鋼管混凝土拱橋穩(wěn)定性論文

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論文關(guān)鍵詞：鋼管混凝土拱橋穩(wěn)定性非線性

論文摘要：鋼管混凝土拱橋作為一種承受壓力的空間曲桿體系，不可避免的涉及到穩(wěn)定問題。隨著鋼管混凝土跨徑不斷的增大，對于其穩(wěn)定性計算必須考慮非線性的影響，本文主要是介紹當(dāng)拱橋穩(wěn)定性計算理論及非線性分析理論。

隨著鋼管混凝土組合材料研究不斷深入，施工工藝的大幅度改進(jìn)，鋼管混凝土拱橋在全世界范圍內(nèi)，特別是在我國得到了廣泛的應(yīng)用。據(jù)不完全統(tǒng)計，自從1990年我國第一座鋼管混凝土拱橋建成以來到目前為止，我國已建或在建鋼管混凝土拱橋有200多座。鋼管混凝土拱橋之所以發(fā)展如此迅速，主要具有如下特點(diǎn)：（1）施工方便，節(jié)省費(fèi)用；（2）有較成熟的施工技術(shù)作支撐；（3）跨越能力大，適應(yīng)能力強(qiáng)；（4）造型優(yōu)美，體現(xiàn)了民族特色；（5）大直徑鋼管卷制工業(yè)化，有力地促進(jìn)了我國鋼管混凝土拱橋的發(fā)展。

隨著鋼管混凝土拱橋的跨徑的增大，剛度越來越柔，作為以受壓為主的結(jié)構(gòu)，穩(wěn)定成為制約其發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。不少學(xué)者根據(jù)不同的拱橋形式在不同的參數(shù)下，提出了不同的假設(shè)，推導(dǎo)出了很多簡化的穩(wěn)定公式。這些穩(wěn)定公式將為有限元發(fā)展提供了理論基礎(chǔ)。本文主要是對拱橋穩(wěn)定計算理論進(jìn)行簡單的闡述。

1穩(wěn)定計算理論

1.1概述

穩(wěn)定問題是橋梁工程常常遇到的問題，與強(qiáng)度問題同等重要。但是，結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問題不問于強(qiáng)度問題，結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)與材料的強(qiáng)度沒有密切的關(guān)系。結(jié)構(gòu)失穩(wěn)是指結(jié)構(gòu)在外力增加到某一量值時，穩(wěn)定性平衡狀態(tài)開始傷失，稍有撓動，結(jié)構(gòu)變形迅速增大，從而使結(jié)構(gòu)失去正常工作能力的現(xiàn)象。在橋梁工程中，總是要求其保持穩(wěn)定平衡，也即沿各個方向都是穩(wěn)定的。

在工程結(jié)構(gòu)中，構(gòu)件、部件及整個結(jié)構(gòu)體系都不允許發(fā)生失穩(wěn)。屈曲不僅使工程結(jié)構(gòu)發(fā)生過大的變形，而且往往導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的破壞。現(xiàn)代工程結(jié)構(gòu)中，不斷利用高強(qiáng)輕質(zhì)材料，在大跨度和高層結(jié)構(gòu)中，穩(wěn)定向題顯得尤為突出。

根據(jù)上程結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時平衡狀態(tài)的變化特征，存在若干類穩(wěn)定問題。土建工程結(jié)構(gòu)中，主要是下列兩類：

（1）第一類穩(wěn)定問題（分枝點(diǎn)失穩(wěn)）：以小位移理論為基礎(chǔ)。

（2）第二類穩(wěn)定問題（極值點(diǎn)失穩(wěn)）：以大位移非線性理論的基礎(chǔ)。

實(shí)際工程中的穩(wěn)定問題一般都表現(xiàn)為第二類問題，但是，由于第一類穩(wěn)定問題是特征值問題，求解方便，在許多情況下兩類問題的臨界值又相差不大，因此研究第一類穩(wěn)定問題仍有著重要的工程意義。

研究壓桿屈曲穩(wěn)定問題常用的方法有靜力平衡法((Eular方法)、能量法(Timosheko方法)、缺陷法和振動法。

靜力平衡法：是從平衡狀態(tài)來研究壓桿屈曲特征的，即研究荷載達(dá)到多大時，彈性系統(tǒng)可以發(fā)生失穩(wěn)的平衡狀態(tài)，其實(shí)質(zhì)是求彈性系統(tǒng)的平衡路徑(曲線)的分支點(diǎn)所對應(yīng)的荷載值(臨界荷載)。

能量法：表示當(dāng)彈性系統(tǒng)的勢能為正定時，平衡是穩(wěn)定的；當(dāng)勢能為不正定時，平衡是不穩(wěn)定的；當(dāng)勢能為0時，平衡是中性的，即臨界狀態(tài)。

缺陷法：認(rèn)為完善而無缺陷的力學(xué)中心受壓直桿是不存在的。由于缺陷的影響，桿件開始受力時即產(chǎn)生彎曲變形，其值要視其缺陷程度而定。在一般條件下，缺陷總是很小的，彎曲變形不顯著，只是當(dāng)荷載接近完善系統(tǒng)的臨界值時，變形才迅速增大，由此確定其失穩(wěn)條件。

振動法從動力學(xué)的觀點(diǎn)來研究壓桿穩(wěn)定問題，當(dāng)壓桿在給定的壓力下，受到一定的初始擾動后，必將產(chǎn)生自由振動，如果振動隨時間的增加是收斂的，則壓桿是穩(wěn)定的。

以上四種方法對于歐拉壓桿而言，得到的臨界荷載是相同的。如果仔細(xì)研究一下可以發(fā)現(xiàn)它們的結(jié)論并不完全一致，表現(xiàn)在以下幾個方面:

靜力平衡法的結(jié)論只能指出，當(dāng)P=P1、P2、…、Pn時，壓桿可能發(fā)生屈曲現(xiàn)象，至于哪種最有可能，并無抉擇的條件。同時在P≠P1,P2,…、Pn時，屈曲的變形形式根本不能平衡，因此無法回答極限系數(shù)的平衡是不穩(wěn)定的問題。

缺陷法的結(jié)論也只能指出當(dāng)P=P1、P2,…、Pn時，桿件將發(fā)生無限變形，所以是不穩(wěn)定的。但對于P在P1、P2…、Pn各值之間時壓桿是否穩(wěn)定的問題也不能解釋。

能量法和振動法都指出，P>P1之后不論P(yáng)值有多大，壓桿直線形式的平衡都是不穩(wěn)定的。這個結(jié)論和事實(shí)完全一致。

由于鋼管混凝土系桿拱橋的復(fù)雜性，不可能單依靠上述方法來解決穩(wěn)定問題，日前大量使用的是穩(wěn)定問題的近似求解方法。歸結(jié)起來有兩種類型:一類是從微分方程出發(fā)，通過數(shù)學(xué)上的各種近似方法求解，如逐次漸進(jìn)法;另一種是基于能量變分原理的近似法，如Ritz法。有限元方法可以看作為Ritz法的特殊形式。當(dāng)今非線性力學(xué)把有限元與計算機(jī)結(jié)合，使得可以將穩(wěn)定問題當(dāng)作非線性力學(xué)的特殊問題，用計算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)求解，取得了很大的成功。

1.2第一類穩(wěn)定有限元分析

根據(jù)有限元平衡方程可以表達(dá)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的物理現(xiàn)象。在T.L列式下，結(jié)構(gòu)增量形式的平衡方程為：

(1-1)

0[K]0——單元剛度矩陣；

0[K]σ——單元初應(yīng)力剛度矩陣;

0[K]L——單元初位移剛度矩陣或單元大位移剛度矩陣;

0[K]T——單元切線剛度矩陣。

U.L列式下，結(jié)構(gòu)的平衡方程為:

(1-2)

發(fā)生第一類穩(wěn)定前，結(jié)構(gòu)處于初始構(gòu)形線性平衡狀態(tài)，因此式(1-1)中大位移矩陣。0[K]T為零。在U.L列式中，不再考慮每個荷載增量步引起的構(gòu)形變化，所以，不論T.L還是U.L列式，結(jié)構(gòu)的平衡方程的表達(dá)形式是統(tǒng)一的:

(1-3)

在結(jié)構(gòu)處于臨界狀態(tài)下，即使{AR}→0，{△u}也有非零解，按線性代數(shù)理論，必有:

(1-4)

在小變形情況下，[K]σ與應(yīng)力水平成正比。由于假定發(fā)生第一類失穩(wěn)前結(jié)構(gòu)是線性的，多數(shù)情況下應(yīng)力與外荷載也為線性關(guān)系，因此，若某種參考荷載{}對應(yīng)的幾何剛度矩陣為[]σ，臨界荷載為{P}cr=λ{(lán)}，那么在臨界荷載作用下結(jié)構(gòu)的幾何剛度矩陣為:

（1-5）

于是（1-4）為

（1-6）

式(1-6)就是第一類線彈性穩(wěn)定問題的控制方程。穩(wěn)定問題轉(zhuǎn)化為求方程的最小特征值問題。

一般來說，結(jié)構(gòu)的問題是相對于某種特定荷載而言的。在橋梁結(jié)構(gòu)中，結(jié)構(gòu)內(nèi)力一般由施工過程確定的恒載內(nèi)力(這部分必須按施工過程逐階段計算)和后期荷載(如二期恒載·活載·風(fēng)載)引起的內(nèi)力兩部分組成。因此，[K]σ也可以分成一期恒載的幾何剛度矩陣[Kl]σ和后期恒載的幾何剛度矩陣[K2]σ，兩部分。當(dāng)計算是一期恒載穩(wěn)定問題時，[Kl]σ=0。[K]σ可直接用恒載來計算，這樣通過式(3-6)算出的λ就是一期恒載的穩(wěn)定安全系數(shù);當(dāng)計算的是后期荷載的穩(wěn)定問題時，恒載[K]σ可近似為一常量，式((1-6)改寫成:

（1-7）

形成和求解式(1-7)的步驟可簡單歸結(jié)為:

1)按施工過程，計算結(jié)構(gòu)恒載內(nèi)力和恒載幾何剛度矩陣[Kl]σ。;

2)用后期荷載對結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力分析，求出結(jié)構(gòu)初應(yīng)力(內(nèi)力);

3)形成結(jié)構(gòu)幾何剛度矩陣[K2]σ和式(1-7)

4)計算式(1-7)的最小特征值問題。

這樣，求得的最小特征值兄就是后期荷載的安全系數(shù)，相應(yīng)的特征向量就是失穩(wěn)模態(tài)。

1.2第二類穩(wěn)定有限元分析

第二類穩(wěn)定是指結(jié)構(gòu)在不斷增加的外載作用下，結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生不斷變化，當(dāng)外載產(chǎn)生的應(yīng)力使結(jié)構(gòu)切線剛度矩陣趨于奇異時，結(jié)構(gòu)承載能力就達(dá)到了極限，穩(wěn)定性平衡狀態(tài)開始喪失，稍有撓動，結(jié)構(gòu)變形迅速增大，使結(jié)構(gòu)失去正常工作能力的現(xiàn)象。

從力學(xué)分析角度看，分析結(jié)構(gòu)的第二類穩(wěn)定性，就是通過不斷求解計入幾何非線性和材料非線性的結(jié)構(gòu)平衡方程，尋找結(jié)構(gòu)極限荷載的過程。

全過程分析法是用于結(jié)構(gòu)極限承載力分析的一種計算方法，通過逐級增加

工作荷載集度來考察結(jié)構(gòu)的變形和受力特征，一直計算至結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞。

2拱橋的平面屈曲

2.1拱橋平面屈曲的基本概念

圖1拱頂?shù)呢Q直變位v及水平變位u與外荷載q的關(guān)系曲線

當(dāng)拱所承擔(dān)的荷載達(dá)到某一臨界值時，在豎向平面內(nèi)，拱軸線偏離初始純壓或主要為受壓的對稱變形狀態(tài)，向反對稱的彎壓平面撓曲轉(zhuǎn)化，稱為拱的面內(nèi)屈曲。拱的面內(nèi)屈曲有兩種不同的形式，第一種形式是在屈曲臨界荷載前后，拱的撓曲線發(fā)生急劇變化如圖1所示，可看作是具有分支點(diǎn)問題的形式，橋梁結(jié)構(gòu)中使用的拱，在體系和構(gòu)造上多是對稱的。當(dāng)荷載對稱的滿布于橋上時，如果拱軸線和壓力線是吻合的，則在失穩(wěn)前的平衡狀態(tài)只有壓縮而沒有彎曲變形。當(dāng)荷載逐漸增加至臨界值時，平衡就出現(xiàn)由彎曲變形的分支，拱開始發(fā)生屈曲。

第二種屈曲形式:在非對稱荷載作用下，拱在發(fā)生豎向位移的同時也產(chǎn)生了水平變位。隨著荷載的增加，二個方向的變位在變形形式?jīng)]有急劇變化的情況下繼續(xù)增加。當(dāng)荷載達(dá)到了極大值，即臨界荷載之后，變位將迅速增加，這類失穩(wěn)為極值點(diǎn)失穩(wěn)。求解這類穩(wěn)定問題的極限荷載，需要采用非線性分析方法。

在實(shí)際結(jié)構(gòu)中，當(dāng)滿布對稱荷載時，拱軸線和壓力線也不一定完全吻合，此時拱一開始加載就可能出現(xiàn)帶有對稱彎曲變形的平衡狀態(tài)。然而當(dāng)荷載達(dá)到一定的臨界值時，拱仍然會發(fā)生分支點(diǎn)失穩(wěn)現(xiàn)象。理論研究表明:初始的對稱彎曲變形對拱的反對稱屈曲的臨界荷載的影響很小。因此，研究拱的平面屈曲時，我們可以近似的假設(shè)拱軸線與壓力線是吻合的，采用分支點(diǎn)屈曲理論。

2.2拱橋的平面屈曲

2.2.1圓弧拱及拋物線拱的屈曲

(1)圓弧拱的屈曲荷載

圓弧拱軸線線形簡單(如圖2)，全拱曲率相同，施工方便。其拱軸線方程：

圖2受徑向均布荷載的圓弧拱

由平衡條件和幾何關(guān)系可以推導(dǎo)出屈曲微分方程：

（2-1）

解此微分方程，并代入邊界，ψ=0，υ=0；ψ=2α，υ=0得兩鉸拱臨界應(yīng)力

把拱看成當(dāng)量的壓桿，引入有效屈曲長度的概念，轉(zhuǎn)化為中心壓桿的歐拉公式的標(biāo)準(zhǔn)形式

（2-2）

歸結(jié)成求拱的計算長度的問題，也就是涉及到邊界條件。

經(jīng)過理論計算，加之經(jīng)驗(yàn)和概率論數(shù)理統(tǒng)計，就得到了橋涵設(shè)計規(guī)范4.3.7給出的拱圈縱向穩(wěn)定時的計算長度取值。

為了實(shí)用的方便也可轉(zhuǎn)化為矢跨比和跨度作為影響因子

（2-3）

（2-4）

同理可得到無鉸拱和三鉸拱的臨界荷載。

將結(jié)果K1、K1’按矢跨比做成表格，這就得到了拱橋設(shè)計手冊上的表值。

通過理論的分析可以看出拱橋的穩(wěn)定性隨鉸數(shù)的增加而降低，無鉸拱穩(wěn)定性好于兩鉸拱;再則，各種拱的臨界荷載都在矢跨比0.25～0.3左右達(dá)到各自的最大值，因?yàn)樵贓Ix和L相同的情況下，若矢跨比很小，則拱弧長雖短，但均布荷載所產(chǎn)生的壓力大，反之，若矢跨比很大，則壓力雖小，但弧長較長。

(2)拋物線拱的屈曲荷載

在均布荷載作用下，拱的合理拱軸線是二次拋物線。故對于恒載分布比較接近均勻的拱橋，可以采用二次拋物線作為拱軸線。其軸線方程為：

（2-5）

在均布豎向鉛垂荷載作用下，雖然拱只承受軸向壓力而沒有彎矩，但是壓力沿拱軸線是變化的，并且拱的曲率也是變化的，因而其平衡微分方程是變系數(shù)的，直接求解比較困難，一般只能用數(shù)值法進(jìn)行計算。同圓弧拱一樣，拋物線拱的臨界荷載可按下式計算:

（2-6）

式中K1，為穩(wěn)定系數(shù)，它的值可以查表得到。

2.2.2拱橋的平面壓屈

大跨度拱橋的拱上結(jié)構(gòu)常布置連續(xù)的加勁梁。這樣當(dāng)拱屈曲時，加勁梁將隨同彎曲，因而增加拱的穩(wěn)定性。要獲得這類結(jié)構(gòu)的臨界荷載解析解是相當(dāng)困難的，一般只能求得其數(shù)值解。

如果拱橋的立柱剛度遠(yuǎn)比拱圈和梁的剛度小，可以假定各立柱上下端均系鉸結(jié)，以簡化問題。通過數(shù)值計算，可把數(shù)值這種簡化結(jié)構(gòu)的臨界荷載近似地寫成:

（2-7）

式中:K1一只有拱時的臨界荷載系數(shù);

Elb一加勁梁的抗彎剛度;

EIa一拱平面抗彎剛度。

對于上承式柔拱剛梁組合體系，臨界荷載可仿上式寫成:

（2-8）

在這種體系中，除按上式驗(yàn)算總體平面屈曲外，尚須同時驗(yàn)算拱在立柱間的局部彎曲。

如果拱的矢跨比很小，即通常所說的扁拱。式(2-8）可化為如下臨界水平推力的計算公式:

（2-9）

2.2.3拱橋的側(cè)傾失穩(wěn)

（1）單拱的側(cè)傾

若拱在面外沒有受到橫向荷載的作用，對于橫向剛度較小的拱，當(dāng)拱所承受的面內(nèi)荷載達(dá)到臨界值使拱軸線向豎平面之外偏離而出現(xiàn)側(cè)傾時，由于這一失穩(wěn)過程中出現(xiàn)了平衡分枝，所以它屬于第一類穩(wěn)定問題。當(dāng)臨界狀態(tài)下的應(yīng)力小于屈服應(yīng)力時，即為面外彈性屈曲，由于屬于空間問題，所以精確解就更為困難，只能采用近似解法。

平面的拱軸，在側(cè)傾后是一個空間的曲線，其位移與幾何關(guān)系·由曲線坐標(biāo)(如圖2)所示：

圖2側(cè)傾變形后的拱

根據(jù)平衡條件和幾何關(guān)系可以推導(dǎo)出空間彎扭側(cè)傾失穩(wěn)微分方程：

（2-10）

相對面內(nèi)屈曲，此方程更難獲得解析解，一般都采用數(shù)值方法。

研究發(fā)現(xiàn)拱橋的側(cè)傾穩(wěn)定性隨矢跨比的增加而提高;再則，用圓弧拱代替拋物線拱計算側(cè)傾臨界荷載，對坦拱是足夠精確的。

（2）組拼拱的側(cè)傾

組拼拱是指用橫向聯(lián)結(jié)系組拼起來的雙肋拱或多肋拱，也稱橫撐拱。這類拱的側(cè)傾臨界荷載在很大程度上取決于撐架的剛度和布置方式。

對于組拼拱，以往一般采用“當(dāng)量壓桿法”驗(yàn)算其側(cè)傾穩(wěn)定性。這種方法的基本思想是忽略拱的矢跨比、拱肋的抗扭剛度和橫撐繞順橋向水平軸線的抗彎剛度，將拱軸拉直，近似地把它視為一當(dāng)量的中心壓桿并按有綴板的組合壓桿屈曲臨界荷載公式計算組拼拱的側(cè)向屈曲臨界軸力，通常取較大的穩(wěn)定系數(shù)以保證橋梁的安全。研究結(jié)果表明:當(dāng)量壓桿法計算結(jié)果過于粗略，且偏于不安全。

下面簡單的介紹一下對于平式橫撐連接的雙肋拱，采用能量法推導(dǎo)其側(cè)傾臨界荷載。

沿拱軸環(huán)向設(shè)置了一系列切向平放的橫撐的組拼拱，當(dāng)組拼拱在外荷載作用下發(fā)生側(cè)傾失穩(wěn)時，二根拱肋除發(fā)生了整體變形外，每根平式橫撐將在切向平面內(nèi)發(fā)生S形的彎曲變形，同時拱肋還發(fā)生了局部撓曲變形。

1.拱的整體變形能

通常組拼拱的橫向聯(lián)接系比較弱，在計算整體變形能時，只考慮二根拱肋獨(dú)立產(chǎn)生的橫向彎曲和扭轉(zhuǎn)變形能，略去二根拱肋可能產(chǎn)生的軸向伸縮形成的拱截面整體彎曲變形能。一般組拼拱的二拱肋大小是相等的，故可只討論單根拱肋的變形能

（2-11）

2.局部彎曲變形能

組拼拱側(cè)傾后，拱肋點(diǎn)體變形繞Y軸的轉(zhuǎn)角γ，設(shè)拱肋由于在節(jié)間內(nèi)的局部變形在節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動了γ2角，則由于剛性節(jié)點(diǎn)上各桿的夾角保持不變，橫撐在節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角γ=γ-γ2?？赏茖?dǎo)出局部彎曲變形勢能

（2-12）

3.外力勢能

受徑向均布荷載的圓弧拱，發(fā)生側(cè)傾后，拱軸位置下降了v，外力勢能T于q在V上所作的功的負(fù)值

（2-13）

4.臨界荷載

組拚拱在側(cè)傾時產(chǎn)生的總勢能

（2-14）

利用最小能量駐值原理，對關(guān)于C的泛函取變分，考慮曲率影響，在拱肋局部變形部分乘上拱度影響系數(shù)，推導(dǎo)出平式橫撐聯(lián)結(jié)下臨界荷載

（2-15）

上式中的前一項(xiàng)反映了橫撐的剛度與其間距d對穩(wěn)定性的影響，減小橫撐間距和增大橫撐剛度都有利于提高雙肋拱的側(cè)傾穩(wěn)定性。

同樣方法得到立式橫撐、一般橫撐連接的雙肋拱的側(cè)傾臨界荷載。由于理論求解非常復(fù)雜，大部分形式的拱橋只能采用數(shù)值法求得近似值，建議采用空間有限元程序求解。

通過理論分析可以看出比較合理的方法是在拱頂或拱頂附近的區(qū)段設(shè)置關(guān)鍵性的幾根立式橫撐，以約束扭轉(zhuǎn)角和拱頂位移，而其余區(qū)段則布置平式橫撐。

3非線性分析理論

在鋼管混凝土拱橋工程實(shí)踐中，恒載壓力線與拱軸線的偏離、施工預(yù)拱度的設(shè)置、施工偏差導(dǎo)致的初變形、非對稱加載等因素使實(shí)際拱橋的失穩(wěn)形態(tài)大部分屬于第二類失穩(wěn)，即極值點(diǎn)失穩(wěn)問題。一般來說屈曲理論過高估計拱的臨界力。正確的應(yīng)考慮拱的變形影響和材料彈塑性的影響，按幾何非線性和材料非線性理論來求得拱橋的失穩(wěn)極限荷載，也通常稱為壓潰荷載。鋼管混凝土拱橋隨著跨徑的增大、材料強(qiáng)度的提高，在第二類失穩(wěn)破壞時結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出大位移、大應(yīng)變的特點(diǎn)。因此應(yīng)考慮結(jié)構(gòu)的幾何非線性和材料非線性問題。

3.1幾何非線性分析

對線性問題，一般是假設(shè)結(jié)構(gòu)發(fā)生小位移，根據(jù)變形前的位置來建立平衡方程。幾何非線性問題通常是由于結(jié)構(gòu)的位移已相當(dāng)大，以致必須按照變形后的幾何位置建立平衡方程。嚴(yán)格地說，所有平衡問題都應(yīng)采用變形后的幾何位置寫出其平衡方程。不過，如果位移很微小，使得變形或位移對平衡條件影響可以忽略時，則可利用變形前的幾何位置來建立平衡條件。由于位移變化產(chǎn)生的二次內(nèi)力不能忽略，放棄小位移的假設(shè)，從幾何上嚴(yán)格分析單元體的尺寸、形狀變化，整個結(jié)構(gòu)的平衡方程應(yīng)按變形以后的位置來建立，荷載一變形為非線性，此時疊加原理不再適用。

不同理論導(dǎo)出的兩種方法T.L列式與U.L列式，分別是采用參照描述和相關(guān)描述的方法，都是以已知位形為基準(zhǔn)的，都屬于Lagrangian描述，只是選取的基準(zhǔn)有所不同。寫成T.L列式

（3-1）

式中大變形剛度矩陣，

由于U.L列式中，平衡方程中的積分在t時刻單元體積內(nèi)完成，因此代表大撓度的剛度矩陣可以省略，這是T.L列式與U.L列式最大的區(qū)別

（3-2）

3.2材料非線性

材料非線性是由材料的非線性應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系引起基本控制方程的非線性問題。這種非線性特點(diǎn)是材料不滿足胡克定律。結(jié)構(gòu)在承受超載時部分材料應(yīng)力超過比例極限，進(jìn)入塑性變形范圍，破壞與損傷從這些區(qū)域開始，導(dǎo)致最終結(jié)構(gòu)失穩(wěn)。應(yīng)力超過彈性極限后，材料彈性模量E不再是常數(shù)，而是成為應(yīng)力的函數(shù)，導(dǎo)致基本控制方程的非線性。研究材料非線性問題，對于分析結(jié)構(gòu)極限承載力，解冷橋粱非繪性穩(wěn)寧問題有著十分重要的煮義。

考慮材料非線性后，彈性矩陣［D］將不再是常數(shù)，而是應(yīng)變{ε}的函數(shù)，從而也是位移cas5eq1的函數(shù)

（3-3）

其表達(dá)式為

（3-4）

材料非線性問題分析求解時，單元的EI，EA隨受力歷程不斷發(fā)生變化，因而[k]不為常量，結(jié)構(gòu)的整體平衡方程是如下的非線性方程組

（3-5）

式中：——不平衡力；——與位移相關(guān)的剛度矩陣；——節(jié)點(diǎn)位移列陣；——節(jié)點(diǎn)荷載列陣。

3.3求解方法

求解非線性問題的方法基本可分為三類:迭代法，增量法和混合法。

（1）迭代法

迭代法(總荷載法)，即對總荷載進(jìn)行線性化處理。采用循環(huán)減小內(nèi)外不平衡力差值，不斷逼近極限荷載，直到差值小到規(guī)定的值。其中有直接迭代法(割線法)、Newton-Raphson法(切線剛度法)、修正的Newton-Raphson法(初始剛度法)、擬Newton-Raphson法(割線剛度矩陣迭代法的主要應(yīng)用)等等。

直接迭代法較為簡單，但收斂速度慢，且可能出現(xiàn)迭代過程的不穩(wěn)定，實(shí)際中較少采用此法。切線剛度法在求解下一個荷載步時會修正結(jié)構(gòu)剛度矩陣，而初始剛度法則克服了在每次迭代過程中必須解全部新方程的困難，使用初始的剛度矩陣，但這樣做收斂較慢。

用迭代法求解非線性問題時，一次施加全部荷載，然后逐步調(diào)整剛度，使基本方程得到滿足。迭代法的計算量相對小一些，對計算精度也能加以控制。但迭代法不能給出荷載—位移過程曲線，適用范圍也小一些。

在迭代法計算中，為了中止迭代過程，必須確定一個收斂的標(biāo)準(zhǔn)。實(shí)際應(yīng)用中，有兩種量是常用的:一個是用不平衡節(jié)點(diǎn)力;另一個是用位移增量。

（2）增量法

增量法(逐步法)，即對增量進(jìn)行線性化處理。將整個荷載變形過程劃分為一連串增量段，每一增量段中結(jié)構(gòu)的荷載反應(yīng)被近似地線性化。增量法實(shí)質(zhì)是用一系列線性問題去近似非線性問題，用分段線性的折線去代替非線性曲線，逐步求解過程就是累積線性彈性解的過程。增量法的主要缺點(diǎn)是無法判斷其解偏離精確解的近似程度。

常見的有荷載增量法、撓度增量法和曲率增量法，其中用后兩種方法較易獲得曲線的下降段。在荷載增量法中主要有:Euler-Cauchy法、修正的Euler-Cauchy法、半增量法等。

增量法的一個優(yōu)點(diǎn)是適用范圍廣泛，即其通用性強(qiáng);另一個優(yōu)點(diǎn)是它可提供荷載—位移全過程曲線。但增量法不知道近似解與真解相差多少。

（3）混合法

混合法則是對同一非線性方程組混合使用增量法和迭代法。如Euler-Newton法、Euler-修正的Newton法、Euler-擬Newton法、Eule一次迭代法，等等?；旌戏ňC合了迭代法和增量法的優(yōu)點(diǎn)，某種程度上克服了各自的缺點(diǎn)，雖然計算量更大，但計算精度提高了，而且可以判斷每一增量步終了時刻解的近似程度，尤其在荷載，變形的全過程分析中，需要比較準(zhǔn)確的輸出每一荷載增量末的位移值，此時采用混合法是較好的選擇。

4結(jié)語

眾所周知，實(shí)際拱的失穩(wěn)大部分屬于第二類穩(wěn)定，二類失穩(wěn)實(shí)際是非線性作用的結(jié)果，目前采用的線彈性理論會過高的估計安全系數(shù)。所以，精確地給出計入非線性后對穩(wěn)定計算的影響是非常重要的。隨著拱橋跨度越來越大，原有的計算方法已經(jīng)不能滿足工程需要，對拱橋穩(wěn)定性考慮非線性計算，已成為橋梁學(xué)者研究的方向。本文只是簡單地介紹了一下穩(wěn)定性計算理論和方法。

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