排列與組合范文

導(dǎo)語(yǔ)：如何才能寫(xiě)好一篇排列與組合，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

【關(guān)鍵詞】排列組合思考方法解題學(xué)習(xí)方法

數(shù)學(xué)是一門訓(xùn)練思維的學(xué)科，中學(xué)階段學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，主要是通過(guò)例題引進(jìn)有關(guān)概念，性質(zhì)等，“排列與組合”一章對(duì)學(xué)生思維訓(xùn)練是至關(guān)重要的。因而教師在例題的選取上是值得研究的，所選的題目不但要具有典型性和代表性，還要有內(nèi)在聯(lián)系及其變化，這樣便于對(duì)問(wèn)題進(jìn)行聯(lián)系比較，對(duì)知識(shí)的理解也就更加深刻透徹，有利于培養(yǎng)學(xué)生深入鉆研教材的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。

排列與組合一章的概念、性質(zhì)、公式的靈活應(yīng)用都需要較高的抽象思維能力，關(guān)于它們的應(yīng)用題往往具有以下特征：（1）題目的條件往往很隱晦，一般這種有約束條件的應(yīng)用題情況較復(fù)雜且較抽象，（2）答 數(shù)較大，不便作直接檢驗(yàn)，難于鑒別是否正確。要使學(xué)生達(dá)到“能懂、會(huì)用”的目的，必須配合適量的例題。

一、排、組應(yīng)用題

1、排列應(yīng)用題

（1）定位問(wèn)題：某個(gè)（些）元素必須在某個(gè)（些）位置上，或某個(gè)（些）位置必須排某個(gè)（些）元素，應(yīng)先排特殊元素或特殊位置。

（2）缺位問(wèn)題：即某個(gè)（些）元素不能排在某個(gè)（些）位置上，這類問(wèn)題可采用直接、間接兩種辦法。

（3）相鄰與不相鄰問(wèn)題：相鄰問(wèn)題可用“捆綁”法；不相鄰問(wèn)題可用“插空法”。

2、組合應(yīng)用題

（1）“至多、至少”問(wèn)題

這種問(wèn)題中元素常分為兩種不同屬類；其中某一屬類中至多（少）有幾個(gè)元素入選，應(yīng)把所有情況按某一屬類元素的入選個(gè)數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確的分類或采用間接法。

（2）幾何中的組合問(wèn)題

（3）分組分配問(wèn)題

二、夯實(shí)基礎(chǔ)，深刻理解兩個(gè)原理

加法、乘法原理是學(xué)習(xí)排列組合的思想基礎(chǔ)，又是分析、解決問(wèn)題的主要依據(jù)；加法原理中的“方法間的獨(dú)立、不相容性”可結(jié)合例題理解。乘法原理中“步驟與方法間的相依、不相交性”亦應(yīng)很好理解。

典型例題

（1）雙基的訓(xùn)練

例1.解方程=P42n+1=140P3n

分析：必須注意到2n+1≥4且n≥3.n∈N

例2.已知Pmn=120Pmn+1=360，求n，m

分析：考慮Pmn=n.（n-1）…（n-m+1）特征。

Pmn=120=5·4·3·2=6·5·4=P36=P45

Pmn+1 =360=6·5·4·3=P46 n=5，m=4

例3.計(jì)算：C15+C25…+P55

分析一：逐個(gè)計(jì)算原式=31

分析二：利用公式Con+C1n…+Cnn=2n

（2）培養(yǎng)思維的廣闊性、靈活性和深刻性

例：某學(xué)生有語(yǔ)文書(shū)8本，數(shù)學(xué)書(shū)6本，外語(yǔ)書(shū)3本，（每本書(shū)不同）按要求完成以下問(wèn)題：

1、（1）從上面三類書(shū)中任取一本，有幾種不同取法？

（2）從三類書(shū)中各取一本，有幾種不同取法？

分析：兩小題僅一字之差

（1）C18+6+3=17 （2）C18C16C13=144

2、（1）把語(yǔ)文書(shū)排在書(shū)架的一層上，有幾種不同擺法？ （P88）

（2）把語(yǔ)文書(shū)中選5本擺在書(shū)架的一層上，有幾種不同擺法？（P58）

3、（1）把語(yǔ)文書(shū)擺在書(shū)架一層上，但甲不在最左邊，有幾種不同擺法？

（2）把語(yǔ)文書(shū)擺在書(shū)架一層上，但甲不在最左，乙不在最右，有幾種不同擺法？

分析：這是特殊元素，特殊位置排列

（1）P17P77（2）P88+2P77+P66或P77+P16P16P66

4、（1）把語(yǔ)文書(shū)擺在書(shū)架兩層，第一層5本，第二層3本，有幾種不同放法？

（2）把語(yǔ)文書(shū)擺在書(shū)架兩層，有幾種不同擺法？

分析：

（1）分步P58P33或P38·P55

（2）8本書(shū)擺在兩層和擺在一層進(jìn)行全排列是一樣的。

5、（1）把三類書(shū)擺在書(shū)架的同一層，要求同類在一起有幾種不同擺法？

（2）把三類書(shū)中兩類擺在同一層，要求同類在一起有幾種不同擺法？

分析：（1）捆綁法 P33（P88P66P33）

（2）分類：P22（P88P66+P88P33+P66P33）

6、（1）在三類書(shū)中僅取2本，有幾種不同取法？

（2）在三類書(shū)中各取2本，有幾種不同取法？

分析：（1）C28+6+3=136 （2） C28·C26·C23=1260

7、（1）語(yǔ)文書(shū)中選5本擺在書(shū)架的一層上，其中一定要有書(shū)甲

（2）語(yǔ)文書(shū)擺在書(shū)架的兩層上，第一層5本，其中包括甲、乙第二層3本。

以上兩問(wèn)分別有幾種不同擺法？

分析：（1）C47P55（2）C35P55P33

8、（1）把語(yǔ)文書(shū)擺在架上一層的5個(gè)空檔中，每個(gè)空檔放一本。

（2）把語(yǔ)文書(shū)擺在書(shū)架一層的15個(gè)空檔中，每個(gè)空檔放一本。 它們分別有幾種方法？

分析：利用分步法

（1） P58或C58P55（2） C815P88或P815

9、（1）把語(yǔ)文書(shū)平均分給2人，有幾種不同分法？

（2）把語(yǔ)文書(shū)平均分成2堆，有幾種不同分法？

分析：（1）可讓一人先取4本，余下的給另一人。

C48C442！·2！=70，或C48=70

（2）C48C44P22=35小結(jié)：

1。.均勻分組：

有n個(gè)人分成m組，每組r人，共有CrnCrn-r∧Crr/m！（種）

2。均勻分書(shū)：

有n個(gè)不同書(shū)分給m個(gè)人，每人r本，共有CrnCrn-r∧Crr（種）

10、（1）從語(yǔ)文書(shū)中取4本，數(shù)學(xué)書(shū)中取3本，外語(yǔ)書(shū)中取2本，分類放在書(shū)架的一層，有幾種不同放法？

（2）從語(yǔ)文書(shū)中取4本，數(shù)學(xué)書(shū)中取3本；或從語(yǔ)文書(shū)中取4本，外語(yǔ)書(shū)中取2本，分類放在書(shū)架的一層，有幾種不同的法？

分析：

（1）分步排列：（P48P36P23）P33

（2）分類、分步排列：P48P36P22+P48P23P22

11、（1）若8本語(yǔ)文書(shū)有3本相同，排在書(shū)架的一層上有幾種不放法？

（2）把語(yǔ)文書(shū)放在書(shū)架的6層上，每本書(shū)可以任意放在某一層，有幾種不同放法？

分析：

（1）3本不同書(shū)有3！種排法，若3本相同，則只有一種，本題可按相異元素排列，再除以3！，共有8！3！=6720種

篇2

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；排列與組合；順序

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2013）23-0139

在排列組合問(wèn)題中，由于元素的順序已定，即使是“沒(méi)有差別的元素”，但由于其順序不同，導(dǎo)致這些元素也應(yīng)該看作不同的元素；如在進(jìn)行的十次射擊中，第一槍、第二槍都命中目標(biāo)，但由于它們的順序不同，故應(yīng)看作不同的元素；在解決這些與順序有關(guān)的計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，可用排列、組合的常規(guī)模型進(jìn)行求解，但在求解方法種數(shù)時(shí)，由于受到順序的影響，可根據(jù)實(shí)際情況靈活運(yùn)用排列、組合的常規(guī)模型。

一、排列與組合在與順序有關(guān)的問(wèn)題中的區(qū)別

例1. 飛碟（隸屬射擊項(xiàng)目），是奧運(yùn)會(huì)射擊比賽項(xiàng)目之一，由于其近似狩獵活動(dòng)，趣味性強(qiáng)，深受人們的歡迎。某人在飛碟射擊項(xiàng)目中射擊8槍，命中4槍。

（1）命中的4槍中有恰好有兩個(gè)兩槍連續(xù)命中（不能出現(xiàn)四槍連續(xù)命中），有多少種不同的情況？

（2）命中的4槍中有且僅有三槍連續(xù)命中，有多少種不同的情況？

分析：（1）因?yàn)槭莾蓸屵B續(xù)命中，可把連續(xù)命中的兩槍“捆綁”在一起.由于兩個(gè)“捆綁”在一起的“大元素”不相鄰，可以采用插空法解決問(wèn)題，但由于射擊的順序已定，不需對(duì)沒(méi)有命中目標(biāo)的射擊（即不受限制的元素）再進(jìn)行排列，又由于“捆綁”在一起兩個(gè)的“大元素”之間沒(méi)有差別，屬組合問(wèn)題；（2）解法同（1），但由于“捆綁”在一起的“大元素”與另一命中目標(biāo)的一槍不相同，屬于排列問(wèn)題。

解：（1）把兩個(gè)連續(xù)命中目標(biāo)的兩槍“捆綁”在一起，形成兩個(gè)“大元素”，且這兩個(gè)“大元素”不相鄰，使用插空法。命中目標(biāo)的4槍除外，還剩沒(méi)有命中目標(biāo)的4槍。

第一步，這剩余的4槍都是沒(méi)有命中目標(biāo)，元素相同，其排法只有一種；

第二步，把兩個(gè)相同的“大元素”插入已經(jīng)排好的4槍形成的5個(gè)空中，有C2種插法。

（如圖所示，

如選中第一、第三個(gè)空位，則相當(dāng)于第1，2，5，6槍命中目標(biāo)）

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，其所有情況數(shù)有C2=10種。

（2）把連續(xù)命中目標(biāo)的三槍“捆綁”在一起，形成一個(gè)“大元素”，且這個(gè)“大元素”與命中目標(biāo)的另一槍不相鄰，使用插空法，命中目標(biāo)的4槍除外，還剩沒(méi)有命中目標(biāo)的4槍。

第一步，這剩余的4槍都是沒(méi)有命中目標(biāo)，元素相同，其排法只有一種；

第二步，把“捆綁”在一起的“大元素”和命中目標(biāo)的另一槍共兩個(gè)不相同的元素，插入已經(jīng)排好的4槍形成的5個(gè)空中，有A2種插法。

（如圖所示，

如選中第一、第三個(gè)空位，則相當(dāng)于第1，2，3，6槍命中目標(biāo)）

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，其所有情況數(shù)有A2=20種。

點(diǎn)評(píng)：本題實(shí)際上還是考查了不相鄰問(wèn)題，對(duì)于不相鄰問(wèn)題，我們往往利用了“插空法”使問(wèn)題順利地解決。

二、與順序有關(guān)的最短距離問(wèn)題

例2. 如圖是由12個(gè)小正方形組成的3×4矩形網(wǎng)格，一質(zhì)點(diǎn)沿網(wǎng)格線從A點(diǎn)到B點(diǎn)的不同路徑之中，最短路徑有多少條？

分析：從A點(diǎn)走到B點(diǎn)最短路線的做法，即只能向右或向下走，且只能走7步。這7步的順序一定，向同一方向的可看著相同元素，所以只要在7步中確定哪些步向下即可解決問(wèn)題。

解：總攬全局：把質(zhì)點(diǎn)沿網(wǎng)格線從點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短路徑分為七步，其中四步向右，三步向下，不同走法的區(qū)別在于哪三步向下，

因此，本題的結(jié)論是：C3=35。

點(diǎn)評(píng)：觀察分析并能通過(guò)分析得出解決問(wèn)題的模型是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵。

三、可轉(zhuǎn)換為與順序有關(guān)的排列組合問(wèn)題

例3. （1）在連續(xù)自然數(shù)100，101，102，……999中，對(duì)于0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，取三個(gè)不同且不相鄰的數(shù)字按遞增或遞減的順序排成的三位數(shù)有 個(gè)。

分析：要完成這件事情需分兩大步，第一步，從0到9這十個(gè)數(shù)字中選出三個(gè)不同且不相鄰的數(shù)字，第二步，把選出的數(shù)字按遞增或遞減的順序排列。難點(diǎn)在于第一步，但我們可以先借鑒例1的經(jīng)驗(yàn)解決此問(wèn)題。

解：第一類，選出的三個(gè)數(shù)字中含有“0”。

第一步，從剩余的9個(gè)數(shù)字中選出另兩個(gè)數(shù)字，如圖所示，

從可插空的8個(gè)位置中選出2個(gè)（如選第一、第五個(gè)空相當(dāng)于選擇數(shù)字1，5）共有種選法；

第二步，由于有數(shù)字“0”，所以只能按遞增進(jìn)行排列，各組數(shù)字各有一種排法，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得含有數(shù)字有“0”且滿足題意的數(shù)字共有C2×1個(gè)。

第二類，選出的數(shù)字不含數(shù)字“0”

第一步，從剩余的9個(gè)數(shù)字中選出另三個(gè)數(shù)字，如圖所示，

從可插空的7個(gè)位置中選出3個(gè)（如選第一、第二、第五個(gè)空相當(dāng)于選擇數(shù)字1，3，7）共有C3種選法；

第二步，選出的數(shù)字按照題意有遞增和遞減兩種排列方法，

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得含有數(shù)字有“0”且滿足題意的數(shù)字共有C3×2個(gè)。

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，可得滿足題意的數(shù)字共有C2×1+C3×2=98個(gè)。

篇3

關(guān)鍵詞：不定方程；排列組合；綜合應(yīng)用

在排列組合的問(wèn)題中，我們常常會(huì)碰到把若干相同的元素分成幾組，每個(gè)組至少要有一個(gè)元素，問(wèn)分法數(shù)有幾種？其問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是用隔板法求排列組合數(shù)的問(wèn)題.隔板法中強(qiáng)調(diào)的是每組元素的個(gè)數(shù)，而與每組包含哪個(gè)元素?zé)o關(guān).

常見(jiàn)的隔板法問(wèn)題如下：

例1 （1）6本完全相同的書(shū)分給4人，每人至少1本，有幾種分法？

（2）6本完全相同的書(shū)分給4人，允許有人分不到書(shū)，有幾種分法？

分析：（1）可以設(shè)想把6本書(shū)排成一排，要分成4堆，可以想象成用了3塊板插到5個(gè)空位中，第一塊板之前的為第一個(gè)人得書(shū)數(shù)，第一塊板和第二塊板之間的為第二個(gè)人得書(shū)數(shù)，第二塊板和第三塊板之間的為第三個(gè)人得書(shū)數(shù)，第三塊板以后的為第四個(gè)人得書(shū)數(shù)，故排法數(shù)有C■=10種.

（2）可以在（1）的基礎(chǔ)上，將“允許有人分不到書(shū)”與“至少有一本”建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，由“0”個(gè)變?yōu)椤?”問(wèn)題等價(jià)于有10本相同的書(shū)分給4人，每人至少有一本，即分法數(shù)有C■=84種.

我們可以將上面兩種問(wèn)題歸類，可看成隔板法的兩種基本模型.

模型1 不定方程x1+x2+…+xn=m. （m，n∈N*，且m≥n≥1）的正整數(shù)解（x1，x2，…，xn）的個(gè)數(shù).

分析：正整數(shù)中最小值為1，即至少取1，故解的個(gè)數(shù)有C■種.

模型2 不定方程x1+x2+…+xn=m（m，n∈N*，且m≥n≥1）的非負(fù)整數(shù)解（x1，x2，…，xn）的個(gè)數(shù).

分析：由0≤x1，x2，…，xn≤m. 不妨令x1=y1-1，x2=y2-1，…，xn=yn-1，則y1+y2+…+yn=m+n，其中1≤y1，y2，…，yn≤m+1，即原不定方程的非負(fù)整數(shù)解即為不定方程y1+y2+…+yn=m+n的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，即C■.

然而，在我們經(jīng)常碰到的問(wèn)題中，每組的數(shù)目要求不盡相同，且被分的元素又要區(qū)別對(duì)待，該如何根據(jù)實(shí)際情況分組呢？建立在以上兩個(gè)基礎(chǔ)模型的基礎(chǔ)上，我們可以這樣解決此類問(wèn)題.例如：

例2 （1）8名男生與25名女生排成一列，任意相鄰兩名男生之間至少有兩名女生的排法有多少種？

（2）8名男生與25名女生沿圓周排成一圈，任意相鄰兩名男生之間至少有兩名女生的排法有多少種？

分析與解法：（1）首先將8名男生排成一列，共有Α■=40320種. 8個(gè)男生之間可產(chǎn)生9個(gè)空格，為求女生的排法，先將這些空格所排的女生依次記為x1，x2，x3，…，x9，顯然有x1+x2+x3+…+x9=25.

依題設(shè)，x1≥0，xi≥2（i=2，3，…，8），x9≥0，女生插空方法數(shù)對(duì)應(yīng)著方程x′1+x′2+x′3+…+x′9=20的正整數(shù)解個(gè)數(shù)為C■.而每一種插空方法對(duì)應(yīng)著女生的A■種排列，所以所求的排法數(shù)有：C■Α■A■種.

（2）首先考慮將8個(gè)男生排成一排，共有Α■種排列方法，先將排列好的8個(gè)男生身后再排上若干個(gè)女生，將排上的女生數(shù)依次記為x1，x2，x3，…，x8，顯然x1+x2+x3+…+x8=25，其中xi≥2（i=1，2，…，8）.由前面的例子可知，方程合乎要求的解有C■組，對(duì)于每一組符合要求的解對(duì)應(yīng)著A■種女生的排列組成圓排列時(shí)，方法種數(shù)一共有：■?C■A■A■種.

問(wèn)題的拓展：把1996個(gè)女生和10個(gè)男生排成一列，自左至右每相鄰兩個(gè)男生之間分別至少有4、5、6、7、8、9、10、11、12名女生，問(wèn)有多少種不同的排法？

分析與解法：首先將10名男生排成一排共有A■種排法，10個(gè)男生之間可產(chǎn)生11個(gè)空格，為求女生的排法，先將這些空格所排的女生依次記為x1，x2，x3，…，x11. 顯然有x1+x2+x3+…+x11=1996.

依題設(shè)，x1≥0，x2≥4，x3≥5，…x10≥12，x11≥0，女生插空的方法對(duì)應(yīng)著方程x′1+x′2+x′3+…+x′11=1996+2-（3+4+…+11），

篇4

關(guān)鍵詞：排列與組合；分類加法原理；分步乘法原理

關(guān)于排列與組合問(wèn)題的解決是要講究方法和策略的。首先，要認(rèn)真審題，弄清楚是完成“什么樣的一件事”。其次，要分析出完成的“這件事”是屬于哪一類排列與組合問(wèn)題，即先從整體上給出一個(gè)定性的分析。最后，要思考“怎樣完成這件事”：結(jié)合各類排列與組合問(wèn)題其特有的解題策略和兩個(gè)計(jì)數(shù)原理即分類加法、分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)數(shù)。一個(gè)排列與組合問(wèn)題解決的對(duì)與錯(cuò)還應(yīng)該注意以下兩點(diǎn)：首先，思考、分析、解決問(wèn)題要做到不重復(fù)、不遺漏，要縝密、要全面。其次，分析清楚某一問(wèn)題是排列還是組合，還是先組合后排列。區(qū)分某一問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，關(guān)鍵是看所選的元素與順序是否有關(guān)，若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問(wèn)題，否則是組合問(wèn)題。高中數(shù)學(xué)中遇到的排列與組合計(jì)數(shù)問(wèn)題主要可以歸納為以下六類，而每一類都有著特有的解題策略與方法。下面我們借助具體的例題進(jìn)行講解。

一、“含特殊元素”的排列組合問(wèn)題――采取特殊元素優(yōu)先考慮法

例1.現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩人中安排一人，第四道工序只能從甲、丙兩人中安排，則有多少種不同的安排方案？

解：此題中有兩個(gè)特殊位置，第一道工序和第四道工序。一個(gè)特殊的人――“甲”。所以可以考慮先從甲入手，甲的位置有三類，然后再考慮第一、四道工序的安排。

第一類：甲在第一道工序，這時(shí)有C11?C11?A24=12（種）排法；第二類：甲在第四道工序，這是有C11?C11?A24=12（種）排法；第三類：甲不在第一道工序也不在第四道工序，這時(shí)有C11?C11?A24=12（種）排法。利用分類加法計(jì)數(shù)原理知，總共有N=12+12+12=36種不同的分配方案。

變式1：有3名男生，4名女生，求全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾，有多少種不同的排法？

解：“甲”元素受限制、比較特殊優(yōu)先排。先排甲有A15=5種排法，再排其他人有A66=720種排法。根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有 種排法。

二、“含相同元素”的排列組合問(wèn)題――采取給為相同元素找位置的方法

例2.今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列，有多少種不同的排法？

解：此題同色球不加以區(qū)分，導(dǎo)致有相同元素，排列時(shí)相同元素間無(wú)順序之分，因此相同元素按組合問(wèn)題選位置。

分三步：第一步，排2個(gè)紅球，有C29=36（種）排法；第二步，排3個(gè)黃球，有C37=35（種）排法；第三步，排4個(gè)白球，有C44=1（種）排法.利用分步乘法原理，總共有N=36×35×1=1260種排法。

變式2：把英語(yǔ)單詞“error”中字母的拼寫(xiě)順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤的種數(shù)是多少？

解：此題實(shí)質(zhì)是“含相相同元素”的排列問(wèn)題.考慮“e、o、r、r、r”排成一列共有C15?C14?C33=20排法，其中拼寫(xiě)正確的只有1種，所以把英語(yǔ)單詞“error”中字母的拼寫(xiě)順序?qū)戝e(cuò)有20-1=19種。

三、“元素相鄰型”的排列組合問(wèn)題――采取“捆綁法”，即將相鄰的元素視為一個(gè)整體參與其他元素的排列，同時(shí)注意捆綁元素內(nèi)部排列

例3.有3名男生，4名女生，求全體排成一排，女生必須相鄰有多少種不同的排法？

解：先把4名女生合在一起看作一個(gè)元素，和3名男生參加全排列共有A44=24種排法，然后4名女生局部排列共有A33=6種

排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有N=24×6=144種排法。

四、“元素不相鄰型”的排列組合問(wèn)題――采取“插空法”，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中

例4.有3名男生、4名女生，全體排成一排，男生互不相鄰有多少種不同的排法？

解：4名女生不受限制，則先排4名女生有A44=24種排法，然

后將3名男生插入4名女生產(chǎn)生的5個(gè)空檔中，有A35=60種排法。根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有N=A44?A35=1440種排法。

變式3：我國(guó)第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有6架殲-15飛機(jī)準(zhǔn)備著艦。如果甲、乙兩機(jī)必須前后相鄰，而丙、丁兩機(jī)不能前后相鄰著艦，那么不同的著艦方法有多少種？

解：“相鄰與不相鄰”的混合型問(wèn)題，捆綁法和插空法相結(jié)合。設(shè)其他兩機(jī)為A，B。先將甲、乙合在一起看作一個(gè)元素，和A，B參加全排列共有A33=6種排法，然后甲、乙局部排有A22=2種排法，最后將丙、丁插入甲、乙合在一起看作一個(gè)元素和A，B產(chǎn)生的4個(gè)空擋中，有A24=12種插入法。由分步乘法計(jì)數(shù)原理N=A33?A22?A24=144種方法。

五、“分堆型”的排列組合問(wèn)題――需要注意辨別是“平均分組”還是“非平均分組”

平均分組型是指把k、n個(gè)不同元素平均分成k組，每組n個(gè)元素，共有■種不同的分法，其特點(diǎn)是每堆的個(gè)數(shù)相同。

非平均分組型是指n個(gè)不同元素分成個(gè)數(shù)為n1，n2，L，nk的k堆，其中n1≠n2≠n3≠L≠nk，n1+n2+L+nk=n，有Cn1n?Cn2n-n1?Cn3n-n1-n2?L?

Cnknk種不同的分法，其特點(diǎn)是每堆的個(gè)數(shù)都互不相同。

例5.六本不同的書(shū)，按下列要求，各有多少種不同的分法？

篇5

智慧技能的教學(xué)是學(xué)校教學(xué)的中心任務(wù)．著名認(rèn)知心理學(xué)家加涅認(rèn)為，智慧技能主要涉及概念和規(guī)則的掌握與運(yùn)用，它由簡(jiǎn)單到復(fù)雜構(gòu)成一個(gè)階梯式的層級(jí)關(guān)系：概念（需要以辨別為先決條件）規(guī)則（需要以概念為先決條件）高級(jí)規(guī)則（需要以規(guī)則為先決條件）．因此，對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)的每個(gè)單元，學(xué)生應(yīng)該按照加涅關(guān)于智慧技能由簡(jiǎn)單到復(fù)雜構(gòu)成的這個(gè)層級(jí)關(guān)系去學(xué)習(xí)，以便按照這個(gè)層級(jí)關(guān)系把所學(xué)的知識(shí)組織到大腦當(dāng)中，形成具有良好層級(jí)性的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

據(jù)此，筆者在“排列、組合”單元的教學(xué)中，將教材內(nèi)容的順序進(jìn)行了調(diào)整．調(diào)整后的結(jié)構(gòu)如圖1所示．排列、組合P概念從飛機(jī)票和飛機(jī)票價(jià)等具體問(wèn)題的辨別入手，得出排列與組合的概念，進(jìn)而介紹排列數(shù)概念、組合數(shù)概念及其符號(hào)表示．

排

列

、

組

合

概念

從飛機(jī)票和飛機(jī)票價(jià)等具體問(wèn)題的辨別入手,得出排列與組合的要領(lǐng)進(jìn)而介紹排列數(shù)概念、組合數(shù)概念及其符號(hào)表示.

專題一

算法

在解釋P1n＝n，C1n＝n（n∈Z＋）的基礎(chǔ)上，介紹加法原理和乘法原理（引例和例題的處理均須用由P1n或C1n組成的算式來(lái)解答）．

專題二

排列數(shù)公式與計(jì)算

專題三

組合數(shù)公式、計(jì)算與性質(zhì)

應(yīng)用

用直譯法解決純排列與組合問(wèn)題（同時(shí)用分步法解答純排列問(wèn)題）．題型如1990年人教版高中《代數(shù)》下冊(cè)（必修）（簡(jiǎn)稱：高中《代數(shù)》下冊(cè)．下同）第234頁(yè)例3、第245頁(yè)例2.

專題四

用分類法解決加法原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用題．題型如高中《代數(shù)》下冊(cè)第234頁(yè)例4（此例還可用分步法）、第245頁(yè)例3．

專題五

用分步法、分類法和排除法解綜合性排列與組合問(wèn)題．題型如高中《代數(shù)》下冊(cè)第235頁(yè)例5、第246頁(yè)例4．

專題六

圖1

于是該單元的教學(xué)次序是：基本概念的形成（排列與組合的概念、排列數(shù)與組合數(shù)的概念）基本算法規(guī)則的掌握（原理與公式）概念和算法規(guī)則相結(jié)合的應(yīng)用（這里是以解題規(guī)律為主線，把排列應(yīng)用題和組合應(yīng)用題一并按其解法由易到難分層次集中而對(duì)偶地解決的），完全符合加涅關(guān)于智慧技能的學(xué)習(xí)必須按從概念到規(guī)則，再到高級(jí)規(guī)則的層級(jí)順序去進(jìn)行的規(guī)律，理順了學(xué)生學(xué)習(xí)排列、組合內(nèi)容的認(rèn)知層次，加強(qiáng)了該單元認(rèn)知結(jié)構(gòu)的層級(jí)性．

2．運(yùn)用先行組織者，促成認(rèn)知結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性

運(yùn)用先行組織者以改進(jìn)教材的組織與呈現(xiàn)方式，是提高教材可懂度，促進(jìn)學(xué)生對(duì)教材知識(shí)的理解的重要技術(shù)之一．其目的是從外部影響學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促成認(rèn)知結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性．

因?yàn)楦咧猩状蚊鎸?duì)排列、組合單元的學(xué)習(xí)任務(wù)時(shí)，其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中缺乏適當(dāng)?shù)纳衔挥^念用來(lái)同化它們，因此，我們?cè)谠搯卧娜腴T課里，在沒(méi)有正式學(xué)習(xí)具體內(nèi)容之前，先呈現(xiàn)如圖2所示的組織者，能起到使學(xué)生獲得一個(gè)用來(lái)同化排列、組合內(nèi)容的認(rèn)知框架的作用．

排

列

、

組

合

概念

排列、組合的概念

算法

算法原理、計(jì)算公式

應(yīng)用

解排列、組合問(wèn)題

圖2

值得一提的是，安排在本文的入門課——專題一中的飛機(jī)票和飛機(jī)票價(jià)等具體問(wèn)題，以及安排在基本原理課題中的兩個(gè)引例，它們也分別起到了學(xué)習(xí)相應(yīng)內(nèi)容的具體模型組織者的作用．

3．實(shí)行近距離對(duì)比，強(qiáng)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可辨別性

如果排列概念和組合概念在學(xué)生頭腦中的分離程度低，加法原理和乘法原理在學(xué)生頭腦中的可辨別性差，則會(huì)造成學(xué)生對(duì)排列和組合的判定不清，對(duì)加法原理和乘法原理的使用不準(zhǔn)，從而嚴(yán)重影響學(xué)生解排列、組合問(wèn)題的正確性．因此，在教學(xué)中我們必須增強(qiáng)它們?cè)趯W(xué)生頭腦中的可辨別性，以達(dá)到促使學(xué)生形成良好的“排列、組合”認(rèn)知結(jié)構(gòu)之目的．

按調(diào)整后結(jié)構(gòu)的順序教學(xué)，很自然地實(shí)行了近距離對(duì)比，加大了排列與組合、加法原理和乘法原理的對(duì)比力度，從而強(qiáng)化了它們?cè)趯W(xué)生頭腦中的可辨別性．

（1）在入門課里，開(kāi)篇就將排列概念和組合概念進(jìn)行近距離對(duì)比，有利于引導(dǎo)學(xué)生得到并掌握排列和組合的判定標(biāo)準(zhǔn)：看實(shí)際效果與元素的順序有無(wú)關(guān)系．

（2）專題二首次近距離比較加法原理和乘法原理，并運(yùn)用其判定標(biāo)準(zhǔn)——是分類還是分步，去完成對(duì)實(shí)際問(wèn)題的處理，以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)它們的理解與辨別．

1．調(diào)整教材內(nèi)容順序，加強(qiáng)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的層級(jí)性智慧技能的教學(xué)是學(xué)校教學(xué)的中心任務(wù)．著名認(rèn)知心理學(xué)家加涅認(rèn)

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（3）專題四、五、六里，把排列、組合問(wèn)題按其解法分層次對(duì)偶地解決，在沒(méi)有單獨(dú)占用課時(shí)的情況下，很自然地為排列和組合的近距離比較，為加法原理和乘法原理的運(yùn)用對(duì)比，提供了切實(shí)而盡可能多的機(jī)會(huì)．

4．及時(shí)歸納總結(jié)，增強(qiáng)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的整體性與概念性

我們知道，認(rèn)知結(jié)構(gòu)是人們頭腦中的知識(shí)結(jié)構(gòu)，也就是知識(shí)在人們頭腦中的系統(tǒng)組織，它具有整體性和概括性．認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，認(rèn)知結(jié)構(gòu)的整體性越強(qiáng)、概括水平越高，就越有利于學(xué)習(xí)的保持與遷移．因此，在每個(gè)單元的教學(xué)中，我們必須隨著該單元教學(xué)進(jìn)度的推進(jìn)，及時(shí)歸納總結(jié)已學(xué)內(nèi)容的規(guī)律，以促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)概括水平的不斷提高，最終促使學(xué)生高效高質(zhì)地整體掌握該單元，從而形成整體性強(qiáng)、概括程度高的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

于是對(duì)于“排列、組合”單元，筆者就隨著教學(xué)進(jìn)度的深入，引導(dǎo)學(xué)生不斷歸納、及時(shí)總結(jié)出以下各規(guī)律：

（1）排列與組合的判定標(biāo)準(zhǔn)（見(jiàn)前文）．

（2）加、乘兩原理的判定標(biāo)準(zhǔn)（見(jiàn)前文）．

（3）排列數(shù)公式的特征（略）．

（4）組合數(shù)與排列數(shù)的關(guān)系（略）．

（5）解排列、組合問(wèn)題的基本步驟與方法：

①仔細(xì)審清題意，找出符合題意的實(shí)際問(wèn)題．

所有排列、組合問(wèn)題，都含有一個(gè)“實(shí)際問(wèn)題”，找出了這個(gè)實(shí)際問(wèn)題，就找到了解題的入口．

②逐一分析題設(shè)條件，推求“問(wèn)題”實(shí)際效果，采取合理處理策略．

處理排列、組合問(wèn)題的常用策略有：正面入手；正難則反；調(diào)換角度；整、分結(jié)合；建立模型等．但不管采用哪個(gè)策略，我們都必須從問(wèn)題的實(shí)際效果出發(fā)，都必須保證產(chǎn)生相同的實(shí)際效果．因此，實(shí)際問(wèn)題的實(shí)際效果，就是我們解排列、組合問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)，因而也可以說(shuō)是解排列、組合問(wèn)題的一個(gè)關(guān)鍵．

③根據(jù)問(wèn)題“實(shí)際效果”和所采取的“處理策略”，確定解題方法．

解排列、組合問(wèn)題的方法，不同的提法很多，其實(shí)歸根到底，不外乎以下五種：枚舉法；直譯法；分步法；分類法；排除法．如所謂插空法，推究起來(lái)也只不過(guò)是在調(diào)換角度考慮的策略下的分步法而已．

5．注意策略的教學(xué)與培養(yǎng)，增大認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可利用性

智育的目標(biāo)是：第一，通過(guò)記憶，獲得語(yǔ)義知識(shí)，即關(guān)于世界的事實(shí)性知識(shí)，這是較簡(jiǎn)單的認(rèn)知學(xué)習(xí)．第二，通過(guò)思維，獲得程序性知識(shí)，即關(guān)于辦事的方法與步驟的知識(shí)，這是較復(fù)雜的認(rèn)知學(xué)習(xí)．第三，在上述學(xué)習(xí)的同時(shí)，獲得策略知識(shí)，即控制自己的學(xué)習(xí)與認(rèn)知過(guò)程的知識(shí)，學(xué)會(huì)如何學(xué)習(xí)，如何思維，這是更高級(jí)的認(rèn)知學(xué)習(xí)，也是人類學(xué)習(xí)的根本目的．

所謂策略，指的就是認(rèn)知策略的學(xué)習(xí)策略，認(rèn)知策略是個(gè)人用以支配自己的心智加工過(guò)程的內(nèi)部組織起來(lái)的技能，包括控制與調(diào)節(jié)自己的注意、記憶、思維和解決問(wèn)題中的策略．學(xué)習(xí)策略是“在學(xué)習(xí)過(guò)程中用以提高學(xué)習(xí)效率的任何活動(dòng)”，包括記憶術(shù)，建立新舊知識(shí)聯(lián)系，建立新知識(shí)內(nèi)部聯(lián)系，做筆記、摘抄、寫(xiě)節(jié)段概括語(yǔ)和結(jié)構(gòu)提綱，在書(shū)上評(píng)注、畫(huà)線、加標(biāo)題等促進(jìn)學(xué)習(xí)的一切活動(dòng)．

在中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如果學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中缺乏策略或策略的水平不高，那么學(xué)生的學(xué)習(xí)效果就不好、學(xué)習(xí)效率就不高，特別是在解題過(guò)程中，就會(huì)造成不能利用已學(xué)的相關(guān)知識(shí)而找不到解題途徑，或造成利用不好已學(xué)的相關(guān)知識(shí)而使解題思路受阻，或造成不能充分利用好已學(xué)的相關(guān)知識(shí)而使解題方法不佳，以致解題速度不快、解答過(guò)程繁冗、解答結(jié)果不準(zhǔn)確等．因此，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，必須重視策略的教學(xué)和培養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何學(xué)習(xí)和如何思維，以增大學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的可利用性．

為此，筆者在“排列、組合”單元的教學(xué)中，除注意一般性學(xué)習(xí)策略（如做筆記、畫(huà)線、注記和寫(xiě)單元結(jié)構(gòu)圖等）的培養(yǎng)以外，更注重解排列、組合問(wèn)題的培養(yǎng)和訓(xùn)練．

（1）在專題二、四、五、六里，對(duì)排列、組合問(wèn)題解法的教學(xué)，始終按“仔細(xì)審清題意，找出符合題意的實(shí)際問(wèn)題逐一分析題設(shè)條件，推求問(wèn)題實(shí)際效果，采取合理處理策略根據(jù)問(wèn)題實(shí)際效果和所采取的處理策略，確定解題方法”的基本步驟進(jìn)行，以培養(yǎng)學(xué)生在解排列、組合問(wèn)題時(shí)，有抓住“實(shí)際問(wèn)題的實(shí)際效果”這個(gè)關(guān)鍵的策略意識(shí)和策略能力．

（2）重視一題多解和錯(cuò)解分析（多解的習(xí)題要有意講評(píng)，例題講解可故意設(shè)錯(cuò)）．

一題多解能拓寬解題思路，讓學(xué)生見(jiàn)識(shí)各種解題方法和處理策略．另外，一題多解又能通過(guò)比較各種解法的優(yōu)劣，使學(xué)生在較多的思路和方法中優(yōu)選．同時(shí)，因?yàn)榻馀帕?、組合問(wèn)題，其結(jié)果（數(shù)值）往往較大，不便于檢驗(yàn)結(jié)果的正確性，而一題多解可以通過(guò)各種解法所得結(jié)果的比較，來(lái)檢驗(yàn)我們所作的解答是否合理、是否正確，從而起到檢查、評(píng)價(jià)乃至調(diào)控我們對(duì)排列、組合問(wèn)題的解答的作用．

錯(cuò)解分析能使學(xué)生注意到解答出錯(cuò)的原因所在，同時(shí)使學(xué)生體驗(yàn)到解題策略調(diào)節(jié)的必要性和方法，防止今后犯類似的錯(cuò)誤，增強(qiáng)學(xué)生解題糾錯(cuò)力．

故意設(shè)錯(cuò)如高中《代數(shù)》下冊(cè)第246頁(yè)例4的第（3）小題：如果100件產(chǎn)品中有兩件次品，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種?

錯(cuò)解：由分步法得C12C299＝9702（種）．

略析：像該題一樣的“至少”問(wèn)題最好莫用分步法，這里分步出現(xiàn)了重復(fù)計(jì)算（以上錯(cuò)解是學(xué)生易犯錯(cuò)誤，教學(xué)中必須注意）．

參考文獻(xiàn)

1邵瑞珍主編．學(xué)與教的心理學(xué)．上海：華東師范大學(xué)出版社，1990

篇6

〔中圖分類號(hào)〕 G633.6 〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 C

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2013）24—0086—02

數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，排列組合就充分體現(xiàn)了抽象的特征。解排列組合的應(yīng)用題對(duì)學(xué)生思維能力的要求比較高，是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一。因此，排列組合的復(fù)習(xí)教學(xué)，教師要對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行細(xì)致分析，選取行之有效的教法，多角度、多方位、多層次地訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，進(jìn)而提高復(fù)習(xí)的效率。筆者認(rèn)為，復(fù)習(xí)時(shí)教師應(yīng)重視以下三個(gè)環(huán)節(jié)：抓關(guān)鍵、理思路、重分析。

一、 抓關(guān)鍵

解決帶有附加條件的排列問(wèn)題的關(guān)鍵是會(huì)處理“在與不在”的問(wèn)題，即就是某種特殊元素在或不在某個(gè)特殊位置的問(wèn)題。與排列的情況類似，解決帶有附加條件的組合問(wèn)題的關(guān)鍵是會(huì)處理“含與不含”的問(wèn)題，即就是某種特殊元素含或不含在所要求的組合中的問(wèn)題。

例1 學(xué)校舉行田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，要從7名學(xué)生中選出4名組成4×100米接力隊(duì)，其中甲、乙兩人都不能跑中間兩棒的不同安排方法有多少種？

分析：首先要明確7名學(xué)生中的哪4名參加接力賽，即從7名學(xué)生中選出4名學(xué)生組成4×100米接力隊(duì)，與次序無(wú)關(guān)，屬組合問(wèn)題；其次是安排跑序，與順序有關(guān)，屬排列問(wèn)題。故該問(wèn)題屬于排列組合的綜合問(wèn)題，分先選后排兩步來(lái)完成。又甲、乙兩人都不能跑中間兩棒（受限元素或受限位置），故已選出的4名接力隊(duì)隊(duì)員，是否選甲、乙二人，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。根據(jù)題意分析有以下三種可能，即甲、乙都沒(méi)選上，只選上甲（或乙），甲、乙都選上。是否選甲、乙決定著跑序的安排，于是分三類考慮：

三、 重分析

根據(jù)解決排列組合問(wèn)題的基本思路，其具體步驟是：分析題意——把問(wèn)題中的哪些具體對(duì)象看作元素（如人、圖形、數(shù)等），是排列問(wèn)題，還是組合問(wèn)題，或者是排列組合的綜合問(wèn)題；對(duì)“物”（元素）和 “事”（關(guān)系）的分析，分析完成這事件有幾類辦法，確定分類標(biāo)準(zhǔn)，合理分類，保證不重不漏；執(zhí)行各類辦法時(shí)又需進(jìn)行幾步才能完成，即以不同的特征對(duì)把完成一個(gè)事件的程序適當(dāng)分步，分步要連續(xù)。確定解法——沒(méi)有附加條件的排列或組合問(wèn)題都可直接求解；帶有附加條件的排列或組合問(wèn)題有直接或間接兩種方法。無(wú)論哪種方法，都要注意從不同角度，正、反兩方面考慮同一問(wèn)題，遵循“先組合、后排列，先特殊、后一般”的原則；列式計(jì)算——正確運(yùn)用兩個(gè)原理和兩個(gè)公式。

篇7

關(guān)鍵詞：加法；乘法；排列；組合

一、加法、乘法原理混淆

兩個(gè)原理的區(qū)別在于一個(gè)和分類有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān).

【例1】50件產(chǎn)品中有4件次品，從中任意抽出5件，其中至少有3件次品的抽法有_______種.

【錯(cuò)解】有（C34+C246）（C44+C146）=46575種.

【錯(cuò)因】分類與分步概念不清，即加法原理與乘法原理混淆.

【正解】分為兩類：第一類，先取3件次品，再取2件正品，其抽法有（分兩步，用乘法原理）C34C246種；第二類，有4件次品的抽法，同理有C44+C146種，最后由加法原理，不同的抽法共有C34C246+C44C146=4186種.

二、排列、組合概念混淆

界定排列與組合問(wèn)題是排列還是組合？唯一的標(biāo)準(zhǔn)是順序，有序是排列問(wèn)題，無(wú)序是組合問(wèn)題，排列與組合問(wèn)題并存，解答時(shí)，一般采用先組合后排列的方法.

【例2】從4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的3塊土地上進(jìn)行試驗(yàn)，有 種種植的方法.

【錯(cuò)解】有C34=4種.

【錯(cuò)因】3個(gè)品種種在不同土質(zhì)的3塊土地上，有不同的種植順序，應(yīng)是排列問(wèn)題.

【分析】對(duì)這類既含組合，又含排列的問(wèn)題，其解答思路是“先組合，后排列”，即“先組后排”.

【正解】有C34A33=24（或A34=24）種種植方法.

三、重復(fù)計(jì)數(shù)出增解

重復(fù)計(jì)數(shù)是學(xué)生解答排列組合問(wèn)題時(shí)最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤之一，且自己還很難查出錯(cuò)因，教師應(yīng)把以上幾種常見(jiàn)重復(fù)的原因分析清楚，才可使學(xué)生在此類問(wèn)題上少出錯(cuò).

【例3】7個(gè)人排成一排，甲不排頭，乙不排尾的排法有 種.

【錯(cuò)解】排在排頭的有除甲之外的A16種情形，排在排尾的也有除乙之外的A16種情形，兩端排好后余下的排中間有A55種情形，所以不同的排法有A16A16A55=4320種.

【錯(cuò)因】排排頭的6種情形也有乙不在排尾的情況，因此重復(fù)計(jì)算了5A55種情形.

【正解】減去重復(fù)數(shù)，應(yīng)為A16A16A55-5A55=3720種.

四、思維不嚴(yán)密而漏解

【例4】A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必須站在A的右邊（A、B可以不相鄰），那么不同的站法有 種.

【錯(cuò)解】把A、B“捆綁”為一個(gè)元素（B在A的右邊），與C、D、E一起全排列，有A44=24種站法.

【錯(cuò)因】審題不嚴(yán)，未注意到“A、B可以不相鄰”而漏解.

【正解】按B的位置分為四類：B排第一、二、三、四位時(shí)的排法數(shù)分別是A44，3A33，2A33，A33，所以共有A44+3A33+2A33+A33=60種排法.

參考文獻(xiàn)：

[1]管宏斌.排列組合常見(jiàn)錯(cuò)誤剖析.考試：高考理科版，2008（01）.

篇8

解答排列組合問(wèn)題，首先必須認(rèn)真審題，明確是屬于排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，或者屬于排列與組合的混合問(wèn)題，其次要抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析，同時(shí)還要注意講究一些策略和方法技巧。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。

一、合理分類與準(zhǔn)確分步法(利用計(jì)數(shù)原理)

解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，應(yīng)按元素性質(zhì)進(jìn)行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，保證每步獨(dú)立，達(dá)到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。

例1、五個(gè)人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有(）

A．120種B．96種C．78種D．72種

分析：由題意可先安排甲，并按其分類討論：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有A=24種排法；2）若甲在第二，三，四位上，則有3*3*3*2*1=54種排法，由分類計(jì)數(shù)原理，排法共有24+54=78種，選C。

解排列與組合并存的問(wèn)題時(shí)，一般采用先選（組合）后排（排列）的方法解答。

二、特殊元素與特殊位置優(yōu)待法

對(duì)于有附加條件的排列組合問(wèn)題，一般采用：先考慮滿足特殊的元素和位置，再考慮其它元素和位置。

例2、從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購(gòu)、保潔四項(xiàng)不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有（）

（A）280種（B）240種（C）180種（D）96種

分析：由于甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，所以翻譯工作就是“特殊”位置，因此翻譯工作從剩下的四名志愿者中任選一人有種不同的選法，再?gòu)钠溆嗟?人中任選3人從事導(dǎo)游、導(dǎo)購(gòu)、保潔三項(xiàng)不同的工作有種不同的選法，所以不同的選派方案共有=240種，選B。

三、插空法、捆綁法

對(duì)于某幾個(gè)元素不相鄰的排列問(wèn)題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已排好的元素之間及兩端空隙中插入即可。

例3、7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相鄰，則有多少種不同的排法？

分析：先將其余四人排好有A=24種排法，再在這些人之間及兩端的5個(gè)“空”中選三個(gè)位置讓甲乙丙插入，則有C=10種方法，這樣共有24*10=240種不同排法。

篇9

下面對(duì)幾種典型的排列組合問(wèn)題進(jìn)行策略分析，擬找到解決相應(yīng)問(wèn)題的有效方法。

一、合理分類與準(zhǔn)確分步法

解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，應(yīng)按元素性質(zhì)進(jìn)行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，作到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。

例1.五個(gè)人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有( )

A.120種B.96種C.78種D.72種

由分類計(jì)數(shù)原理，排法共有A44+A33A31A31=78種，選C。

練習(xí)1. (89年全國(guó))由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有多少個(gè)(用數(shù)字作答)。答案:36

二、混合問(wèn)題“先選后排”

對(duì)于排列組合混合問(wèn)題，可先選出元素，再排列。

例2.4個(gè)不同小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，恰有一空盒的方法有多少種?

分析:因有一空盒，故必有一盒子放兩球。1)選:從四個(gè)球中選2個(gè)有C42種，從4個(gè)盒中選3個(gè)盒有C43種;2)排:把選出的2個(gè)球看作一個(gè)元素與其余2球共3個(gè)元素，對(duì)選出的3盒作全排列有種，故所求放法有C42C43A33=144種。

練習(xí)2.由數(shù)字1，2，3，4，5，6，7組成有3個(gè)奇數(shù)字，2個(gè)偶數(shù)字的五位數(shù)，數(shù)字不重復(fù)的有多少個(gè)?答案:有C43C32A55=1440(個(gè))

三、局部問(wèn)題“整體優(yōu)先法”

對(duì)于局部排列問(wèn)題，可先將局部看作一個(gè)元與其余元素一同排列，然后在進(jìn)行局部排列。

例3.7人站成一排照相，要求甲乙兩人之間恰好隔三人的站法有多少種?

分析:甲、乙及間隔的3人組成一個(gè)“小整體”，這3人可從其余5人中選，有C52種;這個(gè)“小整體”與其余2人共3個(gè)元素全排列有A33種方法，它的內(nèi)部甲、乙兩人有A22種站法，中間選的3人也有A33種排法，故符合要求的站法共有C52A33A22A33=720種。

練習(xí)3.四對(duì)兄妹站一排，每對(duì)兄妹都相鄰的站法有多少種?

答案:A4424=384

四、元素間隔，分位插入

對(duì)于某些元素要求有間隔的排列，用插入法。

例4.5個(gè)男生3個(gè)女生排成一列，要求女生不相鄰且不可排兩頭，共有幾種排法?

解:先排無(wú)限制條件的男生，女生插在5個(gè)男生之間的4個(gè)空隙，由乘法原理共有A55A43種。

注意:①必須分清“誰(shuí)插入誰(shuí)”的問(wèn)題。要先排無(wú)限制條件的元素，再插入必須間隔的元素;②數(shù)清可插的位置數(shù);③插入時(shí)是以組合形式插入還是以排列形式插入要把握準(zhǔn)。

練習(xí)4.4男4女站成一行，男女相間的站法有多少種?答案:2A44A44

五、順序固定問(wèn)題用“除法”

對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。

例5.6個(gè)人排隊(duì)，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”順序排的排隊(duì)方法有多少種?

分析:不考慮附加條件，排隊(duì)方法有A66種，而其中甲、乙、丙的A33種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有A66÷A33=120種。

練習(xí)5.要編制一張演出節(jié)目單，6個(gè)舞蹈節(jié)目已排定順序，要插入5個(gè)歌唱節(jié)目，則共有幾種插入方法?答案:A1111/A66或C116A55=C115A55或7×8×9×10×11種

六、“小團(tuán)體”排列，先“團(tuán)體”后整體

對(duì)于某些排列問(wèn)題中的某些元素要求組成“小團(tuán)體”時(shí)，可先按制約條件“組團(tuán)”并視為一個(gè)元素再與其它元素排列。

例6.四名男歌手與兩名女歌手聯(lián)合舉行一場(chǎng)演唱會(huì)，演出的出場(chǎng)順序要求兩名女歌手之間有兩名男歌手，則出場(chǎng)方案有幾種?

解:先從四名男歌手中選2人排入兩女歌手之間進(jìn)行“組團(tuán)”有A42A22種，把這個(gè)“女男男女”小團(tuán)體視為1人再與其余2男進(jìn)行排列有A33種，由乘法原理，共有A42A22A33種。

練習(xí)6. 6人站成一排，其中一小孩要站在爸媽之間的站法有多少種?答案:A22A44

七、構(gòu)造模型 “隔板法”

對(duì)于較復(fù)雜的排列問(wèn)題，可通過(guò)設(shè)計(jì)另一情景，構(gòu)造一個(gè)隔板模型來(lái)解決問(wèn)題。

例7.方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解?

篇10

1、數(shù)學(xué)中的排列是指從給規(guī)定個(gè)數(shù)的元素中取出指定個(gè)數(shù)的元素進(jìn)行排序。

2、組合則是指從給規(guī)定個(gè)數(shù)的元素中僅僅取出指定個(gè)數(shù)的元素，將其組合，不考慮排序。

3、排列組合是研究給定要求的排列和組合可能出現(xiàn)的情況的總數(shù)。

4、排列組合與古典概率論關(guān)系密切。

（來(lái)源：文章屋網(wǎng) ）