等差等比數(shù)列性質(zhì)如何靈活運(yùn)用論文
時(shí)間:2022-09-25 03:06:00
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【摘要】數(shù)列的相關(guān)知識在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有相當(dāng)重要的位置,正確而熟練地掌握數(shù)列的性質(zhì)對于解決數(shù)列問題有很大的幫助。
【關(guān)鍵詞】數(shù)列;性質(zhì);運(yùn)用
對于等差數(shù)列{an},任意兩項(xiàng)an、am的關(guān)系是:an=am+(n-m)d或am=an+(m-n)d
例:{an}為等差數(shù)列,已知a5=2,a3=1,求通項(xiàng)公式
解法一:∵an=a1+(n-1)d
∴a5=a1+4d=2
a3=a1+2d=1
解得a1=0,d=12
∴an=a1+(n-1)d=12(n-1)
解法二:由等差數(shù)列性質(zhì)可得:
a5=a2+2d
而a5=2,a3=1
∴2d=1,d=12
∴an=a5+(n-5)d=2+12(n-5)=12(n-1)
第二種方法方便、快捷,而第二種方法恰恰是運(yùn)用了等差數(shù)列的性質(zhì)。
2.對于等差數(shù)列{an}來說,如果m+n=p+q(m、n、p、q都是正整數(shù)),那么就有am+an=ap+aq
例:{an}為等差數(shù)列,已知a3=5,a17=11,求s19=?
解法一:根據(jù)題意可得:
a3=a1+2d=5………1
a17=a1+16d=11……2
②-①:14d=6,d=37
a1=297
∵sn=na1+n(n-1)d2
∴s19=19a1+19(19-1)d2
=19×297+19×182×37
=5517+5137=10647=152
解法二:
∵{an}為等差數(shù)列
∴sn=n(a1+an)2
s19=19(a1+a19)2=19(a3+a17)2=19(5+11)2=19×8=152
很顯然解法二非常快捷,計(jì)算量小。
3.{an}為等比數(shù)列,sn為其前n項(xiàng)和,則有:sm,s2m-sn,s3m-s2m也成等比數(shù)列
例:已知等比數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和sm=10,前2m的和s2m=10,求s3m=?
解法一:①假設(shè)公比q=1時(shí),sm=ma1=10,s2m=2ma2=30
顯然是矛盾的,因此公比q=1是錯(cuò)誤的公務(wù)員之家
②公比q≠1,sm=a1(1-qm)1-q=10①
s2m=a1(1-q2m)1-q=10②
②÷①:1+qm=3qm=2
由①和qm=2可得:a11-q=-10
因此s3m=a1(1-q3m)1-q
=a1(1-qm)(1+qm+q2m)1-q
=10×(1-2)(1+2+4)
=10×7
=70
解法二:∵{an}是等比數(shù)列
∴sm,s2m-sm,s3m-s2m
即10,20,s3m-30也成等比數(shù)列
∴10(s3m-30)=202
∴s3m-30=40
s3m=70
兩種解法一對照,第二種方法太簡便了。