牛頓法基本原理范文

導語：如何才能寫好一篇牛頓法基本原理，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

【關鍵詞】導數 牛頓迭代法 共軛梯度法

【中圖分類號】O241.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1006－9682（2011）01－0021－03

一、引 言

方程（組）的求解是計算方法中的重要內容，也是當今高性能計算的重要方面。［1］由于方程（組）的特殊性，目前已經發展了許多依賴于導數這一概念的有效方法。［2～4］然而，由于這些方法在形式上具有多樣性以及導數在表達方面的特殊性和多樣性，讓學生在學習的過程中經常感到茫然――即學完這些方法后，對方程（組）的求解顯得還是力不從心，理不清楚這些方法之間到底有沒有關系，以及如何高效利用這些方法來解決實際問題。

在關于求解方程（組）的教學中我們發現，雖然在講述牛頓法、弦切法、最速下降法、梯度法、雙共軛梯度法等方法的基本原理時，學生是能夠順利理解的，但由于這些方法計算形式差異較大，使得很多同學在理解過程中很難將他們統一到同一個概念下來――雖然我們知道這些方法都基于同一個重要的概念――導數。

下面本文就從導數的定義出發，利用導數的基本含義來論述常見的牛頓法、弦切法、最速下降法、共軛梯度法、雙共軛梯度法等迭代法之間的區別和聯系；并試圖利用導數的概念將這些方法竄聯起來，使老師更容易進行教學，讓學生也更容易理解這些方法的精要。

為方便敘述，首先引入導數的概念。導數是微積分中的重要概念，其直觀含義就是應變量關于自變量的變化率，在一般不太嚴格的場合可以直接叫變化率。數學中導數定義為：當自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限。其幾何意義就是曲線（面）在一點切線（面）的斜率［注1］。

二、迭代法

1．牛頓迭代法

首先回顧求解單個方程的牛頓迭代法。牛頓迭代法又稱為牛頓－拉夫遜方法（Newton－Raphson method），它是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和復數域上近似求解方程的方法。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大優點在于在方程f（x）＝0的單根附近具有平方收斂，而且該法還可以用來求方程的重根、復根以及非線性方程的解。另外，由于該方法簡單高效，因而廣泛用于工程計算中。

牛頓迭代法基本思想：牛頓迭代法是借助于對函數f（x）＝0作泰勒展開而構造的一種迭代格式。將f（x）＝0在初始值x0作泰勒展開：

f（x）＝f（x0）＋f '（x0）（x－x0）＋ （x－x0）2＋…。

取展開式的線性部分作為f '（x）＝0的近似值，則有：

f（x0）＋f '（x0）（x－x0）≈0

在f '（x）≠0的情況下可得下面的迭代函數 ，

利用此迭代格式可由一個初始值計算得到一個新的近似值：

（1）

在迭代法收斂的情況下，由于x1計算的幾何含義為在根的附近用x0處的切線

y－f（x0）＝f '（x0）（x－x0）

代替原曲線求根――此切線與x軸的交點x1，故其近似程度比x0要好；再作f（x）在（x1，f（x1））處的切線，得交點x2，其近似程度又比x1要好。不斷將此過程進行下去，則可逐步逼近方程的根x*。于是有如下的牛頓迭代格式：

，k＝1，2…（2）

從上面分析不難看出牛頓迭代法的核心思想：在區域［x0，x0＋h］局部“以直代曲”。當f（x）為線性函數時，函數的切線和函數本身在圖形上是重合的，此時切線的根自然也是原方程的根，因此只需一步就可以得到其真實根。利用由導數所決定的線型函數（切線方程）在局部對連續函數逼近的有效性，我們不難看出：若牛頓法是收斂的，則其是一個非常高效的方法。

2．牛頓法的改進

在實際應用中，常常根據具體情況對牛頓迭代法作適當的修改而得到修正算法。

第一，當x*為f（x）的m重根時，取下面迭代格式：

，k＝1，2… （3）

第二，初值選取有困難時，可改用如下迭代格式，以擴大初值選取范圍：

，k＝1，2…（4）

其中p稱為下山因子，p選取應當滿足單調性條件：即xk＋1所對應的函數的絕對值應小于xk所對應的函數的絕對值。這樣將下山法與牛頓法結合起來使用的方法，稱為牛頓下山法。

由于上面這兩種方法直接來源于標準的牛頓迭代法（2），他們的思想和原理基本一致，此處不在重述（方法的詳細介紹請參見［4～6］）。

第三，弦截法。

為了避免計算導數，在牛頓迭代格式（2）中：用差商f［xk

－L，xk］＝ 代替導數f '（xk），并在給定兩個初始值x0和x1的條件下，那么迭代格式可寫成如下形式：

xk＋L＝xk－ ，k＝1，2…（5）

上式稱為弦截法。用弦截法迭代求根，每次只需計算一次函數值，而用牛頓迭代法每次要計算一次函數值和一次導數值。弦截法的幾何意義在于利用割線來代替切線。

所以，我們看到弦截法和牛頓迭代法都是線性化方法，在這其中起著關鍵作用的就是切線和割線這些概念；而在這些概念背后更為基本的概念則是導數，正是導數把這些不同的方法聯系起來，只不過這些方法之間的區別在于有些用的是精確的導數，而有些用的是導數的近似值。

上面這四種方法都可以推廣到多維情形，不過由于高維情形的導數計算比較復雜，因而限制了其應用。利用導數在求根時的作用（中值定理）還可以導出一些其它高效的方法。［6］

3．最速下降法（梯度法）

梯度在當代文獻研究中涉及的方向非常廣，各種運用梯度這一概念解決復雜或疑難問題的論文非常多。［5、7］為了將方法的基本原理闡述清楚，又不至于引入太多的函數細節，下面以二元函數來說明最速下降法的基本思想。這里不妨假定被研究的函數具有足夠高的光滑性；并且為簡單起見，我們假設多元函數的一階導數是連續的。

為敘述方便，首先引入函數z＝f（x，y）在一點P沿某一方向的變化率問題。設l是xOy平面上以P0（x0，y0）為始點的一條射線el＝（cosα，cosβ）是與l同方向的單位向量。射線l的參數方程為：

x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tcosβ（t≥0）

若函數f（x，y）在點P0（x0，y0）可微分，則對于每一點P0（x0，y0）∈D都可確定函數在點（x0，y0）處的方向導數：

＝fx（x0，y0）cosα＋fy（x0，y0）cosβ

特別地，若α＝0，則可確定如下向量：

fx（x0，y0）i＋fy（x0，y0）j （6）

該向量稱為函數f（x，y）在點P0（x0，y0）的梯度，記作gradf（x0，y0）。沿梯度方向，模|gradf（x0，y0）|取得最大值，也就是說梯度方向是函數在這點導數取得最大值的方向――函數增加最快的方向。

考慮線性方程組：

Ax＝b（7）

其中A是給定的n階對稱正定矩陣，b是給定的n維向量，x是待求的n維向量。引入下面的二次泛函：

（x）＝xTAx－2bTx（8）

在A對稱正定的條件下，求解方程組Ax＝b等價于求二次泛函 （x）的極小點。于是，利用（8）式可將線性方程組（7）的求解轉化為求二次泛函 （x）的極小點的問題。

求二次函數（8）的極小值，不同于一元函數（一元函數實際求切線和x軸的交點），多元函數在空間一點的導數方向有很多個，因而如何求其中某一平面的與坐標軸的交點成為一個不確定問題。

為解決這個難題，對任意給定一個初始向量x0以及精度eps，需確定一個下降方向p0。由于沿 （x）增加最快的方向是梯度方向，因此負梯度方向應該是 （x）減小最快的方向，于是最簡單而直觀的做法是選取pk為負梯度方向（其中k＝0，1，2，…）。記rk為第k次迭代的負梯度方向。于是有如下算法：

x0∈Rn（9）

r0＝b－Ax0；k＝0

while|rk|≥eps

k＝k＋1

αk＝

xk＝xk－1＋αk－1rk－1

rk＝b－Axk

end

從上面的算法可以看出：最速下降法的基本原理是在前一步計算的結果xk－1處，取沿這一點下降最快的方向（負梯度rk）作為搜索方向進行迭代。這樣的下降方向是局部的，只是在這一點的附近能夠保證是下降速度最快，但不是全局的；另一方面，這樣一個新的下降方向和原來的下降方向之間也沒有什么必然的聯系。從幾何上看，我們就是在一點的附近用梯度向量所在的某一平面來近似曲面；并且這樣的近似只是局部的，不是牛頓法中整體切平面和坐標軸的交點，因而不是全局的。這樣一來，最速下降法的收斂性一般不會太高，尤其是在近似解靠近真實解的時候。

4．共軛梯度法

最速下降法從任何一向量x（0）出發，迭代產生的向量序列總是收斂到原方程（7）的解。理論上其收斂速度的快慢則由A的特征值分布所決定。當A的最小特征值和最大特征值相差很大時λ1＜＜λn最速下降法收斂速度很慢，所以負梯度方向從局部來看是二次函數的最快下降方向，但是從整體來看，卻并非最好。然而這種方法卻揭示了利用二次函數極小問題求解對稱正定矩陣的線性方程組的算法思想。正是在此基礎上的進一步改進，形成了著名的共軛梯度法。

共軛梯度法最早由Hestenes和Stiefle提出來，用于解正定系數矩陣的線性方程組。共軛梯度法的基本思想也是將方程組的求解問題轉化為二次優化的最下值問題，所以和最速下降法有相同的數學背景。然而共軛梯度法是一個典型的共軛方向法，和最速下降法不同的是：共軛梯度法的每次搜索方向是互相共軛的（類似于相互垂直），而這些搜索方向不僅僅是負梯度方向，還與上一次迭代的搜索方向相組合。從幾何上看，共軛梯度法也是在局部用線型平面去近似曲面，但和最速下降法不同在于：共軛梯度法中局部用到的平面，其方向不是簡單的梯度最大的方向，而是尋找在和前面已經找到的方向能夠共軛，又盡可能下降快的方向，也就是說這些局部的曲面有著某種類似“相互垂直”的特點，所以它是整體上的。

對于對稱正定矩陣A，共軛梯度法考慮選擇關于A共軛的向量p1，p2，…，代替最速下降法中的負梯度方向。理論上講，如果該方法是收斂的，則對任意給定的初始點x（0），經有限步就可以得到問題的準確解。

借助向量組Schmidt正交化過程，有如下的共軛梯度算法：［1～2］

x0∈Rn，k＝0

r0＝b－Ax0，p0＝r0

while|rk|≥eps and（pk，Apk）≥eps

αk＝（rk，rk）/（Apk，pk）

xk＋1＝xk＋αkpk，rk＋1＝rk－αk Apk（10）

βk＝（rk＋1，rk＋1）/（rr，rk）

pk＋1＝rk＋1＋βk pk

k＝k＋1

end

其中x0為初始向量，eps為求解精度。

從上面的計算可以看出，共軛梯度法是從不同的方向來找最小值；這樣將全局的最小分解成在不同方向上的最小。直觀上看，也就是沿不同方向（共軛的方向）來找最小，后一次的查找是在前一次的最小的基礎上進行的，因此每次得到的結果會越來越好；并且由于這些方向是共軛的，所以總在有限步內完成。這就像我們在n維超曲面找曲面的最小一樣：沿座標軸一個個搜索――當然可以在搜索所有的坐標方向后得到最優的值。

從對導數信息的使用方面來看，共軛梯度法是介于最速下降法與牛頓法之間的一個方法。雖然它僅用到一階導數，但它既克服了最速下降法收斂慢的缺點，又避免了牛頓法中需要存儲和計算Hesse矩陣并求逆的缺點，所以有較高的計算效率。

5．雙共軛梯度法

在最速下降法和共軛梯度法中要求矩陣A是對稱正定的，但在實際生活中還有大量的矩陣不具備這樣的性質――即不是對稱正定的。于是為了利用共軛梯度法的思想來解決這類問題，便出現了雙共軛梯度法。［6］

雙共軛梯度法和共軛梯度法的不同在于將共軛梯度法中的一步共軛性轉化為兩步的共軛性，從而用兩步的共軛性來代替矩陣的非對稱性。實際上對于對稱矩陣、兩次共軛的結果和一次是一致的。從幾何上看，其基本原理也是一樣，在此不再敘述。

除了上面提到的方法之外，還有很多方法都可以和導數這個概念聯系起來，比如常用的廣義極小殘差法（GMRES）、非線性方程組的牛頓法、Anord、Lanczos等方法，在此不再一一論述。［6］

三、總 結

通過對上面諸多典型迭代法的分析，我們發現在這些紛繁復雜的方法背后，其實都隱含著一個重要的思想，那就是“以直代曲”（線性化）這樣一種簡單而又有效的方法；在這其中導數起著舉足輕重的作用――將方程組求解和多元函數的根聯系起來。這樣利用導數這個概念，我們將這些重要的方法串聯起來、統一起來，從而簡化了我們對這些方法的理解和掌握，也方便了學生的學習。

注 釋

1 為避免引入不必要的概念（法向量），對于曲面或超曲面，此處的斜率僅僅表示其切平面中的一個向量。

參考文獻

1 蔡大用、白峰杉.高等數值分析［M］.北京：清華大學出版社，2005

2 戴虹、袁亞湘.非線性共軛梯度法［M］.上海：上海科學技術出版社，2000

3 A. Quarteroni, A.Valli, Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 1994

4 鐘爾杰、黃廷祝.數值分析［M］.北京：高等教育出版社，2006

5 William H. Press, Sual A. Teukolsky, etc, Numerical Recipes in C++, Cambridge University Press, 2003

篇2

關鍵詞：相對論

愛因斯坦提出了自經典物理學建立以來出現的一種全新的、關于時空和質能的科學理論—相對論，改變了人們的思維方式和世界觀，影響了整個物理學乃至科學的發展。

相對論是上世紀物理學史上最重大的成就之一，其中狹義相對論變革了從牛頓以來形成的時空概念，提出了時間與空間的統一性和相對性，建立了新的時空觀。雖然現在大多數人都知道有這一理論，但對它的認識卻是千差萬別，有的僅局限在對四維時空坐標的認識，而對運動物體的長度收縮、運動的鐘“變慢”仍感到驚奇，對相對論中的質量、動量、能量關系的理解還不深入，腦海里留下了許多疑問。本文主要圍繞“相對論”展開探討。

玻恩曾說過，相對論“是人類認識大自然的最偉大的成果，它把哲學的深奧、物理學的直觀和數學的技藝令人驚嘆地結合在一起”。相對論并非傳統理論的重復，而更是一種精確的用數學表述的方法。此方法中，科學的度量是相對的，長度和時間的概念也是相對的，它們離開了物體和觀察者便沒有意義。相對論揭示了物理世界各事物固有的絕對與相對性，標志著物理學的重大發展，使人們對一些基本物理概念的認識發生了根本改變。

相對論的理論是那樣的革命，是那樣的迥異于人們的慣常思維，以至于連當時的物理學家對它的理解，就像幼童想了解地球另一面的人為什么不從地球上掉下去那么困難。1905年，愛因斯坦關于狹義相對論的論文墨跡未干，對相對論進行驗證的各種實驗就開始熱火朝天地搞起來了。但即便是現在，它也是現代物理學確認的最好的驗證性理論之一。質能公式是狹義相對論最著名的推論，它導致了原子彈的誕生。而廣義相對論所預言的引力透鏡和黑洞，也相繼被引力觀測所證實。從質能方程可以看出，數量極少的質量能夠釋放出令人震驚的巨大能量，太陽有賴于這公式。甚至也可以說，地球上生命的盛哀興亡都將和這個公式有關。

相對論又分為廣義相對論和狹義相對論。狹義相對論是由愛因斯坦在洛侖茲和龐加萊等人的工作基礎上創立的時空理論，是對牛頓時空觀的拓展和修正。

伽利略曾經指出，運動的船與靜止的船上的運動不可區分，也就是說，當你在封閉的船艙里，與外界完全隔絕，那么即使你擁有最發達的頭腦，最先進的儀器，也無從感知你的船是勻速運動，還是靜止。更無從感知速度的大小，因為沒有參考。比如，我們不知道我們整個宇宙的整體運動狀態，因為宇宙是封閉的。愛因斯坦將其引用，作為狹義相對論的第一個基本原理：狹義相對性原理。其內容是：慣性系之間完全等價，不可區分。

著名的麥克爾遜--莫雷實驗徹底否定了光的以太學說，得出了光與參考系無關的結論。也就是說，無論你站在地上，還是站在飛奔的火車上，測得的光速都是一樣的。這就是狹義相對論的第二個基本原理，光速不變原理。

由這兩條基本原理可以直接推導出相對論的坐標變換式，速度變換式等所有的狹義相對論內容。比如速度變幻，與傳統的法則相矛盾，但實踐證明是正確的，比如一輛火車速度是10m/s，一個人在車上相對車的速度也是10m/s，地面上的人看到車上的人的速度不是20m/s，而是（20-10^（-15））m/s左右。在通常情況下，這種相對論效應完全可以忽略，但在接近光速時，這種效應明顯增大，比如，火車速度是0.99倍光速，人的速度也是0.99倍光速，那么地面觀測者的結論不是1.98倍光速，而是0.999949倍光速。車上的人看到后面的射來的光也沒有變慢，對他來說也是光速。

廣義相對論是愛因斯坦深入研究引力理論，于1913年提出的引力場的相對論理論。這一理論完全不同于牛頓的引力論，它把引力場歸結為物體周圍的時空彎曲，把物體受引力作用而運動，歸結為物體在彎曲時空中沿短程線的自由運動。

牛頓的萬有引力定律認為，一切有質量的物體均相互吸引，這是一種靜態的超距作用。在廣義相對論中物質產生引力場的規律由愛因斯坦場方程表示，它所反映的引力作用是動態的，以光速來傳遞的。廣義相對論是比牛頓引力論更一般的理論，牛頓引力論只是廣義相對論的弱場近似。所謂弱場是指物體在引力場中的引力能遠小于固有能，力場中，才顯示出兩者的差別，這時必須應用廣義相對論才能正確處理引力問題。

愛因斯坦一直把廣義相對論看作是自己一生中最重要的科學成果，確實，廣義相對論比狹義相對論包含了更加深刻的思想，這一全新的引力理論至今仍是一個最美好的引力理論。沒有大膽的革新精神和不屈不撓的毅力，沒有敏銳的理論直覺能力和堅實的數學基礎，是不可能建立起廣義相對論的。偉大的科學家湯姆遜曾經把廣義相對論稱作為人類歷史上最偉大的成就之一。

物質在相互作用中作永恒的運動，沒有不運動的物質，也沒有無物質的運動，由于物質是在相互聯系，相互作用中運動的，因此，必須在物質的相互關系中描述運動，而不可能孤立的描述運動。也就是說，運動必須有一個參考物，這個參考物就是參考系。

相對論對物理學的基本貢獻，不但在于揭示了某些曾被認為是絕對的物理概念的相對性，更重要的是，在于確定了許多新的物理概念的絕對性，從而大大擴展和加深了人們對自然規律的認識。

篇3

教授流變學相關內容過程中，需要保持一定的廣度和深度。同時，也要遵循基本理論和具體實例相結合，宏觀性質與微觀分析方法相結合的方法，少而精的設置教學內容。根據課程特點，在教學中應重點講解以下內容:(1)流變學概念，包括變形、流動、彈性、黏性和黏彈性等概念;(2)牛頓和非牛頓流體的性質，主要介紹四種非牛頓流體，并通過與相應的藥物劑型講解相結合的方法對每種非牛頓流體的性質和基本原理進行解析;(3)觸變性的應用及影響因素，通過讓學生去查閱相關文獻和資料，充分了解觸變性在某種藥物制備和使用過程中所發揮的作用，從而對觸變性的概念和作用有較深的認識;(4)流變學在藥劑學中的應用，以乳劑、凝膠劑、軟膏劑等具體劑型和藥物為實例，通過分析其制備和使用過程中流變學的影響和原理，以及藥物制劑的流變性質在生產工藝中的影響，充分闡明流變技術在藥物制劑的設計和生產過程中的重要意義。在講課過程中，主要突出后面兩部分內容，讓學生不僅理解流變學的基本理論，而且對流變學在藥劑學中的應用和作用也有充分認識。

二、教學方法

實際教學過程中，應根據不同的教學內容、性質和特點，選擇比較合適的教學方法和技巧，以教學質量的改善，以及教學效果和學生學習興趣的提高。

1．教師和學生是教學過程的主體，如何充分發揮教師在教學中的主導地位，以及學生在教師引導下充分參與整個教學過程，是教改成功的關鍵。為了提高學生的學習興趣，提升其在課堂中的參與度，除了需要豐富教學內容之外，還必須重視教師與學生之間的互動。具體的形式可以是提問式、交流式或學生上臺講解，教師點評等多種形式，讓學生真正體會到課堂的樂趣，也能避免教師演獨角戲的尷尬。如講到觸變性相關內容時，可以提問學生你平時在用藥過程中，發現那些藥物具有觸變性，其原理和作用是什么等。并且鼓勵學生積極發言，切實提高教學效果。

2．充分發揮多媒體在教學過程中的特殊功效。所謂多媒體教學，主要是通過結合圖像、文字以及動畫等各種要素，使教學內容從單調枯燥的文字轉化為多種生動的形式，以多種不同的方式和手段對學生的大腦進行必要而適度的刺激，促使學生在課堂學習過程中充分開展探討、記憶以及思考等活動，使其更易理解所學的相關內容。因此，必須通過圖表、動畫、模擬等不同的手段將教學內容變得更加生動、有趣、新穎，在突出教學重點的同時又含有學術色彩，做到教學與實際、科研等相結合，從而加深學生對相關教學內容的掌握和理解。

3．將課堂教學與課后資料查閱等作業有機結合。基于有限的教學課時，為使學生能學到更多的知識，除教師摒棄傳統的教學板書、采用多媒體等教學形式對理論知識進行教學外，也可充分調動學生的主觀能動性，使學生被動接受知識為主動學習。具體可以結合目前與流變學和藥物制劑相關的研究論文，適當的選擇某一主題，如流變學在納米凝膠顆粒制備中的原理和作用，叫學生課后查閱資料，進行總結和歸納，并到課堂上進行交流，讓學生充分了解該教學內容的發展動態和前言知識。

三、總結與體會

篇4

關鍵詞：格形結構 濾波器設計 自適應算法 MATLAB仿真

中圖分類號：TN2 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2014）05-0181-05

1 格型濾波器的基本結構

目前，常用的數字濾波器有無限長單位脈沖響應（IIR）濾波器和有限長單位脈沖響應（FIR）濾波器兩種，最簡單的IIR數字濾波器結構是直接式結構，其分子和分母的系數直接作為乘法器系數使用。這種結構有很高的靈敏度，因為多項式的根對系數很敏感，所以給定的傳輸函數的極點和零點對量化的乘法器系數也很敏感。對于歸一化濾波器，極點一般較多分布在靠近波段邊緣的拐角里。隨著靠近的極點數目增大，這種結構的靈敏度會下降。為了避免這個靈敏度問題，可以用一階項和二階項的和或者積實現該傳輸函數，即采用并行結構或級聯結構。但對于復雜的小角度極點共軛問題（例如窄波段高強度轉換濾波器），即使使用二階項方法仍需解決高靈敏度問題。由于給定傳輸函數的分母充分解析，格型數字濾波器有很好的數字特性。

1.1 自適應格型濾波器

1973年，Gay和Markel提出了一種新的系統的結構形式，即Lattice結構（又稱格型結構）。如圖1所示。為反射系數，為前向預測誤差，為后向預測誤差，濾波系數隱含在反射系數中。該結構的算法依據是由Norman Levinson于1947年和由Durbin于1960年對Toeplitz矩陣改進的李文遜-杜賓（Levinson-Durbin）算法。格型濾波器最突出的是具有相互正交的模塊化結構，反射系數對舍入誤差不敏感，以及格型算法對于信號協方差矩陣特征值擴散的相對惰性等特點，使得該結構具有快速收斂和優良的數值特性。特別適用于要求快速收斂和跟蹤快速時變信號的應用場合[1]。

1.2 格型濾波器的結構優點

格型濾波器是一種正交濾波器，傳輸函數的分母充分解析，具有良好的數字量化效應，其頻率特性在通帶和阻帶內都有很低的系數靈敏度。此外，格型濾波器還具有一些利于VLSI實現的性質，例如結構規則、模塊化、互連線短等。通過流水線結構算法還可以使格形濾波器實現細粒度的流水線操作，使其更適合于高速實時信號處理和低功耗領域。

隨著無線移動通信的迅速普及以及頻譜資源的日益緊張，基站處理器需要完成多用戶窄波段高強度的轉換。對于抽頭形式的橫向濾波器結構，即使用一階項和二階項的并聯結構或級聯結構仍無法解決信號的高靈敏度問題。采用Levinson和Durbin算法遞推出來的格型濾波器對于信號協方差矩陣特征值擴散的相對惰性，使得格型結構的濾波器具有快速收斂和優良數值特性，被認為是解決此類問題的理想濾波器。

當格型濾波器輸入信號是平穩隨機過程時，濾波器的后向預測誤差彼此正交，因而自適應格型濾波器系統優化可以由各組成節的局部優化來完成。模塊化的結構還易于采用多通道信號輸入實現并行處理。也可以利用去藕后的正交信號分別作為LMS的輸入信號運算提高對輸入信號的跟蹤速度[3]。格型濾波器的重要參數為反射系數，反射系數的穩定意味著濾波器的穩定。所以對格型算法的研究需要重點討論反射系數，在此基礎上設計合適的格型算法來構造自適應去噪濾波器。

2 自適應格型濾波算法

2.1 自適應格型濾波算法

如果將目標函數F視為誤差信號e（n）的函數，而誤差信號又是x（n），y（n）和d（n）的某個函數，即F=F[e（n）]=F[x（n），d（n），y（n）]。利用這種結構，可以認為一個自適應算法由三個基本要素構成：最小化算法的定義、目標函數形式的定義和誤差信號的定義。

（1）對函數F最小化算法的定義：它從本質上影響自適應過程的收斂速度和計算復雜度。在最優化理論中，主要有以下幾種方法來定義算法的最小化：

牛頓方法：該方法尋找目標函數的二階近似的最小值，其參數向量的迭代更新公式為：

其中，是控制算法迭代步長的因子，它決定了參數向量變化的快慢，F[e（n）]的二階導數矩陣是目標函數的Hessian矩陣，而是目標函數相對于自適應濾波器系數的梯度。

擬牛頓方法：是牛頓方法的簡化，它通過遞歸計算來估計Hessian矩陣的逆矩陣，使目標函數最小化，即：

其中，S（n）是的估計值，使得

通常采用矩陣求逆引理來計算S（n），有時也采用計算有效的估計值來代替梯度向量，如遞歸最小二乘（Recursive Least Square，RLS）算法。

最陡下降方法（梯度方法）：沿著與目標函數梯度向量相反的方向，搜索目標函數的極小值點，其更新方程的形式為：

在以上三種方法中，通常梯度方法更容易實現，牛頓方法達到最小值點的鄰域所需的迭代次數更少，在許多情況下，可以將擬牛頓方法作為計算效率較高的梯度方法和能快速收斂的牛頓方法的折中。

對于任意一種最小化方法，收斂因子控制著整個自適應過程的穩定性、收斂速度以及殘留誤差的某些特征。對這個參數的選擇需要知道關于某個特定的自適應問題的充分知識，不存在普遍解，一般通過計算機仿真獲得。

（2）目標函數F[e（n）]的定義：目標函數的定義會影響梯度向量和Hessian矩陣的計算復雜度。在以計算復雜度為定義準則下，廣泛采用的一些目標函數形式有

均方誤差（MSE）：；

最小二乘（LS）：；

加權最小二乘（WLS）：，其中是小于1的常數；

瞬時平方值（ISV）：；

由于MSE要求測量統計平均信息，從嚴格意義上來講它只是理論值。在實際中這個理想值可以用LS，WLS和ISV三個目標函數來近似。這三個函數的實現復雜度以及收斂特性都不相同。一般而言，ISV表示的是簡化了很多的目標函數，實現起來容易，但它存在噪聲收斂特性。LS適于在平穩環境中采用，而WLS對于慢變化環境下的應用比較多。

（3）誤差信號e（n）的定義：誤差信號的選擇是確定選用何種自適應算法的首要步驟，因為它不僅影響算法的復雜度、收斂速度和魯棒性等，而且對于某些自適應濾波情形，還會產生偏解和多個解的現象[6]。

2.2 自適應格型LMS算法

令為濾波器在n時刻的權系數，并且滿足

定義瞬時前向、后向殘差能量

這一條件保證了m+1階前向濾波器第m+1個系數在任意時刻n的值都能夠滿足的條件，從而使得前向濾波器是最小相位的（即物理可實現的）。

與Burg最大墑方法中濾波器系數的估計式

相比較知，若=0.5及w（k）=1，則式（2-6）簡化為Burg最大熵方法中濾波器前向、后向預測誤差總的平均能量，濾波器系數的最大熵估計由式（2-7）給出。

若引入符號

式中表示m階前向濾波器第i個系數在n時刻的值，為m階格型濾波器的殘差能量。

上面用遞推公式獲得濾波器系數的同時，還可得到各階濾波器的殘差能量，當殘差能量不再減小時的最小階數即為LMS格型濾波器的最優階數。

由上面的分析可以看出，LMS格型自適應濾波器的優點是收斂速度比LMS橫向濾波器快得多，而且對數據的舍入誤差不敏感，其代價是需要比LMS算法更大的計算量。

2.3 牛頓-LMS算法

本算法是對環境信號二階統計量進行估計的算法。其目的是為了解決輸入信號相關性很高時LMS算法收斂速度慢的問題。一般情況下，牛頓算法能夠快速收斂，但對的估計所需計算量很大，而且存在數值不穩定的問題，這導致了基于最陡下降的算法在自適應濾波中應用更廣泛。

算法原理

如果牛頓更新公式：

成立，則在k+1時刻均方誤差達到最小。理想情況下，梯度向量和矩陣R是已知的，但實際情況卻是我們只能得到梯度向量和矩陣R的估計值，收斂因子的作用就是為了避免采用和R的含有噪聲的估計值而導致算法發散的問題。

下面直接給出牛頓-MLS算法，詳細推導見文獻[4]。

對LMS算法進行仿真，對其收斂性進行討論，程序及結果如下[2]：

所以在輸入數據相關的情況下，基本LMS算法與LMS-牛頓算法的收斂性的比較。從（圖2）中可以清楚地看出，當輸入數據相關時，基本LMS算法的收斂速度將變得很慢，而LMS-牛頓算法能很好地收斂。

3 格型數字濾波器的設計

3.1 格型濾波器設計準則

因為格型濾波器的設計可歸結為前向濾波器設計，這里就只討論前向濾器設計準則。

格型濾波器n時刻的前向殘差的Z變換

式中是濾波器輸入信號x（n）的相關函數。

理論上，求解式（3-5）可得到m級前向濾波器的系數

然后將這些系數代入式（3-5）就可得到前向殘差能量。一般情況下，階數m越大，前向殘差能量越小。

在設計前向濾波器時，當前向殘差能量不再明顯減小時，最小的階數m即為格型濾波器的最優階數。但有一個問題：格型濾波器前后級間是否存在著耦合？文獻[5]P218一P221證明了不同級濾波器的后向殘差正交，這說明格型濾波器前后級是解耦的，從而可以獨立地設計每一級濾波器。

3.2 基于Matlab的格型濾波器仿真

首先在MATLAB上編寫梯度自適應格型濾波器的程序，改變步長參數，進行一系列的仿真，對算法迭代步長、濾波器的階數與收斂速度和濾波精度進行研究，得出最佳步長參數為硬件實現提供參考。

程序如下：

4 結語

本文首先對格型數字濾波器進行簡要介紹，并簡要分析了格型濾波器的結構優點以及對現實的意義。

本文對格型濾波器算法進行了研究，主要推導了格型結構的自適應算法，討論、分析了自適應格型LMS算法的原理、牛頓―LMS算法，然后簡單地分析了各種算法的性能特點。利用Matlab對部分算法進行了仿真，給出了LMS算法收斂性的仿真結果，并對仿真結果進行了簡單的說明。

最后在LMS算法基礎上設計了二階格型數字濾波器并對其進行了結果仿真。

參考文獻

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篇5

關鍵詞：離散元，非連續介質，巖體力學，數值模擬

一．引言

當前，我國正處在一個基礎建設的繁盛時期，在水利水電，核電，礦山，隧道，地下工程等各領域都會遇到地質環境復雜的巖石力學問題。為了解決工程中遇到的問題，對于巖體的力學性質有一個較為準確的把握，數值模擬是一個廣泛應用的方法。

巖土力學中常用的數值計算方法可以分為兩大類。一類基于連續介質的理論。如有限元方法，有限差分法，邊界元法等。特別是有限元和有限差分法，應用極為廣泛。連續介質方法對于處理斷層、節理、裂隙這樣的不連續結構面具有一定的局限性，只能處理為數不多的不連續結構面，例如，在有限元中，巖體中的節理被看作是特殊的節理單元[2]；在有限差分中，巖體中的節理被看作滑移面；在有限元與邊界元的耦合中，巖體中的節理被看作是邊界面單元。在這些方法中，對于節理的處理都是小數量、小位移的，因此，對多結構面的不連續介質不適合用連續介質方法模擬，而應采用非連續介質方法進行模擬。于是離散單元法應運而生。

離散單元法是Cundall 于1971年提出的[3]。該法將結構面切割的巖體視為復雜的塊體的集合體，允許各個塊體平移或者轉動，甚至相互分離。離散元法以受裂縫切割或分立的塊體為出發點，塊和塊之間的相互作用在角和面上有接觸，角點可以有較大的位移。在某些情況下如滑坡或冒頂時，巖塊可以滑動甚至脫離母體而自由下落。

二．離散單元法原理介紹

離散元法的單元從幾何形狀上分類可分為塊體元和顆粒元兩大類,本文主要介紹塊體元在巖石力學中的應用。

1.基本原理；

它的基本原理是牛頓第二定律，其基本思想是將巖體看成是由斷層、節理、裂隙等結構面切割而成的一個個剛性或者可變形塊體，塊體與塊體之間通過角、面或者邊進行接觸，塊體可以平移、轉動或者變形，節理面可以被壓縮、分離、滑動，所有塊體鑲嵌排列，在某一時刻當給定塊體一個外力或者邊界位移約束，各個塊體在外界的干擾下就會產生力和力矩的作用，由牛頓第二定律可以得到各個塊體的加速度，然后對時間進行積分，就可以依次求出塊體的速度、位移，最后得到塊體的變形量，塊體在位移矢量的方向會發生調整，這樣又會產生力和力矩的作用，如此循環，直到所有塊體達到一種平衡狀態或者處于某種運動狀態之下。因此，離散單元法比較適合于模擬節理系統在準靜態或者動態下的變形過程。

2.基本方程[4]：

從力學分析角度上離散元對三大定律的滿足上與有限元方法不同。從平衡方程上看，離散元采用牛頓第二定律來控制，按圍繞各剛性塊體形心的力平衡和力矩平衡來滿足。

a.運動方程：每一個單元在任意時刻都應當滿足牛頓第二定律

b.本構方程：從材料本構關系上看，離散元法避開了復雜的本構關系推導，采用在剛性塊體間設置不同種類彈簧和阻尼(法向剛度和阻尼、切向剛度和阻尼)來反映材料的應力-位移關系。

c.幾何方程：相對于有限元，從幾何方程上看，各剛性塊體間不再位移連續，而是允許大變形和斷裂分開，可以模擬巖體不連續結構面的滑移與開裂。其位移聯系為剛性塊體間各接觸點的相對速度關系。

在塊體離散元中，假設塊體為剛體，這樣單元間法向和切向的相對位移的大小就反映了材料的變形和相互作用，這反映了材料在發生變形情況下的幾何關系。巖體應力水平較低的情況下，這種假設是合理的。

上述的運動方程、本構方程以及幾何方程構成了離散元法的基本方程。對于材料的塑性和破壞可以通過單元間連接元件進行模擬, 即可以用單元間彈簧的斷裂來模擬材料的局部破壞或通過限制彈簧的變形和改變彈簧剛度來模擬材料的塑[4]。

三．適用范圍

歸納起來，離散單元法適用于節理巖體的應力分析，其適用范圍為[1]：采礦工程、露天和地下的開挖設計、地震工程、隧道工程、地下核廢料處理系統

四．發展趨勢

離散單元計算方法仍屬于“發展中”方法，該方法在工程中應用遠不如有限單元法等方法廣泛。從前面所述典型問題可以看出，離散單元法若想在巖體力學中推廣應用，還有很多問題需要解決。

1.離散元理論的研究

從總體上來看,利用離散元法計算工程問題的應用文章占絕大多數, 而研究離散元法的理論和算法的文章卻很少。而離散元法自它誕生的那天起就帶有缺乏理論嚴密性的先天不足。有人說離散元法是經驗計算。理論基礎的欠缺在塊體元模型中尤為明顯, 運動、受力、變形這三大要素都有假設或者簡化[4]。離散元理論和算法有待于進一步研究。

接觸力學模型與塊體力學計算結果有直接聯系，在離散元中，塊體之間的接觸是通過彈簧來實現的.目前廣泛采用的彈簧方法還不能滿足計算精度的要求，且人為因素多。建立更切合實際、人為干擾因素少或沒有的接觸力學模型也是今后研究的一個重要內容。

節理的確定也是經過統計分析處理的，這也是不真實的，在這些假定前提下，模擬的結果有可能偏離實際很大，因此，如何合理地確定離散元中相關參數，如何盡可能地反應真實節理在巖體中的位置和作用，這些都需要理論上的完善。

加強離散元相關理論的研究，可以保持其在模擬散體介質整體力學行為和力學演化方面的優勢，可以有效地反應模擬介質地應力和應變狀態，使其建立的模型滿足幾何、物理、受力和過程仿真的原則。另外，還應加強數值模擬結果與試驗結果的比較。從中尋找離散元方法的不足，對其有針對性地進行改進。

2.與其它數值方法的耦合

有限元法、邊界元法等數值方法基于連續性假設適合于解決連續介質問題, 而離散單元法適合于界面弱連接的非連續介質問題或連續體到非連續體轉化的材料損傷破壞問題。因此, 如果能將離散元法與有限單元法和邊界單元法等有機地結合起來, 便能充分發揮各自的長處, 可以極大地擴大該數值方法的范圍。對于離散元和有限元等其他數值方法的耦合計算問題，已經有很多人進行了研究探索。離散元能否與其他數值方法如無網格方法等新興算法進行耦合也是一個有價值的嘗試。

3.多相多場耦合

隨著淺部資源的逐漸減少和枯竭,礦產資源地下開采的深度越來越大。同時,地下工程建設如復雜地質條件下的核廢物料堆放、地下水電站、地下廠房等的建設及深部豐富地熱資源的開發利用,迫切需要展開對深部巖體力學問題的研究。由于深部巖體多處于高地應力、高溫度和高滲透壓即多場、多相介質耦合作用,因此,深部多相介質、多場耦合作用及其災害發生機理與防治成為當前研究的重點之一。由于該問題的復雜性和非線性,有學者認為離散元法將成為解決深部復雜節理巖體中多相多場耦合作用問題的一種有效工具。

五．存在問題

1.在塊體離散元中，依據節理、斷層等結構面將巖體切割成單元。要想真實反映巖體的地質特征，就要有詳細的統計資料（節理的走向、傾向、傾角、間距等），然而實際中要詳細的統計這些地質資料，工作量是巨大的。實際中對節理幾何信息的簡化處理，可能導致誤差。這是一個問題。

2.在離散元中，對于塊體有不同的假設方法。1種方法是把結構面切割的塊體處理成剛體，變形和破壞只沿結構面發生；還有方法把塊體假設為可變形體，巖塊、結構面同時可以發生不連續的變形和破壞。具體選擇應視所面對的問題而定。比如如果研究對象是地表或近地表工程的塊體穩定問題，在堅硬巖石條件下，如果巖石的變形相對結構面的變形可以忽略，塊體可以處理成剛體，就沒有必要太多地考究塊體的力學參數，重點應該分析結構面的變形和強度特征。而若是在高地應力條件下，巖塊變形不能忽視，再假設巖塊為剛體就有問題了。

3.無論是離散單元法，還是有限元，邊界元，有限差分都是很好的工具。針對不同的情況，要選擇不同的工具。比如，假如受小型結構面切割的大面積塊體可以處理成連續介質，巖塊的變形處于主要地位，結構面的變形處于次要地位，就可以應用有限元方法來模擬。

在巖土力學中，應用數值方法計算十分普遍。然而在實際工程中，數值模擬的結果指導工程實踐的作用還很有限，很多情況下，還是依靠工程人員的經驗來解決工程問題。究其原因，往往問題不在數值方法本身。巖體參數的合理選擇是很大的問題。

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篇6

關鍵詞：微積分 牛頓 萊布尼茲 極限

1. 數學對自然科學的影響

數學是自然科學的基礎學科，自然科學的發展離不開數學的發展。尤其是數學中的微積分理論 ，對整個自然科學的發展起了極大的推動作用 ，為自然科學中一些現象的解釋提供了堅實的理論基礎，使有限和無限、連續和離散、代數和幾何形成了有機的結合與統一。在數學的眾多學科分支中，就嚴謹性、應用性和簡潔性而言，微積分應是最具代表性的學科之一。微積分以簡潔、優美的形式把運動學問題、磁場問題、幾何中曲線的切線問題、函數中最值問題、曲線長度及曲面面積和立體體積問題總結于一個高度統一的理論體系之中。因而，這一理論的產生被譽為數學史上乃至人類文明史上的偉大創造，受到歷代數學家、物理學家、哲學家的盛贊。如果我們對其歷史和現狀作一番認真的考究，追溯這一理論產生的歷史，將會使我們更深刻的認識到數學對自然科學發展所起的深刻影響。于此，微積分提出之后，遭到了許多人的猛烈抨擊，其中也包括一些著名的數學家。牛頓繼承和總結了先輩們的思想，作出了自己獨到的建樹。他把自己的發現稱為“流數術”，稱連續變化的量為流動量，無限小的時間間隔為瞬，而流量的速度稱為流動率或流數。牛頓的“流數術”就是以流量、流數和瞬為基本概念的微分學，主觀唯心論哲學家貝克萊是抨擊微積分理論最強有力的人物。他憤恨牛頓的微積分理論給唯物論以支持，于是向流數術展開了猛烈的攻擊。1734年，貝克萊出版了一本書:《分析學家:或一答致不信神數學家的論文，其中審查一下近代分析學的對象、原則及論斷是不是比宗教的神秘，教義的主旨有更清晰的陳述，或更明確的推理。

2.關于微積分的本原問題

2．1 微積分使極限理論更加成熟

我們知道微積分的基礎是極限論，而牛頓、萊布尼茲的極限觀念是十分模糊的，牛頓的瞬和流數，萊布尼茲的dx和dy究竟是什么含義? 在他們各自的著述中沒有給出明確和一貫的定義，在運用時也顯得前后不一。牛頓和萊布尼茲在使用無限小量時，有時視瞬或dx為無限小增量，而有時視之為一個有限量加以運算，甚至把它作為零而忽略不計，這就在邏輯上造成明顯的矛盾。牛頓曾用有限差值的最初比和最終比――一種萌芽狀態的極限概念來說明流數的意義。但是當差值還未達到零時，其比值不是最終的，而當差值達到零時，它們比是0。怎樣理解這樣的最終比，牛頓也承認自己的方法只作出“簡略的說明，而不是正確的論證。”而萊布尼茲的微積分以后，連當時在數學上頗有造詣的數學家象Bernoulli兄弟也頗感費解:“與其說有一種說明，還不如說是一個謎。”究竟極限是什么?無窮小是什么?在今天很容易理解。但在十九世紀以前還是一個數學上本質性的難題。基極限思想在當時也散見于各個時代著作中，如中國《莊子?天下篇》中“一尺之棰”、Zeno悖論、Endoxus的“窮竭法”、劉微的“割圓術”等和極限思想有直接關系，但這些都只能說是對極限有些模糊認識而已。十八世紀，許多數學家為維護微積分的應用價值和美學價值，在回擊來自數學界內外的攻擊同時，竭盡所能使微積分在理論上嚴密化、邏輯化，在形式更趨完美。在十八世紀前期，許多數學家，尤其是英國數學家總是企圖使微積分與歐幾里得幾何結合起來，他們試圖借助于幾何學中論證之嚴謹體系去完善微積分。但這一努力是失敗的，打破這一僵局的大數學家歐拉，他以代數方式研究微積分，力圖用形式演算方式代替累贅的幾何語言，使微積分建立在算術和代數基礎上。達朗貝爾把牛頓的“最終比”發展為一種極限概念，并試圖用極限加以定義和說明。他認為應以極限理論作為微積分的理論基礎，這一思想在數學界產生了極其深遠的影響。直到1821年以后，柯西出版他的《分析教程》、《無窮小計算講義》、《無窮小計算在幾何中應用》這幾部具劃時代意義的名著之后，微積分一系列基礎概念及理正式明確地確定下來。自此以后，連續、導數、微分、積分、無窮級數的和概念也建立較堅實的理論基礎之上―極限理論。我們現在所謂的極限的柯西定義或年之后半個世紀經過維爾斯特拉斯的加工才完成的。柯西把整個極限過程用不等式來刻畫，使無窮的運算化為一系列不等式的推導。維爾斯特拉斯將柯西的完成了現今的-方法，形成了微積分的嚴謹之美。

2．2微積分―――狀態與過程的統一

微積分是十七世紀數學所達到的最高成就。微積分出現以后，逐漸顯示出它非凡的威力，過去許多數學家束手無策的問題，至此迎刃而解。恩格斯指出:“只有微分學才能使自然科學有可能用數學來不僅表明狀態，并且也表明過程:運動。”然而，在十九世紀以前，微積分理論歷史發展始終包含著矛盾:一方面純粹分析及其應用領域中呈現出一個接一個的偉大發現與成就；另一方面則是基礎理論的含糊性。事實上，無論是牛頓還是萊布尼茲，他們對微積分所作的論證都是不很嚴謹的和不清楚的。在歐洲大陸方面，萊布尼茲的含糊也招致了尼文（Nieuwentijt，荷蘭哲學家）的反對。荷蘭的物理學家和幾何學家紐文也就一系列問題公開提出質問:無限小量與零怎樣區別?無限個無限小量之和為什么能夠是有限量?在推理過程中為什么能舍棄無限小量?包括一大批數學家也群起而攻之。盡管他們承認微積分的效用，欣賞微積分的美學價值，但卻不能容忍這種方法的理論本身如此含糊甚至令人感到荒謬。法國數學家羅爾微積分為:“巧妙的謬論的匯集。”法國思想家伏爾泰則說微積分是一種“精確的計算和度量其存在無從想象的東西的藝術”。貝克萊和尼文太對微積分的攻擊純粹是消極的，他們不能給微積分以嚴格的基礎，但他們的論點都有一定道理，在一定程度上它激勵了微積分進一步的建設性工作。例如突變函數論、非線性泛函分析等學科的建立。因此，人們追求數學美，以達到精神上的愉悅，而這一點正是通過數學家經由數學的“神秘美”、“奇異美”和“朦朧美”，而最終達到完備的“統一美”和“和諧美”。

2.3微積分―――分析與幾何的統一

微積分的本原問題是指它同現實世界的關系問題，即它是產生于存在還是產生于純思維的問題。唯物主義與唯心主義有著根本不同的看法。唯心主義認為純數學產生于純思維。它可以先驗地，不需利用外部世界給我們提供的經驗，而從頭腦中創造出來。杜林、康德、貝克萊等唯心主義者就是這種觀點的代表。牛頓、萊布尼茨是微積分的創立者。他們分別在研究質點運動和曲線的性質中，不自覺地把客觀世界中的運動問題引進了數學。各自獨立地創立了微積分。這個功勞是應該肯定的。但是，他們沒有很好注意到微積分同現實世界的親緣關系。其運算出發點是先驗的。所以，馬克思把牛、萊的微積分稱為“神秘的微分學”唯物主義認為，微積分同所有的科學一樣，它起源經驗，然后又脫離外部世界，具有高度抽象性和相對獨立性的一門嶄新的科學恩格斯指出：“數學是從人的需要中產生的”微積分是從生產斗爭和科學實驗的需要中產生的。生產實踐對微積分的創立起著決定的作用。從十五世紀開始，資本主義在西歐封建社會內部逐漸形成。到十七世紀，資本主義生產方式有了巨大發展。隨著生產發展，自然科學技術也雨后春筍般地發展起來了。它們跑出來向數學敲門，提出了大量研究新課題。微積分的創立就是為了處理十六、十七世紀在生產實踐和科學實驗中所遇到的一系列新問題。這些問題歸納起來大致分為四類：一是已知物體運動的路程與時間的函數關系，求速度和加速度；反過來，已知物體運動的速度和加速度與時間的函數關系，求路程。二是求曲線的切線。三是求函數的極大值、極小值。四是求曲線的弧長，求曲線所圍成的面積，曲面所圍成的體積等求積問題上述四類問題，形式各不相同，但有著共同的本質，即都是反映客觀事物的矛盾運動過程。其中的量都在不斷變化著。因此，研究常量的初等數學無法解決這些問題。生產和科研的需要，促使數學由研究常量向研究變量轉化。于是微積分在傳統代數學的長期孕育中，經《解釋幾何》這個“助產婆”的接生“而分娩了”。所以，恩格斯說：“數學的轉折點是笛卡爾的變數。有了變數，運動進入了數學。有了變數，辯證法進入了數學。有了變數，微分學和積分學也就立刻成了必要的了”。

3.牛頓―萊布尼茨公式――聯結微分與積分的橋梁

唯物辯證法是關于普遍聯系的科學。微分與積分是一對矛盾的兩個方面。它們之間的聯系集中表現在互逆關系上。微分是已知原函數求導數（微商）；積分則是已知導數求原函數。微分與積分的互逆關系，揭示了導數與原函數的對立統一關系。原函數經過微分轉化為導數。導數在積分過程中又還原為原函數。微分與積分相互轉化的辯證過程普遍存在于自然界中。前面說過，水分子的蒸發與凝聚的過程就是微分與積分矛盾轉化的過程；在幾何學中長與寬、面積與體積的相互轉化；在物理學中路程與速度、速度與加速度的相互轉化，都可以用微分與積分相互轉化來描述。微分與積分這種相互聯系、相互轉化的辯證內容盡管在現實世界早已存在。但在數學領域里，這種互逆關系在“牛頓―萊布尼茨公式”誕生前一直被隱藏，未被人們所認識。這是因為微分與積分在發展歷史上各有淵源。在幾何學中，前者和計算切線的斜率有關。后者則和計算曲邊形的面積相聯系。牛頓、萊布尼茨之所被認為是微積分的創立者，主要是他們發現了微分與積分的互逆關系，找到了根據導數求原函數的一種簡便方法，從而把表面上互不相干的兩種運算統一起來了，使微分與積分成為一種普遍意義的強有力的數學方法，為數學的發展開發開辟了一條新的康莊大道。牛頓―萊布尼茨公式是微積分的基本原理。它表述為設函數?（x))在（a? b)上連續。如果函數F（x）是函數?（x）的一個原函數，則有：b ∫ ?（x）dx＝F（b）-F（a）a這個公式左邊是一個定積分，右邊是原函數在（a?b）兩端值的差。它把數軸在一個區間的定積分同這個區間端點的原函數聯系起來了，揭示了微分與積分的對立統一關系。為了說明這個問題，我們從分析具體問題入手，先來考察質點在直線上的變速運動。設時刻t時質點在直線上的位置是s（t），那么從時刻t＝a到時刻t＝b這一區間，質點運動的路程為s（b）-s（a）。這是質點運動的一個方面。

再從另一個方面看。設已知質點在時刻t內的瞬時速度為u(t），我們用另一種方法可從u（t）計算出質點所走過的路程為：b ∫ u（t）dta 由于這兩個表達式都是表示同一質點在同一時間內所走過的路程，因而應該是相等的，即b ∫ u（t）dt＝ S(b)-S（a） a 從微分角度看，路程函數S(t)的微商是速度函數u(t)dS(t) ― ＝u(t) 或 dS（t）＝u（t）dt dt b從積分角度看，速度函數u（t)的積分值∫ u（t）dt a 表達了路程函數S(t)的兩點值之差S（b)-S(a)。這里的b是任意固定的，有一個b就有一個S（b)與之對應。這樣當我們深入一步，從運動的角度看公式時，即把b視為變量t，它給出了用定積分表達路程函數的方法：t ∫ u(t)dt＝S（t)-S（a）at 這就用變上限的積分∫ u(t)dt表達了路程函數S（t)。因而 adF(x)＝?(x)dx在區間（a?b）上的無限積累。微分與積分的同一性與差異性都包函在牛―萊公式之中。其同一性的一面是微分與積分共處于牛―萊公式之中，互相依存，互相貫通，在一定的條件下相互轉化。原函數在微分條件下轉化為導函數；導函數在積分條件下轉化為原函數。微分把“有限”轉化為“無限”，而積分又把“無限”轉化為“有限”。牛―萊公式就是在這種“有限――無限――有限”的轉化中，把定積分計算變為不定積分計算，把繁雜的極限計算轉化為原函數兩點值之差的運算。從而找到了計算定積分的捷徑。然而，牛―萊公式的兩邊不是絕對的同一，絕對的統一，絕對的轉化，而的有差別的同一，對立的統一，有條件的轉化。公式的兩邊僅僅是數量上的同一，兩邊各自的性質、地位與作用并不相同。這個不同正是微分與積分的差異性，即互逆關系的表現。歸納起有三個方面：其一，兩者所反映的事物性質不同。在物理學中微分所描述的是物體運動的路程向速度轉化以及速度向加速度轉化的過程；而積分卻反其道而行之，它描寫的是加速度轉化為速度，速度轉化為路程的過程。在幾何學中微分就是求曲線的切線；而積分是求弧長，求曲線所圍成的面積，曲面所圍成的體積。一般地講，微分就是已知函數求函數的變化率；而積分是根據函數的變化率求函數。其二、兩者所處的地位不同。在微分與積分這對矛盾中，一般地說微分是矛盾的主要方面，居于支配地位；積分是矛盾的次要方面，居于被支配地位。微分是積分運算的前提和基礎。進行積分運算，首先要“化整為零”，進行無限分割，即微分。無微分就不可能進行積分。但是積分又不是消極被動的。在導函數向原函數轉化過程中，最后是由積分來完成的。沒有積分就無法完成這一轉化。其三、各自的作用不同。微分是把整體分成無限多個無窮小量，完成以“直”代“曲”的轉化；而積分又把無窮多的無限小量累積起來，實現以“以曲代直”。微積分的“曲”與“直”、“有限”與“無限”的相互轉化正是在微分與積分的相互作用、相互制約下實現的。它推動微積分的基本矛盾――“直”與“曲”，“勻”與“不勻“的矛盾運動，解決了初等數學無法解決的矛盾。

參考文獻：

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［2］張順燕《數學的源與流》《數學的美與理》

［3］鄧東皋 孫小禮 《數學與文化》

［4］克萊茵 《古今數學思想》

［5］ 王樹和《數學思想史》

［6］李文林《數學史概論》

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高分子材料加工涉及的通常是高分子材料成型加工方法，化工原理課程也是海南大學(以下簡稱“我校”)高分子材料與工程專業的一門專業基礎課。學生在初學化工原理時可能感覺與高分子加工技術相差較大，對將來專業知識沒有直接幫助，學習的積極性與主動性均難以充分調動，甚至還易產生消極抵觸的情緒。因此，在課程剛開始的緒論這一章的教學中在介紹什么是化學工業過程時筆者不以教材里的傳統化工加工為例，而是詳舉高分子行業中運用化工原理知識進行材料加工處理的實例，提前介紹一些高分子材料加工的方法，拉近學生與傳統化工加工技術的距離，讓學生理解高分子加工的一些操作與傳統化工類的操作間的異同點，以便消除同學們內心的疑惑，指明高分子材料加工專業的同學學習化工原理知識的必要性。如天然橡膠的初加工是海南(以下簡稱“我省”)省的特色產業也是我校高分子材料專業的一個重要方向。從天然橡膠樹上采割的膠乳經過一系列的處理得到干膠產品(如圖所示)。在這個過程中干燥、濃縮、壓片等操作與傳統化工生產中的相關的單元操作一樣，所用的基本原理相同，設備基本通用。高分子材料如聚乙烯的合成中乙烯氣體在常壓常溫下，加壓輸送合成前的加熱升溫操作及反應后產物的分離與傳統化工專業的流體輸送原理及加熱原理是相同的，所用設備是相通的。

二、將高分子加工工藝融入化工原理的課程教學中

在高分子材料的加工中采用了大量的化工單元操作。但這些高分子加工藝在傳統的化工原理教材中是看不到的。這就要求任課教師具有高分子材料加工方面的知識背景，這樣可以將高分子加工工藝中運用到的化工原理的知識融入課程的教學中，學生領會到該門課程的知識在專業知識中的基礎作用學習興趣才會提高，并且在將來的工作中能有意識地提前運用化工原理的理論知識，進行企業的節能降耗等的工藝改進。如在以動量傳遞理論為基礎的單元操作的有關教學中，教材通常是以牛頓型流體如水、苯或甲苯等常規化學品的流體輸送為例，而高分子材料專業的學生處理對象多為大分子材料，所處狀態通常固體顆粒或黏稠狀態，屬于非牛頓型流體范疇。因此教材中的例子缺乏對高分子材料專業學生的足夠吸引力，難以達到應有的示例效果。教學中我們以膠乳廠中天然濃縮膠乳的生產工藝為例，說明工藝中我們利用泵提供新鮮膠乳能量，促使其流入高速離心機中，而離心機是非均相物分離的一個單元操作。高分子量的聚異戊二烯在離心機轉鼓的軸中心較遠的地方富集，而小分子如水分、小分子量的聚異戊二烯在軸中心附近富集。將這兩個位置的乳液分別導出就分別得到濃縮膠乳和膠清膠，并利用非牛頓型流體的阻力計算方法表明，由于膠乳的黏稠度遠大于水的黏度在動力消耗上要比同等條件下輸送水的動力消耗大。鑒于在塑料或橡膠的加工生產中大量運用到了螺桿擠出機。所以在流體輸送設備介紹中，筆者是以螺桿擠出機在塑料加工中的應用為例，說明螺桿擠出機的工作原理，并且介紹在塑料擠出機的料斗的顆粒進料系統中可以利用固體流態化技術，采用真空吸料或用鼓風機壓料進行原料輸送。在以熱量傳遞為理論基礎的單元操作中，在介紹以導熱方式進行的熱傳遞時，筆者以未硫化膠膜在平板硫化儀內加熱硫化為例進行導熱說明。而以塑料在螺桿擠出機內或橡膠在煉膠機上進行塑煉時的粘流態受熱為例介紹對流傳熱熱傳遞方式。在以質量傳遞為理論基礎的單元操作中，以粉末涂料的生產為例，介紹噴霧干燥工藝。這些將高分子材料加工工藝融入化工原理的課堂教學中，拉近了材料加工與化工原理知識間的距離，提高了學生學習的興趣，起到明顯的教學改革效果。

三、以高分子材料為實驗對象

化工原理一般是同學們從公共基礎課轉向專業課學習所接觸到的第一門工程性課程，亦是一門理論與實踐緊密結合的技術基礎課程。它的實驗課教學設計至關重要，其不僅關系到整門課程教學效果的好壞，更是決定能否推進該課程素質教育的關鍵環節之一。為提高高分子材料類專業同學參與化工原理實驗課的學習熱情，筆者在實驗教學中選擇高分子材料進行相關的實驗。如干燥實驗中有的專業以甘蔗渣紙板為實驗對象，獲得有關纖維的干燥過程曲線和干燥速率曲線。而我省特色產業天然膠乳加工中有將天然膠乳干燥制備成干膠的這一操作。為了結合我校的高分子材料專業，專業實習提前將有關化工原理的知識融入到專業學習中。實驗中以天然膠乳制備的濕膜片為實驗材料，獲得天然膠乳薄膜制品的干燥過程曲線和干燥速率曲線，為以后同學們去膠乳廠參觀實習提供理論和實驗依據。這一舉措不僅有效激發了同學們參與實驗研究的主動性，反過來也極大促進了該課程理論學習的積極性。

四、有的放矢傳授教學內容，適應少學時的課程教學計劃

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1 引入物理發展史教學，激發學生學習物理的興趣，提高學生的學習效率

有的學生提起物理學習就頭痛，以致于失去學好物理的信心。面對這種情況，我們不妨給學生講一些著名物理學家成才的故事，就會激發起學生的學習。例如：牛頓在小時候的學習成績并不是很好，很多考試成績不及格，但經過努力，最終成為著名的科學家。把這些事例講給學生聽，他們會感到物理學家也就是平凡人，和自己區別并不大，只要努力也能學好物理。其次， 講述知識的得出過程，來激發學生的學習興趣，例如：在講牛頓第一定律的時候，講理想斜面實驗后，再介紹伽利略斜塔實驗時大鐵球、小鐵球同時下落，加上牛頓管中羽毛與鐵片同時下落的實驗，說明力是改變物體運動狀態的原因，學生就聽得非常入神。引出牛頓第一定律的得出過程，給學生增加了很大的學習興趣，學生有了學習興趣，學習才會更加主動，遇到問題時解決問題才更加有了信心，也使學生在學習過程中養成了嚴謹的學習態度，不斷提高自己的科學素養，變被動學習為主動學習。

2 通過物理學史的學習，增強學生對物理知識的全面理解和掌握，提高學生的學習效率

對于物理學中各個基本概念、基本原理和定律，只有了解它們產生、形成和發展的過程，即了解它們是如何得來的，又如何演變發展成為現在這個樣的，才能真正懂得它們的本質，在教學中也才能深入淺出，講深講透，課堂教學效率無形中就提高了。通過物理學史的學習，有助于學生了解具體的概念、定理，定律的來龍去脈和具體的發展過程，可以使學生對該知識有更深層的理解和掌握，而不再是簡單地記住一些概念、公式和定律，這樣，學生對知識的掌握會更加牢固和熟練，學習效率自然就會提高。

3通過物理學史的學習，使學生樹立正確的價值觀，從而學生學習的內在動力，提高學習效率

物理學史集中體現了人類對物理世界的探索和逐步認識的歷程。他們的事跡留給我們更多的是一種精神：探索未知，發現真理、獻身科學事業的精神。在物理學史上，有許多物理學家具有難以想象的毅力、信心和意志。他們與困難或過時傳統的觀念作斗爭，以及與科學界內部和外部的阻力作斗爭，甚至還要經受惡勢力的迫害，這需要科學家頑強的意志和獻身科學的犧牲精神。居里夫婦研究放射性元素，受放射性元素射線的危害，歷經四十多個月艱苦勞動，數萬次的反復提煉，才從幾噸瀝青鈾礦渣中提煉出了0.12克的氯化鐳，布魯諾為衛科學真理義無反顧地走上了十字架被活活燒死，像這樣一些生動的事例，在物理學史上比比皆是。物理學史在培養學生高尚的情感、進取的人生態度、樹立正確的價值觀方面具有不可替代的作用。

4學習物理學史，對學生進行愛國主義教育，使學生在學習中獲得高尚品格，自覺地投身到學習中去

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公元前212年，當古羅馬軍隊攻進敘拉古城時，統帥馬塞勒斯出于對阿基米德才能的敬佩，曾下令不準傷害這位曠世絕倫的大師。而沉迷于數學世界的阿基米德此時似乎并不知道城池已破，直到一個羅馬士兵的影子落在了他畫在炭灰地上的圖形上。

一種傳說是，那個冒失的士兵一腳踩在了圖上，阿基米德氣沖沖地喊道：“別碰我的圓！”另一種說法是，羅馬士兵喝令阿基米德去見馬塞勒斯，遭到了他的嚴詞拒絕——他要首先解出自己的（數學）問題。不管是哪一種情況，最終都由那個暴怒的士兵用劍做了快速了結。一個75歲高齡的人類奇才就這樣撒手人寰。兩千多年后，英國數學家、哲學家懷特海發出如是感慨：沒有一個人會由于全神貫注于對一個數學圖形的冥想而喪生。

故事沒有講完。馬塞勒斯對于阿基米德的死深感悲痛。他處決了殺死阿基米德的士兵，并為阿基米德修了一座陵墓。在墓碑上，根據阿基米德生前的遺愿，刻上了球內接于圓柱的幾何圖形。

阿基米德的主要興趣是在純幾何方面，他自認為發現圓柱體體積和它的內接球體的體積比例，是他平生最大的成就。這一立體幾何難題求證的是：當一個球體內接于一個圓柱體時，它的體積是圓柱體體積的三分之二，而這一球體的面積是其外切圓柱體表面積的三分之二。上述定理是從球面積等于其大圓面積的4倍這一定理推導出來的。

隨著時間的流逝，阿基米德的陵墓被荒草湮沒了。在他逝世100多年后，公元前75年，擔任西西里行政官員的羅馬政治家和作家西塞羅找到了他的墳墓，西塞羅寫道：“發現它四周都是封閉的，并被荊棘叢和灌木叢覆蓋著……我注意到有一個小柱狀物從灌木叢中伸了出來，在這個柱狀物上有一個球體和一個圓柱體圖形。”

西塞羅重新修復了阿基米德的墳墓，聊表景仰之忱。

作為希臘化科學的杰出代表，阿基米德在數理科學和工程技術上建樹頗多，并把數學原理應用于多項發明，堪稱古代世界最偉大的數學家和“實干科學家”。他對科學的特殊貢獻在于，他曾利用實驗或是發明來測試理論，而且他認識到可以用數學方法描述的基本原理是物理現象的基礎。也正是他第一次把數學應用到物理上，創造了力學的科學。他有一句名言：“給我一個支點，我就能移動整個地球。”

在科學史上，阿基米德由于最先表述了幾個基本定律而聞名，它們都跟現實生活的應用大有關聯，而且還留下了不少佳話。比如，他為辨別金王冠是否摻假而苦苦思索，在洗澡時從溢出的水獲得靈感，發現并總結出浮力定律，同時也解答了國王的困惑。

再如，他利用扎實的杠桿原理知識，設計制造了一套精細的杠桿和滑車，不借助任何外力而將一艘滿載貨物的大船從港口一直拉到了岸上。當馬塞勒斯率領的羅馬軍隊第一次進攻敘拉古城時，阿基米德設計的巨型投石機拋出一連串大石塊，砸毀了敵軍的8條大木船。他還利用滑輪和杠桿原理設計了一種軍用機械，可以用鐵“嘴”把敵船“叼”起來，在空中搖晃并猛摔在懸崖上。另有傳說，公元前215年，在馬塞勒斯率大軍乘戰艦攻打敘拉古的危急情況下，阿基米德利用凹面鏡的聚光作用，把陽光集中到一點照射到入侵的羅馬戰船上，由此產生的高溫引起熊熊大火，擊潰了敵軍。

2005年，美國“發現”頻道的“傳說終結者”節目，出錢贊助美國麻省理工學院等名校的學者模擬了當時的場景。試驗者用300平方英尺的黃銅和玻璃制成了一面巨大的凹面鏡，然后在150英尺之外把強烈的光線聚焦到一艘老木船上，試圖把這艘船點著。但令人失望的是，雖然這艘老木船被烤得冒煙，但始終沒有燃起火苗。隨后，科學家們又把這面凹面鏡移到了距木船75英尺的地方，這回火苗倒是按預期燃起來了，但小得可憐，并且一會兒就自動熄滅了。

參與實驗的一位大學教授表示，盡管實驗沒有取得傳說中的效果，但從理論上說，利用聚光點燃物體是絕對可能的，那么誰又能肯定阿基米德沒有用凹面鏡來攻擊羅馬戰船呢？在歷史上，阿基米德是一個非常偉大的數學家，我們不能因為實驗的結果而低估他的智慧和能力。

阿基米德的著作明顯反映出他對現代科學的預知。常常有一種說法：假如那時阿基米德能運用一套合適的數學符號的話（那個年代里阿拉伯數字系統和代數符號尚未問世），那么他就會早于牛頓兩千年發現微積分。

美國數學史家E.T.貝爾指出，全部歷史上任何3個“最偉大”的數學家的名單都將包括阿基米德的名字。通常與他相聯系的另外兩個名字是牛頓和高斯。要是考慮到在這些巨人各自生活的時代，數學和物理學的相對充足或貧瘠，并依據他們所處的時代背景來評價他們的成就，一些人會將阿基米德排在首位。

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科學革命的實質是什么?科學進步的圖像是什么?換言之，科學革命變革的主要實體是什么?科學發展的模式是什么?國外學者對此問題做出了形形的回答。

一、國外學者的回答

波普爾(K．Popper)認為，科學是人類心靈的壯麗探險，科學的本質就在于永無止境的探索。他把“問題”作為整個科學探索的起點，運用“可否證性”(falsifiability)或“否證”(falsification)概念，提出了科學進步的四段圖式；P1(問題1)TT(試探性理論)EE(消除錯誤)P2(問題2)。這個圖式周而復始，永無止境。顯然，波普爾把理論看作科學變革的實體——科學革命是科學理論的變更，因此理論是暫時的、脆弱的，它隨時都可以被一次否證。

本世紀60年代初，庫恩(T．Kuhn)出版了他的代表作《科學革命的結構》。在這本小冊子中，庫恩反對邏輯經驗主義把科學的發展看成是各種貨色一件件地或—批批地添加到不斷加大的知識貨堆上。他力主動態地、歷史地看待科學的進步，把科學的發展視為常規時期和革命時期交替出現的過程。他不滿意波普爾把理論看作科學變革的實體，他的科學觀的核心是“范式”（paradigm）概念。庫恩給范式賦予多種含義(有人統計共有21種用法)，從“一種具體的科學成就”到“一組特定的信念和預想”。綜而觀之，它是由理論要素、心理要素以及聯合這兩個要素的本體論和方法論要素組成的，每一種要素內又包括五花八門的具體內容。庫恩認為科學革命就是拋棄舊范式，采納新范式。他利用范式概念建立了下述的科學發展的動態模式：前科學常規科學危機科學革命新的常規科學……

庫恩開創了以科學史料為基礎來考察科學哲學問題，探討科學發展和知識增長規律的先河。繼庫恩之后，又有拉卡托斯、費耶阿本德、勞丹等人的學說匯入其中，形成了一股歷史主義的潮流。

拉卡托斯(I.Lakotos)既不滿意波普爾的否證主義，也不滿意庫恩范式的模糊性和選擇范式的非理性標準。為了強調科學發展的連續性和科學進步的合理性，他提出了研究綱領的模式。在拉卡托斯看來，科學總是以研究綱領的形式向前發展的。科學發現和評價科學理論的基本單位是研究綱領，它是一個有結構、有層次的整體。研究綱領內部有相對穩定的“硬核”，外部是柔韌多變的“保護帶”，還有一套解決疑難的機制，即助研究法(heuristic)。硬核是約定的，是作為研究綱領未來發展基礎的、最普遍的基本假設和基本原理，它比范式具有更大的穩定性。保護帶由各種輔助假設構成，當遇到反常或否證時，保護帶可以通過調整輔助假設而達到保護硬核的目的。當研究綱領失去解釋力和預測力時，它就會因邏輯的和經驗的原因而碎裂，人們就會拋棄這樣的退化的研究綱領，而采納進步的研究綱領，這是科學革命的基本原理，是一個自然的新陳代謝過程。

在同庫恩的論戰中，費耶阿本德（P．Feyerabend）描繪了他的科學發展模式。他認為科學有一定的“韌性”，人們總能夠從許多理論中選出一種可望取得成功的理論，即使遇到巨大困難時仍可加以堅持，而置大量反證于不顧。在這一點上，他不贊同波普爾關于理論總是被不斷駁倒的觀點。有了韌性，我們就不必用頑強的事實取消某一理論了，我們可以使用其他理論T′、T″、T″′等，即對現行的理論進行調整，這就不可避免地要接受增生原理，容許不同理論的并存。在這一點上，他又堅決反對范式的絕對統治。在費耶阿本德看來，科學之所以不斷發展，正是增生與韌性相互作用的結果。

勞丹(L．Laudan)把科學看作一種解決問題、定向問題的活動。他同意理解和評價科學進步的工具是較一般的大理論，而不是單個的具體理論。他認為這種大理論不是范式或研究綱領，而是所謂的研究傳統。研究傳統為發展具體理論提供了一套指導方針。它們中的一些構成了一種本體論，以—般方式詳細闡述研究傳統所屬領域中的基本實體的類型。研究傳統中具體理論的作用，就是通過把經驗問題還原為研究傳統的本體論，來解釋這些經驗問題。研究傳統還概括了這些實體相互作用的方式。研究傳統也往往說明某種程序，它構成這一傳統內的研究者所愿意接受的合法的研究方法。這些方法論原則廣泛包括試驗技術、理論檢驗和評價方式等。簡而言之，研究傳統就是有關領域的一組本體論和方法論的“做”與“不做”。在勞丹看來，科學革命不過是競爭著的研究傳統之間的特別引人注目的一次決定性沖突所帶來的研究傳統此消彼長的新格局。

為了說明科學革命的實質并描繪科學進步的圖像，其他西方學者也從不同的角度對庫恩的范式論進行了批判、修正和改造。例如；尼古拉斯•麥克斯韋(NicholasMaxwell)的“形而上學藍圖”、斯尼德-斯臺格繆勒(Sneed-Stegmüller)的“理性重組”(S綱領)、夏佩爾（D.Shapere）的“域”(domain)理論等，我們對此不擬一一加以介紹。在這里，有必要提及蘇聯學者凱德洛夫(Б.М.Кедров)的觀點。

凱德洛大是從列寧關于革命的普遍定義出發來論述科學革命概念的，他從認識論和方法論兩個方而對“革命”概念進行廠邏輯分析，并詳細論述了科學革命的三個特點。在此基礎上，他對科學革命做了下述定義：“所謂自然科學革命，應當首先理解為研究和說明自然現象的觀點本身的根本轉折，用來認識(反映)所研究的對象的思維結構本身的轉折。真正的自然科學革命的實質恰恰在于思維方式這種急劇的轉折，恰恰在于由已經陳舊的科學認識方法向新的進步的科學認識方法的轉變。”以此為根據，凱德洛夫把歷史上的科學革命分為四種不同的類型：第一類革命——哥白尼革命——從外觀到現實性，第二類革命——康德革命——從不變到發展，第三類革命——“自然科學最新革命”(列寧在《唯物主義和經驗批判主義》中的稱謂)，第四類革命——科學技術革命。在凱德洛夫看來，這也是在科學史上先后發生的四次革命。鑒于這個問題本文作者已有專文論述，此處不擬贅述。

國外學者的探索是難能可貴的，他們構造的實體和模式都從不同方面或角度說明了科學進步的事實，包含有部分的真理性。但是，他們的實體似乎都沒有抓住科學革命的實質，他們的模式也不完全能說明科學發展的歷史實際。波普爾把科學變革的實體視為理論，他涉及的層次似乎偏低，結果他的四段圖式導致了走馬燈式的“不斷革命”。勞丹的研究傳統、凱德洛夫的思維方方式，指的都是科學的哲學基礎或科學中的哲學成分，其涉及的層次恐怕偏高，把它們的變革看作是科學革命的實質，似乎也沒有深中肯綮。拉卡托斯的研究綱領、費耶阿本德的韌性原理和增生原理，尤其是庫恩的范式，又顯得過于龐雜，使人不得要領。

那么，科學革命的實質或科學革命變革的主要實體究竟是什么呢?弄清這個問題，才能比較正確地描繪科學進步的圖像。而要弄清這個問題，必須首先從分析科學理論的結構入手。

二、科學理論的基礎或框架——科學觀念

不少人承認，科學革命的最關鍵的因素是重建科學理論的基礎或框架。然而，人們對這樣的基礎的理解卻不盡相同。有人認為科學理論的基礎是這門科學的經驗材料、基本理論原理和基本概念的總和；有人認為它是基本理論的、邏輯的或哲學的思想觀念；有人認為它是本體論和方法論的信條；有人認為它是世界圖像、研究的普遍方法、解釋的思想、知識的構架；還有人認為它是認識活動的全部綜合，其中包括主體及其目的和任務，認識的手段、方法和條件，知識的認識作用和體系，等等。

說起來，愛因斯坦對科學理論的結構是有真知灼見的。他在談到科學理論時這樣寫道：“科學一旦從它的原始階段脫胎出來以后，僅僅靠著排列的過程已不能使理論獲得進展。由經驗材料作為引導，研究者寧愿提出一種思想體系，它一般地是在邏輯上從少數幾個所謂公理的基本假定建立起來的。我們把這樣的思想體系叫做理論。”愛因斯坦以理論物理學為例，說明科學理論的完整體系是由基本概念、被認為對這些概念是有效的基本關系以及用邏輯推理得到的結論這三者構成的，其中前兩者是科學理論的基礎或根本部分，它們不能在邏輯上進一步簡化。在愛因斯坦看來，所謂基本關系，就是基本概念之間的根本關系，他往往又稱基本關系為基本假定、基本假設、基本公設、基本公理、基本原理、基本定律、基本命題等。愛因斯坦在一些場合還把基本概念和基本關系統稱為基本觀念，或曰科學觀念。這樣一來，科學觀念就是科學理論的基礎，它也是科學理論的邏輯前提或框架。

例如，牛頓力學的理論基礎是：具有不變質量的質點，任何兩個質點之間的超距作用，關于質點的運動定律。在狹義相對論中，就是相對性原理和光速不變原理以及同時性概念等。

科學觀念(基本概念和基本關系)雖然在科學理論的邏輯結構中僅占很少的比重，但由于它是最核心、最抽象的部分，因而反映了科學對象的最深刻、最本質的聯系，蘊涵著十分豐富的內容，從中可以導出原先料想不到的結論(如從狹義相對論的前提導出質能關系式)，甚至還隱含著“尚未理解的東西的殘余”，它的更隱秘的根源有待于人們進一步去揭示。

愛因斯坦十分強調科學觀念在科學理論中的顯著地位。他認為通過最少個數的基本概念和基本關系的使用，就可以盡可能完備地理解全部感覺經驗的關系。他甚至認為理論物理學的目的，就是要以數量上盡可能少的、邏輯上互不相關的假設為基礎，來建立概念體系，如果有了這種概念體系，就可能確立整個物理過程總體的因果關系。

關于科學理論的基礎的來源、特點及其與感覺經驗的關系，愛因斯坦有一段原則性的論述(他雖然是就物理學而言的，實際上也適用于其他理論科學)：“物理學構成一種處在不斷進化過程中的思想的邏輯體系，它的基礎可以說是不能用歸納法從經驗中提取出來的，而只能靠自由發明來得到。這種體系的根據(真理內容)在于導出的命題可由感覺經驗來證實，而感覺經驗對這基礎的關系，只能直覺地去領悟。進化是循著不斷增加邏輯基礎簡單性的方向前進的。為了要進一步接近這個目標，我們必須聽從這樣的事實：邏輯基礎愈來愈遠離經驗事實，而且我們從根本基礎通向那些同感覺經驗相關聯的導出命題的思想路線，也不斷變得愈來愈艱難、愈來愈漫長了。”

三、科學革命是科學觀念急劇而根本的改造

科學觀念是科學家或科學共同體借助于經驗事實的提示，通過思維的自由創造和理智的自由發明而抽象出來的。它在邏輯上不能再加以分析，是不能再簡化的一種邏輯元素，其中包含著人們當時還不甚理解的東西。因此，它反映了在科學發展的一定歷史階段人們對科學對象的認識，是當時歷史條件下科學認識的界限，只具有相對的意義。隨著時間的推移，大量反常現象和新的經驗知識無法納入這一框架之中，它自身的尚未被理解的殘余也充分被揭示出來。這樣，原來被視為基本概念和基本關系的東西不再是“基本”的了，它從科學發展的形式變為科學發展的桎梏。只有打碎舊的科學觀念，科學發展的潛力才能充分發揮出來。這時，科學革命的時機就成熟了。

科學革命并沒有拋棄已有的經驗材料和經驗知識，而只是改變了理解這些材料和知識的準則，確定了它們的合法地位。彭加勒說得好，只要人們不把那些用實驗確證了的理論推到極端，“它就會有十分清楚的意義”，“只有它溶化到更高級的和諧中，它才能消失。”科學革命打碎的只是科學理論的舊框架，摧毀的只是科學理論的舊基礎。愛因斯坦談到這一點時說過，這里的基礎這個詞，并不意味著同建筑的基礎在所有方面都有雷同之處。從邏輯上看，各個物理定律當然都是建立在這種基礎上面的。建筑物會被大風暴或者洪水嚴重毀壞，然而它的基礎卻安然無恙；但是在科學中，邏輯的基礎所受到的來自新經驗或者新知識的危險，總是要比那些同實驗比較密切接觸的分科來得大。基礎同所有各個部分相聯系，這是它的巨大意義之所在，但是在面臨任何新因素時，這也正是它的最大危險。

在科學革命中，即使是舊的科學觀念，也并非統統被拋棄，其中一部分是辯證的揚棄。舊科學觀念中的一些只是喪失了自己以前獨有的統治地位，從以前的不正確的、與事實不符的殼體中解放出來，被賦予新的意義。它們原有的真理顆粒被保留下來，并作為從屬成分有機地溶入新科學觀念之中。

從歷史上的科學革命來看，科學觀念的改變通常有以下幾種方式。1．徹底取代。如以地球為中心的觀念被以太陽為中心的觀念取代，原子不可分的觀念被原子有內部結構的觀念取代，超距作用被媒遞作用取代，目的論和神創論被進化論取代。2．舊名新意。如道爾頓的原子論雖然可以追溯到古希臘的原子論，但他把純哲學思辨變為科學的論證，給原子論以真正的科學內容。又如經典力學中的質量、慣性、時間、空間等基本概念在相對論中已被賦予新的含義和內容。3．合理推廣。如力學中的相對性原理在狹義相對論中被推廣到光學和電磁學，在廣義相對論中又被從慣性系推廣到加速參照系。4．辯證綜合。如光的微粒說和波動說被綜合為波粒二象性，分立的粒子的概念和連續的場的概念被綜合為物質波的概念。5.包容蘊含。如能量子概念否定了“自然無飛躍”的傳統觀念，但這只在微觀過程才顯示出來，在經典系統中，由于h很小(h＝6.626×1027爾格•秒)，使得分立的能量譜實際上無法區分而連成一片，這時能量的連續作為極限情況被包括在新概念內。6．獨辟蹊徑。如自然選擇、光速不變原理、等效原理、海森伯測不準關系、泡利不相容原理等都是在科學革命中提出的新觀念。

對科學革命中原有經驗知識的地位和科學觀變革方式的考察，使我們清楚地看到，科學革命盡管使科學本身發生了質的變化，但是在新舊科學理論體系之間也存在著明顯的繼承關系。同時，也可以看到，科學革命的形式不僅有庫恩所說的“危機”型，還應該容許其它形式存在，如“綜合”型、“推廣”型等等。

革命性變革最深刻的普遍特征是形成新理論體系的實體基礎，而這樣的實體基礎就是科學觀念，因此科學革命的實質是科學觀念急劇而根本的改造。

在這里，我們之所以選擇“改造”這個詞，是經過深思熟慮的。在漢語中，改造一詞具有雙重含義：其一是，“就原有的事物加以修改或變更，使適合需要”；其二是，“從根本上改變舊的、建立新的，使適應新的形勢和需要”。這樣，“改造”一詞就能恰如其分地描繪出科學觀念的各種變革方式，體現了科學中的革命與繼承的辯證關系。我們在“改造”二字前加上“急劇”和“根本”兩個修飾語，無非是從速度上和程度上強調科學觀念的改造是迅速的、徹底的，而不是緩慢的、逐步的、局部的、審慎的、盡可能少破壞的。因此，我們所謂的科學革命，指的是一種整體性的革命，這既可以針對整個科學而言(如歷史上的三次科學革命，即以哥白尼的《論天球的運行》和牛頓的《原理》為標志的革命，以道爾頓的原子論、達爾文的進化論、麥克斯韋的電磁理論為標志的革命，以相對論和量子力學為標志的革命)，也可以針對某一學科而言(如物埋學革命、化學革命、生物學革命等)。至于某一學科內部某個理論體系中的個別科學觀念的變化，我們一般不稱其為科學革命，而把它視為科學觀念的局部變革(也有人稱之為“局部革命”或“小型革命”)。這種變革雖然也是科學觀念的部分質變，但并未引起整個科學觀念的根本質變。

把科學觀念作為科學革命中的變革的主要實體，一個優點在于它的明晰性，因為它不像范式、研究綱領等那么龐雜、含混。更為重要的優點在于它的合理性。科學觀念是屬于經驗成分(經驗知識、具體的理論等)和哲學成分(本體論、方法論、自然觀、思維方式等)二者之間的中間層次。—方面，它是科學理論的基礎，與科學具體理論本身緊緊相聯。另一方面，它又是高度思辨、高度抽象的產物，與哲學成分密切相關。它既不像科學理論那么脆弱，易受實驗觸動；也不像哲學成分那么僵硬，難以改變，而具有相對的穩定性和一定的可變性。這就避免了波普爾、庫恩等人的觀點的缺陷。

在這里，有必要從更廣闊的視野上稍加考察。事物的本質基礎并非建筑在這一事物的范圍內，而是以這一事物的全部因素為基礎。基礎屬于這一事物，同時又不完全屬于它。在一定的關系中，基礎應該是內容豐富的，基礎是體系的決定性的屬性。作為科學理論的基礎的科學觀念正是這樣，它決定著科學理論的性質：它屬于科學理論體系，但在某些方面似乎又超出了科學理論體系的范圍，因為它具有濃厚的哲學色彩。嚴格地講，像本體論、方法論、思維萬式、自然觀等哲學成分，并不是科學理論體系之內的東西，它們是外在的。把科學革命的實質歸結為某一種或某幾種哲學成分的轉變是不妥當的，因為科學革命畢竟不是哲學革命，科學革命變革的主要實體只能在科學自身中尋找，而無須到哲學中去尋找。

科學革命的最關鍵因素，科學革命的核心是形成本質上全新的基礎。不過，在科學觀念發生急劇而根本的改造的同時，科學理論也會煥然一新。也就是說，新的科學框架不僅能容納已有的經驗知識，而且還能容納許多新的經驗知識，而這些新知識是無法納入舊科學框架中去的。另外，由于科學觀念與那些哲學成份有千絲萬縷的聯系，新科學觀念對舊科學觀念的否定，必然耍伴隨或導致新的自然觀、方法論和思維方式等的全面變革。因此，筆者嘗試給科學革命下這樣一個定義：科學革命是科學觀念急劇而根本的改造，與此同時，也伴隨或導致科學理論、自然觀、方法論和思維方式的全面變革。科學革命這一概念是關于科學進步的辯證詮釋的基本概念。

四、科學發展的“進化一革命”互補圖像

作為科學理論基礎或框架的科學觀念具有完整性、內在統一性和進一步發展的能力，這些邏輯構架起著組織、建立以及解釋科學理論的作用，并調節和控制獲得新知識的過程。因為它們在某種程度上是科學的(正確的、鄭重的、不是荒唐的)抽象，比較深刻、比較正確、比較完全地反映了科學認識對象，從而具有巨大的現實統攝力量和潛在的容異功能。科學觀念一旦建立起來；它的現實統攝力量就會不斷地得以發揮，它所統轄的研究領域的知識不斷積累，且日益成熟和完善。在科學發展的一定階段，科學觀念原有的潛在容異功能也會轉化為現實性。也就是說，它可以作為一種研究指導綱領擴展到其它領域，甚至把與它不相協調的經驗知識容納進來或暫存起來。這時，科學觀念對科學發展起著促進作用，科學呈現出相對平靜的發展趨勢，知識的增長主要表現在量的積累上。這就是科學的進化時期。進化時期主要是科學家在已有的科學觀念指導下進行的定向研究時期，這也是科學理論的多產時期。

從牛頓的《原理》奠定了近代物理學的基礎到19世紀末，物理學大體經歷了兩百多年的進化時期。在這段漫長的時間內，經典力學的基本觀念被物理學家作為研究傳統而接受下來，決定了他們的思想、研究和實踐方向。牛頓力學起初主要處理質點問題(質點力學)，后被推廣到流體和剛體，流體力學和剛體力學就是在牛頓所提出的科學觀念的基礎上建立起來的。力學的基本觀念又被引進光學、熱學和電磁學的研究中。盡管熱學中熵的概念和熱力學第二定律以及電磁學中的場的概念，都是超出牛頓力學的基本觀念之外的新東西，但是它們分別通過對分子熱運動進行統計解釋和通過以太的力學模型的運用，而把這些具有革命性的新觀念納入到力學框架之中。

科學的進步會引起它的基礎的深刻變革。在進化階段的后期，科學觀念已基本窮盡了它的統攝力量和容異作用，科學理論也在這個基礎上發展到了頂峰。這時，科學觀念通過修修補補已無法容納大量的反常現象，而且各理論體系之間發生的概念問題也越來越暴露出已有科學觀念的局限性。這時，唯一的出路就是對這些科學觀念進行根本的改造，提出新的科學觀念，這就是科學發展中的革命時期。在這個時期，那些具有哲學頭腦、思想活躍、敢于背離陳規舊說的科學家，往往成為科學革命的主將。

相對地講，科學革命時期一般是不太長的，如歷史上的三次科學革命所經歷的時間分別為144年(1543~1687)、61年(1803~1864)和33年(1895~1928)。哥白尼-牛頓革命之所以持續時間最長，是因為它要摧毀亞里士多德的自然哲學教條，而這些教條在將近兩千年間一直禁錮著人們的頭腦，并被經院哲學當作毋庸置辯的真理。而且，當時科學成果和科學思想的交流受到各種條件的限制，遠不如后來那么頻繁和自由。尤其是，這次革命要總結人類有史以來的關于自然的知識，建立第一個真正的近代科學體系——牛頓力學。在哥白尼《論天球的運行》問世時(1543年)，歐洲人所具有的力學知識是否像阿基米德(公元前287～212)所了解的那么多，還是值得懷疑的。但是，到這次革命的終結，牛頓力學已牢固建立起來，能夠說明天上和地上所遇到的一切力學現象。照此看來，百余年的革命并不算長。第二次科學革命之所以持續時間較長，是因為這次科學革命的帶頭學科不是一門學科，而是一組學科(主要是化學、生物學和物理學)。這樣一來，科學觀念的變革發生在不同的領域，而這些科學觀念彼此又不甚相關，一個學科中的科學觀念的變革對另一個學科中的科學觀念的變革沒有什么直接的影響。于是，革命的持續時間勢必要稍長一些。

科學的進步就是“進化-革命”的無窮系列。在進化時期與革命時期之間，也可能存在庫恩所說的危機階段，這在世紀之交物理學革命的前夕表現得尤為明顯(但是，不見得每次科學革命前夕都有一個危機時期)。危機是科學革命的前夜，舊科學觀念搖搖欲墜，新科學觀念尚未誕生或尚未鞏固之時，就是科學的危機時期。不過，科學發展的進化-(危機)革命階段只是為敘述的方便而提出的理想模式，它們的界限并非涇渭分明。它們就像電影中的一串串漸隱鏡頭，當一串場景的最后幾幅畫面還未完全消失時，第二串場景的開頭幾幅畫面就逐漸溶入，致使兩串場景相接處的幾幅畫面我中有你，你中有我。

正如勞丹批評庫恩時所說的，常規科學并非像庫恩所描繪的那樣“常規”，科學革命也不像庫恩所斷言的那么“革命”。因此，我們擬提出“進化-革命”互補圖像來描繪科學的發展。在這里，“互補”的含義有二：其一是進化與革命互相轉換，即進化轉換為革命，革命又轉換為進化，周而復始，以至無窮，而每一次循環，都使科學發展到一個新的更高的階段；其二是進化與革命互相滲透，這不僅表現在二者的銜接處，而且也表現在二者的過程之中。例如，18世紀基本上是科學的進化時期，經典力學的基本觀念不僅在力學發展中表現得生機勃勃，而且也指導著其他學科(例如電學、熱學、化學等)的研究。但是，值得注意的是，康德在這個時期提出的星云假說，把發展的觀念引入自然科學，這是超越于經典力學的新觀念。拉瓦錫的氧化說和元素概念也否定了燃素說和燃素概念(燃素說是在經典力學基本觀念指導下提出的燃燒理論)。這一切，都是在進化時期科學觀念所發生的局部變革，或像有人說的局部革命或小型革命。同樣，在革命過程中也伴隨著一些進化。愛因斯坦1905年提出的狹義相對論標志著物理學一個領域的革命的開始，而普朗克1906年通過對愛因斯坦的電子運動的方程的修正進而得到的動能的表達式，以及閔可夫斯基1908年提出的四維世界理論，都不過是狹義相對論的自然進化而已。

因此，如果把事物的發展比喻為波浪式發展、螺旋式上升的話，那么科學的進步則可以形象地描繪為具有小波紋的滾滾向前的大波浪，或以大螺線為軸心而攀援上升的小螺線(等于把一個長而細的彈簧繞成螺線)。這就是科學發展的“進化-革命”互補圖像(盡管它也是一個不盡恰當的模式)。后一個比喻顯然與黑格爾的下述命題有某種相通之處：“科學表現為一個自身旋繞的圓圈，中介把末尾繞回到圓圈的開頭，這個圓圈以此而是圓圈中的一個圓圈，因為每一個別的支節，作為方法賦予了靈魂的東西，都是自身的反思，當它轉回到開端時，它同時又是一個新的支節的開端。”

參考文獻

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