上證指數(shù)變動的段落性特性

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基于離散小波的實證分析

摘要：小波分析理論是一種新的信號處理方法，小波函數(shù)具有的“自適應(yīng)”和“變焦”特性，能有效的處理非平穩(wěn)信號。上證指數(shù)作為人們研究的熱點，其具有明顯的非平穩(wěn)特性。本文采用Sym（2）小波對上證指數(shù)進行4層分解、重構(gòu)、降噪以及多分辨分析，從其結(jié)果顯示的長、短期的波動性特征將其劃分為3個階段，然后對這三個階段進行分析，發(fā)現(xiàn)了上證指數(shù)在4到8天的平均波動構(gòu)成了上證指數(shù)的主要波動頻率。提出了上證指數(shù)的方差生成過程模型——V-DWM方差回歸模型（上證指數(shù)波動性基于日、周、月的方差回歸模型）。

關(guān)鍵詞：離散小波變換；階段性分析；V-DWM模型

一、引言

股票市場波動影響著投資者的風(fēng)險和收益，對市場波動性特征的階段劃分研究成為金融研究者關(guān)注的對象，許多學(xué)者對我國股票市場的階段性進行了研究，有關(guān)股票市場階段性研究的角度主要集中在兩方面：一是根據(jù)我國股票市場交易制度的變動而劃分，二是對股市數(shù)據(jù)做趨勢分析，根據(jù)波動性特征進行劃分。陳娟和沈曉棟[1]、尹自永[2]以及陳守東、孟慶順和孔繁利[3]對上證指數(shù)的階段性劃分進行了一些研究，雖然各自劃分的階段不大相同，但都是基于漲跌停板制度的變動而對股市進行階段劃分，然后再分別分析每個階段的波動特征。這種劃分方法是依據(jù)漲跌停板交易制度的變更會在很大程度上影響股市的波動而劃分的。但我們認為，漲跌停板交易制度雖然會影響股市的波動，但其只是外部因素，不能全部反映股市的變動特征。比如說06年到09年這三年上證指數(shù)呈現(xiàn)出劇烈的波動，但這顯然不再是漲跌停板制度的原因了。所以說這種劃分方法存在一定的局限性，同時也缺乏理論的支持。另一方面，學(xué)者朱永安和曲春青[4]根據(jù)股市波動特征進行劃分，采用GJR、GARCH-M模型，分析了利好消息和利空消息對股票市場的非對稱影響，然后根據(jù)Perron趨勢檢驗特征將上證指數(shù)劃分為兩個階段。這種劃分方法是作者對上證指數(shù)的對數(shù)散點圖進行研究，然后根據(jù)散點圖表現(xiàn)出來的特征對上證指數(shù)進行階段劃分，但其只對上證指數(shù)數(shù)據(jù)進行了對數(shù)處理，平滑效果不明顯。本文使用去噪效果較好，重構(gòu)又不失真的離散小波方法對上證指數(shù)的波動性特征進行分析，使其階段的劃分更加精確地依賴于上證指數(shù)的波動性特征。

小波分析是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中一個發(fā)展迅速的領(lǐng)域。目前，它被廣泛地應(yīng)用于信號分析、圖像處理等方面。但是，利用小波分析對實際的金融數(shù)據(jù)進行分析與預(yù)測的并不多。而事實上，金融數(shù)據(jù)也是一種時間序列，和我們平常分析的信號具有相同的特性。小波分析可以將信號小波分解到不同尺度的頻率通道上，由于分解后的信號在頻率成分上比原始信號單一，并且小波分解對信號作了平滑處理，這樣對一些非平穩(wěn)時間序列進行小波分解后，可以將其當作近似意義上平穩(wěn)時間序列來處理，并且小波變換后重構(gòu)不會丟失原始序列的信息，可以進行不同尺度下的多分辨分析。

由于小波分析的上述優(yōu)良特性，將上證指數(shù)做為一個時間序列（信號）進行小波分析，有著重要的意義。我國學(xué)者將小波分析用于股票市場分析的起步比較晚，徐梅[5]系統(tǒng)地研究了小波分析在金融波動應(yīng)用研究的方法理論。此后，多位學(xué)者也進行了實證研究，蘭秋軍、馬超群、文鳳華[6]比較分析了傳統(tǒng)濾波方法對金融數(shù)據(jù)去噪的缺陷,采用小波分析對金融時間序列進行去噪；

鄧凱旭、宋寶瑞[7]用小波分解對信號作了平滑處理,通過例子證明了這種預(yù)測方法的有效性；杜建衛(wèi)、王超峰[8]亦得出用小波分解和重構(gòu)在金融股票數(shù)據(jù)預(yù)測比傳統(tǒng)的方法有效的結(jié)論；李智[9]系統(tǒng)地研究了小波在金融時間序列的應(yīng)用。

基于此我們使用小波變換對上證指數(shù)進行多分辨分析，根據(jù)分析結(jié)果表現(xiàn)出來的波動性特征，將上證指數(shù)劃分為三個階段，并發(fā)現(xiàn)上證指數(shù)自身的長、短期波動特征之間的關(guān)系，最終得到一個上證指數(shù)波動性基于日、周、月的方差回歸模型。

二、小波理論簡介

小波：設(shè)為一平方可積函數(shù)，即，若其傅里葉變換滿足條件：

則稱為一個小波母函數(shù)，我們稱上式為小波函數(shù)的可容許條件。

（一）小波變換

小波變換就是指把一稱為基本小波的函數(shù)Ψ（t）做位移τ后，再在不同尺度а下與待分析信號x（t）做內(nèi)積：

等效的頻域表示是：

式中，分別是的傅里葉變換。

小波變換具有以下特點：

1.具有多分辨率的特點，可以由粗到細地逐步觀察信號。

2.我們也可以把小波變換看成用基本頻率特性為的帶通濾波器再不同尺度下對信號做濾波。由于傅里葉變換的尺度特性，如果的傅里葉變換是，則的傅里葉變換為，因此這組濾波器具有品質(zhì)因數(shù)恒定，即相對帶寬（帶寬與中心頻率之比）恒定的特點。

3.適當?shù)剡x擇基本小波，使在時域上為有限支撐，在頻域上也比較集中，便可以使小波變換在時、頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，這樣就有利于檢測信號的瞬態(tài)或奇異點。

（二）離散小波

將小波基函數(shù)的、限定在一些離散的點上取值。

1.尺度的離散化：對尺度進行冥數(shù)級離散化，即令取，此時對應(yīng)的小波函數(shù)是，j=0，1，2，……。

2.位移的離散化：對進行均勻離散取值，以覆蓋整個時間軸。要求采樣間隔滿足Nyqiust采樣定理，采樣率大于等于該尺度下頻率通帶的二倍。在尺度j下，由于的寬度是的倍，因此采樣間隔可以擴大，同時也不會引起信息的丟失。這樣，就改成：

記為

離散小波變換定義為：

在實際中，我們一般取，這時。

當時，沿軸的相應(yīng)采樣間隔是，此時，變?yōu)椋?/p>

即

我們把軸用歸—化，，于是有：

此時，對應(yīng)的WTf為：

（三）多分辨率分析與正交小波變換

構(gòu)造正交基的方法一般是，在離散框架的基礎(chǔ)上，取則：

我們把平方可積的函數(shù)看成是某一逐級逼近的極限情況。每級逼近都是用某一低通平滑函數(shù)對做平滑的結(jié)果，在逐級逼近時平滑函數(shù)也做逐級伸縮，這就是“多分辨率”，即用不同分辨率來逐級逼近分析函數(shù)。

把空間做逐級二分解產(chǎn)生一組逐級包含的子空間：

J是從到得整數(shù)，j值越小空間越大，當j=4時，如圖1所示。

圖1j=4函數(shù)空間的剖分

空間剖分是完整的，即當時，，包含整個平方可積的實變函數(shù)空間。

當時，，即空間最終剖分到空集為止。

這種剖分方式使得空間與空間正交，各個之間也正交，即：

這種函數(shù)空間的部分還具有位移不變性、二尺度伸縮性。

這樣可得出多分辨率的概念，即空間中的多分辨率分析是指中滿足下列條件的一個空間序列。

1.單調(diào)性：對任意，有。

2.逼近性：，。

3.伸縮性：，伸縮性體現(xiàn)了尺度的變換、逼近正交小波函數(shù)的變化和空間的變化具有一致性。

4.平移不變形：對任意，有。

5.Riesz基存在性：存在，使得構(gòu)成的Riesz基。

定義函數(shù)為尺度函數(shù)，若其經(jīng)過整數(shù)平移k和尺度j上的伸縮，得到一個尺度和位移均可變化的函數(shù)集合：

稱每一個尺度j上的平移系列所組成的空間為尺度為j的尺度空間。

對于任意函數(shù)，有：

下式是從多分辨率理論導(dǎo)出的二進正交小波函數(shù)。所以，稱為小波函數(shù)，相應(yīng)的是尺度為j的小波空間。同時小波空間是兩個相鄰空間的差，即：

它表示相鄰尺度空間的投影之間的細小差別即為函數(shù)在相應(yīng)尺度小波空間上的投影，所以我們又稱小波空間為細節(jié)空間。

1.尺度函數(shù)

同一尺度下j下的兩個函數(shù)之間具有正交歸一樣，即：

但不同尺度之間的不具有正交性，即：

2.小波函數(shù)對所有的都是互相正交的。

3.同一尺度下，因為，所以小波函數(shù)和尺度函數(shù)之間是正交的，即：

三、離散小波實證研究

（一）樣本及離散小波的選取

1.樣本選取

對于上證指數(shù)的階段性研究，所選取的樣本要盡可能的跨越不同時期，同時為了避免將客觀的沖擊性事件（設(shè)立漲停板制度，修改印花稅，和金融危機等）作為劃分階段的依據(jù)，樣本的起始點和終止點在沒有特定事件發(fā)生的時期中選擇，如果某一事件影響的時期比較長，則盡可能選取在距該事件發(fā)生后較長的時間點。本文選取上證指數(shù)在1992年5月22日到2009年9月9日收盤價共4096（212）個數(shù)據(jù)為樣本（見圖2）。（選擇212個數(shù)據(jù)作為樣本可以滿足離散小波的二進尺度的要求）

2.離散小波的選取

由于Symlets系是具有有限緊支撐性的正交小波，其時域和頻域的局部化能力強，所以用來分析上證指數(shù)時間序列，可以將上證指數(shù)序列分解到不同的尺度進行研究。

對Sym2的選擇是盡可能平衡小波濾波器的寬度的結(jié)果。因為，寬度很短的小波濾波器有時會在分析結(jié)果中出現(xiàn)人工痕跡（不真實的塊狀、鯊魚鰭和三角形狀），寬度大的小波濾波器可以更好地反映時間序列的特征，但會導(dǎo)致更多的小波系數(shù)被影響以及離散小波變換系數(shù)的局部化等級會較少。本文選取Sym2是在實驗的結(jié)果中選取的，使寬度不斷的擴大，直到得到小波系數(shù)沒有人工痕跡的分析結(jié)果。

對分解層次的選擇是基于分析上證指數(shù)波動性的特征這一特定的問題而做出的選擇。在金融市場上，波動的來源有很多，投資者初始稟賦、投資者策略、信息不對稱以及地域和時間的影響等等。

假設(shè)僅僅關(guān)注不同類型交易者在不同時間尺度的影響，金融時間序列表現(xiàn)出不同類型交易者頻率的組合，不同的交易者的交易策略在交易結(jié)果中留下不同的頻率（如社保基金，公募基金，保險公司等交易者交易頻率較低，但是交易量巨大）。將投資者劃分三種類型:短期投資者頻率集中在2個工作日（由于我國股市是T+1交割）；中期投資者的交易策略一般是以5個工作日為平均變化的；長期投資者在以月為時間間隔來實現(xiàn)其交易策略的。

上證指數(shù)的波動可以看作是這三種不同類型的交易者不同的交易策略所引起的波動的組合。這樣，選擇4分解層次在不同的尺度上可以和三種交易者的策略引起的波動相對應(yīng)，尺度1、2、4、8、16分別對應(yīng)現(xiàn)實中股票交易日1、2、4、8、16工作日。這樣尺度1、2反映了短期投資者的交易頻率，尺度4、8反映中期投資者的頻率，尺度16（16×2）則反映長期投資者的頻率。

下文我們用Sym2小波進行4層分解、降噪、重構(gòu)以及多分辨分析（matlab7.0）。

（二）上證指數(shù)的分解、降噪和重構(gòu)

用Sym2小波進行4層分解、降噪（圖4）、重構(gòu)（圖3）與原始價格（圖2）的比較。

圖2上證指數(shù)收盤價價格圖圖3小波重構(gòu)上證指數(shù)收益率序列

圖4Sym2（4層）離散小波降噪圖

圖5Sym2（4層）離散小波降噪殘差圖

對以上得出的圖表結(jié)果，總結(jié)出表1的數(shù)據(jù)。

表1圖表分析有效數(shù)據(jù)

統(tǒng)計量均值最大值最小值中位數(shù)眾數(shù)標準差

原始15676092333.913451198972.1

合成15676092333.913451198972.1

降噪后殘差-0.03689.51-89.760.7565.24923.19

從上證指數(shù)收盤價圖和用Sym2（4層）離散小波重構(gòu)上證指數(shù)收益率序列圖形的比較來看，原始收盤價圖（圖2）和小波重構(gòu)圖（圖3）非常相似，統(tǒng)計量基本相同（表1）。均值大于中位數(shù)，中位數(shù)大于眾數(shù)，呈右偏態(tài)分布。可見用Sym2離散小波4層分解上證指數(shù)重構(gòu)不會導(dǎo)致信息的丟失。降噪后，時間序列表現(xiàn)平滑（圖4），Sym2離散小波（4層）分解降噪后殘差均值為-0.03643，標準差為23.19，殘差序列近似于白噪聲，直方圖近似正態(tài)分布（圖5），用Sym2（4層）離散小波可以很好的處理上證指數(shù)的降噪問題。

（三）上證指數(shù)的多分辨分析

上面已說明上證指數(shù)收盤價序列經(jīng)小波重構(gòu)后與原始序列相比較，沒有信息丟失，所以利用Sym2小波變換對上證指數(shù)進行多分辨分析（圖6）。

圖6上證指數(shù)多分辨分析圖

由于上證指數(shù)收盤價每隔一個工作日為時間間隔，所以尺度：d1的實際周期為1工作日，d2的實際周期為2工作日，d3的實際周期為4工作日，d4的實際周期為8工作日。從四層細節(jié)總體的平均變化來看，可以分為三個階段，1995年6月12日以前為一階段，從1995年6月12日到2006年4月13日個為第二階段，從2006年4月13日到2009年9月9日為第三階段。三階段的波動程度表現(xiàn)為：第三階段劇烈波動，第一階段較大波動，第二階段比較平穩(wěn)。細節(jié)四層小波系數(shù)在三階段的集中趨勢如表2所示。

表2三階段集中趨勢表

第一階段

19920522到19950612第二階段

19950612到20060413第三階段

20060413到20090909

均值最大值最小值均值最大值最小值均值最大值最小值

d1-1.16397.71-80.970.467357.5-80.060.02182.8-412.7

d21.904153.1-117.6-0.038109.6-98.43-1.2579.5-314.3

d3-4.333210.2-261.3-1.578275.8-162.13.86509.3-559.5

d4-5.237322.4-452.10.4769312.6-258.52.06595.7-1305

在第一階段，上證指數(shù)的細節(jié)在不同尺度上均值為三負一正，且在高尺度d3、d4負項較大，說明上證指數(shù)在較長的走勢中表現(xiàn)下降的趨勢，在低尺度上，正負偏向差值較小為0.741。在第二階段，有三個細節(jié)均值絕對值均小于0.5（d1的為0.4673，d2的為-0.038，d4的為0.4769）趨勢集中，有穩(wěn)定的趨勢。在第三階段，細節(jié)的均值呈正向的有d3的為3.858，d4的為2.056，偏離正向比較大，說明在第三階段總體表現(xiàn)出上升的趨勢。

為了研究尺度與標準差之間的關(guān)系，我們做了細節(jié)四層小波系數(shù)在三階段的標準差之間的對比如表3所示。

表3細節(jié)四層小波系數(shù)在三階段的標準差

標準差表d1d2d3d4

第一階段（19920522—19950612）21.7432.7771.76136

第二階段（19950612—20041020）12.8521.4445.4983.36

第三階段（20041020—20090909）52.0987.27144.2236.1

在四層細節(jié)中，第三階段的標準差大于第一階段的標準差，第一階段的標準差大于第二階段的標準差，說明了上證指數(shù)在第三階段波動劇烈，在第一階段波動較大，而在第二階段趨于平穩(wěn)。

在上表中還可以看出，尺度越高，標準差越大的趨勢，說明上證指數(shù)的平均變換隨時間的增加而波動幅度變大。

由于上證指數(shù)在第三階段波動劇烈，所以我們單獨把第三階段的波動特征拿出來分析一下，研究一下股市上漲階段與下跌階段的波動性差異，具體分析結(jié)果如表4所示。

表4典型的上升階段和下降階段的細節(jié)集中和離中趨勢

上升階段（20060907--20071016）下降階段（20071016--20081229）

均值（標準差）最大值最小值均值（標準差）最大值最小值

d10.09（31.25）145.4-123-1.47（74.04）182.8-412.7

d20.03（41.28）188.7-96.22-3.77（144.3）579.5-314.3

d3-0.62（57.93）127.8-172.6-15.3（224.5）344.9-559.5

d41.74（42.19）145.4-161.5-65.0（415.5）331.7-1305

從表4可以看出，上證指數(shù)在下降階段要比在上升階段波動的劇烈，下降要比上升快。反映了我國股市股民的追漲殺跌的羊群效應(yīng)，在發(fā)生羊群效應(yīng)時，跟風(fēng)向下的心態(tài)要偏好于受利好誘惑的追漲的心態(tài)。細節(jié)反映了上證指數(shù)的波動集群效應(yīng)，即大的波動后面緊跟著大的波動，小的波動后面往往是小的波動。

在Sym2離散小波（4層）分解上證指數(shù)收盤價序列圖中，光滑a4（尺度為16工作日）與原始圖和合成圖比較，光滑a4很好的反映了上證指數(shù)收盤價序列的長期趨勢，沒有出現(xiàn)三角波紋和鯊魚鰭的人工痕跡。Sym2離散小波（4層）分解上證指數(shù)收盤價序列s=a4+d4+d3+d2+d1（見圖6）。

上證指數(shù)在股市初創(chuàng)期波動較大，且呈現(xiàn)劇烈波動，投機氛圍十分明顯，從最初到1995年6月一直呈上升型趨勢，且速度特別快，從1995年6月到1996年11月波動率方差呈下降趨勢，但是仍然具有很高的波動性。雖然1997年上證指數(shù)有起起落落，但是還處在波動性高位。從1998年之后上證指數(shù)波動率長期處于緩慢的下降通道，一直到2006年。2006年上證指數(shù)波動率又開始上升，并且波動劇烈，2007年的過山車行情，尤其是2007年10月16日附近的波動在不同尺度下的系數(shù)比較大，波動尤其突出。

（四）小波分析小結(jié)

本文用Sym2離散小波（4層）對上證指數(shù)收盤價序列進行分解、降噪、重構(gòu)以及不同尺度的多分辨分析，將上證指數(shù)分為了三個階段，證明了我國股市存在的羊群效應(yīng)和波動的集群效應(yīng)，并發(fā)現(xiàn)了上證指數(shù)收盤價序列的波動在間隔（1，2，4，8工作日）的范圍內(nèi)隨著時間間隔的增大而變大，上證指數(shù)波動的主頻體現(xiàn)在時間間隔為4工作日和8工作日的平均變化。在相鄰的上升階段和下降階段，下降時候的波動高于上升時候的波動。

四、V-DWM方差回歸模型

（一）模型設(shè)定

根據(jù)小波分析的結(jié)論，時間間隔4和8工作日的平均變化波動貢獻了上證指數(shù)的主要波動。在股票市場上，短期投資者、中期投資者和長期投資者由于交易的策略不同，表現(xiàn)出不同的交易行為（頻率）。但是三者的影響并不是相同的，中長期交易者的行為對短期交易者行為的影響要強于短期交易者對中長期交易者行為的影響。本文以上證指數(shù)時間序列特征出現(xiàn)的主要時間間隔提出V-DWM方差回歸模型，來擬合上證指數(shù)的波動性特征。D(date日),W(week周)，M（month月），根據(jù)我國的實際情況，日代表我國股票交易所工作日，一周包含5個工作日，一月包含四個周即20個工作日。波動率，為收益率。

假設(shè)數(shù)據(jù)生成過程：

=(t=1到n)，為隨機項（1）

2=Var()

（2）

滿足經(jīng)典計量經(jīng)濟學(xué)的假定并且服從標準正態(tài)分布；設(shè)其中：

（3）

（4）

（二）實證模擬

樣本選取與處理：本文選取上證指數(shù)收盤價為研究對象，樣本區(qū)間為1992年5月22日到2009年9月9日（共4096個數(shù)據(jù)），計算其收益率方差。設(shè)定日波動方差，周波動方差和月波動方差的計算初始值一樣，本文以月波動方差的數(shù)據(jù)個數(shù)為基礎(chǔ)，做模型回歸。

模型估計：通過以上樣本估計模型（2）

上式中的各個系數(shù)估計值以及其統(tǒng)計量如表5所示。

表5變量估計值

變量

系數(shù)標準差T統(tǒng)計量P值

4.904.370．00

0.080.033.180.00

2.080.0542.710.00

-1.170.03-44.650.00

從T統(tǒng)計量來看，該模型的四個系數(shù)通過了檢驗，顯著不為0，全部系數(shù)統(tǒng)計量也通過了F檢驗，擬合優(yōu)度R2=0.997248，調(diào)整后的擬合優(yōu)度R2=0.997245，很好的擬合了波動率方差走勢。上證指數(shù)的波動率方差表現(xiàn)出和預(yù)期相符的對前期日方差、周方差、月方差顯著的相關(guān)性，但是前期方差對其的影響并不大，系數(shù)僅為0.08，月方差是負影響，系數(shù)為-1.67，周方差對方差的生成過程有較大的影響，系數(shù)為2.08。

從實證結(jié)果可以看出，我國上證指數(shù)波動的方差，在周的影響上高于日波動和月波動的影響，和小波分析的結(jié)論一致（即上證指數(shù)時間序列的波動主頻主要體現(xiàn)在尺度為4和8的分解的小波系數(shù)上）。反映了上海股票交易市場上短期交易者的交易頻率引起的波動不會影響到中長期交易者的交易策略，因為中長期投資者更關(guān)注長期的波動。相反，中長期的波動會影響到短期交易者的交易行為，因為，在市場上，中長期投資者的交易行為主導(dǎo)了長期的波動，短期交易者關(guān)注短期波動對資產(chǎn)未來的風(fēng)險和收益的影響，而短期波動往往由于股市的長期記憶性而被過去很長時間的波動所影響，V-DWM方差回歸模型就證明了長期波動往往影響到短期波動的這一特征。所以我國上海股票交易市場上，中期投資者交易波動最大，并且和長期投資者的交易行為一起影響短期交易者的行為。

五、結(jié)論

本文用Sym2離散小波對上證指數(shù)收盤價進行4層分解、降噪、重構(gòu)和多分辨分析，在多分辨分析的基礎(chǔ)上對上證指數(shù)波動性進行確定的階段劃分，在1995年6月12日以前和2006年4月13日到2009年9月9日這兩個階段里，上證指數(shù)波動劇烈，從1995年6月12日到2006年4月13日波動比較平穩(wěn)，并且上證指數(shù)在下降階段比上升階段的波動幅度更大，發(fā)現(xiàn)了時間間隔4和8工作日的平均變化波動貢獻了上證指數(shù)的主要波動。在波動階段性研究的基礎(chǔ)上我們提出了一個上證指數(shù)的方差生成過程，即V-DWM方差回歸模型，證實了上證指數(shù)序列的主要波動源于工作周的波動。證明了在我國上海股票交易市場上，中長期交易者的行為明顯地影響著短期交易者的行為。

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