微函數優化算法研究論文

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1引言

不可微非線性函數優化問題具有廣泛的工程和應用背景，如結構設計中使得結構內最大應力最小而歸結為極大極小優化（minmax）問題、數據魯棒性擬合中采取最小絕對值準則建立失擬函數等。其求解方法的研究越來越受到人們的重視，常用的算法有模式搜索法、單純形法、Powell方法等，但是這些方法都是局部優化方法，優化結果與初值有關。

近年來，由Holland研究自然現象與人工系統的自適應行為時，借鑒“優勝劣汰”的生物進化與遺傳思想而首先提出的遺傳算法，是一種較為有效的求不可微非線性函數全局最優解的方法。以遺傳算法為代表的進化算法發展很快，在各種問題的求解與應用中展現了其特點和魅力，但是其理論基礎還不完善，在理論和應用上暴露出諸多不足和缺陷，如存在收斂速度慢且存在早熟收斂問題[1,2]。為克服這一問題，早在1989年Goldberg就提出混合方法的框架[2]，把GA與傳統的、基于知識的啟發式搜索技術相結合，來改善基本遺傳算法的局部搜索能力，使遺傳算法離開早熟收斂狀態而繼續接近全局最優解。近來，文獻[3]和[4]在總結分析已有發展成果的基礎上，均指出充分利用遺傳算法的大范圍搜索性能，與快速收斂的局部優化方法結合構成新的全局優化方法，是目前有待集中研究的問題之一，這種混合策略可以從根本上提高遺傳算法計算性能。文獻[5]采用牛頓－萊佛森法和遺傳算法進行雜交求解旅行商問題，文獻[6]把最速下降法與遺傳算法相結合來求解連續可微函數優化問題，均取得良好的計算效果，但是不適于不可微函數優化問題。

本文提出把Powell方法融入浮點編碼遺傳算法，把Powell方法作為與選擇、交叉、變異平行的一個算子，構成適于求解不可微函數優化問題的混合遺傳算法，該方法可以較好解決遺傳算法的早熟收斂問題。數值算例對混合方法的有效性進行了驗證。

2混合遺傳算法

編碼是遺傳算法應用中的首要問題，與二進制編碼比較，由于浮點編碼遺傳算法有精度高，便于大空間搜索的優點，浮點編碼越來越受到重視[7]。考慮非線性不可微函數優化問題(1)，式中為變量個數，、分別是第個變量的下界和上界。把Powell方法嵌入到浮點編碼遺傳算法中，得到求解問題(1)如下混合遺傳算法：

min(1)

step1給遺傳算法參數賦值。這些參數包括種群規模m，變量個數n，交叉概率pc、變異概率pm，進行Powell搜索的概率pPowell和遺傳計算所允許的最大代數T。

Step2隨機產生初始群體，并計算其適應值。首先第i個個體適應值取為fi’=fmax-fi，fi是第i個個體對應的目標函數值，fmax為當前種群成員的最大目標函數值，i=1,2,…,m。然后按Goldberg線性比例變換模型[2]式(2)進行拉伸。

fi’=a×fi’+b（fi³0）(2)

step3執行比例選擇算子進行選擇操作。

step4按概率執行算術交叉算子進行交叉操作。即對于選擇的兩個母體和，算術交叉產生的兩個子代為和，是[0，1]上的隨機數，1,。

step5按照概率執行非均勻變異算子[8]。若個體的元素被選擇變異，，則變異結果為，其中，

(3)

(4)

返回區間[,]里的一個值，使靠近0的概率隨代數的增加而增加。這一性質使算子在初始階段均勻地搜索空間，而在后面階段非常局部化。是[,]之間的隨機數，為最大代數，為決定非均勻度的系統參數。

step6對每個個體按照概率pPowell進行Powell搜索。若個體被選擇進行Powell搜索操作，則以作為初始點執行Powell方法得，若則把所得計算結果作為子代，否則，若取=；若取=，1。

step7計算個體適應值，并執行最優個體保存策略。

step8判斷是否終止計算條件，不滿足則轉向step3，滿足則輸出計算結果。

作為求解無約束最優化問題的一種直接方法，Powell法的整個計算過程由若干輪迭代組成，在每一輪迭代中，先依次沿著已知的n個方向搜索，得一個最好點，然后沿本輪迭代的初始點與該最好點連線方向進行搜索，求得這一階段的最好點。再用最后的搜索方向取代前n個方向之一，開始下一階段的迭代。為了保持算法中n個搜索方向是線性無關的，保證算法的收斂性，對替換方向的規則進行改進，在混合法的計算步驟step6中采用文[9]中的改進Powell方法，其求解過程如下：

(1)變量賦初值，n個線性無關的n個方向,,…,，和允許誤差ε>0，令k=1。

(2)令，從出發，依次沿方向,,…,作一維搜索，得到點,,…,求指標m，使得-=max{-}，令。若ε，則Powell方法計算結束，否則，執行(3)。

(3)求使得=min，令==，若，則Powell方法計算結束，得點；否則，執行(4)。

(4)若，令，否則令()，然后置，轉(2)。

3算例

T[-500,500]

函數f(x)有相當多的極小點,全局極小點是=-420.97，=1,2,…,，最優值為-837.97；次最優點為={(,,…,)：=-420.97,,=302.52}，=1,2,…,，次優值-719.53。變量個數n=2時函數f(x)特性如圖1示。程序編制和運行環境采用FortranPowerStation4.0，隨機數由內部隨機函數產生，在奔騰133微機上運行。

采用改進的Powell方法計算100次，初值在區間[-500,500]內隨機產生，只有6次（即以概率0.06）搜索到全局最優，計算成功的概率極低。

Holland建立的標準（或簡單）遺傳算法，其特點是二進制編碼、賭輪選擇方法、隨機配對、一點交叉、群體內允許有相同的個體存在。取種群規模m=30，交叉概率pc=0.95、變異概率pm=0.05，最大進化代數T=1000，每個變量用串長為L=16的二進制子串表示。二進制編碼比浮點編碼遺傳算法計算精度低，對于標準遺傳算法以目標函數小于-800為搜索成功，標準遺傳算法運行100次。當取最大進化代數為T=200時，40次（以概率0.40）搜索到全局最優，平均計算時間為0.51秒；當取T=500時，51次（以概率0.51）搜索到全局最優，平均計算時間為1.13秒。

采用本文混合法計算，取m=30，pc=0.85、pm=0.2，T=100，進行Powell搜索的概率pPowell取不同值，混合法運行100次，計算結果見如表1。對于這個具有多極值的算例，多次計算表明pPowell=0.3時，混合法能以完全概率搜索到全局最優的準確值，但是此時混合法計算時間約為標準遺傳算法取T=500時計算時間的4/5。對應的浮點編碼遺傳算法，取m=30，pc=0.85、pm=0.2，T=100，運行100次，82次（以概率0.82）搜索到全局最優（如表1中PPowell=0所示），計算時間約為標準遺傳算法取T=500時計算時間的1/8，但是搜索到全局最優的概率卻遠遠高于標準遺傳算法。

4結束語

針對不可微函數的全局優化問題，本文提出一種把Powell方法與浮點編碼遺傳算法相結合的混合遺傳算法，該算法兼顧了遺傳算法全局優化方面的優勢和Powell方法局部搜索能力較強的特點，提高求得全局解的概率。計算結果表明混合法優于遺傳算法和Powell法，可以可靠地搜索到具有多個局部極值的函數優化問題的全局解。由于計算中只用到函數值信息，本文混合法不僅適用于不可微函數優化問題，也適合可微函數全局優化問題。