的數前面加上負號“-”的數叫負數(negativenumber)。

與負數具有相反意義，即以前學過的0以外的數叫做正數(positivenumber)(根據需要，有時在正數前面也加上“+”)。

1.2有理數

正整數、0、負整數統稱整數(integer)，正分數和負分數統稱分數(fraction)。

整數和分數統稱有理數(rationalnumber)。

通常用一條直線上的點表示數，這條直線叫數軸(numberaxis)。

數軸三要素:原點、正方向、單位長度。

在直線上任取一個點表示數0，這個點叫做原點(origin)。

只有符號不同的兩個數叫做互為相反數(oppositenumber)。(例:2的相反數是-2;0的相反數是0)

數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值(absolutevalue),記作|a|。

一個正數的絕對值是它本身;一個負數的絕對值是它的相反數;0的絕對值是0。兩個負數，絕對值大的反而小。

1.3有理數的加減法

有理數加法法則:

1.同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

2.絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。

互為相反數的兩個數相加得0。

3.一個數同0相加，仍得這個數。

有理數減法法則:減去一個數，等于加這個數的相反數。

1.4有理數的乘除法

有理數乘法法則:兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。任何數同0相乘，都得0。

乘積是1的兩個數互為倒數。

有理數除法法則:除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數。

兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數，都得0。mì

求n個相同因數的積的運算，叫乘方，乘方的結果叫冪(power)。在a的n次方中，a叫做底數(basenumber)，n叫做指數(exponent)。

負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。正數的任何次冪都是正數，0的任何次冪都是0。

把一個大于10的數表示成a×10的n次方的形式，使用的就是科學計數法。

篇3

例1 計算：a3?a4.

【錯解】原式=a3×4=a12.

【點撥】錯解混淆了冪的乘方和同底數冪的乘法法則，把“指數相加”與“指數相乘”混為一談.

【正解】原式=a3+4=a7.

練習1：計算：n7?n3.

例2 計算：（-y）?（-y）2?（-y）4.

【錯解】原式=（-y）1+2+4=（-y）7.

【點撥】錯解中沒有將括號去掉，應該寫成-y7. 除了多項式以外，一般情況下都要將括號去掉.底數是正號，直接去括號；底數是負號，看指數：指數為偶數，去掉負號；指數為奇數，保留負號.

練習2：

①計算：（-m）2?（-m）2；

②計算：-m2?（-m）2.

例3 計算：（-2x2y）4=_______.

【錯解】-2x8y4.

【點撥】對于既含有積的乘方又含有冪的乘方的運算，同學們要注意不能漏掉系數的乘方運算.

【正解】16x8y4 .

練習3：計算：（-3x4y2）2.

例4 若2n=5，求82n的值.

【錯解】82n=（23）2n=26n=（2n）6=5×6=30.

【點撥】錯解中逆用冪的乘方公式時出現公式混淆. 應該寫成82n=（23）2n=26n=（2n）6=56.

練習4：若x2n=6，則x6n=_______.

例5 如果正方體的棱長是（2a+1）2，則它的體積為_______.

【錯解】64a6+1.

【點撥】冪的乘方的法則中的底數可以是單個的數或字母，也可以是單項式或多項式.

【正解】（2a+1）6.

練習5：計算（m-n）2?（n-m）5.

例6 已知10m=2，10n=3，則103m+2n=_____.

【錯解】原式=103m+102n=（10m）3+（10n）2=

23+32=17.

【點撥】錯解中逆用同底數冪的乘法公式時出現錯誤.

【正解】原式=103m?102n=（10m）3?（10n）2=

23×32=72.

練習6：若xa=3，xb=5，則xa+b=________.

例7 計算：（-a2）3+（-a3）2=________.

【錯解】-2a6.

【點撥】符號問題，審題不仔細.

【正解】原式=-a6+a6=0.

練習7：計算（-x2y3）2?（-x2y2）3.

例8 計算：a5÷a.

【錯解】原式=a5÷1=a5.

【點撥】對同底數冪的除法法則掌握不牢.

【正解】a4.

練習8：（mn）8÷（mn）2.

例9 計算：（4×105）×（5×104）.

【錯解】20×109.

【點撥】沒有寫成科學記數法的形式，應寫成a×10n（1≤a

【正解】2×1010.

練習9：計算：（-3.6×104）×（4.5×103）.

例10 已知（x+1）0=1，則x的取值范圍是________.

【錯解】x≠0.

【點撥】對于a0=1（a≠0），要把底數當作一個整體來解題.

【正解】x≠-1.

練習10：如果（x-2）0無意義，則x的取值范圍是________.

例11 計算：

-3.

【錯解】或-.

【點撥】負整數指數冪的法則：“底數變倒數，指數變相反數”.

【正解】x3.

練習11：計算：（a2）-2.

例12 計算：

a-3.

【錯解】.

【點撥】錯解只關注字母，沒考慮系數.

【正解】.

練習12：計算：（2x）-3.

例13 計算：（2.4×10-7）×（5×103）.

【錯解】12×10-4或1.2×10-5.

【點撥】解答涉及科學記數法時須注意標準形式和指數.

【正解】1.2×10-3.

練習13：計算：15×（6×10-4）.

處理冪的運算問題時一定要細心，看清每道題目的符號、數字、字母、指數，正確運用公式和法則.

練習答案

練習1. n10

練習2. ①m4 ②-m4

練習3. 9x8y4

練習4. 216

練習5. -（m-n）7或（n-m）7

練習6. 15

練習7. -x10y12

練習8. m6n6

練習9. -1.62×108

練習10. x=2

練習11.

練習12.

篇4

【關鍵詞】冪的運算；教學設計；控制變量；生長數學

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）11-0029-04

【作者簡介】卜以樓，南京市寧海中學分校（南京，210036）教師，正高級教師，江蘇省特級教師。

在2016年江蘇省“教海探航”征文競賽頒獎活動中，筆者執教了一節“再探冪的運算”的展示課，以下是對這一教學內容的價值判斷、行為改進及活動設計的探索和思考。

一、基于教學內容的價值分析

冪的運算性質包括：同底數冪的乘法、同底數冪的除法、積的乘方、冪的乘方等學習內容。它通常被安排在整式乘法的前面，但不同版本的教材會依據其教材的編寫體系被安排在不同的章節之中。例如，人教版教材，將之安排在八年級上冊“第十四章整式的乘法與因式分解”這一章中；北師大版教材，將它安排在七年級下冊“第一章整式的乘除”這一章中；浙教版教材，將它安排在七年級下冊“第三章整式的乘除”這一章中；上科版教材，將之安排在七年級下冊“第三章整式的乘法與因式分解”一章中；而蘇科版教材，則將這一教學內容單獨成章，安排在七年級下冊“第八章冪的運算”中。將它與整式的乘除以及因式分解混排，是想突出其內容的基礎性和工具性；將之單獨成章，則是體現其在運算中的重要性和自洽性。這種各具特色的編排價值已被教師開發得淋漓盡致。那么，“冪的運算”這一教學內容，它還具有怎樣的教學價值呢？

1.讓冪的運算性質在運算結構中必然生長。

各個教材中只安排了am?an=am+n、am÷an=am-n、（ab）n=anbn、（am）n=amn這四種冪的運算性質，而這四種運算性質還不足以說明對“冪”這種特殊的對象作了運算，至少說還沒有對冪作全面的運算。至于為什么只研究這四種運算，學生更是霧里看花，懵懵懂懂，知其然而不知其所以然。這個問題的形成，是由冪的運算在整個運算體系中的地位和作用所決定的。因為有了這四種冪的運算性質，在“數與式的運算”這個大結構中就夠用了，不需要再研究冪的其他運算了。

如果我們不囿于上述實用性的限制，從“冪的運算”這個角度上去看待問題、研究問題、解決問題，那么在七年級下學期時，就要研究冪的加法、減法、乘法、除法和乘方這五種運算，在八年級上學期時，如果學過開方運算，除了要研究上述五種運算外，還要研究冪的第六種運算――開方運算。至于到九年級，就更有必要研究冪的加、減、乘、除、乘方、開方運算了。為此，在這次展示活動，筆者選擇了“再探冪的運算”這一教學內容，就是基于“運算”這個大系統對冪的運算作一個全面的研究，讓冪的運算在數與式的運算結構下自然地生長并和數與式的運算自洽。

2.讓學生的真實思維在探究活動中自然發展。

數學教學的價值在于發展學生的思維。學生的思維是指學生的真實思維，不是教師強加給學生的思維。學生的真實思維在探究活動中發展了，學生的學習才算是真正發生，否則訓練與發展學生的思維能力將成為一句空話。當然，學生的思維需要教師的引領和激發，這種引領和激發，不是教師告訴學生應該做什么、怎樣做，而是教師要營造一種“思維場”，讓學生在這種“思維場”中，自主地、自發地形成“思維流”。這種“思維流”不是盲目的、漫無邊際的，而是明確的、有具體指向的，能夠直面問題、自發地產生解決問題策略或方法。這種策略方法是基于過去學習過程中的經驗，又不完全是以往經驗的簡單提取，而是在傳承中有那么一些創新和發展，學生在這種探究活動中，有那么一點沖動產生的愉悅與。在這種“思維場”中產生“思維流”，學生的思維才算是自然地發展、真正地生長，這就是數學教學給予學生生命成長的正能量，也是數學教育人應該追求的教育情懷。

回歸到冪的運算這一教學內容，筆者選擇了九年級學生作為探究活動的主體，一是讓冪這個特殊對象能夠在實數系中全面實施加、減、乘、除、乘方、開方這六種運算；二是此時的九年級學生具備了探究冪的六種運算的基礎知識與基本的活動經驗；三是此時讓冪的開方運算與其他已研究過的五種運算同時登臺，不僅可以開闊學生的運算視野，而且可以使教學效率最大化，因為它符合最近發展區原理，學生還能在此探究過程中體會前后一致、邏輯連貫、一以貫之的生長方略。正因為此，筆者把本節課的教學內容定位為“再探冪的運算”，以表示與以往學習的冪的運算的區別?！霸偬健钡暮x，就是讓學生用結構的觀點，讓課本中的四個運算性質，上通冪的加減法，下達開方運算，讓學生在一個適宜的結構中生長、在一個完整的體系中成長。

所要注意的是，冪的開方運算，《義務教育數學課程標準（2011年版）》沒作要求，所以對于學生來說，這是一個全新的認知過程。因此，探究活動要放慢節奏，靜待花開。

3.讓控制變量法在策略把握中應然產生。

通過上述的價值判斷，我們基本上確定了冪的運算的生長空間。生長空間確定以后，選擇什么樣的方法來探究冪的運算就成了關鍵的要素。由于任何一個冪am，要受底數a與指數m這兩個變量的影響，所以，冪的運算勢必也要受到這兩個因素的影響。如何研究受多因素影響的問題，控制變量法就自然成了本探究活動的應然選擇。

控制變量法，學生在初二物理、生物及初三物理、化學中都有過接觸，但那僅限于這三門學科。把這種方法運用到數學探究中，《義務教育數學課程標準（2011年版）》沒有要求，各種版本的教材中也沒有體現，各種資料及網絡資源也不多見?？梢哉J為，把它運用在數學上解決問題，對于大部分學生還是第一次。筆者在這里將之用來探究冪的運算主要是基于下面三個方面的思考。

一是控制變量法既是一種方法，也是一種方法論。它是研究受多因素影響問題的通性通法，并在其他學科中顯示出強大的生命力，已成為研究該類問題的一般科學素養。從這個意義上說，數學學科也沒必要受課程標準、教材的約束，而要從學生終身素養的角度上去提高認識，以發揮控制變量法的正能量。

二是將控制變量遷移到數學學習中，可提高學生學習科學方法的興趣，也能提高學生學習數學的興趣。當學生認識到這種方法在學習數學上會產生與其他學科一樣的特效時，體會到數學在某種程度上與物理、化學、生物等學科是“一伙的”時，頓失對數學的畏懼，轉之會對數學產生一種親近感。

三是將控制變量法運用進來，又不僅僅局限于這一個探究活動中，還有很多的數學探究活動會用到。這樣，這種方法就會在數學學科中播下種子，扎下根，發生芽，長成樹，結出果，并將形成一種素養，伴隨學生終生。

二、基于價值分析的行為改進

基于上述的價值分析，結合筆者生長數學的教學主張，教師的教學行為要作以下三個方面的改進。

1.在結構上做文章，以實施整體地教。

價值分析告訴我們，這是個高水平下的結構教學。本節課的教學要促進學生從整體上把握數學知識、方法和觀念，增強學生學習數學的整體意識和結構意識。只有這樣，才能使學生把已掌握的知識和經驗提高到簡潔的原理性結構上去，從而有效抵制碎片化知識的不良傾向。為此，教師要在問題的方向性上多做文章，教學中要先提大問題，再提小問題，讓學生從運算的結構上把握探究的方法。

2.在探究上下功夫，以實施有序地教。

價值分析還告訴我們，這是個高立意下的探究教學。探究性教學就是要讓學生對教學內容進行自主學習、深入探究，并進行小組合作交流，從而激發學生探究欲望，培養學生的探究素養。探究貴在讓學生自主，輔之以必要的幫與扶。為此，教師要理解學生思維的方向與層次，把握學生思維的困難與疑惑。在探究過程中，真正做到既不錯位，也不失位，讓幫扶有序、有度、有效。

3.在生長上花氣力，以實施本真地教。

價值分析又告訴我們，這是個高觀點下的過程教學?！霸偬絻绲倪\算”過程是一個建立在逐級運算基礎上自然生長的過程，它與學生成長的過程相似，是一個由內向外生命迸發數學力量的過程。它也是學生逐步領悟數學思想方法、體驗控制變量魅力、感受數學思維的美妙、養成良好學習習慣、培養創新實踐能力的過程。在這一過程中，教師要有靜氣，要讓本真的氣息自然地潤澤到探究過程之中、思維過程之中、感悟過程之中，以此讓學生體悟數學生長的意義，感悟生命成長的境界。

三、基于行為改進的教學活動

基于上述教學價值的分析和教學行為的定位，結合教學內容內在意蘊的特質，可建構如下教學活動來再探冪的運算。

活動1：同學們，我們在八年級上冊學習了“冪的運算”（教師板書：冪的運算），從“冪的運算”這個課題上看，要研究什么問題？研究的對象是什么？研究的內容又是什么？

【設計意圖】從人教版八年級學過的“冪的運算”這個熟悉的內容引入課題，并通過問題追問的形式，引發學生從運算結構上作新的思考，而不僅是重復以前學習過的幾個冪的運算性質。

【生成效果】學生通過審題都能明白，冪的運算就是要研究冪的加法、減法、乘法、除法、乘方、開方這六種運算。

活動2：怎樣進行冪的加法運算？

【設計意圖】一是讓學生將冪的加法形式化為am+bn=？便于研究；二是如何研究am+bn=？，這需要一定的研究智慧。由于任何一個冪都受底數與指數這兩個變量影響，所以它是一個多變量問題，因此可用控制變量的方法來研究。

【生成效果】學生此時都可以認識到：可以控制am與bn這兩個冪的底數一樣，那么am+bn=？就變成了am+an=？的問題，這個問題還是不能直接計算；再控制am與bn這兩個冪的指數一樣，那么am+bn=？就變成了am+bm=？的問題，這個問題也不能直接計算；最后控制am與bn這兩個冪的底數、指數都一樣，那么am+bn=？就變成了am+am=？的問題，這個問題也就是一個合并同類項的問題，至此結束冪的加法研究。

活動3：怎樣進行冪的減法運算？

【設計意圖】讓學生根據減法是加法的逆運算來研究冪的減法。

【生成效果】在實際教學中，上述設計意圖學生不能領會。他們還是用控制變量的方法將減法重新研究一遍。此時，可追問學生：用這種方法研究冪的減法還有創新的成分嗎？如果沒有，你還有其他的方法來研究它嗎？引導學生用逆運算來解決問題。

活動4：怎樣進行冪的乘法運算？

【設計意圖】讓學生仍用控制變量的方法來研究。

【生成效果】如果控制am與bn這兩個冪的底數一樣，那么am?bn=？就變成了am?an=？的問題，這個問題就是過去研究過的同底數冪相乘的性質，即am?am=am+m。

如果控制am與bn這兩個冪的指數一樣，那么可得“an?bn=（ab）n”，即得（ab）n=anbn，這就是積的乘方的性質。

如果控制am與bn這兩個冪的底數、指數都一樣，那么am?bn=？就變成了am?am=am+m=a2m，或變成了am?am=（am）2=a2m的問題，這就是冪的乘方的特殊情況了。

讓學生在此與am?an=am+n、（ab）n=anbn相逢，學生的思維體驗必有另一番滋味！

活5：怎樣進行冪的除法運算？

【設計意圖】同問題3的設計意圖，主要從逆運算中去研究問題。

【生成效果】由于在問題3中矯正了研究減法的思路，所以，這時學生都能用逆運算來研究冪的除法了。

當控制底數相同時，即am÷an=？，就是要使得（？）?an=am，顯然am÷an=am-n，這就可得同底數除法的性質。

當控制指數相同時，am÷bm=

m，這與積的乘方性質一脈相承。

至于控制底數、指數都相同時，就是一個最簡單的除法運算，在這里就沒有什么特別研究的價值了。

活動6：怎樣進行冪的乘方運算？

【設計意圖】主要解決（am）n=？的問題，即研究（am）n=amn。

【生成效果】上課時這個問題對學生已毫無障礙了。

活動7：怎樣進行冪的開方運算？

【設計意圖】傳承用逆運算研究的經驗來解決一個全新的問題，發展遷移能力。主要解決=？的問題。

【生成效果】解決=？的問題，就是要解決（？）2?=am，則有=a；同理=a；……=a。

活動8：今天我們用什么方法進行了“再探冪的運算”之旅的？（板書：在“冪的運算”前面加上“再探”二字，以揭示本課的“再探索冪的運算”這個核心課題）你有什么收獲？

【設計意圖】回顧探究之旅，體會控制變量之妙。

【生成效果】學生都能感悟到控制變量在數學上的絕妙之筆，既為控制變量法打開了另一條通道，也為研究一個課題提供了范式。

活動9：例題選講。

例1.如果a3a-1=1，求a的值。

例2.如果2m=n2（m、n為正整數）。

（1）請找出一對滿足條件的m、n的值；

（2）滿足條件的m、n的值有多少對？為什么？

例3.如果2m=8m-6，求m的值。

【設計意圖】將控制變量法遷移到具體數學題的解題上來，讓學生有較強的獲得感。

【生成效果】學生已能大膽嘗試控制變量的方法，為解數學題又打開了一條通道。

注：本課例設計得到南京市雨花區教師進修學校劉春書老師的幫助，特表鳴謝。

篇5

技巧一：變底數

例1 若2x+5y=3，求4x?32y的值.

解：4x?32y=22x?25y=22x+5y=23=8.

例2 設x=3m，y=27m+2，用含x的代數式表示y，則y=________.

解：y=（33）m+2=33m+6=33m?36=（3m）3?36=x3?729=729x3.

【點評】例1將底數4和32換成2為底，再利用冪的乘方和同底數冪乘法法則得到22x+5y，利用整體代換的方法求出結果為8.例2將27換成33，將冪的乘方法則和同底數冪乘法法則順向和逆向使用，從而得到y=729x3.

技巧二：變指數

例3 若a=2555，b=3444，c=6222，請比較a，b，c的大小，用“>”連接.

解：a=2555=25×111=（25）111=32111，

b=3444=34×111=（34）111=81111，

c=6222=62×111=（62）111=36111.

因為81>36>32，所以b>c>a.

例4 3-108與2-144的大小關系是_______.

解：3-108=（3-3）36=■36，2-144=（2-4）36=■36，

因為■

【點評】例3，例4都是先將指數化為相同的數，再比較底數的大小，找到指數的最大公約數，熟練地正向和反向使用冪的乘方法則是關鍵.

技巧三：湊出“1”

例5 計算■2012×（1.5）2013×（-1）2013.

解：原式=■2012×■2013×（-1）=-■×■2012×■=-■.

例6 計算-■2011×2■2012的值.

解：原式=-■2011×■2011×■

=-■×■2011×■=-■.

【點評】例5逆用積的乘方法則以及冪的乘方公式湊出“1”，例6先定積的符號為負，再用例5的方法湊出“1”使運算變得簡便.

技巧四：湊整體

例7 已知10m=20，10n=■，求9m÷32n的值.

解：因為9m÷32n=32m÷32n=32m-2n=32（m-n），

而10m=20，10n=■，所以10m÷10n=20×5=100，

所以10m-n=102，所以m-n=2，所以9m÷32n=32（m-n）=32×2=34=81.

例8 已知a2+a=1，求2 013a3+4 025a2-a的值.

解：原式=2 013a3+2 013a2+2 012a2-a

=2 013a（a2+a）+2 012a2-a

=2 013a+2 012a2-a

=2 012a2+2 012a

=2 012（a2+a）

篇6

本節的重點是單項式除以單項式的法則與應用.本章的重點是整式的乘除，作為整式除法內容中不可或缺重要組成部分，單項式除以單項式起著承上啟下的作用，它既是同底數冪除法性質的延伸，又是多項式除以單項式的基礎和關鍵，因此本節的重點是單項式除以單項式的法則與應用.

單項式除以單項式的運算是本節的難點.在單項式除以單項式的計算過程中，既要對兩個單項式的系數進行運算，又要對兩個單項式中同字母進行指數運算，同時對只在一個單項式中出現的字母及其指數加以注意，這對于剛剛接觸整式除法的初一學生來講，難免會出現照看不全的情況，以至于出現計算錯誤或漏算等問題.

教法建議

(1)單項式除以單項式運算的實質是把單項式除以單項式的運算轉化為同底數冪除法運算，因此建議在學習本課知識之前對同底數冪除法運算進行復習鞏固.

(2)要熟練地進行單項式除以單項式的運算，必須掌握它的基本運算，冪的運算性質是整式乘除法的基礎，只要抓住這關鍵的一步，才能準確地進行單項式除以單項式的運算.

(3)符號仍是運算中的重要問題，用單項式以單項式時，要注意單項式的符號和只在被除式中出現的字母及其指數.

教學設計示例

一、教學目標

1.理解和掌握單項式除以單項式的運算法則.

2.運用單項式除以單項式的運算法則，熟練、準確地進行計算.

3.通過總結法則，培養學生的抽象概括能力.

4.通過法則的應用，訓練學生的綜合解題能力和計算能力.

二、教法引導

嘗試指導法、觀察法、練習法.

三、重點難點

重點準確、熟練地運用法則進行計算.

難點根據乘、除的運算關系得出法則.

四、課時安排

1課時.

五、教具

投影儀或電腦、自制膠片.

六、教學步驟

(一)教學過程

1.創設情境，復習導入

前面我們學習了同底數冪的除法，請同學們回答如下問題，看哪位同學回答很快而且準確.

(l)敘述同底數冪的除法性質.

(2)計算：(1)(2)(3)(4)

學生活動：學生回答上述問題.

(，m，n都是正整數，且m>n)

【教法說明】通過復習引起學生回憶，且鞏固同底數冪的除法性質.同時為本節的學習打下基礎，注意要指出零指數冪的意義.

2.指出問題，引出新知

思考問題：()(學生回答結果)

這個問題就是讓我們去求一個單項式，使它與相乘，積為，這個過程能列出一個算式嗎?

由一個學生回答，教師板書.

這就是我們這節課要學習的單項式除以單項式運算.

師生活動：因為

所以(在上述板書過程中填上所缺的項)

由得到，系數4和3同底數冪、a及、分別是怎樣計算的?(一個學生回答)那么由得到又是怎樣計算的呢?

結合引例，教師引導學生回答，并對學生的回答進行肯定、否定、糾正，同時板書.

一般地，單項式相除，把系數、同底數冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式.

如何運用呢?比如計算：

學生活動：在教師引導下，根據法則回答問題.(教師板書)

【教法說明】教師根據乘、除法的運算關系，步步深入，引導學生總結得出單項式除以單項式的運算法則，教師給出，緊扣計算法則，在師生互動活動中，要充分發揮教師的主導作用和學生的主體作用，調動學生的思維.

3.嘗試計算，熟悉法則

計算：(1)(2)

(3)(4)

學生活動：學生自己嘗試完成計算題，同桌互相幫助，然后與課本146頁例題解答過程相對照，看自己的解答有無問題，若有問題進行改正.

【教法說明】教師結合的演算，使學生對法則的運用有了初步認識;例題由學生嘗試完成，可以訓練學生運用知識的能力，在解題的過程中，讓學生自己去體會法則、掌握法則、印象更為深刻;也讓學生自己發現解題中存在的問題，有助于培養學生良好的思維習慣和主動參與學習的習慣.

4.強化學習，掌握法則

練習一

下列計算是否正確?如果不正確，指出錯誤原因并加以改正

(1)(2)

(3)(4)

學生活動：學生細心觀察思考后，分別找4個學生回答，其他學生對他們的回答進行肯定、否定或糾正.

【教法說明】(1)、(2)、(3)小題中的錯誤，均是學生在計算時常出現的錯誤，通過這組題的練習，可以使學生進一步鞏固、理解法則對可能出現的計算錯誤引起注意，從而培養學生解題細心的習慣;除此之外，還可以培養學生辨別是非的能力.

練

計算

(1)(2)(3)

(4)(5)

學生活動：5個學生板演，其他學生在練習本上完成，然后講評.

【教法說明】此題目的是使學生熟練運用法則進行計算，要求寫清計算步驟，講評時重復法則，并糾正學生計算中出現的錯誤，教師提醒學生計算時要耐心細致.

練習三

計算：

(1)(2)(3)

(4)(5)

學生活動：學生在練習本上完成，5名學生板演，然后學生自評.

【教法說明】通過練，學生對法則已基本能夠熟練運用，對一些容易出現的錯誤，也得到了糾正.適時給出練習三，可以使學生對知識的掌握得到強化，學生自評可以調動學生主動參與學習的積極性，培養他們的主人翁意識.

練習四

把圖中左圈里的每一個代數式分別除以，然后把商式寫在右圖里.

學生活動：學生理解題意后，分別由3個學生說出答案，其他學生給予判斷.

【教法說明】此題目的是使學生在進一步運用法則進行熟練計算的同時，滲透集合與對應的思想，但教師不必說明.

(二)小結

由學生完成本節課的歸納與總結，教師給予引導或補充.

【教法說明】課堂小結由學生來完成，這樣既可以訓練學生的歸納總結能力及口頭表達能力，又可使學生對本節課的內容留下深刻的印象.

篇7

（1）掌握復數乘法與除法的運算法則，并能熟練地進行乘、除法的運算；

（2）能應用i和的周期性、共軛復數性質、模的性質熟練地進行解題；

（3）讓學生領悟到“轉化”這一重要數學思想方法；

（4）通過學習復數乘法與除法的運算法則，培養學生探索問題、分析問題、解決問題的能力。

教學建議

一、知識結構

二、重點、難點分析

本節的重點和難點是復數乘除法運算法則及復數的有關性質．復數的代數形式相乘，與加減法一樣，可以按多項式的乘法進行，但必須在所得的結果中把換成－1，并且把實部與虛部分合并．很明顯，兩個復數的積仍然是一個復數，即在復數集內，乘法是永遠可以實施的，同時它滿足并換律、結合律及乘法對加法的分配律．規定復數的除法是乘法的逆運算，它同多項式除法類似，當兩個多項式相除，可以寫成分式，若分母含有理式時，要進行分母有理化，而兩個復數相除時，要使分母實數化，即分式的分子和分母都乘以分母的共軛復數，使分母變成實數．

三、教學建議

1．在學習復數的代數形式相乘時，復數的乘法法則規定按照如下法則進行．設是任意兩個復數，那么它們的積：

也就是說．復數的乘法與多項式乘法是類似的，注意有一點不同即必須在所得結果中把換成一1，再把實部，虛部分別合并，而不必去記公式．

2．復數的乘法不僅滿換律與結合律，實數集R中整數指數冪的運算律，在復數集C中仍然成立，即對任何，，及，有：

，，；

對于復數只有在整數指數冪的范圍內才能成立．由于我們尚未對復數的分數指數冪進行定義，因此如果把上述法則擴展到分數指數冪內運用，就會得到荒謬的結果。如，若由，就會得到的錯誤結論，對此一定要重視。

3．講解復數的除法，可以按照教材規定它是乘法的逆運算，即求一個復數，使它滿足（這里，是已知的復數）．列出上式后，由乘法法則及兩個復數相等的條件得：

，

由此

，

于是

得出商以后，還應當著重向學生指出：如果根據除法的定義，每次都按上述做來法逆運算的辦法來求商，這將是很麻煩的．分析一下商的結構，從形式上可以得出兩個復數相除的較為簡捷的求商方法，就是先把它們的商寫成分式的形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復數，再把結果化簡即可．

4．這道例題的目的之一是訓練我們對于復數乘法運算、乘方運算及乘法公式的操作，要求我們做到熟練和準確。從這道例題的運算結果，我們應該看出，也是-1的一個立方根。因此，我們應該修正過去關于“-1的立方根是-1”的認識，想到-1至少還有一個虛數根。然后再回顧例2的解題過程，發現其中所有的“-”號都可以改成“±”。這樣就能找出-1的另一個虛數根。所以-1在復數集C內至少有三個根：-1，，。以上對于一道例題或練習題的反思過程，看起來并不難，但對我們學習知識和提高能力卻十分重要。它可以有效地鍛煉我們的逆向思維，拓寬和加深我們的知識，使我們對一個問題的認識更加全面。

5．教材194頁第6題這是關于復數模的一個重要不等式，在研究復數模的最值問題中有著廣泛的應用。在應用上述絕對值不等式過程中，要特別注意等號成立的條件。

教學設計示例

復數的乘法

教學目標

1．掌握復數的代數形式的乘法運算法則，能熟練地進行復數代數形式的乘法運算；

2．理解復數的乘法滿換律、結合律以及分配律；

3．知道復數的乘法是同復數的積，理解復數集C中正整數冪的運算律，掌握i的乘法運算性質．

教學重點難點

復數乘法運算法則及復數的有關性質．

難點是復數乘法運算律的理解．

教學過程設計

1．引入新課

前面學習了復數的代數形式的加減法，其運算法則與兩個多項式相加減的辦法一致．那么兩個復數的乘法運算是否仍可與兩個多項式相乘類似的辦法進行呢？

教學中，可讓學生先按此辦法計算，然后將同學們運算所得結果與教科書的規定對照，從而引入新課．

2．提出復數的代數形式的運算法則：

．

指出這一法則也是一種規定，由于它與多項式乘法運算法則一致，因此，不需要記憶這個公式．

3．引導學生證明復數的乘法滿換律、結合律以及分配律．

4．講解例1、例2

例1求．

此例的解答可由學生自己完成．然后，組織討論，由學生自己歸納總結出共軛復數的一個重要性質：．

教學過程中，也可以引導學生用以上公式來證明：

．

例2計算．

教學中，可將學生分成三組分別按不同的運算順序進行計算．比如說第一組按進行計算；第二組按進行計算．討論其計算結果一致說明了什么問題？

5．引導學生得出復數集中正整數冪的運算律以及i的乘方性質

教學過程中，可根據學生的情況，考慮是否將這些結論推廣到自然數冪或整數冪．

6．講解例3

例3設，求證：（1）；（2）

講此例時，應向學生指出：（1）實數集中的乘法公式在復數集中仍然成立；（2）復數的混合運算也是乘方，乘除，最后加減，有括號應先處括號里面的．

此后引導學生思考：（1）課本中關于（2）小題的注解；（2）如果，則與還成立嗎？

7．課堂練習

課本練習第1、2、3題．

8．歸納總結

（1）學生填空：

；＝＝．

設，則＝，＝，＝，＝．

設（或），則，．

（2）對復數乘法、乘方的有關運算進行小結．

篇8

考點1 冪的運算

例1 （江蘇泰州）下列運算正確的是（ ）.

A.a3?a2＝a6B.（－a2）3＝－a6

C.（ab）3＝ab3 D.a8÷a2＝a4

分析：根據冪的運算法則，逐一計算.由同底數冪相乘，底數不變，指數相加，得a3?a2＝a3＋2 ＝a5，選項A不正確；積的乘方，把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，得（ab）3＝a3?b3＝a3b3，選項C不正確；同底數冪相除，底數不變，指數相減，得a8÷a2＝a6，選項D也不正確.只有選項B正確.

解：（－a2）3＝（－1）3?（a2）3＝－a6.故選B.

點評：理解、熟記冪的運算法則是解題的關鍵.

考點2 整式的乘除

例2 （福建廈門）計算：[（x＋3）2＋（x＋3）?（x－3）]÷2x.

分析：先利用完全平方公式和平方差公式將式子展開，然后再根據多項式除以單項式法則進行計算.

解：[（x＋3）2＋（x＋3）（x－3）]÷2x

＝（x2＋6x＋9＋x2－9）÷2x＝（2x2＋6x）÷2x

＝x＋3.

點評：本題主要考查同學們對整式的乘除法則的掌握及乘法公式的運用情況，計算時要細心，以防出錯.

考點3因式分解

例3（安徽蕪湖）因式分解9x2－y2－4y－4＝ ．

分析：本題既沒有公因式可提，也不能直接套用公式，可采用分組分解法.把第1項作為一組，后3項作為一組，先運用完全平方公式，然后再運用平方差公式進行分解．

解：9x2－y2－4y－4＝9x2－（y2＋4y＋4）＝（3x＋y＋2）（3x－y－2）.

點評：因式分解是整式里的重要內容，也是分式和二次根式運算的基礎.因式分解的步驟是一提，即提公因式；二套，即套公式，主要是平方差公式和完全平方公式；三分組，即對于不能直接提公因式和套公式的題目，可先將多項式適當分組，然后再提公因式或套用公式.

考點4 驗證公式

例4（四川達州）如圖1，在邊長為a的正方形中，剪去一個邊長為b的小正方形（a＞b），將余下部分拼成一個梯形，如圖2，根據兩個圖形陰影部分面積的關系，可以得到一個關于a、b的恒等式為（ ）.

A. （a－b）2＝a2－2ab＋b2

B. （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

篇9

關鍵詞 初中教學；口訣教學

數學口訣最早誕生于中國，是一種古老的算術方法，合理巧妙地運用它并給它注入新鮮血液，會為新時期的數學教學帶來耳目一新、大有作為的效果。現在有不少初中生學數學較吃力，公式、法則記不住，定理不會運用，甚至有部分學生覺得學數學枯燥無味，對數學有一定厭煩情緒，“興趣是最好的老師”，如果學生對所學課程能夠產生濃厚的興趣，那么他將會積極地主動地把學習熱情投入到學習過程中。而“口訣記憶教學”法就能產生這樣的效果。

“口訣”是人們從生活實踐中總結出來的簡單、生動、準確、深刻、形象的語言編成的順口溜，有容易領會記憶和便于流傳的優點。就像我們從小是背著加法、乘法口訣長大的一樣。因此我們在教學中應較多的引入一些口訣，朗朗上口的語言讓學生既便于記憶，在應用上更是靈活準確，所以我認為“口訣”作為記憶的便捷方式，應該在教學過程中加以引入。

“數學口訣”的創編，不僅需要對數學內容的深刻理解，而且還要有一定的文字駕馭能力，沒有一定的語言積累和機智是難以勝任的，在不“害意”的前提下，還是盡量做到押韻合轍，使它不僅具有實用價值，而且還是有吟誦與觀賞價值。下面本人就以北師大版本教材為例，結合各章節的重難點問題介紹一些“數學口訣”。

一、對于七年級的新生來說，由于所學數的范圍擴大了，而且又引入了用字母來表示數，所以“有理數的四則運算”及“整式的運算”便是一個教學重難點，在教學時我們可以結合一下口訣來加以記憶

（1）有理數的加法運算：同號兩數來相加，絕對值加不變號。異號相加大減小，大數決定和符號?；橄喾磾登蠛?，結果是零須記好。注：“大”減“小”是指絕對值的大小。

（2）合并同類項：說起合并同類項，法則千萬不能忘。只求系數代數和，字母指數留原樣。

（3）去、添括號法則：去括號或添括號，關鍵要看連接號。擴號前面是正號，去添括號不變號。括號前面是負號，去添括號都變號。

（4）整式的運算：單項式，多項式，二者統稱為整式；單項式，求幾次，字母指數和即是；多項式，是幾次，項中老大它就是；同底冪，做乘法，冪的指數要相加；同底冪，做除法，指數相減別忘啦；冪乘方，積乘方，牢記法則不要慌，前者指數要相乘，后者因數各得方，計算后，想一想，冪的底數不變樣；零指數，負指數，指數為零結果1，指數為負變倒數；性質法則容易混，用心領會用心悟。巧運用，勤記勤練十日功。

（5）完全平方公式：二數和或差平方，展開式它共三項。首平方與末平方，首末二倍中間放。

二、學生進入八年級后，“因式分解”、“分式方程的解法”及“解一元一次不等式”又是一個難點，教學時我們可結合一下口訣進行記憶

（1）因式分解：一提二套三分組，十字相乘也上數。四種方法都不行，拆項添項去重組。重組無望試求根，換元或者算余數。多種方法靈活選，連乘結果是基礎。同式相乘若出現，乘方表示要記住。注：一提（提公因式）二套（套公式）

（2）解分式方程：先約后乘公分母，整式方程轉化出。特殊情況可換元，去掉分母是出路。求得解后要驗根，原留增舍別含糊。

（3）解一元一次不等式：先去分母再括號，移項合并同類項。系數化“1”有講究，同乘除負要變向。先去分母再括號，移項別忘要變號。同類各項去合并，系數化”1”注意了。同乘除正無防礙，同乘除負要變號。

三、學生進入九年級后，“一元二次方程的解法”及“圓”又是一個難點，我們可結合一下口訣進行記憶

（1）解一元二次方程：方程沒有一次項，直接開方最理想。如果缺少常數項，因式分解沒商量。b、c相等都為零，等根是零不要忘。b、c同時不為零，因式分解或配方，也可直接套公式，因題而異擇良方。

（2）圓中比例線段： 遇等積，改等比，橫找豎找定相似；不相似，別生氣，等線等比來代替，遇等比，改等積，引用射影和圓冪，平行線，轉比例，兩端各自找聯系。

另外，幾何題中的輔助線的作法以及函數問題是貫穿整個教材的難點，我們可以結合下面的口訣來記憶。

（3）添加輔助線：輔助線，怎么添？找出規律是關鍵，題中若有角（平）分線，可向兩邊作垂線；線段垂直平分線，引向兩端把線連，三角形邊兩中點，連接則成中位線；三角形中有中線，延長中線翻一番。

（4）一次函數圖像與性質口訣：一次函數是直線，圖像經過仨象限；正比例函數更簡單，經過原點一直線；兩個系數k與b，作用之大莫小看，k是斜率定夾角，b與y軸來相見，k為正來右上斜，x增減y增減；k為負來左下展，變化規律正相反；k的絕對值越大，線離橫軸就越遠。

（5）二次函數圖像與性質口訣：二次函數拋物線，圖象對稱是關鍵；開口、頂點和交點，它們確定圖象現；開口、大小由a斷，c與y軸來相見，b的符號較特別，符號與a相關聯；頂點位置先找見，y軸作為參考線，左同右異中為0，牢記心中莫混亂；頂點坐標最重要，一般式配方它就現，橫標即為對稱軸，縱標函數最值現。

篇10

教學目標       

1．知道“乘法交換律、結合律、同底數冪的運算性質”是進行單項式乘法的依據。

2．進行單項式乘法的運算。

3．經歷探索單項式乘單項式運算法則的過程，發展有條理的思考及語言表達能力。

教學重點  會進行單項式乘法的運算。

教學難點  正確理解運算法則及其探索過程，并能用自己的語言進行描述法則。

 單項式乘單項式學案

 

1.預習課本56頁——57頁

2.計算2a×3a=        ,利用了乘法的        、      侓

3.某中學的校園有一塊長方形的花園，長為4a2bc，寬為2ab，則這個花園的面積是           。

4.用單項式乘單項式時，系數相乘可以使用什么法則？

  用單項式乘單項式時，同底數冪相乘可以使用什么法則？

用單項式乘單項式時，只在一個單項式中出現的字母怎么處理？

5.計算

 （1）3a×2a2            (2)(-2a3b2)(-3a)

  (3)(-5an+1b)(-2a)       (4)(-5x)(-10x4)2

  (5) ( ×102)3(-6×103)2  (6)(-3x)2(-3xy3)

 

單項式乘單項式教案

 

一．情境創設   

（1）同學們，現在我們家里都有電視機，大家都知道電視機的橫切面是個長方形，下面我們一起來研究這樣一個問題：將幾臺型號相同的電視機疊放在一起組成“電視墻” ，計算圖中這些電視墻的面積。

 

 

 

 

b                       （每一個小長方形的長為a，寬為b）

     a

（2）一個正方體的棱長是1.5×102.

        ①它的表面積是多少？

        ②它的體積是多少？

二．探索活動

1．提出問題：

(1)從整體看電視墻的面積可以怎么表示？

（2）從部分看電視墻的面積可以怎么表示？

（3）通過計算圖形的面積，你發現了什么？（教師對不同的算式給予解釋，從而得到等式）

（4）你能解釋3a·9.1單項式乘單項式3b= 9ab嗎？

(5)如何計算6x3·(-2x2y)

(6)你能說出每一步計算的依據嗎？

2.做一做：P56。

3．你認為“如何進行單項式與單項式的乘法運算？”

4．引導學生用語言描述法則。

單項式乘單項式法則： 單項式與單項式相乘，把它們的系數、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數作為積的一個因式。

注意單項式的乘法法則包括了以下三部分：

（1）   積的系數------等于各因式系數的積。

（2）   相同的字母相乘-----底數不變，指數相加。

（3）   只在一個單項式中含有的字母------要連同它的指數寫在積里，注意不把這個因式漏掉。

三．精講點撥

例1．   計算：

（1）- a ·（-6a3b）；    

（2）（-2x） ·（－3xy ）.

2a-3b

5b

3b

 

 

 

例2．如圖，求梯形的面積。

例3.計算（-2ab2）×(-a2b3)× bc

思考如何計算：6×（1.5×102）2      （1.5×102）3

四．應用與拓展

1．課本25頁練一練1  習題1

2．若n為正整數，且 ，求 的值

3.[3（x-y）2]×[-2(x-y)3]

五．課堂小結

（1）說說單項式乘單項式的運算法則；

（2）運用時應注意什么？

（3）說出計算的每一步依據。

六．布置作業

第57頁，習題9.1第2題

 

鞏固案：

 

1.   填空題

（1）2a(-4ab2))=          (2) -6x3y2( xyz)=         

 (3)3x2y·       =-18x4y3  (4)       ·(-3ab2c3)=15a2b2c5

  2.下面的計算是否正確？如有錯誤請改正。

       (1)3x3.(-2x2)=5x5        (2)3a2.4a2=12a2

       (3)3b3.8b3 =24b9         (4)-3x.2xy=6x2y

  3.（1）若A.B=-12x3y4,其中A=2xy3,則B 等于               (         )

     A.-6xy                        B.-6x2y

      C.-6x3y                      D.6x3y

（2）若(ax3).(3xb)=12x6，則a和b的值分別為        (      )

   A.a=9,b=3                 B.a=4,b=2

   C.a=9,b=2                 D.a=4,b=3

 4.計算：

(1).2x2y.3xy2         (2) .4a2x5.(-3a3bx)

(3).5an+1b.(-2a)       (4).(a2c)2.6ab(c2)3    

(5).(a2c)2.6ab(c2)3     (6) a2b.(-3ab2)+(-2ab).(- a2b2).4abc