“特征信息”的捕捉與解題的最優化

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丁保榮在文［1］中，提出了一個十分重要的問題：通過捕捉題設（或結論）中的“特征信息”，優化解題思路．羅增儒教授在他的許多文章中也有精辟的論述，尤其是在解題分析中，非常重視解題速度、解題的最優化問題．［2］［3］

文［1］的例1、例2的“特征信息”，其實都可以聯系到一個重要不等式：

定理若a，b∈R，則（a＋b）2≥4ab．

文［1］的例1盡管給出了三種解題思路，但是卻有美中不足：尚未揭示出其最優解題思路；例2雖巧妙地構造出二次方程，但仍然缺乏最優化思考．

本文旨在展示平凡的定理（a＋b）2≥4ab在“特征信息”聚焦時的最優化解題特征．

首先，通過“等導不等”來證明這個定理：

（a＋b）2＝4ab＋（a－b）2≥4ab，

當且僅當a＝b時，等號成立．

下面列舉一系列數學問題，其“特征信息”均可或顯或隱地聚焦于定理（a＋b）2≥4ab．限于篇幅，解題時不作一一分析，只展現定理的最優化解題思路．

例1已知實數a，b，c滿足等式a＝6－b，c2＝ab－9，求證：a＝b．（文［1］例1）

證明：依定理（a＋b）2≥4ab，即62≥4（c2＋9），得c＝0，從而a＝6－b，ab－9＝0，解得a＝b＝3，故證畢．

例2若（z－x）2－4（x－y）（y－z）＝0，則x，y，z成等差數列．（1979年全國高考題）

證明：由題設知（z－x）2＝4（x－y）（y－z），而依本文定理，則有（z－x）2＝（x－z）2＝［（x－y）＋（y－z）］2≥4（x－y）（y－z），可見x－y＝y－z，從而x，y，z成等差數列．

例3方程組x＋y＝2，的實數解的組數是（）．

xy－z2＝1

A．1B．2C．3D．無窮多（1987年上海市初中數學競賽試題）

解：依定理知，（x＋y）2≥4xy，則22≥4（z2＋1），得z＝0，原方程組化為

x＋y＝2，顯然只有一解x＝y＝1，故選A．

xy＝1，

例4已知a，b，c都是實數，且a＋b＋c＝0，abc＝1，求證：a，b，c中必有一個大于3／2．（1991年“曙光杯”初中數學競賽試題）

證明：由題知，a，b，c中必有一個是正數，不妨設c為正數．依定理（a＋b）2≥4ab，得（－c）2≥4·（1／c），或c3≥4，于是c≥＞＝3／2，故得證．

注意：此處還有意外收獲，原題結論還可改進為：求證：a，b，c中必有一個不小于．

例5a，b，c，d都是小于1的正數，求證：在4a（1－b），4b（1－c），4c（1－d），4d（1－a）中，不可能都大于1．（1962年美國數學競賽試題）

證明：巧妙地逆用定理，注意4a（1－b）·4b（1－c）·4c（1－d）·4d（1－a）＝4a（1－a）·4b（1－b）·4c（1－c）·4d（1－d）≤［a＋（1－a）］2·［b＋（1－b）］2·［c＋（1－c）］2·［d＋（1－d）］2＝12·12·12·12＝1，由此可見，4a（1－b），4b（1－c），4c（1－d），4d（1－a）中不可能都大于1．

例6已知x＞0，y＞0，且x＋y＝4，S＝（6－x）·（5－y），求S的最大值．

解：依定理，知4S＝4（6－x）（5－y）≤［（6－x）＋（5－y）］2＝［11－（x＋y）］2＝（11－4）2＝49，S≤49／4，當x＝21／2，y＝11／2時，Smax＝49／4．

當然，定理最主要還是應用于巧證不等式方面．

例7已知y－2x＝z，求證：y2≥4xz．（文［1］例2）

證明：由題設，知y＝2x＋z．依定理，知（y）2≥4·2x·z，或2y2≥8xz，即y2≥4xz，證畢．

縱觀以上各例，依定理解題，顯得規律有序，思路清晰，方法簡便，且顯然優于原來的方法．

例8正數x，y，z，a，b，c滿足條件a＋x＝b＋y＝c＋z＝k．求證：ax＋by＋cz＜k2．（1987年（前）蘇聯數學奧林匹克試題）

證明：傳統證法大半是構造正三角形或正方形，利用面積關系證之．今依定理，即刻知4ax＋4by＋4cz≤（a＋x）2＋（b＋y）2＋（c＋z）2＝k2＋k2＋k2＝3k2，

于是，ax＋by＋cz≤（3／4）k2＜k2，故證畢．

可見，依定理還有意外收獲，得到原式的一個加強式：ax＋by＋cz≤（3／4）k2．而這一加強難在傳統證法中體現出來．

例9已知a＞1，b＞1，c＞1，求證：

（a2／（b－1））＋（b2／（c－1））＋（c2／（a－1））≥12．

證明：依定題，知a2＝［（a－1）＋1］2≥4（a－1）·1＝4（a－1）．同理b2≥4（b－1），c2≥4（c－1），于是，（a2／（b－1））＋（b2／（c－1））＋（c2／（a－1））≥

4（（（a－1）／（b－1））＋（（b－1）／（c－1））＋（（c－1）／（a－1）））≥4·3＝12，證畢．

例10設x，y為非負數，且滿足x＋y＝1，求證：

1＋≤＋≤2．

證明：考慮（＋）2＝2（x＋y）＋2＋2＝4＋2，或＋＝，依題知及定理，有0≤4xy≤（x＋y）2＝1，故≤＋≤．

于是1＋≤＋≤2，證畢．

定理（a＋b）2≥4ab的優化解題功效遠不止這些，只要留心些，讀者必定還會有所發現和創新．令人振奮的是，從基本不等式a＋b≥2，平方即可得（a＋b）2≥4ab；但令人遺憾的是，a＋b≥2的應用，已是老生常談，而（a＋b）2≥4ab卻少見報道．筆者試圖通過本文，借以引為重視!

參考文獻

1丁保榮．信息與解題．中學數學教學參考，2001，5

2羅增儒．看透本質，優化過程．中學數學教學參考，2001，6

3羅增儒．數學解題學引論．西安：陜西師范大學出版社，1997