昂利•彭加勒的研究論文

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朱爾•昂利•彭加勒(JulesHenriPoincaré，1854~1912)是法國著名的數學家、天文學家、物理學家和科學哲學家，他以其出眾的才華、淵博的學識、廣泛的研究和杰出的貢獻而遐邇聞名，贏得了同代人和后輩人的贊譽。英國數學家西勒維斯特(J．J．Sylvester)在1885年談到他對彭加勒的印象時說：“當我最近訪問彭加勒時，……在他的不可遏止的非凡智力面前，我的舌頭一開始就不聽使喚了，直到過了些時間(可能是兩三分鐘)，當我全神貫注地注視著他那充滿青春活力的儀容時，我才找到了說話的機會。”法國政治家、哲學家、航空學家和數學家保羅•潘勒韋(PaulPainlevé)稱彭加勒是“理性科學的活躍智囊”。美國著名科學史家，ISIS雜志創辦入薩頓(C.Sarton)在1910年的日記中表明，他試圖在大學找到職位之前，有意“成為昂利•彭加勒的學生，因為他是我們這個時代最有智慧的人物”。進化論創立者達爾文的兒子、英國數學家和天文學家喬治•達爾文爵土(SirGeorgeDarwin)在提到彭加勒對他的影響時說：“他必須是被看作是起統帥作用的天才人物——或者也許可以說，他是我的守護神?”

顯赫的彭加勒家族

130年前的4月29日，昂利•彭加勒出生在法國南希(Nancy)。他的祖父曾在拿破侖軍隊中供職，隸屬于圣康坦(SaintQuentin)部隊醫院。1817年，祖父在魯昂(Rouen)定居，并結婚成家，后有兩個兒子。大兒子萊昂•彭加勒(LéonPoincaré)生于1828年，他是一位第一流的生理學家兼醫生、南希醫科大學教授。二兒子安托萬•彭加勒(AntoinePoincaré)，曾升遷為國家道路橋梁部的檢查官。

萊昂的妻子是一個善良、機敏、聰明的女性，她生有一子一女，兒子就是后來成為偉大科學家的昂利•彭加勒。安托萬有兩個兒子：一個是昂利的堂弟雷蒙•彭加勒(RaymondPoincaré)，他曾于1911年、1922年和1928年幾度組閣，出任總理兼外交部長。1913年1月至1920年初，榮任法蘭西第三共和國第九屆總統。安托萬的另一個兒子呂西安•彭加勒(LucienPoincaré)是中等教育局局長，并在大學擔任高級行政職務。昂利就是這個顯赫的彭加勒家族中的成員。

據說，昂利不喜歡Poincaré這個姓。因為在法語中，Point是“點”的意思，而Carré是意為“正方形”或“平方”的名詞、形容詞。在這位著名的數學家看來，Poincaré意味著“點的平方”，這顯然是毫無意義的。可是，有人認為，Caré是quarré的后綴，法國古詩中有“揮起正方形的拳頭(poingquarté)……”這樣的句子，Poincaré這個姓也許由此而來。

走上生活之路

從彭加勒家族成員的顯赫名單中，人們也許會想，昂利•彭加勒可能會顯示出某些行政管理才能。可是出乎預料的是，他除在童年時代和妹妹以及其他小朋友作政治游戲時做過高官外，從未表現出這方面的能耐。在這些政治游戲中，他總是秉公辦事，合理待人，他的每一個伙伴都能從他的“衙門”獲取應得的報償。俗話說，從小看大，三歲看老。昂利•彭加勒后來沒有象雷蒙那樣成為一個顯赫一時的政治家，而成為一位誠實、正直、嚴肅的科學家。

昂利•彭加勒的童年是不幸的。在幼兒時，他的運動神經共濟官能就缺乏協調。他的兩手后來雖說都能寫字畫圖，但他的字、畫都不好看。乍看起來，他也沒有什么超人的天才，這可由一件趣聞佐證。當他后來被公認是他所處時代的第一流數學家時，他接受了比內(Binet，法國心理學家)試驗，結果他被斷定是一個笨人。由于在他的孩提時代，母親把全部心血傾注到子女的教育上，所以他的智力發展較快，很早就學會了講話，不過開始也不大順利，他思考得很快，而遲遲找不到要說的恰當詞語。

五歲時，白喉病把他折磨了整整九個月，從此留下了喉頭麻痹癥。這次疾病使得他長時期身體虛弱、缺乏自信。他無法和小伙伴們作粗野的游戲了，只好另找娛趣。

他的主要娛樂是讀書，在這個廣闊的天地里，他的天資通過鍛煉逐漸顯露出來。大約從七八歲時起，他對博物學發生了興趣，《大洪水前的地球》一書給他留下了深刻的印象。他讀書速度之快令人難以置信，而且過目不忘，往往能說出那頁那行講了些什么。他在自己的一生中都保持著這種視覺記憶(空間記憶)能力。他的時間記憶——以不可思議的準確性回憶往事一一能力也非常強。大多數數學家好像通常通過眼睛看來記憶公式和定理，彭加勒視力極差，他上課時看不到老師在黑板上寫的東西，也不好記筆記，全憑耳朵聽，這大大增進了他的聽覺記憶能力。到后來，他在頭腦中能夠完成復雜的數學運算，他能夠迅速地寫出一篇論文而無需大改。人們對此覺得不可理解，在他看來，這卻是自然而然的。這種“內在的眼睛”大大有益于他的工作，因為抽象的數學研究正需要豐富的想象和敏銳的直覺。

幼年的殘疾弄得他手指不大聽使喚，從而妨礙了實驗技巧的訓練。盡管他后來教過實驗物理課程，也掌握了一些實驗技能，但總的說來仍比較遜色，這也是他后來主要從事理論研究的原因。有人說，假使他在實驗科學方面和在理論科學方面的興趣一樣強烈的話，他也許會成為與牛頓相媲美的人。

彭加勒十分喜愛動物。他初次玩來復槍時，無意中射死了一只小鳥。他為此深感內疚，再也不愿摸槍支了(除在戰爭期間強制進行的軍事訓練而外)。九歲時，他寫了一篇出色的作文，法文老師認為，彭加勒的作文在形式和內容方面都有獨創性，它是一篇“小杰作”。這篇作文第一次表明彭加勒將來會成為一個有出息、有成就的人。

彭加勒在初等學校的學業成績是優秀的。但是他并沒有一天到晚爬在桌子上死啃書本，像其他孩子一樣，他也樂于游戲和玩耍。他喜歡跳舞，還自編自演過一出詩劇。功課對他來說就像呼吸一樣容易，他把許多時間用來娛樂和幫母親干活。從小時候起，彭加勒就具有“心不在焉”的性格：他每每忘記吃飯，幾乎從未記清他是否吃過早餐。這種性格直到成年也未改，比如離開旅館時，他有時便稀里糊涂地把房間的臺布、床單之類的小物件卷進自己的行李中。

在15歲前后，奇妙的數學緊緊地扣住了彭加勒的心弦。一開始，他就顯示出終生的怪癖：當他不停地來回踱步時，那正是在聚精會神地思考數學問題，只有徹底想好了，他才把結果記在紙上。他工作時，各種外界干擾對他來說毫無影響。有一次，一位芬蘭數學家長途跋涉到巴黎與彭加勒商討問題，當女仆告訴彭加勒有客來訪時，他似乎沒有聽到，還在繼續來回踱步，整整踱了三個鐘頭。

1870年，普法戰爭爆發了，當時彭加勒才16歲。他年幼體弱，沒有服兵役，可是也經受了風險。德國侵略者占領了他的家鄉南希，他在戰地巡回醫院協助父親工作。后來，他隨母親到阿蘭瑟(Arrancy)的外婆家去，他童年時代最幸福的日子就是在那里渡過的。阿蘭瑟位于圣普里瓦(SaintPrivat)戰場附近，母子三人忍饑挨餓，在滴水成冰的天氣里越過一個個淪為焦土的村鎮。到達目的地，映入他們眼簾的只是一片殘垣頹壁，侵略者的鐵蹄蹂躪了美好的家園。敵人的獸行促使彭加勒終生成為一名熱情的愛國主義者。但是，他從來也沒有把敵國的數學和敵國軍隊的野蠻行徑混同起來。正像埃爾米特(C．Hermite，法國數學家)沒有反對高斯(C．P．Gauss，德國數學家)一樣，彭加勒也從未敵視過庫默(E．Kummer，德國數學家)。可是，彭加勒的堂弟雷蒙卻迥然不同，每當他提起德國人時，總是伴隨著憎恨的尖叫聲。在戰爭期間，彭加勒為了聽懂德國兵的交談和閱讀德文報紙，他通過自學掌握了德語。

按照法國通常的習慣，彭加勒在17歲(1871年)進入專業訓練之前接受了首次學位(文學和理學學土)考試。在考數學時，他由于遲到而心神不安，連證明收斂幾何級數求和公式的簡單試題都作錯了。由于平時成績優秀，他還是在數學不及格的情況下通過了學位考試。主考人說：“彭加勒是一個例外，若是其他任何學生，無論如何也不會被錄取。”

他進入福雷斯(Forestry)學校學習，在沒有記一頁課堂筆記的情況下贏得了一次數學獎金，這使他的同學驚訝不已。他們以為彭加勒是個吊兒郎當的人，便鬧了個惡作劇，哄騙他代表四年級學生參加數學競賽，解一個十分難對付的數學題。彭加勒似乎沒有怎么思考就直接寫出了答案，然后揚長而去，那些垂頭喪氣的戲弄者還在納悶：“他究竟是怎樣作出來的?”在彭加勒的整個一生中，其他人經常詢問同樣的問題。的確，當一個數學難題擺在他面前時，他的答案就像剛剛離弦的箭一樣飛來。

1871年底，彭加勒進入高等工業學校深造。據說，在入學考試時，一位主考入得知彭加勒是“數學巨怪”，故意把考試推遲了三刻鐘，想用一個經過精心推敲的試題難倒他。結果，彭加勒回答得很出色，得到了最高分數。他盡管在數學上名列前茅，但體育成績很不好，繪畫得了零分。按當時的規定，零分意味著淘汰。主考人熟知他的情況，還是破例錄取了他。

彭加勒1875年從高等工業學校畢業，其時21歲。他接著到礦業學校學習，打算做一名工程師。他滿懷信心地攻讀工程技術課程，一有閑空，就勁頭十足地鉆研數學，并在微分方程一般解的問題上初露鋒芒。1878年，他向巴黎科學院提交了這個課題的“異乎尋常”的論文，為此于第二年8月1日得到了數學博土學位。

彭加勒并非命中注定要成為一個礦業工程師，但是在見習期間，他卻表現出一個真正的工程師的勇氣。在一次礦井爆炸時，他奮不顧身地沖進去營救16個遇難的同事，為此深得礦工們的信賴。然而，這個職業與他的志趣不相投，他又想作一個職業數學家。得到博士學位后不久(12月1日)，他應聘到卡昂(Caen)大學作數學分析教師。兩年后，他升遷到巴黎大學執教，講授力學和實驗物理學等課程。除了在歐洲參加科學會議和1904年應邀到美國圣路易斯博覽會講演外，他一生的其余時間都是在巴黎作為法國數學界乃至世界數學界的領袖而度過的。

堪與高斯媲美的大數學家

1789年的法國大革命推翻了成為社會發展桎梏的封建制度和專制政體，促進了科學的發

展，使法國在18世紀末和19世紀初取代英國，一躍而成為世界科學的中心。在這里，只需提一下拉格朗日，蒙日、拉普拉斯、傅里葉、柯西等著名數學家的名字就可想而知法國科學的盛況了。可是，由于啟蒙主義在德國的活躍和以普魯土為中心的各諸侯國的統一，德國在世界舞臺上嶄露頭角，后來居上，在19世紀后半期奪得了科學的主導權。盡管如此，由于彭加勒等人的繼往開來，仍使法國有能力自立于世界科學之林。彭加勒被認為是19世紀最后四分之一和本世紀初期的數學主宰，并且是對數學和它的應用具有全面知識的最后一個人。要知道，當時的許多數學分支都變成了封閉的體系，它們各有其特殊的術語和專門的研究方法，要同時跨越幾個領域實在不易，要作個通才，更是難上加難。可是，彭加勒就是這樣的通才，人們公認他是堪與高斯相媲美的大數學家。

在彭加勒出生后的第二年，高斯(1777~1855)就去世了。高斯是德國著名的數學家，被譽為“數學家之王”。他的研究遍及所有數學部門，也是非歐幾何學的創始人之一。可以說，19世紀數學的發展一開始就在數學巨人高斯身影的籠罩之下，而后來卻在同樣一位數學大師彭加勒的支配之中。他們兩人是最高意義上的廣博的數學家，并且都在物理學和天文學上做出了重要貢獻。事實上，彭加勒在數學的四個主要部門——算術、代數、幾何、分析——中的成就都是開創性的。洛夫(Love)在評價彭加勒時說過：“他的權威現在已被公認，他能夠進入所有時代最偉大的數學家行列之中，未來的幾代人將不可能修改這一論斷。”

彭加勒的首次成功是在微分方程理論方面。這項工作開始于1880年，其時他年方26歲。對于常微分方程的研究促使彭加勒從事超越函數新類系——自守函數——的探討，自守函數是橢圓函數的推廣。彭加勒把自己發現的一類自守函數命名為富克斯函數。克萊因(F．Klein)倒是考慮了富克斯函數，但富克斯(L．Fuchs)卻沒有考慮過，為此克萊因就優先權問題向彭加勒提出了抗議。彭加勒的回答是把自己緊接著發現的一類自守函數命名為克萊因函數，因為這類函數正像有人所幽默地注視到的，克萊因也從未想到過。

1884年，彭加勒在《數學學報》前五卷發表了關于自守函數的五篇重要論文，這一劃時代的發現使不到30歲的彭加勒聞名于世。從此，他一生事業的魔杖被抓住了，阿拉丁的神燈被擦亮了。可是，當這組論文的第一篇發表時，克隆尼克(L．Kronecker)卻警告編輯說，這篇不成熟的和隱晦的論文會把期刊扼殺掉。

自守函數的研究和微分方程定性理論的研究一樣，促使彭加勒重視拓撲學。1887年，33歲的彭加勒被選人巴黎科學院，像這樣年輕的新人進入科學院實屬罕見。大多數數學家在簽署意見時認為，“彭加勒的工作成就超過了通常的贊揚，這必然使我們想起雅可畢(C．C．J．Jacobi)描述阿貝爾(N．Abe)的情況——他解決了在他之前未曾設想過的問題。事實上必須承認，由于橢圓函數的成功，我們正在目睹數學領域里的一次革命，這次革命在每一個方面都可以和半個世紀前出現的革命相比較。”

彭加勒說過，數學家具有兩種截然相反的傾向。有的人具有不斷擴張版圖的興趣，在攻克某個難題后，便拋開這個問題，急著出發進行新的遠征。另外的人則專心致志地圍繞著這個問題，從中引出所有能夠引出的結果。前者像一個乘汽車的旅行家，后者則象一個徒步游客。彭加勒本人就是這樣一個在數學新版圖上乘車馳騁的旅行家。法國數學家、彭加勒的傳記作家達布(G．Darboux)談到彭加勒這一特點時說：“他一旦達到絕頂，便不走回頭路。他樂于迎擊困難，而把沿著既定的寬闊大道前進、肯定更容易到達終點的工作留給他人。”彭加勒屬于庫恩所說的發散式思維的科學家，對于一個科學開拓者來說，這的確是不可或缺的素質。

就這樣，彭加勒接二連三地出擊，雄心勃勃地進行新的征服。在函數論方面，他的每個貢獻都是拓廣的領域的出發點，他在1883年的一個結果導致了整函數和亞純函數的龐大理論，該理論在80年之后仍未窮竭。他對阿貝爾函數和代數幾何學也十分感興趣。從1881年到1911年，他就這個課題寫的論文和自守函數的一樣多，他的一些證明方法在1965年之前還未有人超過，這些方法在其他現代問題上也有價值，看來其有效性還遠未挖盡。在數論領域，他給出了整數型虧格的第一個普遍定義，給出“秩”(rank)的概念，這個概念的許多問題仍未得到解答，更深入地鉆研他的論文也許會導致新的結果。關于代數學，他研究了次數≥3的算術理論、非交換代數、包絡代數，發現了李代數中的基本定理：彭加勒-柏克霍夫-維特定理。微分方程及其在動力學上的應用顯然處于彭加勒數學思想的中心地位，他幾乎每年都要發表這個課題的論文。在這方面最突出的貢獻是微分方程定性理論，其中許多都是前人未曾觸及到的。關于代數拓撲學，他從1894年開始研究，在十年內發表了六篇奠基性的論文。他定義了貝蒂數，發明了單形的同調論的一整套方法，推廣了歐拉多面體定理(現稱歐拉-彭加勒公式)，提出了流形同調的著名的對偶定理，引進了撓率概念。有人正確地說過，直到1933年發現高階同倫群之前，代數拓撲學的發展完全基于彭加勒的思想和方法。在關于概率論的大量論著中，他最先使用了“遍歷性”的概念，這成為統計力學的基礎。他在數學基礎等領域也作了許多工作。盡管如此，彭加勒并不十分滿意他已有的成果，他甚至說過，他從來沒有發表過一篇既不后悔它的內容、也不后悔它的形式的論文。

在數學哲學方面，彭加勒在發現了邏輯悖論的情況下復活了直覺主義，并且形成了廣泛的運動，他的立場使他成為數學直覺主義學派的先驅。他批判了羅素、皮亞諾(G．Peano)等人為代表的邏輯主義和以希爾伯特等人為代表的形式主義，但也不是完全排斥它們。他極力主張，如果不求助于直覺，要從已經接受的邏輯原理推導出全部數學真理是不可能的。他多次強調直覺在數學發明中的重大作用。他說，對于純粹數學家而言，直覺本領是必不可少的。邏輯用于論證，直覺用于發明。知道如何批判固然不錯，知道如何創造當然更好。數學創造并不在于用已知的數學實在構成新的組合。任何一個人都會做出組合，但是這種組合的數目是無限的，它們中的大多數毫無意義。創造恰恰在于不作無用的組合，而作有用的、為數極少的組合。發明就是辨認和選擇。可是，你如果沒有在所有組合中選擇的技巧，就無法辨認一個組合是否正確。邏輯可以告訴我們走這條路或那條路保證不遇見任何障礙，但是它不能告訴我們那一條路能引導我們到達目的地。為此，必須從遠處了望目標，教導我們了望的本領是直覺。沒有直覺，數學家便會像這樣一個作家：他只是按語法寫詩，但卻毫無思想。彭加勒還形象地比喻了專注于邏輯和受直覺指引這樣兩種截然相反的思想類型。他說前者“步步進逼，效法符邦(Vauban)，挖壕筑壘，穩扎穩打，沒有給機遇留下任何余地”；而后者“象勇敢的前衛騎兵，迅猛出擊，以速制勝，但有時也要冒幾分風險”。在科學的疆場上，彭加勒這位直覺主義者正是扮演了沖鋒陷陣的“前衛騎兵”。

彭加勒認為，整數是不可定義的，整個數學的基礎是數學歸納原理，它的可靠性被直覺地認可，也就是說，是綜合的、先驗的。他嘲笑羅素在《數學原理》(1903年)中把1定義為α{x•α＝i’x}，他說，對于從未聽說過數目1的人來說，這是一個“令人贊嘆的”定義。

彭加勒認為，數學創造的產生是一個使心理學家十分感興趣的問題，它是人類思想似乎從外面所得最少的能動性，通過了解這一過程，我們有希望達到人類精神的最基本之處。他說：“潛在的自我無論如何也不比自覺的自我低下，它不是純粹自動的，它能夠辨認，它機智、敏銳，它知道如何選擇、如何憑直覺推測。”他通過自己發現富克斯函數的經歷，詳細地說明了這個問題。他說他怎樣在冥思苦想、一無所獲的情況下，晚上偶爾喝了黑咖啡，久久不能入睡，構成了穩定的結合。他說他在地質旅行時，腳踩上汽車踏板的一剎那，一種想法突然闖入心頭。他說他在海邊的懸巖邊散步，是怎樣突然頓悟的。他說他沿大街散步時，一個相當困難的問題怎樣霎時呈現在他的面前。彭加勒總結了這種無意識工作的條件：“如果—方面有意識的工作在它之前，另一方面又被有意識的工作尾隨其后，那么這就是可能的，而且肯定是富有成果的。”

開辟了理論天文學的新紀元

自牛頓以來，天文學向數學家提出了許多問題。直到19世紀之前，天文學家在處理天文學問題時所用的武器實際上是牛頓、歐拉、拉格朗日和拉普拉斯所發明的武器的改良。但是，從19世紀開始，柯西發展了復變函數論，他本人和其他人對無窮級數收斂問題進行了研究，天文學的武庫通過數學家的努力正在擴充起來。對于彭加勒來說，他很自然地想到自己的解析學，他把這種從未運用過的數學新武器用來進攻天文學。他所發動的戰役在當時是如此地現代化，以致在40多年后，還沒有幾個人能夠掌握他的銳利武器。

在19世紀，法國在理論物理學和其他學科方面失去了霸主地位，但在理論天文學方面仍然領先一步。彭加勒是這一光榮傳統的繼承人，他站在他的同胞克萊勞(A.Clairaut)、拉普拉斯、勒維烈(U．LeVerrier)這些天文學巨人的肩上，當然會看得更遠一些。他的主要工作有三個方面：旋轉流體的平衡形狀(1885年)，太陽系的穩定性即n體問題(1899年)，太陽系的起源(1911年)。

彭加勒對第一個問題的興趣是被威廉•湯姆孫和泰特(P．G．Tait)的《論自然哲學》一書中的一節激起的。此外，他在講授流體力學時也對標準教材中關于旋轉流體的處理感到不滿。

彭加勒在1885年發表的長篇論文中討論了由雅科畢橢球體派生出來的、角動量漸增的新體系的平衡形狀，這種形狀后來稱為梨形。彭加勒認為，這種體系演化的下一個階段可能是一大一小彼此繞著旋轉的兩個天體的平衡狀態，該假設肯定不能用于太陽系，某些雙星必然會呈現出這樣的過渡形式。后來，俄國數學家李亞普諾夫(A.M．Lyapunov)和英國天文學家金斯(J．Jeans)分別在1905年和1915年證明，梨形是不穩定的。當然，現在有些人不再相信，彭加勒的梨形能在宇宙演化中起任何作用。但是，至今仍然有人研究，流質經過旋轉不穩定后發生的分裂可能導致形成雙星體系，甚至有人認為地球也是梨形，因而彭加勒處理問題的一般方法也許可能再度得勢。

彭加勒在天文學上的最大成功表現在對“n體問題”的處理上，這是瑞典國王奧斯卡二世(OscarⅡ)在1887年提出的懸賞問題。設n個質點以任意方式分布在空間中，所有質點的質量、初始運動和相互距離在給定的時刻假定都是已知的。如果它們之間按照牛頓萬有引力定律相吸引，那么在任何時刻，它們的位置和運動(速度)怎樣呢?對于數學天文學來說，一群星系中的每個恒星都可以視為這樣的質點，于是n體問題就相當于今后天空的情況將是什么樣子，假使我們有足夠的觀察資料描述目前天空的普遍結構的話。顯然，這個天文學問題不僅具有數學特色，而且具有物理學特色。關于“兩體問題”(n＝2)，已被牛頓完滿地解決了。著名的“三體問題”(n＝3)后來受到人們的注意，因為地球、月亮和太陽就是三體問題的典型例子。自歐拉以來，人們把它視為整個數學領域最困難的問題之一。從數學上講，該問題歸結為解九個聯立微分方程組(每個都是線性二階的)。拉格朗日成功地把這個問題加以簡化，可是其解即使存在，也不能用有限個項來表示，而是一個無窮級數。如果級數在形式上滿足方程組，并且對于變數的某些值收斂，那么解將存在。彭加勒在他1889年的論文中提出了一種新的強有力的技巧，其中包括漸近展開和積分不變性，并且在微分方程的接近奇點附近的積分曲線行為方面做出了根本性的發現。

盡管彭加勒沒有解決n體問題，但在三體問題上卻獲得了明顯的突破，因此評審團還是把奧斯卡獎——2500瑞典克朗和金質獎章——授予他。法國政府不顧瑞典國王的阻攔，也授予彭加勒憲兵團榮譽騎士的稱號。彭加勒在寫給奧斯卡獎評審團的信中說：“你們可以告訴你們的君主，這項工作不能看作是對所提出的問題提供了完美的答案，然而它具有這樣的意義：它的公布將在天體力學上開創一個新時代。因此，陛下所期望的公開競賽的結果可以認為是達到了。”

彭加勒在數學天文學方面的早期工作匯集在他的專題巨著《天體力學的新方法》(三卷本，1892、1893、1899年)中。接著該書出版的是1905~1910年出版的另外三卷著作《天體力學教程》，它具有更為實用的性質。稍后又有講演集《流體質量平衡的計算》和一本歷史-批判著作《論宇宙假設》。

彭加勒的傳記作者達布斷言(他的觀點受到許多人的支持)：這些著作中的頭一部事實上開辟了天體力學的新紀元，它可與拉普拉斯的《天體力學》和達朗貝爾(D.D’Alembert)關于二分點歲差的工作相媲美。喬治•達爾文爵士在評論《天體力學的新方法》》時說：“很可能，在即將來臨的個半世紀內，一般研究人員將會從這座礦山發掘他們的寶藏。”達布在評價彭加勒的這些工作時寫道：“在50年間，我們生活在著名德國數學家的定理上，我們從各個角度應用并研究它們，但是沒有添加任何基本的東西。正是彭加勒，第一個粉碎了這個似乎是包容一切的僵硬的理論框架，設計出展望外部世界的新窗戶。”

彭加勒的《論宇宙假設》普遍地被這個領域的研究者看作是經典的，書中對建立在拉普拉斯星云說上的模型的性質作了全面的分析和認真的嘗試。這本書作為回顧太陽系起源的各種理論，即使在今天也值得一讀，但是由于忽略了20世紀初其他天文學家提出的一些理論，因而有某些不足之處。彭加勒關于宇宙演化的觀點是19世紀末有代表性的，真實世界的進程是漸變的，不可逆的，不連續的變化也明顯地發生，但只是在確實需要時才發生，而且不是以大變動的形式。這種觀點顯然與今天流行的“大爆炸”宇宙學格格不入。

像一個直覺主義者所作的那樣，彭加勒在天文學研究中的不少工作與其說是定量的，還不如說是定性的，這種特點導致他研究分析學。在這方面，他發表了六篇著名的論文，使該課題起了革命性的變革。分析學方面的工作又轉而順利地應用到天文學的數學之中。

通過研究天文學，彭加勒深深體會到：“天文學是有用的，因為它能使我們超然自立于我們自身之上，它是有用的，因為它是宏偉的，這就是我要說的。天文學向我們表明，人的軀體是何等渺小，而人的精神又是何等偉大，因為人們的理性能夠包容星辰燦爛、茫無際涯的宇宙，并且享受到它的無聲的和諧，在它那里，人的軀體只不過是滄海之一粟而已。于是我們意識到我們的能力，這是一種花費越多收效越大的事業，由于這種意識能使我們更加堅強有力。”彭加勒意味深長地說：“星星不僅發出可見光，射入我們的眼睛，而且它們也向我們發出一種極為微妙的光，照亮我們的精神。”

作為相對論先驅的理論物理學家

彭加勒講授物理學達20年以上，他以特有的求全性和充沛的精力完成這項任務，結果使得他成為理論物理學所有分支的專家，發表了不同論題的文章和書籍達70種以上，其中特別偏好光和電磁理論。他研究了三維連續統的振幅，弄清了許多導熱問題，以及勢論方面的電磁振蕩問題，論證了狄利克雷原理。

說實在的，在物理學方面，彭加勒的運氣并不怎么好。為了使他的才能得到體現，他應該晚生30年或多活20年。恰恰在經典物理學進入它的衰老期時，他卻處于精力充沛的時期；當物理學重新煥發青春——以普朗克1900年量子論的提出和愛因斯坦1905年狹義相對論論文“論動體的電動力學”的發表為標志——之時，他的頭腦卻被19世紀的經典理論所充塞，以致于在他逝世前，他幾乎沒有多少時間消化那些令人驚奇的新事物。盡管如此，他還是在物理學革命的三個領域中作出了重要貢獻。鑒于這個問題作者已有專文敘述，此處只扼要地介紹一下。

1895年底，德國物理學家倫琴在維爾茨堡大學實驗室發現了X射線，這一發現在西方科學界引起很大的轟動。倫琴當即把關于發現X射線通報的印刷品寄給了一些同行，其中包括彭加勒。彭加勒曾參與過陰極射線本性的爭論，力圖證明它們是由粒子構成的。倫琴的發現對彭加勒的激勵比對其他任何法國科學家都要大。

彭加勒是科學院的成員，有參加科學院周會的習慣。在1896年1月20日的周會上，他展示了倫琴寄給他的第一張X射線照片。當他的科學院同事貝克勒耳問他，射線從管子的哪部分發出時，他回答說，射線似乎是從管子中與陰極相對的區域發出的，在這個區域，玻璃變得發熒光了。貝克勒耳立即想到，X射線可能和熒光有關，第二天就開始試驗熒光物質是否會發出X射線，他在幾周內進行了一系列實驗，從而導致了放射性的發現。放射性的發現又引起連鎖反應，促使居里夫人發現了放射性更強的新元素釙和鐳。彭加勒對這些新發現滿腔熱忱，他把鐳甚至譽為“當代偉大的革命家”，他看到了科學的巨大革命力量。

彭加勒和洛倫茲一樣，也是相對論的先驅。早在愛因斯坦之前，他就提出了建造相對論的一切必需的材料(相對性原理和光速不變原理)。

在1895年，彭加勒就對當時以太漂移實驗的研究狀況表示不滿。他雖然認為洛倫茲理論是現有理論中最好的，但對洛倫茲針對每一個實驗事實都要引入孤立的假設的作法進行了批評。他極力強調，人們應該針對以太漂移實驗的零結果引入一個更為普遍的觀點。這時他已意識到：“不可能測出有重物質的絕對運動，或者更明確地說，不可能測出有重物質相對于以太的相對運動。人們所能提供的一切證據就是有重物質相對于有重物質的運動。”1904年9月，在美國圣路易斯國際技術和科學會議的講演中，他完整地提出了相對性原理，并把它作為物理學六個普遍原理之一列舉出來。他說：“根據這個原理，物理現象的定律應該是相同的，不管觀察者處于靜止還是處于勻速直線運動。于是我們沒有、也不可能有任何手段來辨別我們是否作這樣一種運動。”

在彭加勒1898年發表的“時間的測量”一文中，他首次提出了光速在真空中不變的公設。他寫道，光速不變是一個公設，沒有這個公設，就無法測量光速。他認為，我們無論對于同時或兩個時間間隔的相等均不能有直覺，我們自信有此直覺只不過是幻想而已。在1902年出版的《科學與假設》中，他再次強調了他的觀點：“絕對空間是沒有的，我們所理解的只不過是相對運動而已”，“絕對時間是沒有的，所謂兩個歷時相等，本身只是一種毫無意義的斷語”；“不僅我們沒有兩個相等的時間的直覺，而且也沒有發生在不同地點的兩個事件同時性的直覺。”彭加勒在1904年圣路易斯的講演中甚至驚人地預見了新力學的大致圖景：“……慣性隨速度而增加，光速會變為不可逾越的極限。原來的力學依然保持一級近似，……”

饒有興味的是，彭加勒在1905年還詳細地討論了利用光信號使時鐘同步的問題。彭加勒的討論不完全等價于愛因斯坦的描述，因為彭加勒在這里安排了兩個觀察者而不是一個觀察者，然而他也得出相同的結果。彭加勒沒有達到相對論，除了科學上的原因之外，也有認識論方面的原因。國外學者認為，這是由于他未能把他的約定主義貫徹到底—一在理論上他是一位約定論者，在實踐上他卻是一位經驗論者。

彭加勒對量子論的發展也有過貢獻，我們將在下面敘述。不用說，彭加勒也有失誤，例如在世紀之交關于原子實在性的爭論中，他對原子論持中立態度。但是，當有了確鑿的實驗證據后，他公開修正了自己的觀點。這種態度是光明磊落的。

邏輯經驗主義的始祖之一

彭加勒對科學和數學的哲學意義一直興味盎然，但只是在本世紀初，當他作為一個專門數學家的偉大形象被牢固地樹立起來之后，才喚起了他對非專業領域的附帶熱情。他于1902、1905、1908年先后出版了《科學與假設》、《科學的價值》》和《科學與方法》三本書，它們既是暢銷一時的科學哲學著作，也是內容豐富、語言優美的科普讀物。在那些年代，經常可以看到工人和店員們在巴黎的公園和咖啡館貪婪地閱讀彭加勒的通俗著作，盡管這些書籍印刷低劣，封面破舊。在法國的圖書館或閱覽室，彭加勒的書都用手指翻臟了，顯然有許多人借閱過。這些書被譯成英、德、俄、西班牙、匈牙利、瑞典、日，中等文字，幾乎傳遍了整個文明世界。由于他的文字才華，彭加勒得到了一個法國作家所能得到的最高榮譽。人們稱他為“法國的散文大師”，文學研究院接納他為會員。一些妒忌心強的小說家心懷不滿地散布說，彭加勒作為科學家能夠獲得這種獨一無二的榮譽，是因為文學研究院經常要編輯權威性的法語字典，興趣廣泛的彭加勒顯然能在工作中幫助文學研究院的詩人和語法學家，告訴他們自守函數是什么。但是眾人卻公正地認為，彭加勒已經得到的榮譽并不比他應該得到的多。

彭加勒在科學哲學上繼承了馬赫和赫茲的傳統，并汲取了康德的一些思想，他的思想顯然受到數學研究的影響。他有些接近馬赫主義，但并不是一個徹頭徹尾的馬赫主義者，他被認為是邏輯經驗主義的始祖之一。愛因斯坦稱他是“敏銳的深刻的思想家”。

在《科學與假設》中，彭加勒堅持“實驗是真理的唯一源泉”，明確表示了他的經驗主義的哲學立場。從這種立場出發，他仿效馬赫，批判了經典力學的一些基本概念和原理。但是他不像馬赫那樣僅從哲學和邏輯的角度進行批判，他還依據了當時的一些實驗事實，而且批判矛頭也涉及到經典物理學。他強調假設在科學中不僅是必要的，而且是合理的，并把假設分為三類——極其自然的假設，中性假設和真正的推廣——進行論述，并指出假設要經常經受檢驗和不可濫用假設。彭加勒對科學的統一性和簡單性也很感興趣。他認為科學正在走向簡單和統一的道路，其原因在于科學家對自然界的統一性和簡單性具有堅定的信念。關于自然界的統一性，這是不成問題的，至于自然界的簡單性，卻不是一個容易解答的問題，不過人們可以把它看作如此而無危險。在該書中，彭加勒通過對非歐幾何學的分析提出了約定主義哲學。他認為約定是我們精神自由活動的產品，但是自由并非任意之謂。約定主義是彭加勒的創造，它后來和馬赫的經驗主義成為邏輯經驗主義興起的哲學基礎。值得注意的是，愛因斯坦在“奧林比亞科學院”時期讀過《科學與假設》，該書給他以極強烈的印象，愛因斯坦后來的某些科學哲學思想可能淵源于此。

《科學的價值》引人注目的有三點。其一是關于物理學危機的論述。彭加勒通過對物理學歷史和現狀的考察指出，物理學已處于危機之中，這種危機是好事而不是壞事，它能加速物理學的改造，是物理學革命的前兆。其二是比較系統地闡述了他的科學觀。他認為科學是一種分類方法和關系體系，科學的發展的非直線的、無止境的，科學走向統一和簡單的道路，科學的基本原理具有極高的價值，并倡導“為科學而科學”。其三是毫不隱晦地表白了他的唯心主義哲學前提。

《科學與方法》分為“科學與科學家”，“數學推理”、“新力學”和“天文學”四部分。使人感興趣的是第一部分，這部分除論述了科學創造的心理學外，還集中論述了科學美。在彭加勒看來，科學美是潛藏于自然的感性美之后的理性美，而理性美要由具有理性的人去把握，因而科學美必然帶有濃厚的主觀色彩。他用“雅致”、“和諧”、“對稱”、“平衡”、“秩序”、“統一”、“方法的簡單性”、“思維經濟”等詞語來描述科學美的特征。彭加勒不僅把科學美作為選擇事實和理論的一個標準，而且認為科學美也是激勵科學家進行科學研究的持續動力。他這樣說過：“一個科學家，尤其是一個數學家，他在工作中體驗到和藝術家相同的印象，他的樂趣像藝術家的樂趣那樣大，而且具有相同的性質。”

在彭加勒逝世后的第二年，還出版了他的一本科學哲學著作《最后的沉思》(1913年)，該書是由勒邦(G．LeBon)集其遺著編輯而成的。該書由九個短篇組成，其內容涉及到規律的進化、空間和時間、數學和邏輯、量子論、物質與以太的關系、倫理學和科學等。關于科學和倫理學的關系問題，其他三本書基本上沒有涉及。彭加勒認為，科學能在道德教育中起十分有用和十分重要的作用，科學能促使我們以特殊利益服從普遍利益，能把人們改造成為具有英雄主義行為和獻身精神的人。

彭加勒的科學哲學思想中包含著唯心主義的糟粕，但也不乏閃光的珍珠，值得人們探討、發掘。作者曾就彭加勒的哲學傾向、科學觀、方法論等寫過幾篇文章，此處不擬贅述。

為追求真理奮斗到最后一息

彭加勒說：“熱愛真理是偉大的事情”，“唯有真理才是美的”，“追求真理應該是我們活動的唯一目標，這才是活動的唯一價值”。彭加勒言行一致，為追求真理，他一直奮斗到生命的最后一息。

彭加勒富有創造力的時期是從1878年的博士論文開始的，在短暫的34年科學生涯中，他卻寫出了將近500篇論文和30本科學專著，這些論著囊括了數學、物理學和天文學的許多分支。當我們考慮到那些開創性工作的重重困難時，不能不欽佩他高度的創造性和堅忍不拔的毅力。由于他的杰出貢獻，他贏得了法國政府所能給予的一切榮譽，也受到英國、俄國、瑞典、匈牙利等國政府的獎賞。

進入20世紀，彭加勒的聲望急劇地增長。1906年，他當選為巴黎科學院主席，1908年，他被選為法國科學院院士，這是一個法國科學家所能達到的最高地位。當時，他蜚聲國際學術界，受到同行們的稱頌，一些有志干一番事業的年輕人都想拜他為師。特別是在法國，他被視為大智者，他在各種問題——從科學到哲學，從政治到倫理——上的見解總是直率的、明快的，被公眾當作決定性的意見而接受。

在最后的四年中，除了惱人的疾病期外，彭加勒的生活總的來說是安定的、幸福的。他有一個美滿的小家庭，溫厚的賢妻、一個兒子和三個女兒。他喜歡他的子女，特別是當他們還是小孩子的時候。他也愛好交響樂。

可是，彭加勒既沒有沉湎于小家庭的脈脈溫情，更沒有躺在榮譽和地位上高枕而臥。他說：“經驗并非一切，而且學者也不是被動的，他沒有等待真理跑來找他，或者期待真理碰到他鼻子尖上的機會。他必須去迎接真理，正是他的思考向他揭示出通向真理的道路”。作為一個永不滿足、永遠進擊的學者，他忘我地向新的未知版圖挺進。在生命的最后征途上，他依然留下堅實的足跡。

在1908年的羅馬國際數學會議上，彭加勒因病未能宣讀激動人心的講演：“數學物理學的未來”。他的病是前列腺腫大，意大利的外科醫生為他作了手術，這似乎可以看作是痊愈了。回到巴黎后，他像以往那樣不知疲倦地工作著。但是到1911年，他覺得自己身體不適，精力減退，他說他在世上的日子不會長了。可是，他不愿放下手頭的工作去休息，他頭腦蘊育的新思想太多了，他不愿讓它們和自己一塊葬入墳墓。

1911年10月30日至11月3日，彭加勒應邀參加了在布魯塞爾召開的第一屆索耳未會議，歐洲21位最著名的科學家出席了會議，會議的中心議題是“輻射理論和量子”。在這之前不久，彭加勒對量子論是完全陌生的，通過參加會議，他變成新理論的倡導者和發展者，從而在量子論的歷史上留下了光輝的一頁。洛倫茲后來回憶說，彭加勒在討論中表現出“他的思想的全部活力和洞察力，人們佩服他精力充沛地進入那些對他來說是全新的物理學問題的才干。”

從布魯塞爾返回巴黎后，奇異的量子使彭加勒難以安靜下來。在生命的最后時刻里，他完全沉浸在這個奇妙的世界里，他以難以置信的毅力和速度從事這項困難的研究。1911年12月4日，即布魯塞爾會議結束后一個月，彭加勒向科學院提交了關于量子論的長篇論文的縮寫本（全文發表在1912年1月的《物理學雜志))上)。他在文章中指出，量子論并不是相對論的擴展，新的沖擊比過去的沖擊更為使人倉皇失措，這無疑是自牛頓以來自然哲學所經歷的最偉大最深遠的革命。這篇論文的思想在英國物理學界引起很大的反響。

與此同時，彭加勒還在思考一個新的數學定理，這就是把狹義三體問題的周期解的存在問題歸結為平面的連續變換在某些條件下不動點的存在問題，這可能是分析中根據代數拓撲學所做出的存在性證明的第一個例子。他感到自己沒有時間和精力來證明這個定理了，于是在1911年12月9日一反通常的習慣，寫信給《數學雜志》的編輯，詢問是否能接受一篇未經深究和修改的專題論文。他在信中寫道：“……在我有生之日，我無法解決它們了。不過，它們的最后結果能夠把研究引向新的、未曾料到的路線上，在我看來，它們似乎具有十分充分的發展前途。不管它們使我遭到什么蒙騙，我仍將順從地把它們奉獻出來。……”在彭加勒的這一“未完成的交響樂”發表后不久，所需要的證明由美國年輕的數學家伯克霍夫(G．D．Birkhoff)在幾個月之后給出了。

1912年春，彭加勒再次患病，可是他還是頑強地奮斗著。同年4月，在法國物理學會的一次講演中，他又談到量子論問題，他要求人們不要為推翻根深蒂固的舊見解而煩惱。就在當月公開發表的一篇評述性文章中，他再次強調：“把不連續性引入自然定律”，“這樣一個非同尋常的觀點能夠成立”。他依次討論了熱力學和幾率、輻射定律、能量量子、作用量子、普朗克的新理論等。他寫道，盡管量子假設面臨著一些困難，我們也必須拯救它，否則我們就不會有可供建筑的基礎了。他對普朗克的“倒退”感到困惑，認為“堅持最初的觀點是比較合適的”。彭加勒猜想，宇宙萬物象電子一樣，都應當經歷量子躍遷。由于在普遍的躍遷之間的不運動狀態內具有無法區分的瞬時，因此必然存在著“時間原子”(atomoftime)。這就是逝世前幾個月，彭加勒在頭腦中醞釀的大膽思想。

臨終前三周，即1912年6月26日，彭加勒抱病在法國道德教育聯盟成立大會上發表了最后一次公開講演。他說：“人生就是持續的斗爭”，“如果我們偶爾享受到相對的寧靜，那正是我們先輩頑強地進行了斗爭。假使我們的精力、我們的警惕松懈片刻，我們就將失去先輩為我們贏得的斗爭成果。”他還指出：“強求一律就是死亡，因為它對一切進步都是一扇緊閉著的大門；而且所有的強制都是毫無成果的和令人憎惡的。”彭加勒本人的一生就是自由思考、持續斗爭的一生。

7月9日，醫生為彭加勒施行了第二次前列腺手術，手術是成功的。7月17日，他在穿衣時因栓子(堵塞血管使血管發生栓塞的物質)而十分突然地去世了。他僅僅活了58歲，這正是他的能力的高峰時期。

在茫茫的夜空中，一顆“智多星”隕落了：這顆“智多星”發出了他所能發出的熠熠光亮，給人類帶來了一線光明，即使在墜入大地時，也要把最后一道余光毫無保留地奉獻出來。彭加勒的所作所為，得到了能夠鑒賞他的成就的人的贊譽。據說有這樣一件軼事。在第一次世界大戰期間，一些英國軍官問他們國家的大數學家和大哲學家羅素：“誰是當代最偉大的人?”羅素不加思索的回答：“彭加勒!”“噢，是那個人I”這些對科學一竅不通的軍官以為羅素指的是法國總統雷蒙•彭加勒，一個個興奮得呼叫起來。當羅素得知呼叫的緣由時，便解釋道：“我指的不是雷蒙•彭加勒，而是他的堂兄昂利•彭加勒。”

可是，彭加勒也曾被一些人所誤解，蒙受了不白之冤。長期以來，在蘇聯、東歐、日本和我國出版的許多書刊中，他竟被描繪成在科學史上“興風作浪”的反面人物。當我們用事實拭去抹在他臉上的油彩和塵埃時，難道不應當作一點歷史的沉思嗎?

主要參考文獻

[1]H.Poincaré，TheFoundationsofScience，AuthorizedTranslationbyG.B.Halsted，TheSciencePress，NewYorkandGarrison，N.Y.,1913.

[2]H.Poincaré，MathemalicsandScience：LastEssays，TranslatedbyTohn.W.Bolduc，DorerPublications，Inc，NewYork，1963.

[3]彭加勒(H.Poincaré)；《科學家と詩人》，平林初之輔訳，巖波書店，1927.

[4]E.T.Bell,MenofMathematics,DoverPublicationsPress,NewYork,1937.

[5]本多修郎：《現代物理學者の生と哲學》，未來社，1981年，pp.30~43.

[6]《科學與哲學》(研究資料)，1981年，第1、2期，第52~74頁，1982年，第52~72頁。