磁懸浮軸承現代控制理論課程設計探討

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摘要:隨著現代科技產業信息化與智能化程度的不斷提升，對自動化領域從業人員的綜合素質提出了前所未有的需求。《現代控制理論》作為控制學科相關專業的一門必修和基礎性課程，對專業人才的培養具有重要作用。各大高校迫切需要開設實驗課程來深化學生對抽象理論知識的理解。磁懸浮軸承控制系統是一個復雜的、不穩定的強耦合系統。通過對其研究，能直觀反映出控制系統中諸如穩定性、能控能觀性、系統收斂速度及系統抗干擾能力等抽象概念，對學生思維能力的提升與實操能力的增強將起到積極作用。

關鍵詞:現代控制理論;磁懸浮軸承;課程設計

1背景與課程介紹

在經典控制理論中，基于傳遞函數的數學模型通常只能描述線性系統單個變量的輸入輸出關系。然而，許多實際系統是具有多個變量的復雜系統，上述傳遞函數法對此類系統的刻畫就顯得力不能及。20世紀50年代，隨著卡爾曼濾波器的提出，基于狀態空間模型的描述方法推動了控制理論由經典到現代的發展過程。采用狀態空間法進行系統建模分析時，可以選取一組由狀態變量組成的微分方程刻畫動態特性。這樣可以有效全面地描述系統變量的運動狀態，也便于分析初始狀態對系統的影響。與此同時，該方法在處理非線性系統、時變系統、多輸入—多輸出系統時具有較好的適應性。因此，現代控制理論逐漸受到專家學者們重視，成為解決復雜工控系統的重要手段。作為自動控制相關專業的一門必修和基礎性課程，《現代控制理論》的特點是此課程涉及較廣泛的理論知識。在對某一工程系統對象進行數學建模時，要求有直觀的工程應用背景，需要掌握動力學、電氣學等物理知識，同時還要有堅實的數學基礎。目前，現代控制理論相關技術已廣泛地應用于工農業、航空航天等領域［1-2］。隨著新一輪產業革命的快速發展，云計算、物聯網、大數據、智能制造、工業4．0等應用迅速擴展，對當前工程領域全鏈條化發展提出了前所未有的需求，從而推動未來工程領域實現重要變革。在自動化領域，工程控制系統的信息化與智能化的飛速發展必須通過人才來實現，而工程教育是連接工程活動與工程人才的橋梁，這就迫切需要高等院校為社會源源不斷地輸送高素質應用型與研究型人才。在該課程的教學過程中，多數教材只是對這些應用場景做一些簡單介紹，學生們對此并沒有直觀深刻的認識，更是缺少理論知識到實際工程的應用環節。長此以往，就將導致學生的眼高手低，只會紙上談兵。為了讓高校課堂的理論知識與解決新時代工程實際難題的所需技術無縫銜接，實施實踐性教學是目前高等學校教學改革的必然趨勢。磁懸浮軸承系統是一個理想的現代控制理論研究對象，具有控制理論、計算機、機械等多學科交叉的特征［3］。以四自由度磁軸承為仿真模型，通過現代控制理論的課程設計，老師可以指導學生利用不同控制方法，自主設計控制器與控制系統，實現對磁軸承的靜態懸浮控制。此外，引入開放式實驗設計，有效激發學生的創新思維和探究能力。

1．1四自由度磁軸承簡介

采用傳統軸承作為支承部件的旋轉機械存在如摩擦、磨損、轉速受限等不可避免的問題，限制了其應用范圍。與傳統軸承相比，磁懸浮軸承是一種轉子與定子之間無摩擦的新型支承技術［4］，其具有摩擦損耗小，無須潤滑，壽命長，壽命高潛在的高控制精度，以及長期高速運行等優點。鑒于上述優點，磁懸浮軸承技術正越來越多地應用于各種旋轉機械中，如人工心臟泵、壓縮機、高速銑削主軸、飛輪儲能系統等電磁軸承。磁懸浮軸承具有不穩定性，需要設計控制器將系統極點配置到復平面的左半平面磁懸浮軸承通過在定子的內部纏繞線圈，通電后定子變成了電磁鐵，進而產生電磁力。電磁力支撐著定子受力平衡并懸浮在軸承的中間位置。在恒定電流下，兩個線圈之間的吸引力將隨著轉速的升高而降低。與此同時，采用速度和位置傳感器實時測量轉子的狀態信息，并根據其狀態的改變調節定子繞組中電流的大小。以徑向四自由度磁軸承為對象，以o為左邊原點，z軸為轉子旋轉軸，y軸為轉子上下移動方向，x軸為轉子前后移動方向，則磁懸浮轉軸的運動示意圖如圖1所示，進而可以得到轉子的運動方程。(1)其中x(t)=xlxrylyrx·lx·ry·ly·r[]表示t時刻的狀態，x1、xr分別表示轉子在左、右兩端磁軸承處水平方向位移，y1、yr分別表示轉子在左、右兩端磁軸承處垂直方向位移，u(t)表示t時刻的控制輸入，系統矩陣A，B如下:

1．2磁軸承系統參數

徑向四自由度磁軸承模型參數如下:磁軸承轉子質量m=14．8kg，水平方向轉動慣量Jx=0．0926kg·m2，垂直方向轉動慣量Jy=0．0926kg·m2，軸向轉動慣量Jz=0．1832kg·m2，位移剛度系數ks=-2．08×106N/m，電流剛度系數ki=1．69×105N/A，左端磁軸承到質心的距離a=65mm，右端磁軸承到質心的距離b=65mm。

2課程設計方案

設計內容分為三個部分，第一部分為基于極點配置［5-6］的狀態反饋控制仿真，第二部分為線性二次型調節器［7-8］(LinearQuadraticRegualtor，LQR)最優控制仿真。第三部分為開放性探索研究，學生可以選做。

2．1基于極點配置的狀態反饋控制仿真

控制系統的性能很大程度上依賴于極點在根平面上所處的位置。因而，可以選擇一組期望極點，使系統達到要求的性能。極點配置是基于選取反饋增益矩陣的方式，將閉環系統的極點分布在根平面上所希望的地方，進而得到理想的控制效果。首先在Simulink環境下，建立如圖2所示的控制系統模型。將相應系統參數帶入等式(1)，可得系統矩陣A和控制輸入矩陣B如下:將矩陣A和B輸入圖2中的對應模塊，可以得到磁軸承的狀態空間模型。針對所獲得的系統模型進行極點配置。具體步驟如下:(1)通過Matlab計算能控性矩陣M的秩，判斷該磁軸承系統是否完全能控。由M=ctrb(A，B);rank(M)=8，可知系統完全能控，可以對極點進行任意配置。(2)假設一組期望極點為:P=［-100±2j，-50±10j，-30±10j，-25±5j］，通過極點配置函數K=place(A，B，P)求出對應的狀態反饋控制器。(3)將求出的控制器K帶入上述仿真系統，選取一組初始狀態，通過scope模塊觀看系統狀態響應曲線是否達到理想要求。如果控制效果未滿足預期，可以繼續調整期望極點，重復以上步驟進行調試，直至達到理想結果。

2．2基于LQR的狀態反饋最優控制仿真

LQR是現代控制理論中較為成熟的理論之一，其核心是求解一個控制器使得某一二次型目標函數J(t)極小化，851其選取如下:通過改變狀態量權值矩陣Q和控制輸入量權值矩陣R的取值，獲得不同目標函數，進而得到各種性能平衡下的最優性能。增大Q值，可以降低系統的位移偏差，增大R值，可以減少控制成本。具體設計過程如下:(1)基于上述計算可知，系統是完全能控的。(2)選取一組加權矩陣:Q=I，R=10I。通過MATLAB中的LQR函數K=lqr(A，B，Q，R)可以求出相應的狀態反饋控制器增益K。(3)將求出的控制器增益K帶入圖2仿真系統，選取一組初始狀態，通過scope模塊觀看系統狀態響應曲線是否達到理想要求。如果控制效果未滿足預期，可以繼續調整Q，R矩陣大小，重復以上步驟進行調試，直至達到理想結果。

2．3開放性探索研究

通過以上兩個部分控制方案的設計，學生們對于磁懸浮軸承系統的特性已經基本熟悉，對控制器的設計也有了較為全面的理解。控制理論歷經多年的發展，在經典控制和現在控制理論的基礎上，出現了越來越多的其他先進控制算法，如模糊控制［9］、魯棒控制［10］等，并且在實際工程中的應用效果也不斷提升。對于部分學習能力，鉆研精神強，且對控制理論感興趣的學生，可以嘗試在現有控制方案的基礎上，結合當前熱點控制方法，進一步提高控制系統性能。

3課程設計課時安排

課程設計計劃安排6課時，其中第一部分的教師講授課時與學生實踐課時分別為1課時和1．5課時;第二部分與第一分部相同;第三部分的教師講授課時與學生實踐課時都是0．5課時。對于探索性的第三部分，由于課時安排較少，學生可課后進行控制算法設計與系統仿真，根據實驗結果與老師做進一步探討。

4總結

通過研究磁懸浮軸承系統，可以驗證設計的控制方案能否有效控制一個不穩定系統，使其達到穩定狀態。借助于MATLAB等仿真工具，可以加深學生對現代控制理論中的一些基本概念與控制方法的理解與掌握。將基于磁懸浮軸承系統實驗教學的安排貫穿于整個理論課程的教學過程中，有助于解決《現代控制理論》教學中存在的“僅重視理論知識的講授，忽略工程方面的應用”的問題。與此同時，通過讓學生自己動手進行控制系統的設計，有助于培養和提高學生學以致用的能力，對提升自動化類人才工程實踐能力與創新探索能力具有重要實踐意義。

作者：嚴沈 顧洲 楊帆 單位：南京林業大學機械電子工程學院