最簡二次根式的數(shù)學教案

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1.教材分析

本節(jié)是在前兩節(jié)的基礎(chǔ)上，從實際運算的客觀需要出發(fā)，引出最簡二次根式的概念，然后通過一組例題介紹了化簡二次根式的方法.本小節(jié)內(nèi)容比較少(求學生了解最簡二次根式的概念并掌握化簡二次根式的方法)，但是本節(jié)知識在全章中卻起著承上啟下的重要樞紐作用，二次根式性質(zhì)的應(yīng)用、二次根式的化簡以及二次根式的運算都需要最簡二次根式來聯(lián)接.

(1)知識結(jié)構(gòu)

(2)重難點分析

①本節(jié)的重點Ⅰ.最簡二次根式概念

Ⅱ.利用二次根式的性質(zhì)把二次根式化簡為最簡二次根式.

重點分析本章的主要內(nèi)容是二次根式的性質(zhì)和運算，但自始至終圍繞著二次根式的化簡和運算.二次根式化簡的最終目標就是最簡二次根式;而二次根式的運算則是合并同類二次根式，怎樣判定同類二次根式，是在化簡為最簡二次根式的基礎(chǔ)上進行的.因此本節(jié)以二次根式的概念和二次根式的性質(zhì)為基礎(chǔ)，內(nèi)容雖然簡單，在本章中卻起著穿針引線的作用，教師在教學中應(yīng)給于極度重視，不可因為內(nèi)容簡單而采取弱化處理;同時初二學生代數(shù)成績的分化一般是由本節(jié)開始的，分化的根本原因就是對最簡二次根式概念理解不夠深刻，遇到相關(guān)問題不知怎樣操作，具體操作到哪一步.

②本節(jié)的難點是化簡二次根式的方法與技巧.

難點分析化簡二次根式，實際上是二次根式性質(zhì)的綜合運用.化簡二次根式的過程，一般按以下步驟：把根號下的帶分數(shù)或絕對值大于1的小數(shù)化成假分數(shù)，把絕對值小于1的小數(shù)化成分數(shù);被開方數(shù)是多項式的要因式分解;使被開放數(shù)不含分母;將被開方數(shù)中能開的盡方的因數(shù)或因式用它的算術(shù)平方根代替后移到根號外面;化去分母中的根號;約分.所以對初學者來說，這一過程容易出現(xiàn)符號和計算出錯的問題.熟練掌握化簡二次根式的方法與技巧，能夠進一步開拓學生的解題思路，提高學生的解題能力.

③重難點的解決辦法是對于最簡二次根式這一概念，并不要求學生能否背出定義，關(guān)鍵是遇到實際式子能夠加以判斷.因此建議在教學過程中對概念本身采取弱化處理，讓學生在反復練習中熟悉這個概念;同時教學中應(yīng)充分對最簡二次根式概念理解后應(yīng)用具體的實例歸納總結(jié)出把一個二次根式化為最簡二次根式的方法，在觀察對比中引導學生總結(jié)具體解決問題的方法技巧.

另外，化簡運算在本節(jié)既是重點也是難點，學生在簡潔性和準確性上都容易出現(xiàn)問題，因此建議在教學過程中多要求學生觀察二次根式的特點――根據(jù)其特點分析運用哪條性質(zhì)、哪種方法來解答，培養(yǎng)學生的分析能力和觀察能力――多要求學生注意每步運算的根據(jù)，培養(yǎng)學生的嚴謹習慣.

2.教法建議

素質(zhì)教育和新的教改精神的根本是增強學生學習的自主性和學生的參與意識，使每一個學生想學、愛學、會學。因此教師設(shè)計教學時要充分考慮到學生心理特點和思維特點，充分發(fā)揮情感因素，使學生完全參與到整個教學中來。

⑴在復習引入時要注意每個學生的反映，對預(yù)備知識掌握比較好的學生要用適當?shù)姆绞浇o于表揚，掌握差一些的學生要給予鼓勵和適當?shù)闹笇В姑恳粋€學生愉快的進入下一個環(huán)節(jié)。

⑵學生自主學習時段，教師要注意學生的反饋情況，根據(jù)學生的反饋情況和學生的層次采取適當?shù)姆绞綄π枰獛椭膶W生給予幫助，中上等的學生可以啟發(fā)，中等的學生可以與他探討，偏后的學生可以幫他分析.

一.教學目標

1.了解最簡二次根式的意義，并能作出準確判斷.

2.能熟練地把二次根式化為最簡二次根式.

3.了解把二次根式化為最簡二次根式在實際問題中的應(yīng)用.

4.進一步培養(yǎng)學生運用二次根式的性質(zhì)進行二次根式化簡的能力，提高運算能力.

5.通過多種方法化簡二次根式，滲透事物間相互聯(lián)系的辯證觀點.

6.通過本節(jié)的學習，滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.

二.重點難點

1.教學重點會把二次根式化簡為最簡二次根式

2.教學難點準確運用化二次根式為最簡二次根式的方法

三.教學方法

程序式教學

四.課時安排

2課時

五.教學過程

1.復習引入

教師準備本節(jié)內(nèi)容需要的二次根式的性質(zhì)和與性質(zhì)相關(guān)例題、練習題以及引入材料.

預(yù)備資料

⑴.二次根式的性質(zhì)

⑵.二次根式性質(zhì)例題

⑶.二次根式性質(zhì)練習題

引入材料

看下面的問題：

已知：=1.732，如何求出的近似值?

解法1：

解法2：

比較兩種解法，解法1很繁，解法2較簡便，比例說明，將二次根式化簡，有時會帶來方便.

2.概念講解與鞏固

學生閱讀教師預(yù)備的材料，理解后自主完成教師準備的正選練習題，每完成一套與教師交流一次，在教師的指示下繼續(xù)進行.教師要及時了解學生對最簡二次根式概念的反饋情況，如果掌握比較理想，則要求進入下一步操作，否則應(yīng)與學生進行適當溝通，如需要可從備選練習題選擇鞏固.

概念講解材料

滿足下列條件的二次根式，叫做最簡二次根式：

(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式;

(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

如:都不是最簡二次根式，因為被開方數(shù)的因數(shù)(或系數(shù))為分數(shù)或因式為分式，不符合條件(1)，條件(1)實際上就是要求被開方數(shù)的分母中不帶根號.

又如也不是最簡二次根式，因為被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)或因式，不滿足條件(2).注意條件(2)是對被開方數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)或分解成因式后而言的，如.

判斷一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查定義中的兩個條件是否同時滿足，同時滿足兩個條件的就是，否則就不是.

概念理解學習材料1

例1下列二次根式中哪些是最簡二次根式?哪些不是?為什么?

分析：判斷一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查定義中的兩個條件是否同時滿足，同時滿足兩個條件的就是，否則就不是.

解：最簡二次根式有，因為

被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)9，所以它不是最簡二次根式.

說明：判斷一個二次根式是否為最簡二次根式主要方法是根據(jù)最簡二次根式的定義進行，或直觀地觀察被開方數(shù)的每一個因數(shù)(或因式)的指數(shù)都小于根指數(shù)2，且被開方數(shù)中不含有分母，被開方數(shù)是多項式時要先因式分解后再觀察。

概念理解鞏固材料1

正選練習題1

判斷下列各式是否是最簡二次根式?

備選選練習題1

判斷下列各式是否是最簡二次根式?

概念理解學習材料2

例2判斷下列各式是否是最簡二次根式?

分析：(1)顯然滿足最簡二次根式的兩個條件.

(2)或

解：最簡二次根式只有，因為

或

說明：最簡二次根式應(yīng)該分母里沒根式，根式里沒分母(或小數(shù)).

概念理解鞏固材料2

正選練習題2

判斷下列各式是否是最簡二次根式?

備選選練習題2

判斷下列各式是否是最簡二次根式?

概念理解

學習材料3

例3判斷下列各式是否是最簡二次根式?

分析：最簡二次根式應(yīng)該分母里沒根式，根式里沒分母(或小數(shù))來進行判斷發(fā)現(xiàn)和是最簡二次根式，而不是最簡二次根式，因為

在根據(jù)定義知也不是最簡二次根式，因為

解：最簡二次根式有和，因為

，

.

概念理解鞏固材料3

正選練習題3

判斷下列各式是否是最簡二次根式?

備選選練習題3

判斷下列各式是否是最簡二次根式?

題目可根據(jù)學生實際情況選擇2-3道.

概念理解學習材料4

例4判斷下列各式是否是最簡二次根式?

分析：被開方數(shù)是多項式的要先分解因式再進行觀察判斷.

(1)不能分解因式，顯然滿足最簡二次根式的兩個條件.

(2)

解：最簡二次根式只有，因為

.

說明：被開方數(shù)比較復雜時，應(yīng)先進行因式分解再觀察.

概念理解鞏固材料4

正選練習題4

判斷下列各式是否是最簡二次根式?

備選選練習題4

判斷下列各式是否是最簡二次根式?

題目可根據(jù)學生實際情況選擇2-3道.

3.化簡二次根式為最簡二次根式方法學習與鞏固

學生閱讀教師預(yù)備的材料，理解后自主完成教師準備的正選練習題，每完成一套與教師交流一次，在教師的指示下繼續(xù)進行.教師要及時了解學生對二次根式化簡的反饋情況，如果掌握比較理想，則要求進入下一步操作，否則應(yīng)與學生進行適當溝通，如需要可從備選練習題選擇鞏固.

化簡方法學習材料1

例1把下列二次根式化為最簡二次根式

分析：本例題中的2道題都是基礎(chǔ)題，只要將被開方數(shù)中能開的盡方的因數(shù)或因式用它的算術(shù)平方根代替后移到根號外面即可.

解：

化簡方法鞏固材料1

正選練習題1

化簡

備選練習題1

化簡

題目可由教師根據(jù)學生情況準備.

化簡方法學習材料2

例2把下列二次根式化為最簡二次根式

分析：本例題中的2道題被開方數(shù)都是多項式，應(yīng)先進行因式分解.

解：

說明：被開方數(shù)中能開的盡方的因數(shù)或因式的算術(shù)平方根移到根號外面后要注意符號問題.

在化簡二次根式時，要防止出現(xiàn)如下的錯誤:

等等.

化簡二次根式的步驟是：

(1)把被開方數(shù)(或式)化成積的形式，即分解因式.

(2)化去根號內(nèi)的分母，即分母有理化.

(3)將根號內(nèi)能開得盡方的因數(shù)(式)開出來.

化簡方法鞏固材料2

正選練習題2

化簡

備選練習題2

化簡

題目可由教師根據(jù)學生情況準備.

化簡方法學習材料3

例3把下列二次根式化為最簡二次根式

分析：被開方式比較復雜時，要先對被開方式進行處理。

解：

說明：運算中要注意運算的準確性和合理性.

化簡方法鞏固材料3

正選練習題3

化簡

備選練習題3

化簡

題目可由教師根據(jù)學生情況準備.

4.小結(jié)

⑴最簡二次根式概念

⑵二次根式的化簡

化簡二次根式的過程，一般按以下步驟：把根號下的帶分數(shù)或絕對值大于1的小數(shù)化成假分數(shù)，把絕對值小于1的小數(shù)化成分數(shù);被開方數(shù)是多項式的要因式分解;使被開放數(shù)不含分母;將被開方數(shù)中能開的盡方的因數(shù)或因式用它的算術(shù)平方根代替后移到根號外面;化去分母中的根號;約分.