論數學研究性學習

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【摘要】數學研究性學習是學生在數學及相關學科教師的群體性指導下，運用類似于數學研究的思想與方法去獲取和應用數學知識的一種學習方式。在這一學習活動中，教師作為學生的群體性“指導者”、潛能的“挖掘者”、研究的“合作伙伴”的新型師生關系，現代科學技術手段所構建起的人腦加電腦的新型學習機制，以及以數學建模和數學實驗過程所架設起的聯系數學理論與實際生活的“橋梁”，將使數學研究性學習既實現再現數學知識產生、發現與發展的歷史軌跡，又從理論上與實踐上真正切入到21世紀的發展軌道。

【關鍵詞】數學研究性學習；數學研究；師生關系；學習內容

“研究性學習”已經逐步成為學校教育中科學、系統地培養學生創造力而實施的一種嶄新的教學模式，引起了教育界和全社會的廣泛關注，成為當前基礎教育改革的熱點?！把芯啃詫W習”教育模式的核心教育觀念就在于“要讓學生感受、理解知識產生和發展的過程”，以達到培養學生的科學精神和創新思維習慣，培養學生收集處理信息的能力，獲取新知識的能力，分析和解決問題的能力，語言文字表達能力以及團結協作和社會活動能力的目的。近年來的基礎教育改革實踐表明，“研究性學習”已促使課堂教學在落實科學精神和創新能力培養方面取得了重要進展，這對于推進我國基礎教育的改革深化，全面實施素質教育，有著十分重要的理論和實踐意義。

1數學研究性學習的內涵

數學研究性學習是指學生在數學教師或相關學科教師的指導下，從某些數學問題以及其它學科或實踐生活中出現的問題中選擇并確定研究性課題，運用類似于數學學科的科學研究方法去獲取和應用數學知識，從而在掌握數學知識的同時，體驗、理解、掌握和應用數學學科的研究方法，培養科學精神，發展科研能力的一種學習方式?？梢姡瑪祵W研究性學習是一種以學生為主體的積極學習活動過程，是學生在數學教學活動中去自主選擇研究學習課題，親身去發現、提出、探究和解決數學問題的探索性學習方式。

“運用類似于數學學科的科學研究方法并獲取和應用數學知識”表明了數學研究性學習的基本形式。在學習過程中，學生將模擬數學家或數學愛好者的數學研究方法，“再現”數學研究及應用的過程，其實質就是學生對數學學科科學研究的思維方式和研究方法的學習與運用，通過這樣一種基本形式和手段，培養學生科學的創造精神、求實精神、革新精神、自由精神、審美精神以及利用科學造福于人類的精神。在這種類似于數學學科的科學研究方法和研究過程的“模仿”、“運用”和“再現”中，學生不僅看到了客觀世界中的數學神奇和實際生活中的數學美麗，更為重要的是學生的能力、毅力、科學精神、協作意識等綜合素質得到了培養，在實踐中找到了自己，在探索中塑造了人格，在創新中發現了自我。這種在學習活動過程中對數學學科科學研究的“模仿”、“運用”和“再現”，正是數學研究性學習所具有的最基本的本質性特征。

“學生在數學教師或相關學科教師的指導下”表明了學習活動中師生間的相互基本關系，說明了數學研究性學習是在學校教育與班級教學的整體環境中進行的。在學習過程中，學生需要來自于教師的“指導”和“幫助”。教師的主要職責是創設一種有利于數學研究性學習的情景和途徑。教師的權威不再建立在學生的被動與無知的基礎上，而是建立在教師借助學生的積極參與以促進其充分發展的能力之上。數學研究性學習將促使學生擺脫被動、封閉的學習環境的禁錮，主動積極地去探索、嘗試并謀求個體創造潛能的充分發揮。在整個學習過程中，教師只需適度參與，重點是在組織、評價和總體指導等環節上發揮主導作用。教師的指導要面向每一位學生的主動性和探索性的數學研究性活動，所創設的數學學習情景和所提供的背景素材要能夠引起不同層面的全體學生的主動思考，激發學生之間、師生之間的積極交流。這種在學習活動中，由學生的主動性和自主性以及教師參與的適度性和指導性所形成的師生關系，促成了學生自由奔放和新穎想象力的展開，營造了一種“無拘無束的氛圍”和“自由呼吸”的空間，使學生的創造潛能得以充分釋放。

“在掌握數學知識的同時，體驗、理解和應用數學學科的研究方法”表明了學習的基本內容。從認知心理學的角度來看，數學學習可以分為三個層次：一是數學概念的學習，以了解數學對象的本質屬性；二是數學命題的學習，以明確數學概念與數學概念之間的邏輯聯系；三是數學問題解決的學習，即運用數學概念和數學命題解決數學問題。數學研究性學習主要是第三層意義上的學習，其目的就在于發展學生運用數學知識去發現數學問題和解決數學問題的能力，這正是數學研究性學習與一般的數學知識與技能學習的根本區別。數學研究性學習所采用的是問題解決的形式，讓學生經歷在不同的實際背景中去發現數學問題，尋找解決數學問題的策略，實施對數學問題的求解以及檢驗、論證與交流自己所獲得的研究結論，推廣數學問題的解等主動性活動。“數學問題”是數學研究性學習的主要載體，其知識來源是多方面的、多渠道的，這些問題的背景材料可以是老師提供的，也可以完全是學生自己選擇和確定的；可以是數學教學內容的拓展延伸，也可是對各種自然和社會現象的探究；可以是純思辯性的教學素材，也可以是實踐性操作類的；可以是已經證明了的數學結論，也可以是未知的知識領域。數學研究性學習將徹底打破以問題為起點，以結論為終點，即“問題—解答—結論”的封閉式數學教學模式，構建起“問題—探究—解答—結論—問題—探究……”的開放式的數學教學模式，打破囿于學校、囿于教室的教育空間概念，促進課堂向實踐延伸，向社會延伸，向大自然延伸。在數學研究性學習的過程中，學生會面臨各種實際背景材料、涉及多方面的知識，這些知識的選擇、積累和運用完全以數學問題為中心，呈現橫向的相互交叉狀態。數學研究性學習正是以“數學實踐”與“數學創造”為指向的學習形式，是獲取“知識”與培育“智慧”的辯證過程。

2數學研究性學習的實質

G·波利亞在他的數學名著《數學與猜想》中指出：“對于正積極搞研究的數學家來說，數學也許往往像是猜想游戲：在你證明一個數學定理之前，你必須猜想到這個定理，在你搞清楚證明細節之前，你必須先猜想出證明的主導思想。”他還說：“數學家的創造性工作成果是論證推理，即證明，但是這個證明是通過合情推理，通過猜想而發現的。只要數學的學習過程稍能反映出數學的發明過程的話，那么就應當讓猜測、合情推理占有適當的位置?！庇纱丝梢?，數學研究就是一個以合情推理為手段的猜想過程。難怪G·波利亞要“向教授所有班級的數學教師們呼吁：讓我們教猜想吧!”盡管上述這些觀點是從數學理論的角度來解釋的，但同樣也適宜于其它學科或實踐生活中產生的數學問題的研究，適宜于數學應用的研究。從科學教育標準的角度來說，以合情推理為前提的數學猜想活動過程中的“研究是多層面的活動，包括觀察；提出問題；通過游覽書籍和其它信息資源發現什么是已經知道的結論，制定調查研究計劃；根據實驗數據證明對已有的結論作出評價；用工具收集、分析、解釋數據；提出解答、解釋和預測以及交流結果。研究要求確定假設，進行批判的和邏輯的思考，并且考慮其它可以替代的解釋?！焙喲灾?，數學研究就是以觀察和實驗為直觀依據，以合情推理為猜想手段，以提出數學問題和解決數學問題為目標的心智活動過程。

在計算機產生以前，數學研究模式可以簡單地概括為“一支筆，一堆紙”，而數學的應用主要是通過間接方式，數學是作為自然科學的基本語言和基本工具，來表達和推理技術原理的。計算機的誕生使數學直接應用于人們改造物質世界的活動中去。數學的應用正迅速地向一切領域滲透，或者說各行各業日益依賴于數學，21世紀的世界正是日益數字化的世界，數學的應用更加廣泛和直接。數學的應用直接活躍于生產力的第一線，促進著技術和經濟的發展，改善著人們對數學學科的傳統認識。計算機的產生和發展給數學研究帶來了無限生機，“一支筆，一堆紙”式的數學研究模式已經逐步成為歷史的過去，代之而來的是數學學科和計算機技術相結合的現代化的可視性數學研究。因此，從這層意義上來說，現代意義上的數學研究可以簡略地理解為從所考察的研究對象出發，運算計算機技術進行觀察和實驗，以所得到的可視性數據為直觀依據，以合情推理為猜想手段，以提出數學問題和解決數學問題為追求目標的心智活動過程。數學研究性學習的實質就是要體現這種人腦加電腦的心智活動過程，突出學習者對數學學科的思維方式和研究方法的學習和運用。計算機技術手段應該成為數學研究性學習活動的重要基本研究形式，通過這樣一種基本形式和手段，要讓學生

感受，理解數學知識產生、發展和應用的過程，以培養學生的創新能力和實踐精神。當然，從研究過程來說，中小學生的研究大多數并不具備嚴格意義上的數學研究的嚴謹性和規范性，也并不一定完全再現歷史發現的真實過程，但從研究結果來看，一般是數學學科已有研究成果的一種“再發現”。在這種“再發現”的數學研究性學習過程中，學生不僅要模擬傳統的數學研究方法和研究過程，而且應更多地體現出計算機科學與技術在數學研究中腦力延伸的價值，加速完成數學知識“再發現”的過程，促進學生迅速掌握現代化技術手段，構建起人腦加電腦式的研究性學習機制，以適應21世紀創新人才培養的需要。

3數學研究性學習的師生關系

應該看到，在科學技術飛速發展的21世紀，作為整個科學技術基礎的數學，已在突破傳統的范圍而向人類的一切知識領域滲透。數學正在各個學科領域中發揮越來越重要的作用，日益數學化的趨勢已經顯示出數學創新的巨大魅力。正因為如此，數學研究性學習不再僅僅是數學教師的個體性指導，而更多的是相關學科教師相互協作的群體性指導，學生可以地理老師討論居住環境，與生物老師討論生態平衡，等等，靈活地應用數學理論知識去揭示大自然的奧秘，揭示人類社會發展的規律。教師群體性指導與學生群體性探索構成了一個具有實踐性、應用性、體驗性、綜合性、多元性、自主性、協作性、動態性、開放性、過程性等特征的數學研究性學習系統。在這個學習系統中，所倡導的主要學習方式為“學生的自主性與協作性活動”，不是簡單的模仿，更不是單純的推理和演算，而是以學生的“自由選題、自主探究和自發創造”為宗旨。在研究現象、發現問題、解決問題的過程中，學生始終處于主體地位。他們通過切身的體驗和實踐，突破原有的數學學科的封閉狀態，挖掘校園以外的學習資源，以及與教師和同學間的交流等活動去從事有關數學知識的學習，提出有思考價值的數學問題，在較為復雜的情景中應用數學知識去解決實際問題，并從中獲取新知。

在數學研究性學習活動中，教師不僅是指導者，還應是學生潛在智力的挖掘者。對于同一個研究性背景材料，由于每一個學生所考察的側重點、簡化問題的過程，運用的數學知識不盡相同，會得到不同的研究結果和處理方法。教師要善于從中去發現學生瞬間的點滴頓悟或靈感，那怕是很不成熟的認識，甚至是有悖于常理的看法，都要給予他們以充分的肯定和贊揚。教師要在贊揚每一個學生瞬間的思想火花中進行深入的指導，使他們在有朝一日能在光芒四射的瞬間去創造未來。面對一個個新穎的實際課題，不僅是學生要學習，要探究、要思考，教師也會面臨新問題。因此，在更多的時候，教師往往是學生研究性學習的合作伙伴。教師和學生處于同一起跑線上，共同去進行方案設計、模擬實驗操作、社會調查，互相學習，取長補短，取得高質量的研究成果。在數學研究性學習活動中，教師作為群體性的“指導者”、“挖掘者”、“合作伙伴”確定了一種新型的師生關系，無疑是信息時代對學校教育要求的體現，這種師生關系增強了學生的自信心和尊嚴感，充分調動了學生的學習積極性，使他們從中體驗從事科學研究的艱辛，去品嘗成功的喜悅。

4數學研究性學習題材的選取

數學是研究客觀世界的數量關系和空間形式的科學，它具有嚴謹的邏輯性、高度的抽象性和應用的廣泛性，因此有人稱，數學處于人類智能的中心領域。要在數學研究性學習活動中充分發揮數學的智能中心作用，發展學生的智力，培養學生的能力，數學研究性背景素材的選取也是至關重要的。從基礎教育培養目標的界定及其教育規律來看，一方面，并非傳統意義上的內容都能夠選作數學研究性學習內容的背景素材；另一方面，也并非校園以外的實踐性資源都可以作為數學研究性學習的探究對象。

首先，數學研究性學習的背景素材的選取要有利于數學基礎知識、基本技能的掌握和基本能力的提高。要充分地注意到，基礎教育是中小學生一生長知識，打基礎的重要階段，數學知識與技能訓練是他們成長所必須的。在數學研究性學習中，“研究”不是目的，只是完成基礎教育的一種手段。開展數學研究性學習并不是要取代已有的學習方式，而是一種學習的補充。同時，數學研究性學習依賴于數學以及其它各學科的教學質量，數學及各個學科的教學是開展數學研究性學習的基礎。不具備一定的數學基礎知識、基本技能和基本能力，開展數學研究性學習也就無從談起。沒有知識基礎的“創造才能”是無源之水、無本之木。要在數學研究性學習中有所發現，就必須從基礎知識入手，從學習科學更新知識入手。在其他條件相同的情況下，知識基礎越豐厚牢固，科學創新的可能性就越大，獨創的見解就更深刻。當然，獲取數學知識的目的是為了應用，為了創新，學會實際動手操作更是數學研究性學習的重要內容，也是與一般數學知識學習的基本區別。在數學研究性學習活動中，積累知識也不能光靠書本，教師要善于誘導學生去“閱讀”大自然和人類社會這兩部永恒的、沒有頁碼的大百科全書，促使他們努力在知識的博、深、精、活上下功夫。

其次，數學研究性學習的背景素材的選取要有利于引起學生探究的興趣和欲望。數學研究性學習是建立在學生自主與主動活動的基礎之上，所倡導的主要學習方式為學生的自主性與合作性活動，其教學目標的實現完全取決于學生是否都能主動地投入到數學探究性活動中去，而這一點在很大程度上依賴于數學研究性學習的背景素材是否能引起學生的探究興趣和欲望。在研究各種背景素材解決數學問題的過程中，興趣是最好的老師，濃厚的學習興趣與探究問題的欲望是學生深入調查研究、艱辛探索尋覓、頑強拼搏創新的動力。在強烈的興趣與探究欲望的驅動下，學生通過展現自我認知風格，表現自身價值的多樣性學習活動中，逐漸學會思考、交流、理解與應用數學，經歷困惑與挫折，體驗“憤”與“悱”，品嘗失敗與成功的苦與甜?？梢?，數學研究性學習的教育價值決不在于讓學生學會解決幾個數學問題，而在于以興趣感和欲望感去塑造學生的個性品質，培養學生的創新能力，促進學生認知結構的全面發展。

第三，數學研究性學習的背景素材的選擇要有利于數學知識體系內部及其與各學科間的聯系以及數學模型的構建。作為數學研究性學習的背景素材，考察和研究它的基礎是建立在學生已具備的數學知識和認知水平上的。同時，這一學習過程也并不是相應數學知識和方法的簡單再現，而是學生獲取新知，認知結構重新構建的活動過程。因此，數學研究性學習的背景素材就必須潛在地包含數學學科和各學科的豐富知識以及其間的廣泛聯系。作為數學學科的研究和應用，理想的背景素材還應當有利于數學建模，并給計算機科學與技術的應用留下足夠的空間，以適應現代化建設的發展需要。因為21世紀培養的高質量、高層次人才不僅需要傳統意義上的邏輯思維能力、推理演算能力，更需要具備對所涉及的專業問題建立數學模型、進行數學實驗、利用先進的計算工具、數學軟件進行數值求解，作出定量分析的能力。這也正是數學研究性學習的長遠教育目標。

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