垂直與平行范文

導語：如何才能寫好一篇垂直與平行，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

編者按：平時在與高三學生通過面對面、電話、網絡、信件交流時得知，立體幾何解答題在高考試卷中屬于中等難度的題目，平時練習的立體幾何解答題的難度稍高于高考中的立體幾何解答題的難度，因此高考中的立體幾何解答題很容易得滿分.然而事實上，近兩年我們與高考閱卷老師交流后得知，學生在解答立體幾何解答題時丟分現象嚴重.其實，高考立體幾何解答題考查的知識點就是有數的幾個，掌握了它們，不想得滿分都難，關鍵在于你是否真正掌握了它們.

一、平行問題

1.直線與直線平行

策略：要證明直線a∥直線c，只要先找到直線b，證明a∥b且b∥c即可.

例1 如圖1所示，在三棱錐P-ABQ中，PB平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，AQ=2BD，PD與EQ交于點G，PC與FQ交于點H，連接GH.求證：AB∥GH.

難度系數 0.60

分析 由AB∥EF，EF∥GH，可知AB∥GH.

證明 在APQ中，D，E分別是AQ，AP的中點，則G是APQ的重心，于是有 =2.同理有 =2.所以 = ，即GH∥EF.

又EF是PAB的中位線，所以AB∥EF.

綜上可知AB∥GH.

小結 三角形的重心分中線為2∶1兩部分.三角形的中位線平行于底邊，且等于底邊的一半.

2.直線與平面平行

策略：平面α外的一條直線a，如果與平面α內的一條直線b平行，那么a∥α.

例2 如圖2所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中點，AA1=AC=CB= ·AB.證明：BC1∥平面A1DC.

難度系數 0.65

分析 要證明直線與平面平行，只要證明直線與直線平行或者將其轉化為證明向量的數量積為零即可.

證明 （證法1）連接AC1交A1C于點F，連接DF.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，由AA1=AC，可知四邊形ACC1A1為正方形，故F為AC1的中點.在ABC1中，由于D為AB的中點，所以DF∥BC1.

由于DF？奐平面A1DC，BC1？埭平面A1DC，所以BC1∥平面A1DC.

（證法2）設平面A1DC的法向量為n=（a，b，c），則有n· =0，n· =0.

由于 =（- ，0，- ）， =（ ， ，0），所以- a- c=0， a+ b=0. 于是b=c=-a.

取n=（1，-1，-1），由于 =（0，- ， ），n· =0，所以n ，從而有BC1 ∥平面A1DC.

小結 用待定系數法確定平面的一個法向量n，再證明n ，這是理科考生要掌握的方法.

3.平面與平面平行

策略：要證明平面與平面平行，我們只要先證明其中一個平面內的兩條相交直線與另一平面平行即可.

例3 如圖3所示，在三棱錐S-ABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，AS=AB.過A作AFSB，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點.

求證：平面EFG∥平面ABC.

難度系數 0.65

分析 欲證面面平行，先證線面平行，由中點找中點，用三角形中位線的性質解答.

證明 由于AS=AB，AFSB，所以點F為SB的中點.由于E，G分別是SA，SC的中點，所以EF∥AB，EG∥AC.所以EF∥平面ABC，EG∥平面ABC.

又EF∩EG=E，所以平面EFG∥平面ABC.

小結 將證明平面與平面平行轉化為證明直線與平面平行，將證明直線與平面平行轉化為證明直線與直線平行，這體現了立體幾何證明題的“降維思想”.

二、垂直問題

1.直線與直線垂直

策略：由直線與平面垂直，可知直線與該平面內的任意直線垂直.另外，也可用向量的數量積為零來證明.

例4 如圖4所示，四棱錐P-ABCD 的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°.已知PB=PD=2，PA= .證明：BDPC.

難度系數 0.60

分析 要證明BDPC，可先證明BD平面APC或證明 · =0.

證明 （證法1）連接AC交BD于點O，連接PO.

由于底面ABCD是菱形，所以ACBD，BO=DO.由于PB=PD，所以POBD.

又PO∩AC=O，所以BD平面APC，即BDPC.

（證法2）連接AC交BD于點O，連接PO.

由于底面ABCD是菱形，所以ACBD.由于PB=PD，O為BD的中點，所以POBD.

由于 · = ·（ + ）= · + · =0，所以 ，于是有BDPC.

（證法3）連接AC交BD于點O，連接PO.以O為坐標原點，以OB所在的直線為x軸，以OC所在的直線為y軸，以OP所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系.

由題設易知PBD和BCD是邊長為2的等邊三角形，于是可知B（1，0，0），D（-1，0，0），P（0，0， ），C（0， ，0），從而有 =（-2，0，0）， =（0， ，- ）.

由于 · =-2×0+0× +0×（- ）=0，所以 ，即BDPC.

小結 如果直線與平面垂直，那么直線與該平面內的任意直線都垂直.

2.直線與平面垂直

策略：要證明直線與平面垂直，只要先證明直線與該平面內的兩條相交直線垂直即可.

例5 如圖5所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O平面ABCD，AB =AA1= .證明：A1C平面BB1D1D.

難度系數 0.60

分析 找出線段B1D1的中點為E1，先證明A1CBD，A1CE1O，然后結論得證.

證明 由于A1O平面ABCD，且BD？奐平面ABCD，所以A1OBD.

在正方形ABCD中，由于ACBD，且A1O∩AC=O，所以BD平面A1AC.又A1C？奐平面A1AC，所以A1CBD.

在正方形ABCD中，AO=1； 在RtA1OA中，A1O=1.

設B1D1的中點為E1，則四邊形A1OCE1為正方形，所以A1CE1O.

又BD？奐平面BB1D1D，E1O？奐平面BB1D1D，且BD∩E1O=O，所以A1C平面BB1D1D.

小結 從圖形里的“中點”，再找一個“中點”，作出輔助線，這是經常采用的方法，值得琢磨、反思.

3.平面與平面垂直

策略：要證明平面與平面垂直，只要證明一個平面經過另一個平面的一條垂線即可.

例6 如圖6所示，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點.求證：平面PAC平面PBC.

難度系數 0.65

分析 從半圓上的圓周角是直角入手，證明BC平面PAC.

證明 由AB是圓的直徑，可得ACBC.

由PA平面ABC，BC？奐平面ABC，可得PABC.

又PA∩AC=A，PA？奐平面PAC，AC？奐平面PAC，所以BC平面PAC.

由于BC？奐平面PBC，所以平面PAC平面PBC.

小結 本題是教材中的經典題目，也是1995年全國高考考查過的題型.看來，抓教材中的典型題目和往年的高考真題，對提高復習效率是很有益處的.

篇2

1． 線面平行、垂直的判定與性質的重點

熟練掌握兩類相互轉化關系，平行轉化：線線平行?圯線面平行，線面平行?圯線線平行；垂直轉化：線線垂直?圯線面垂直，線面垂直?圯線線垂直．

2． 線面平行、垂直的判定與性質的難點

①直線與平面平行、垂直的判定與性質定理的交替使用．

②空間向量的引入，利用向量解題的關鍵是建立適當的空間直角坐標系及寫出有關點的坐標，將幾何問題轉化為代數問題．

1． 傳統法證明線面平行、垂直

證明線面平行，依據直線和平面平行的判定定理，找“平面內的一條線”與已知直線平行；證明線面垂直，依據線面垂直的判定定理，找到所需的“平面內兩條相交直線”． 而有時證明線線平行、垂直時，又轉化為證明線面平行、垂直，如此反復，直到證得結論．

2． 向量法證明線面平行、垂直

（1）證明線面平行

證明直線的方向向量與平面內一直線的方向向量平行．

證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．

（2）證明線面垂直

若要證直線l與平面α垂直，只要在α內找到兩個不共線向量a，b，在l上取向量p，證得p•a=0且p•b=0即可．

證明直線的方向向量與平面的法向量平行．

如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為正方形，側棱SD底面ABCD，E，F分別為AB，SC的中點． 證明：EF∥平面SAD．

圖1 圖2

思索 立體幾何問題一般有兩種方法：幾何法與向量法． 幾何法：證明EF與平面SAD內的某條線平行；向量法：利用向量平行轉化為兩直線平行，從而線面平行．

破解 法1：作FG∥DC交SD于點G，則G為SD的中點． 連結AG，FGCD，又CDAB，故FGAE，AEFG為平行四邊形． EF∥AG，又AG?奐平面SAD，EF?埭平面SAD． 所以EF∥平面SAD．

法2：如圖2，建立空間直角坐標系D－xyz． 設A（a，0，0），S（0，0，b），則B（a，a，0），C（0，a，0），Ea，，0，F0，，，=－a，0，． 取SD的中點G0，0，，則=－a，0，，=，EF∥AG，AG?奐平面SAD，EF?埭平面SAD，所以EF∥平面SAD． 另解，=（0，a，0）顯然為平面SAD的一條法向量，而•=0，所以EF∥平面SAD．

點評 兩種方法各有優缺點，在向量方法中注意動點的設法，在傳統法中注意用分析法尋找思路．

如圖2，四棱錐S－ABCD中，AB∥CD，BCCD，側面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1． 證明：SD平面SAB．

思索 幾何法：只需要證明SD垂直于平面中的兩條相交直線；向量法：利用向量的數量積為零證明線線垂直，從而證得線面垂直．

圖4 圖5

破解 法1：取AB中點E，連結DE，則四邊形BCDE為矩形，DE=CB=2，連結SE，則SEAB，SE=． 又SD=1，故ED2=SE2+SD2，所以∠DSE為直角． 由ABDE，ABSE，DE∩SE=E，得AB平面SDE，所以ABSD． SD與兩條相交直線AB，SE都垂直，所以SD平面SAB．?搖

法2：以C為坐標原點，射線CD為x軸正半軸，建立如圖5所示的空間直角坐標系C-xyz． 設D（1，0，0），則A（2，2，0），B（0，2，0）． 又設S（x，y，z），則x>0，y>0，z>0． =（x－2，y－2，z），=（x，y－2，z），=（x－1，y，z）． 由=得=，故x=1． 由=1得y2+z2=1． 又由=2得x2+（y－2）2+z2=4，即y2+z2－4y+1=0，故y=，z=． 于是S1，，，=－1，－，，=1，－，，=0，，，•=0，•=0．故DSAD，DSBS，又AS∩BS=S，所以SD平面SAB．

點評 立體幾何的解答通常都能用兩種方法解決，盡管試題的命制載體可能趨向于不規則幾何體，但仍以“方便建系”為原則． 用空間向量解決立體幾何問題的“三部曲”：（1）用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，建立立體圖形與空間向量的聯系，從而把立體幾何問題轉化為向量問題（幾何問題向量化）；（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間的距離和夾角等問題（進行向量運算）；（3）把向量的運算結果“翻譯”成相應的幾何意義（回歸為幾何問題）．?搖

如圖6，ABC是正三角形，AD平面ABC，EC平面ABC，且AD=AB=2，CE=1，能否在線段BD上找到一點F，使AF平面BDE？

思索 探究問題的設問方式可以先假設結論成立，然后進一步分析研究需要滿足什么條件，從而確定它的存在與否；也可假設滿足某個條件，從而推出結論成立來說明它的存在性．

破解 法1：取BD中點F，AB中點G，連EF，CG，FG，有FG∥DA，且FG=DA=1，AFDB． 因為AD平面ABC，所以FG平面ABC． 因為EC平面ABC，AD=AB=2，CE=1，所以FG∥CE且FG=CE，CECG，故四邊形EFGC為矩形． 因為ABC是正三角形，所以GCAB，所以GC平面ABD，GCAF，所以EFAF，又ABD為等腰直角三角形，所以AFDB，所以AF平面BDE，結論成立．

法2：建立如圖7所示的坐標系，則有A（0，0，0），D（0，0，2），E（0，2，1），B（，1，0）． 令DF=x•DB，則=（x，x，－2x），=+=（x，x，2－2x），=（0，2，－1），=（，1，－2）． 若AF平面BDE，則•=0，•=0，故x=，此時F為BD中點．

篇3

第五單元第一課時平行與垂直

同步測試B卷

姓名:________

班級:________

成績:________

小朋友們，經過一段時間的學習，你們一定進步不少吧，今天就讓我們來檢驗一下！

一、填空。

(共4題；共10分)

1.

（2分）

(2019四上·西工期末)

我們課桌的桌面相鄰的兩條邊互相________，相對的兩條邊互相________．

2.

（3分）

直角梯形ABCD中（如圖），線段AB與線段________互相平行，線段________與線段________互相垂直。

3.

（2分）

(2019四上·高密期中)

兩條平行線之間的距離________，如果兩條平行線之間的距離是9厘米，在這兩條平行線之間作一條垂直線段，這條垂直線段的長度是________厘米。

4.

（3分）

(2020四上·深圳期末)

下圖中有________組平行線，________組垂線，有________個直角。

二、判斷。

(共3題；共6分)

5.

（2分）

(2019·阜南)

在同一平面內，互相平行的兩條直線一定不相交。（

）

6.

（2分）

(四上·路橋期末)

一張紙上畫了三條直線a，b，c，其中a∥b，bc，那么ac。

7.

（2分）

(2020二上·鎮原期末)

時針從3走到6，走了3時。（

）

三、解答題。

(共2題；共25分)

8.

（20分）

找一找下面圖形各有幾組平行線和垂線?

（1）

（2）

（3）

（4）

9.

（5分）

在下圖中，森林北路垂直于森林東路，森林南路垂直于森林東路，森林北路和森林南路之間有什么樣的關系?

參考答案

一、填空。

(共4題；共10分)

1-1、

2-1、

3-1、

4-1、

二、判斷。

(共3題；共6分)

5-1、

6-1、

7-1、

三、解答題。

(共2題；共25分)

8-1、

8-2、

8-3、

篇4

1.資料與方法

1.1一般資料 2013年9月到2015年10月，選擇我院收治的腰椎壓縮性骨折患者150例，按照隨機原則劃分為兩組，對照組75例，男44例，女31例，年齡54-79歲，平均（66.3±10.2）歲；觀察組75例，男43例，女32例，年齡56-80歲，平均（67.3±11.2）歲。兩組患者的一般資料比較差異無統計學意義（P>0.05），具有可比性。

1.2護理方法 對照組患者給予常規護理。觀察組患者給予綜合護理干預，主要措施有：（1）心理護理：腰椎壓縮性骨折患者腰部疼痛嚴重，需要長時間臥床休息，影響了各種生理功能，病程較長，擔心疾病的預后情況。與患者耐心交談，解除思想顧慮?；颊呤中g過后其疼痛反應的發生和患者的相關情緒具有重要的關系，患者的疼痛程度與患者的焦慮等不良情緒呈正相關，認真了解患者心理壓抑的相關原因，找到出發點和突破口，有針對性地進行干預和指導。護理人員需強化自身與患者之間的溝通，強化對病房的巡視工作，為患者提供必要的心理安撫。（2）飲食指導：每天早上漱口后飲500-800 ml的溫開水，清洗腸胃，促進大便排泄。指導患者飲食定時定量，粗糧細糧均衡搭配，多食新鮮蔬菜水果，多食纖維豐富的五谷雜糧，增加胃腸蠕動。（3）腹部護理：了解患者的排便習慣，調查患者的腹脹腹痛情況，判斷患者是否存在胃腸道疾病，做好患者腸鳴音的聽診工作，檢查腸壁緊張度。指導患者餐后1-2小時，用單手掌根部，以肚臍為中心，用適當的力量順時針按摩30 min，每天1-2次；腹部熱敷，熱水袋加熱，溫度不超過70℃，老年患者不宜超過50℃。熱敷過程注意觀察皮膚情況及詢問患者感覺。（4）干預：幫助患者選擇舒適的，緩解牽拉而引起的手術傷口疼痛。囑患者平臥在硬板床上，患處墊上2-4 cm的枕頭，確?；颊叩募怪軌蛭挥谒轿恢?。幫助患者翻身，選擇舒適的，若患者側臥，應該注意確?；颊哕|體間的一致性，更好地緩解患者局部的疼痛癥狀，以確保患者感覺到舒適為主。（5）腹式呼吸：指導患者平臥，放松四肢，雙手交叉在腹部，先用鼻子吸氣，可見患者腹部出現膨隆，然后用嘴慢慢呼氣，身體的氣體慢慢溢出。呼吸時間之比為1：2，每次訓練15 min，每天進行四次訓練。其頻率大約為20 min一次。患者進行腹式呼吸，對患者的內臟起到按摩作用，促進患者的胃腸蠕動。

1.3觀察指標 采用VAS評分法評價患者的術后疼痛情況，分值越高，表示疼痛越大。記錄患者的腹脹發生率。

1.4統計學方法 采用IBM SPSS 22.0統計學軟件進行統計學分析，計量資料以均數±標準差（x±s）表示，組間比較采用兩獨立樣本均數t檢驗，計數資料比較采用x2檢驗，檢驗水準：a=0.05，雙側檢驗。

2.結果

觀察組術后第4天的疼痛指數評分為（1.6±0.7）分，對照組術后第4天的疼痛指數評分為（5.4±2.1）分，兩組比較差異有統計學意義（t=14.867，P

3.論

壓縮性骨折多發于患者的下胸圍和上腰部位，其主要表現是患者出現背部疼痛，后柱棘突或韌帶有損傷，局部存在著后凸畸形，對患者的生活質量產生嚴重影響。通常情況下，腰椎壓縮性骨折指患者的脊柱前屈而導致的椎體前柱壓縮，進而患者的腰椎及隨后部分的后柱出現了牽拉傷。損傷后患者的椎體變為楔形，嚴重影響正常生活，不利于患者的身心健康。手術是治療本病的主要方法，但是老年患者的身體機能減弱，抵抗能力降低，耐受疼痛的能力也顯著降低。通常情況下，骨折后的12 h患者容易出現腹脹。主要表現為惡心、嘔吐、腹痛、腹脹等，嚴重者會出現呼吸困難、下肢靜脈血栓等情況，極大影響患者后期康復與治療。因此，給予合適的護理干預，降低患者疼痛、減少腹脹發生率非常必要。

篇5

長期從事教學一線的教師都知道，現在的學生靠灌輸式教學收效甚微。盡管他們對教師有依賴性，教師也只能引導、鼓勵學生去學習、去思考、去觀察。網絡教育主要是指以多媒體技術為主要媒體，在網上進行的跨時空、跨地域的，實時或非實時的交互式教學形式。與傳統教育相比，網絡教育的獨特優勢主要表現在如下幾個方面：

1、良好的交互性。在網上可以利用BBS、E-mail等網絡工具向老師提問、與同學討論問題，形成交互式學習。2、靈活方便。網絡教育的學習者可以在任何時間、任何地點進行學習。除此之外，學習者還可以自己掌握學習進度。3、易于管理。電腦有著巨大的信息處理能力和儲存能力，利用電腦的這種特性，大部分教學和教學管理工作可以在網上進行。4、資源共享。在網絡上進行資源共享分為三個方面：一是課程資源共享，通過鏈接就可以完成。二是網上資源的共享，互聯網本身就是一個巨大的資源庫，是一個知識的寶庫。這個資源庫可為學習者提供多種學習的便利，擴大學習者的知識面。三是對教學中難點問題解答的共享，一個學習者所遇到的問題，教師解答了，其他有相同問題的學習者也可以參考。5、個性化的服務。網絡教育學習方式靈活，可選擇資源充分，為個人興趣的發展提供了充足的發展空間。學習者可以根據自己的愛好和特長去選擇自己想學的內容，去實現自己的發展目標。6、可以優化教育資源。網絡上的教育資源可以隨時更新和補充，可以及時地反映出最新的科研成果，并把這些成果編入教學內容中來。

利用手機微信，微博是最簡單的網絡教育，可我們有些學校禁止學生使用手機，其實我們可以順勢而為，利用網絡工具改變過去那種只靠授課、作業、考試方式來傳授知識的方法。例如，對《立體幾何》的復習，我們采用了“手游”式，取得了較好的效果。

手機游戲是指運行于手機上的游戲軟件，現在手機游戲也遠遠不是我們印象中的什么“俄羅斯方塊”“捕魚達人”“貪吃蛇”之類，發展到了可以和掌上游戲機媲美。“手游”之所以吸引力那么大，是因為它具有很強的娛樂性和交互性。為此，我們將《立體幾何》知識分成三關來讓學生闖。

第一，概念、公式關：我們將《立體幾何》的有關計算公式與幾何圖形配對制成“憤怒的小鳥”形式，學生過了這關就可知道自己月考數學成績在班上的排名，以及本班班費的使用情況。但要知道具體分數就得繼續闖關。

第二，識圖、畫圖關：《課程標準》對學生空間想像能力提出了更高的要求，并賦予了新的內容。在實際教學中，教師應重視讀圖、視圖能力的培養；重視耐心觀察而獲取感性認識的推理過程。我們將幾何體的三視圖設置為第二關，如果過了這關就可知道自己的數學分數，加入QQ群等。

第三，轉化關：在立體幾何問題中注意聯想平面幾何中類似問題的圖形與解法，從平面幾何問題中得到啟發，適當添加輔助線、輔助面，將分散的元素進行集中，將各種關系體現在同一個平面圖形內，就可化未知為已知，化立體幾何為平面幾何，從而使問題迎刃而解。如果你過了此關，你將得到老師的點贊，參加教師微博。

闖關基礎：點線 面 ， 構成空間幾何體的基本元素。

點：點動成線（曲線或直線，不絕對為直線）

線：線動成面（曲面或平面，移動為平面，固定射線的端點，轉動能形成錐面）

面：面動成體

主要關系

一、直線與平面平行

1.定義：直線與平面沒有公共點；

2.判定方法：方法一 根據定義判定 ；方法二 根據判定定理判定：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。方法三 性質定理的逆用。

3.性質定理： 一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行. 簡述為：線面平行則線線平行.

二、平面與平面平行

1.定義：兩個平面沒有公共點。

2.判定方法：

（1）根據定義。證明兩個平面沒有公共點。 由于兩個平面平行的定義是否定形式，所以直接判定兩個平面平行較困難，因此通常用反證法證明。 （2）根據判定定理。證明一個平面內有兩條相交直線都與另一個平面平行。 （3）根據“垂直于同一條直線的兩個平面平行”，證明兩個平面都與同一條直線垂直。

3. 兩個平面平行具有如下性質： （1） 兩個平行平面中，一個平面內的直線必平行于另一個平面。 簡述為：“若面面平行，則線面平行”。 （2） 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。 簡述為：“若面面平行，則線線平行”。 （3） 如果兩個平行平面中一個垂直于一條直線，那么另一個也與這條直線垂直。 （4） 夾在兩個平行平面間的平行線段相等

三、直線與平面垂直

1.定義：如果一條直線a與平面內任一條直線都垂直，則a與這個平面垂直。

2.判定方法：

（1）定義法：（2）判定定理：若直線垂直于面內的兩條相交直線，則直線垂直于該平面。

（3）其他方法：

3.性質定理：

如果一條直線垂直于一個平面，則這個平面上的任意一條直線都與原直線垂直。

如果一條直線垂直于一個面，那么經過該直線的平面于此平面相交，直線與交線平行

如果兩條直線同時垂直于一個平面，那么著兩條直線平行。

如果一條直線垂直于一個面，那么經過該直線的平面與此平面垂直

四、平面與平面垂直

1.，定義：若兩個平面的二面角為直二面角，則這兩個面互相垂直

2，判定方法：1先證線面垂直（如果一直線和平面內兩相交直線垂直，那么直線垂直于這個平面） 再證面面垂直（一平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面相互垂直） 2。證直二面角。

3.性質定理： 性質1：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。

性質2：如果兩個平面垂直，那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內。

性質3：如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面。

性質4：三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直。

總之，為了促進學生學習方式的轉變，引導學生主動地、富有個性地學習，教師在教學過程中大膽改革傳統教學方式，嘗試新的教學方式，如網絡、微信等，將使學生的學習渠道和空間有效拓寬，使學生內在的情感和思維得到真正的激活。如果我們每門課程、每個章節都能這樣做，就再也不用擔心學生爛用手機了。

篇6

[關鍵詞]認識平行；教學設計；思考

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）20-0061-02

【教學內容】

蘇教版數學四年級上冊第92～93頁的例9和例10。

【教學目標】

1.引導學生在理解“垂直”的基礎上，進一步感知并理解兩條直線的另一種特殊的位置關系――平行，體會這兩種位置關系的共同點和不同點，認識平行線。

2.要求學生能根據平行的本質找到畫平行線的方法。

3.關注學生數學活動經驗的積累，發展學生的空間觀念，培養學生應用數學的意識。

【教學重難點】

引導學生理解兩條直線互相平行的本質，即兩條直線間的寬度（距離）不變，并能根據這一特征探究平行線的畫法。

【教學準備】

給每個學生發一張白紙，要求學生自備直尺、三角尺和水彩筆。

【教學過程】

一、復習回顧

師（出示圖片）：圖1是老師家陽臺的一角，圖2是放大后墻面上瓷磚的圖片。你能從圖2中找出與上一節課有關的數學知識嗎？

（學生回顧上一節課所學的知識）

師：上一節課我們學習了兩條直線的特殊位置關系――垂直。誰來說一說什么是互相垂直？什么是垂線？什么是垂足？

（學生回答）

師（小結）：兩條直線相交成直角時，這兩條直線互相垂直，其中一條直線是另一條直線的垂線，這兩條直線的交點叫作垂足。

（教師在圖2上描出一組互相垂直的直線，并組織全班交流）

【設計意圖：日常生活中有許多垂直或平行的現象，這些都是教學素材。本課教學從呈現陽臺的一角開始，引導學生觀察并發現日常生活中的數學原型，既有助于激發學生的學習興趣，又幫助學生復習了舊知識，有利于培養學生的數學意識?！?/p>

二、感知“平行”

師：再次觀察圖2，在這張圖片中，兩條直線除了互相垂直，還有沒有別的位置關系？請你描出另外一組直線，要求與第一次描出的直線的位置關系不同。

（組織全班交流，選擇呈現學生描出的直線，如圖3～5）

師：哪張圖中的兩條直線的位置關系與其他的不同？為什么？

生：圖3和圖4中，即使把兩條直線無限延長，它們也不會相交。圖5中，把兩條直線延長后，它們互相垂直。

（引導學生觀察更多的生活原型；呈現教材中例9的圖片，如圖6～8：鐵塔、鐵軌、雙杠）

師：請在這三幅圖中描出不會相交的兩條直線。

師：你還在哪里見到過這樣的兩條直線？請說一說。

生1：黑板的上下兩條邊或左右兩條邊、馬路上的斑馬線、五線譜等。

師：如果請你在白紙上畫出這樣的一組直線，你會借助什么工具？

（學生經過討論，認為可以沿著直尺、方形橡皮的上下兩條邊或左右兩條邊描出這樣的一組直線）

師：請借助合適的工具，在白紙上畫出你所描述的一組直線。說說你畫的這組直線與以下四組直線有什么不同。

師：第①組中，兩條直線相交；第②組中，兩條直線延長后會相交；第③組和第④組中，兩條直線也相交，因為兩條直線相交成直角，我們還可以說這兩條直線互相垂直。所以這四組直線的位置關系都可以說成是“相交”。而剛才畫出的一組直線，再怎么延長也不會相交。像這樣不相交的兩條直線，叫作互相平行，其中一條直線是另一條直線的平行線。

（教師結合分析和小結，呈現如下板書）

師：與同桌說一說怎樣的兩條直線是平行線，并完成以下練習。

（1）P93的“練一練”：下面哪組的兩條直線互相平行？

（2）教師演示小魚向右平移5格（如圖9）：你能在平移前后的圖形中找到幾組互相平行的線段？

師：在圖9中，怎樣的兩條線段互相平行？嘗試用一句話概括。

生2：平移前后，對應的兩條邊是互相平行的。

【設計意圖：從學生已經掌握的“兩條直線互相垂直”的位置關系出發，引導學生尋找兩條直線之間不同的位置關系以及生活中的原型，幫助學生建立清晰的直觀表象。學生在白紙上描出“不互相垂直”的兩條直線后，再與不同的“相交”現象進行對比分析，明確“不相交的兩條直線互相平行”，提煉概念。在此過程中，結合交流和討論活動，教師完整呈現了“兩條直線的位置關系”網絡圖，幫助學生完善知識結構，系統理解并掌握相關的數學概念。】

三、深化理解

師：剛才我們在白紙上借助工具畫出了一組平行線，想一想，根據平行線“不相交”的特點，我們還可以怎么畫平行線？

（學生獨立思考后，在小組里交流，教師巡視指導，及時點撥）

生3：可以根據“兩條平行線之間的寬度相等”這一特點畫出平行線。

學生嘗試畫平行線并交流畫法：

（1）先畫出一條直線；

（2）確定兩條平行線之間的寬度，比如2厘米；

（3）在畫好的直線上確定兩個點，過這兩個點畫出已知直線的垂線段，長為2厘米；

（4）過兩條垂線段的另一組端點畫一條直線，畫出的就是已知直線的平行線。

四、課堂小結

師：平行線在我們的日常生活中無處不在，它不僅擁有整齊勻稱的美，還具有重要的研究意義和數學意義。我們在今后的學習中將進一步研究平行線的性質與特點。

【教學思考】

一、關于先學“垂直”后學“平行”

“垂直”或“平行”是同一平面內兩條直線的特殊位置關系，是學習線、角、面、體等幾何知識的基礎。編者在修訂蘇教版教材時，調整了這兩個知識點的教W順序，先教學“垂直”再教學“平行”，這不僅是因為學生積累的關于“垂直”的感性認識比“平行”多，更是因為學生認識垂直關系，學會畫垂線后，能感悟兩條直線的“不相交”，從而降低學習平行線概念的難度。

二、關于“同一平面”

平行線概念的建立與描述，要基于“同一平面”這個必要前提。編者在修訂蘇教版教材時，采用“像這樣”的表達，隱含了“同一平面內”的限定，主要是考慮到小學生受年齡與知識水平的限制，目前還不能理解異面直線的概念，所以過多強調“同一平面內”并沒有多少實際意義，反而會給學生理解概念帶來更大的困難。為此，教材完全避免了異面直線的現象，給學生觀察的都是同一平面內的兩條直線。

三、關于平行線的畫法

用三角尺和直尺畫已知直線的平行線歷來是“平行線”教學中的一個難點，其實質是“同位角相等，兩直線平行”的判定定理，這需要學生聯系平行的概念和特點，從“平移”這個理論基礎出發，思考操作的方法。很多時候，這一環節的教學受課堂時間的限制，常常演變為觀看錄像或動畫后的模仿操作活動，達不到應有的教學效果。

篇7

例1.如圖，四邊形ABCD為矩形，DA平面ABE，AE=EB=BC=2，BF平面ACE，且點F在CE上.（1）求證：DEBE；

（2）求四棱錐E﹣ABCD的體積；

（3）設點M在線段AB上，且AM=2MB，試在線段CE上確定一點N，使得MN∥平面DAE.

法1：面面平行 線面平行

過M點作AE的平行線交EB于P點，過P點作BC的平行線交CE于N點，連接MN，

MP//AEMP？埭面DAEAE？奐面DAE？圯MP//面DAE 同理PN//面DAE MP∩PN=P？圯面MPN//面DAE？圯MN//面DAEm

在ABE中，■=■=■

在EBC中，■=■=■，所以N為EC的三等分點（靠近C點處）

法2：構造三角面（線面平行？圳線線平行）通過線面平行找線線平行，從而確定比例關系。

分析：過E點作DA的平行線EH，連接BN并延長交EH與Q點，連接AQ

假設

MN//面DAEMN？奐面BAQ面BAQ∩面DAE=AQ？圯MN//AQ？圯■=■=■面DAEEQ//BC？圯■=■？圯■=■

法3：構造平行四邊形面（原理同法2）

分析：過N點作DC（即AM）的平行線交DE于G點，連接GN，AG.

則AM//NGMN//面DAEMN？奐面MNGA面MNGA∩面DAE=GA？圯MN//GA？圯四邊形MNGA為平行四邊形

？圯NG//AM且NG=AMAM//DC且AM=■DC面MNGA∩面DAE=GA？圯NG=■DC？圯N為EC的三等分點（靠近C點）

點評：證明線面平行的方法有3種，關鍵是輔助線的作法和思路的尋求。法1是構造線MN所在的平面與面DAE平行；法2是利用異側或同側取點與線MN構成三角面與已知面DAE相交，產生的交線與MN平行；法3按已知固定方向做平行線構造平行四邊形（依據同法2，都是由線面平行的性質定理來分析思路）。

例2.如圖1，在RtABC中，∠C=90°，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如圖2。

（1）求證：DE∥平面A1CB；（2）求證：A1FBE；

（3）線段A1B上是否存在點Q，使A1C平面DEQ？說明理由。

分析：由（1）知DE面A1CD，則DEA1C要找A1C的垂面且過DE，則只需過D點或E點作A1C的垂線（原理：A1C過DE所在面的兩條相交直線），而點D與線A1C同在已知面A1CD內，

故在面A1CD內作D1HA1C，則A1C面DEH（但此三角面與A1B目前無交點）。

將面DEH進行延展，根據兩條平行直線確定唯一一個平面，過H在面A1CB內作BC（即DE）的平行線HQ，連接EQ，則面DEHQ即為面DEQ。

例3.如圖，邊長為4的正方形ABCD所在平面與正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分別為PC，AD的中點，

（1）求四棱錐P-ABCD的體積；

（2）求證：PA∥平面MBD；

（3）試問：在線段AB上是否存在一點N，使得平面PCN平面PQB？若存在，試指出點N的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由。

分析：要證面PCN面PQB，即尋找其中一個面的垂線，由于N點未定，故面PCN的垂線不可找，從而確定找面PQB的垂線。

易證PQ面ABCDNC？奐面ABCD？圯PQNC，猜想NC為面PQB的垂線，

故只要NCBQ即可

篇8

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2013）10B-

0064-02

向量是高中數學不可缺少的內容，它是溝通代數、幾何與三角函數的工具。在平面幾何中，向量可以將很多問題代數化、程序化，體現出數與形的完美結合，新課標對向量知識的考查也充分體現了綜合運用的特色。在幾何中，平面向量在處理長度、距離、垂直、平行等問題時占有絕對的優勢，運用向量與數形的轉化，可以大大簡化計算，降低某些題目的難度，向量方法在幾何中得到了廣泛的運用。本文從證明直線平行、求夾角、證明直線垂直三個方面論述向量在平面幾何中的運用。

一、用向量證明直線平行

直線平行的證明是平面幾何中經常遇到的問題之一，也是高中數學中的重點和難點。如果我們直接用平面幾何的知識來證明直線平行，思路繁雜，步驟繁瑣，向量卻可以幫助我們輕松快速地解決問題。

用向量證明直線與直線平行的一般思路是：把問題轉換為向量平行（共線）的充要條件：a∥b■a=λb（x1y2-x2y1=0），即只需證明a=λb即可。

【例1】 如圖1，若ABCD是平行四邊形，EF∥AB，AE與BF、DE與CF分別相交于N和M。求證：MN∥AD。

分析：學生遇到此類題目時，通常會想到通過證明同位角相等來得出兩直線平行，但是，這一方法的思維過程復雜，導致學生很難入手，無法解決問題。我們可以嘗試用向量的方法證明：要證明MN∥AD，只要證明■=λ■（λ≠0）即可，而■= ■- ■，■= ■- ■，很容易得出：■=λ1■，■=λ2■，所以，只需要證明λ1等于λ2。至此，問題就變得簡單了，因為很容易看出EF∥AB∥DC，且AB=DC，利用三角形相似的原理，很容易得出λ1=λ2。下面我們一起看解題過程：

證明：EF∥AB

NEF∽NAB

設■=λ′ ■（λ′≠1）

則■=λ′

■=■=λ′-1

■= ■（λ′-1）

同理，由于EF∥DC得■= ■（λ′-1）

■= ■- ■

=（λ′-1）■-（λ′-1）■

=（λ′-1）（ ■ - ■）

=（λ′-1）■

令λ=λ′-1，則■=λ■（λ≠0）

MN∥AD

從這道題目可以看出：運用向量證明平面幾何中直線平行的問題，只要找出所求線段或直線對應的向量平行關系，證明a∥b■a=λb（x1y2-x2y1=0），就可以運用向量與數形的轉化簡化運算。反之，如果直接利用平面幾何知識證明直線兩兩平行，思維過程不僅過于復雜，而且很難找到突破口。因此，教師在設計教學方案時，應要求學生熟練掌握用向量證明直線平行的一般方法，使學生在遇到類似的問題時能輕松應對。

二、用向量求兩直線的夾角

求兩條直線的夾角是高中數學的重要內容之一，求夾角的問題可以利用向量的夾角公式：cosα=■，以兩直線的方向向量的夾角與兩直線夾角之間的關系為突破口，運用向量的方法，推導得出兩直線夾角的余弦公式。對于求平面內兩直線的夾角問題，理論簡單，方法也易于掌握，難點在于如何根據題意選取恰當的方法來解決問題。下面結合具體實例談談求解方法的選擇。

【例2】如圖2所示，在ABC中，已知AB=■，cosB=■，AC邊上的中線BD=■。求sinA的值。

分析：遇到求夾角的問題，我們可以首先考慮cosα=■，而此題求sinA，我們只需求出cosA，根據公式sin2A+cos2A=1即可求得sinA。

解：以點B為坐標原點，■為x軸正向建立直角坐標系，且不妨設點A位于第一象限。

如圖2，由sinB=■=

■=■

■=■cosB，■sinB=■，■

設 ■=（x，0），則 ■=■，■

由條件得，

| ■|=■

從而有x1=2，x2=-■（舍去）

故 ■ = ■- ■=-■，■，于是有

cosA=■=■=

■=3■

sinA=■=■

教師在教學過程中要引導學生樹立這樣的意識，即要求一個夾角的大小，如果根據已知條件不可以很直觀地求出夾角的度數，則可以根據公式cosα=■，利用向量的性質進行求解。

三、用向量證明直線垂直

在幾何學中，兩條直線的垂直，主要分為平面內兩條直線垂直和空間兩條直線垂直，而證明平面內的兩條直線垂直一般有三種方法：平面幾何法、解析法、向量法。用向量法證明直線垂直，往往要用到向量垂直的充要條件：ab■a?b=0（或x1x2+y1y2=0），解題時可從這個充要條件入手，轉換問題使之簡單化。

【例3】如圖3所示，O為ABC的外心，E為三角形內一點，滿足■= ■+■+■。求證：■■？郾

分析：這是平面幾何中最典型的證明垂直的問題，如果使用平面幾何作輔助線的方法，比較麻煩，但如果用向量的方法，就截然不同了。要證明直線垂直，只需證明向量相乘等于0，即只需證明 ■?■=0而 ■= ■- ■， ■= ■- ■.又由題目可知： ■= ■+ ■+ ■，所以 ■= ■+ ■，又由外接圓的性質得知 ■， ■的模相等，所以要證明這兩個向量垂直，只需將 ■， ■表示出來即可。

證明： ■= ■- ■

=（ ■+ ■+ ■）-■

= ■+ ■

■= ■- ■

■? ■= （ ■+ ■）?（ ■- ■）

=| ■|2-| ■|2

O為外心，| ■|=| ■|

即 ■? ■=0， ■■？郾

以上例子是平面幾何中最常見的直線或線段垂直的問題，這類問題一般用幾何中垂直的相關判定定理進行解答，學生在解答類似的問題時可以從直線垂直的判定定理ab■a?b=0（或x1x2+y1y2=0）入手思考，只要證明兩向量垂直，就可以得出對應的兩條線段或直線垂直。

通過以上幾個例子我們可以得到用向量方法解決平面幾何問題的一般步驟：

1？郾建立平面幾何與向量之間的關系，將平面幾何問題轉化為向量問題。

2？郾理清所要解答的幾何問題與向量之間有什么聯系。

3？郾運用向量進行運算。

4？郾把運算結果“翻譯”成幾何關系。

篇9

[關鍵詞] 投影 垂直 平行

點、線、面是構成形體的基本幾何要素，研究他們的投影是為正確表達形體和解決空間幾何問題奠定理論基礎，并提供有利的分析手段。線的投影是點和面的投影的過渡部分，只有掌握線的投影，才能為面乃至組合體的投影打下良好的基礎。

在教學過程中，往往結合習題冊讓學生多做多練，學生對單一題型還能利用相關知識點作圖，習題冊上的題型也是考察單一知識點的居多，所以一旦碰到綜合題往往束手無策，不知如何下手，本文以一道綜合題為例，再談一下直線的投影。

例：過點C作一直線CP，使其與直線AB平行，且使點P距A、B兩點等距，如圖1所示。

一、根據相關知識點作圖

分析題意，從題中可以得到一些關鍵詞，如平行，等距，垂直等，看到這些關鍵詞就要想到與這些關鍵詞有關的投影特性，只有了解了這些投影特性才能進行作圖。

（一）平行問題

如果空間中兩直線相互平行，那么這兩直線的同面投影也應該平行。題中要使CP與AB平行，所以直線CP和AB的兩面投影也應平行，過C點作AB的平行線CD，P點肯定在CD這條直線上，如圖2所示。

（二）等距問題

要求P點與AB兩點等距，P點肯定要在AB的垂直平分線上，要找到此點，必須要經過兩步：一平分AB，二做AB的垂直平分線，這又涉及到另外兩個知識點。

1.定比性

若點在直線上，則點將線段的同面投影分割成與空間直線相同比例，即定比性。在本題中，要想找到AB的中點M，直接在相應投影上取中點即為二等分點，如圖2中m和m＇。

2.面線垂直

要想找到AB的垂直平分線，首先要過等分點M作AB的垂直面。線如何垂直于面？如果一直線垂直于平面中的任意兩相交直線，那么這一直線就垂直于這一平面。同時又有，若一直線的水平投影垂直于某一平面的水平線的水平投影，其正面投影垂直于該平面的正平線的正面投影，那么這一直線垂直于這一平面。在本題中，過M點作正平線ME和水平線MF，得到相應投影m＇e＇、me和m＇f＇、mf，其中m＇e＇垂直于a＇b＇，mf垂直于 ab（兩垂直直線中有一條是某一投影面的平行線，那么這兩條直線在該投影面上的投影就相互垂直），如圖3所示。平面MEF就是AB的垂直平分面，該面與CD的交點P就是題中要求的點，如圖4所示，MP就是AB的垂直平分線。

二、解題的一般步驟

綜合題涉及的知識點較多，對于剛接觸《機械制圖》的學生來說“空間”與“平面”之間的相互轉換掌握得還不是很靈活，作圖具有一定的難度，對于這類題型，對單一知識點的熟知與掌握是關鍵，只有充分了解點、線、面的投影特性及相對位置關系，解答綜合題的時候才能得心應手，總的來說，基本的步驟有以下幾點：

（一）分析題意

分析已知條件的空間情況，弄清原始條件中物體與投影面的相對位置，并把這些條件抽象成幾何要素，根據要求確定出有關幾何要素處于什么樣的特殊位置，并從已知條件中找出關鍵詞（如平行、垂直等），根據這些關鍵詞聯想到有關投影特性。

（二）確定解題方法和步驟

一般利用綜合分析法，從已知條件出發，根據作圖的要求條件，利用“正”、“反”結合的方法，逐步推理最后得到要求的結果。

（三）投影作圖

根據正投影的基本原理、投影特性作出投影圖。

三、總結

點、線、面的投影是《機械制圖》的重點之一，是后續章節學習的基礎，這部分內容理論性較強，再加之點、線、面是一些基本的幾何元素，不象實體一樣來得直觀，建立空間結構的時候有一定難度，但只要掌握基本的投影特性，再根據相關特性作圖，大部分題就可以迎刃而解了。

參考文獻

[1]金大鷹.機械制圖[M].北京：機械工業出版社，2008

篇10

（2） 當三棱錐ABCD的體積最大時，設點E，M分別為棱BC，AC的中點，試在棱CD上確定一點N，使得ENBM，并求EN與平面BMN所成角的大小.圖1圖2

（作者：盧杰江蘇省丹陽高級中學）

立體幾何在高考中占有重要的地位，近幾年對立體幾何考查的重點與難點趨于穩定（也是考生的基本得分點）：高考始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行的判斷與性質、垂直的判斷與性質作為考查的重點。新課標教材對立體幾何要求雖有所降低，但考查的重點一直沒有變，常?？疾榫€線、線面、面面的平行與垂直的位置關系和選修中的空間角與距離的計算。

在現有的必修教材中，雖淡化了利用空間關系找角、找距離這方面的講解，但在理科選修教材中加大了向量的應用。學習空間向量后，立體幾何問題大多可以用向量的知識來做，從而使解題更簡捷有效。對空間向量的考查主要集中于向量概念與運算，要涉及空間向量的坐標及運算、空間向量的應用，尤其是求夾角、求距離。

一、 考綱要求

1. 空間幾何體：該部分要牢牢抓住各種空間幾何體的結構特征，通過對各種空間幾何體結構特征的了解，認識各種空間幾何體直觀圖，在此基礎上掌握好空間幾何體的表面積和體積的計算方法；

2. 空間點、直線、平面的位置關系：該部分的基礎是平面的性質、空間直線與直線的位置關系，重點是空間線面平行和垂直關系的判定和性質，面面平行和垂直關系的判定和性質.在復習中要牢牢掌握四個公理和八個定理及其應用，重點掌握好平行關系和垂直關系的證明方法；

3. 空間向量與立體幾何：由于有平面向量的基礎，空間向量部分重點掌握好空間向量基本定理和共面向量定理，在此基礎上把復習的重心放在如何把立體幾何問題轉化為空間向量問題的方法，并注重運算能力的訓練。

二、 難點疑點

1. 空間幾何體的表面積和體積的計算方法；

2. 平行關系和垂直關系的判定和性質，掌握好平行和垂直關系的證明方法；

3. 空間向量的應用，將立體幾何問題轉化為空間向量問題的方法。

三、 經典練習回顧

1. 一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直底面.已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的高為3，底面周長為3，那么這個球的體積為.

2. 一個正方體紙盒展開后如圖，在原正方體紙盒中有下列結論：

①ABEF；②EF與MN是異面直線；③MN∥CD.

其中正確的是.

3. 下列命題中，正確命題的序號是.

①若直線l上有無數個點不在平面α內，則l∥α；

②若直線l與平面α平行，則l與平面α內的任意一條直線都平行；

③如果兩條平行直線中的一條直線與一個平面平行，那么另一條直線也與這個平面平行；

④若直線l與平面α平行，則l與平面α內的任意一條直線都沒有公共點.

4. 已知O是ABC的外心，P是平面ABC外的一點，且PA=PB=PC，α是經過PO的任意一個平面，則α與平面ABC的關系是.

5. 如圖，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點，F為線段EC（端點除外）上一動點.現將AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在平面ABD內過點D作DKAB，K為垂足.設AK=t，則t的取值范圍是.

6. 如下圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都相等，D是A1C1的中點，則直線AD與平面B1DC所成的角的正弦值為.

四、 例題精析

題型一空間幾何體的表面積和體積

【例1】如圖，在四面體ABCD中，平面ABC平面ACD，ABBC，AC=AD=2，BC=CD=1.

（1） 求四面體ABCD的體積；

（2） 求二面角CABD的平面角的正切值.

【解法一】（1） 如圖1，過D作DFAC垂足為F，故由平面ABC平面ACD，知DF平面ABC，即DF是四面體ABCD的面ABC上的高，設G為邊CD的中點，則由AC=AD，知AGCD，從而

AG=AC2-CG2=22-122=152.

由12AC·DF=12CD·AG得DF=AG·CDAC=

154.

（圖1）

由RtABC中AB=AC2-BC2=3，SABC=12AB·BC=32.

故四面體ABCD的體積V=13·SABC·DF=58.

（2） 如圖1，過F作FEAB，垂足為E，連接DE.由（1）知DF平面ABC，

所以DEAB，故∠DEF為二面角CABD的平面角.

在RtAFD中，AF=AD2-DF2=22-1542=74，

在RtABC中，EF∥BC，從而EF∶BC=AF∶AC，所以EF=AF·BCAC=78.

在RtDEF中，tan ∠DEF=DFEF=2157.

【解法二】（1） 如圖2，設O是AC的中點，過O作OHAC，交AB于H，過O作OMAC，交AD于M，由平面ABC平面ACD，知OHOM.因此以O為原點，以射線OH，OC，OM分別為x軸，y軸，z軸的正半軸，可建立空間坐標系Oxyz.已知AC=2，故點A，C的坐標分別為A（0，-1，0），C（0，1，0）.設點B的坐標為B（x1，y1，0）由ABBC，|BC|=1，有

x21+y21=1，

x21+（y1-1）2=1，

解得x1=32，

y1=12，

x1=-32，

y1=12（舍去）.

（圖2）

即點B的坐標為B32，12，0. 又設點D的坐標為D（0，y2，z2），由|CD|=-1，|AD|=2，有

（y2-1）2+z22=1，

（y2+1）2+z22=4，

解得y2=34，

z2=154，y2=34，

z2=-154（舍去）.

即點D的坐標為D0，34，154.從而ACD邊AC上的高為h=|z2|=154.

又|AB|=322+12+12=3，|BC|=1.

故四面體ABCD的體積V=13×12·|AB|·|BC|h=58.

（2） 由（1）知AB=32，32，0，AD=0，74，154.

設非零向量n=（l，m，n）是平面ABD的法向量，則由nAB有 32l+32m=0. ①

由nAD，有74m+154n=0.②

取m=-1，由①，②，可得l=3，n=71515，即n=3，-1，71515.

顯然向量k=（0，0，1）是平面ABC的法向量，從而

cos〈n，k〉=715153+1+4915=7109109，

故tan〈n，k〉=1-491097109=2157，

即二面角CABD的平面角的正切值為2157.

點撥理解柱、錐、臺的側面積、表面積、體積的計算方法，了解它們的側面展開圖，及其對計算側面積的作用，會根據條件計算表面積和體積。理解球的表面積和體積的計算方法。把握平面圖形與立體圖形間的相互轉化方法，并能綜合運用立體幾何中所學知識解決有關問題。

題型二點、線、面的位置關系

【例2】如圖，在空間四邊形ABCD中，點E、H分別是邊AB、AD的中點，F、G分別是邊BC、CD上的點，且CFCB=CGCD=23，則（）

（A） EF與GH互相平行

（B） EF與GH異面

（C） EF與GH的交點M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上

（D） EF與GH的交點M一定在直線AC上

解依題意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，由公理2可知，E、F、G、H共面，因為EH=12BD，FGBD=23，故EH≠FG，所以，EFGH是梯形，EF與GH必相交，設交點為M，因為點M在EF上，故點M在平面ACB上，同理，點M在平面ACD上，即點M是平面ACB與平面ACD的交點，而AC是這兩個平面的交線，由公理3可知，點M一定在平面ACB與平面ACD的交線AC上.選（D）.

點撥理解空間中點、線、面的位置關系，了解四個公理及其推論；空間兩直線的三種位置關系及其判定；異面直線的定義及其所成角的求法。

題型二直線與平面、平面與平面平行的判定與性質

【例2】如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1分別是棱AD、AA1的中點.

（1） 設F是棱AB的中點，證明：直線EE1∥平面FCC1；

（2） 證明：平面D1AC平面BB1C1C.

證明：（1） 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，取A1B1的中點F1，連接A1D，C1F1，CF1，因為AB=4，CD=2，且AB∥CD，所以CD

瘙 綊 A1F1，A1F1CD為平行四邊形，所以CF1∥A1D，又因為E、E1分別是棱AD、AA1的中點，所以EE1∥A1D，所以CF1∥EE1，又因為EE1平面FCC1，CF1平面FCC1，

所以直線EE1∥平面FCC1.

（2） 連接AC，在直棱柱中，CC1平面ABCD，AC平面ABCD，所以CC1AC，因為底面ABCD為等腰梯形，AB=4，BC=2，F是棱AB的中點，所以CF=CB=BF，BCF為正三角形，∠BCF=60°，ACF為等腰三角形，且∠ACF=30°，所以ACBC，又因為BC與CC1都在平面BB1C1C內且交于點C，所以AC平面BB1C1C，而AC平面D1AC，所以平面D1AC平面BB1C1C.

點撥掌握直線與平面平行、平面與平面平行的判定與性質定理，能用判定定理證明線面平行、面面平行，會用性質定理解決線面平行、面面平行的問題。通過線面平行、面面平行的證明，培養學生空間觀念及觀察、操作、實驗、探索、合情推理的能力。

題型三直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質

【例3】如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點，

求證：（1） 直線EF∥平面PCD；

（2）平面BEF平面PAD.

解（1） 因為E、F分別是AP、AD的中點，

EF∥PD，又P、D∈面PCD，E、F面PCD直線EF∥平面PCD.

（2） AB=AD，∠BAD=60°，F是AD的中點，BFAD，又平面PAD平面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，BF面PAD，所以平面BEF平面PAD.

點撥掌握直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定與性質定理，能用判定定理證明線線垂直、線面垂直、面面垂直，會用性質定理解決線面垂直、面面垂直的問題。

題型四運用空間向量解決空間中的夾角與距離

【例4】如圖所示，已知長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的點，且BEB1C.（1）求CE的長；（2）求證：A1C平面BED；（3）求A1B與平面BDE所成角的正弦值.

（1） 解如圖所示，以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系Dxyz.

D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）.

設E點坐標為（0，2，t），

則BE=（-2，0，t），B1C=（-2，0，-4）.

BEB1C，

BE·B1C=4+0-4t=0.

t=1，故CE=1.

（2） 由（1）得，E（0，2，1），BE=（-2，0，1），

又A1C=（-2，2，-4），DB=（2，2，0），

A1C·BE=4+0-4=0，且A1C·DB=-4+4+0=0.

A1CDB且A1CBE，

即A1CDB，A1CBE，

又DB∩BE=B，A1C平面BDE.

即A1C平面BED.

（3） 解由（2）知A1C=（-2，2，-4）是平面BDE的一個法向量.又A1B=（0，2，-4），

cos〈A1C，A1B〉=A1C·A1B|A1C||A1B|=306.

A1B與平面BDE所成角的正弦值為306.

點撥利用向量求角：（1）異面直線所成角：向量a和b的夾角〈a，b〉（或者說其補角）等于異面直線a和b的夾角.cos〈a，b〉=a·b|a|·|b|；（2） 直線和平面所成的角：與平面的斜線共線的向量a和這個平面的一個法向量n的夾角〈a，n〉（或者說其補角）是這條斜線與該平面夾角的余角；（3） 求二面角的大小。（法向量法）m、n分別是平面α和平面β的法向量，那么〈m，n〉（或者其補角）與二面角αlβ的大小相等。

牛刀小試

1.江蘇金陵中學一模如圖所示，ABCDA1B1C1D1是棱長為a的正方體，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點，P是上底面的棱AD上的一點，AP=a3，過P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ=.

2.設α和β為不重合的兩個平面，給出下列命題：

（1） 若α內的兩條相交直線分別平行于β內的兩條直線，則α平行于β；

（2） 若α外一條直線l與α內的一條直線平行，則l和α平行；

（3） 設α和β相交于直線l，若α內有一條直線垂直于l，則α和β垂直；

（4） 直線l與α垂直的充分必要條件是l與α內的兩條直線垂直.

上面命題中，真命題的序號是（寫出所有真命題的序號）.

3.（2012年高考（湖南））如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，ACBD.

（1） 證明：BDPC；

（2） 若AD=4，BC=2，直線PD與平面PAC所成的角為30°，求四棱錐PABCD的體積.

4.如圖，四棱錐PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，點E在棱PB上；

（1） 求證：平面AEC平面PDB；